ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HẠNH HOA PHƯƠNG PHÁP NEWTON CẢI TIẾN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VỚI ĐỘ HỘI TỤ BẬC CAO Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.0112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Tin, Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, những người đã trang bị những kiến thức cơ bản và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo kính mến PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc trong công việc, gần gũi trong cuộc sống của thầy đã giúp cho tôi có niềm tin, ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao để hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình và bạn bè, những người đã đồng hành, hết lòng động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập cũng như làm luận văn thạc sĩ này. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hạnh Hoa i 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 1 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến 3 1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Phương pháp của Weerakoon và Fernando (2000, [42]) . . . . . . . 5 1.1.2 Phương pháp của Frontini và Sormani (2003, [25]) . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Phương pháp của Jisheng Kou, Yitian Li, Xiuhua Wang (2006, [17]) 9 1.1.4 Phương pháp của Liang Fang, Guoping He, Zhongyong Hu (2008, [21]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [36]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Naila Rafiq, Nusrat Yasmin (2010, [38]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.7 Phương pháp của H. H. H. Homeier (2005, [13]) . . . . . . . . . . . 14 1.1.8 Phương pháp của Rostam K. Saeed và Fuad W. Khthr (2010, [40]) 15 1.1.9 Phương pháp của P. Wang (2011, [39]) . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.10 Phương pháp của Sanjay K. Khattri, Ravi P. Agarwal (2010, [44]) . 20 1.1.11 Phương pháp của V. Kanwar, Kapil K. Sharma, Ramandeep Behl (2010, [48]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.12 Phương pháp của Hadi Taghvafard (2011, [14]) . . . . . . . . . . . . 23 1.2 Phương pháp hai bước, ba bước và bốn bước . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.1 Phương pháp của Potra và Pták (1984, [11]) . . . . . . . . . . . . . 25 i 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC 1.2.2 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Nusrat Yasmin, Naila Rafiq (2008, [37]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.3 Phương pháp của Sanjay K. Khattri, Ioannis K. Argyros (2010, [43]) 26 1.2.4 Phương pháp của Zhongyong Hu, Liu Guocai, Li Tian (2011, [50]) . 27 1.2.5 Phương pháp của Linke Hou và Xiaowu Li (2010, [23]) . . . . . . . 27 1.3 Phương pháp tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.1 Phương pháp của Mamta, V. Kanwar, V. K. Kukreja, Sukhjit Singh (2005, [28]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.2 Phương pháp của Sanjay K. Khattri và S. Abbasbandy (2011, [45]) 29 1.3.3 Phương pháp của Yao-tang Li, Ai-quan Jiao (2009, [49]) . . . . . . 29 1.3.4 Phương pháp của Kou Jisheng, Li Yitian, Liu Dingyou và He Julin (2007, [19]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4 Phương pháp khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 Phương pháp của Jisheng Kou (2007, [18]) . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 Phương pháp của M. M. Hosseini (2009, [27]) . . . . . . . . . . . . 35 1.4.3 Phương pháp Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5 Phương pháp nội suy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.5.1 Phương pháp của Manoj Kumar Singh (2009, [29]) . . . . . . . . . 37 1.5.2 Phương pháp của Muhammad Rafiullah, Muhammad Haleem (2010, [32]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5.3 Phương pháp của Manoj Kumar Singh và S. R. Singh (2011, [30]) . 39 1.6 Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.6.1 Phương pháp của H. H. H. Homeier (2003, [12]) . . . . . . . . . . . 40 1.6.2 Phương pháp của J. R. Sharma (2005, [15]) . . . . . . . . . . . . . 41 1.6.3 Phương pháp của B. Neta (2008, [2]) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.6.4 Phương pháp của J. R. Sharma (2007, [16]) . . . . . . . . . . . . . 43 1.6.5 Phương pháp của Tibor Luki´c, Nebojˇsa M. Ralevi´c [47] . . . . . . . 44 1.6.6 Phương pháp của Keyvan Amini (2007, [20]) . . . . . . . . . . . . . 44 1.6.7 Phương pháp của Mehdi Dehghan và Masoud Hajarian (2010, [31]) 45 ii 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC 2 Một số phương pháp tìm nghiệm bội của phương trình phi tuyến 48 2.1 Phương pháp Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2 Phương pháp xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1 Phương pháp của D. K. R Babajee và MZ Dauhoo (2007, [9]) . . . 49 2.2.2 Phương pháp của N. A. Mir và Naila Rafiq (2007, [33]) . . . . . . . 51 2.2.3 Phương pháp của Nazir Ahmad Mir, Farooq Ahmad, Muhammad Raza, Tahira Nawaz (2010, [35]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3 Phương pháp tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.1 Phương pháp của Li Shengguo, Li Housen và Cheng Lizhi (2009, [22]) 53 2.3.2 Phương pháp của M. Heydari, S. M. Hosseini, G. B. Loghmani (2010, [26]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.3 Phương pháp của Behzad Ghanbari, Bijan Rahimi và Mehdi Gho- lami Porshokouhi (2011, [5]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.4 Phương pháp của B. Neta, Anthony N. Johnson (2008, [4]) . . . . . 56 2.3.5 Phương pháp của Beny Neta (2010, [3]) . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3.6 Phương pháp của S. G. Li, L. Z. Cheng, B. Neta (2010, [41]) . . . . 58 2.3.7 Phương pháp của Eldon Hansen và Merrell Patrick (1977, [10]) . . . 61 2.3.8 Phương pháp của Ljiljana D. Petkovi´c, Miodrag S. Petkovi´c, Dragan ˇ Zivkovi´c (2003, [24]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4 Một số phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4.1 Phương pháp của Naoki Osada (2007, [34]) . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4.2 Phương pháp của Changbum Chun, Hwa ju Bae, Beny Neta (2008, [7]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.3 Phương pháp của Changbum Chun, Beny Neta (2009, [6]) . . . . . 67 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 iii 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Isaac Newton (1642 - 1727) là một nhà vật lý, nhà thiên văn học, nhà triết học tự nhiên và nhà toán học vĩ đại người Anh. Ông đã xây dựng một công thức giải phương trình phi tuyến f(x) = 0 viết năm 1671 và được công bố lần đầu tiên vào năm 1685. Newton tính toán một chuỗi các đa thức sau đó ông đưa đến một nghiệm xấp xỉ của phương trình. Joseph Raphson (1648 - 1715) đã coi phương pháp của Newton hoàn toàn như là một phương pháp đại số và giới hạn việc sử dụng nó cho các đa thức một biến. Tuy nhiên Raphson đã mô tả phương pháp thông qua dãy các xấp xỉ kế tiếp x n thay vì các chuỗi đa thức phức tạp như Newton. Cách giải thích của Raphson được xem như là đơn giản hơn của Newton và đã được ông công bố vào năm 1690. Ngày nay chúng ta gọi là phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình phi tuyến f(x) = 0 bằng việc xây dựng một dãy lặp hội tụ tới nghiệm của phương trình. Phương pháp Newton – Raphson đóng vai trò quan trọng trong khoa học và kĩ thuật, đặc biệt đối với ngành Toán học nói chung và phương pháp số nói riêng. Trong thực tế nó có khả năng ứng dụng rất lớn. Sau khi phương pháp Newton – Raphson ra đời, việc giải phương trình phi tuyến phát triển rất mạnh mẽ và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Giải các bài toán có ý nghĩa thực tế quan trọng, đặc biệt trong giai đoạn hiện nay với sự hỗ trợ của máy tính điện tử việc này càng trở nên có hiệu lực. Điều đó đã thu hút nhiều nhà khoa học tìm hiểu sâu hơn về phương pháp này. Dựa trên cơ sở của phương pháp Newton – Raphson đã có, rất nhiều bài báo được đăng trên các tạp chí nổi tiếng thế giới nói về cách xây dựng những phương pháp cải tiến giải xấp xỉ phương trình phi tuyến với tốc độ hội tụ cao, có thể thực hiện trên máy tính điện tử. 1 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trong luận văn này, tôi trình bày tổng quan các phương pháp Newton cải tiến có tốc độ hội tụ cao giải gần đúng phương trình phi tuyến cho trường hợp phương trình có nghiệm đơn và phương trình có nghiệm bội. Do khuôn khổ luận văn, phương pháp Newton mở rộng cho hệ phương trình phi tuyến và phương trình trong không gian Banach không được trình bày. Tuy nhiên, trong phần TÀI LIỆU BỔ SUNG chúng tôi có liệt kê các bài báo về phương pháp Newton cho hệ phương trình (trang 77 - 80, các tài liệu [95] - [122]) và phương trình trong không gian Banach (trang 80 - 82, các tài liệu [123] - [145]). Luận văn gồm phần mở đầu, 2 chương, phần kết luận và các tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày các phương pháp tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến. Đồng thời cũng đưa ra định lý về sự hội tụ của các phương pháp và minh họa một số ví dụ. Chương 2 nhắc lại khái niệm nghiệm bội của phương trình f(x) = 0 và đưa ra các phương pháp tìm nghiệm bội của phương trình phi tuyến cùng một số ví dụ minh họa. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Hạnh Hoa 2 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến Giải phương trình phi tuyến là một trong những bài toán quan trọng trong giải tích số. Trước hết, chúng ta xét phương trình f(x) = 0. (1.1) Giải gần đúng phương trình f(x) = 0 được thực hiện theo hai bước: Bước 1: Tìm khoảng chứa nghiệm Mỗi một phương trình nói chung có thể có nhiều nghiệm. Chúng ta cần tìm khoảng chứa nghiệm (a, b), trong đó phương trình có nghiệm (có duy nhất nghiệm) bằng một trong các tiêu chuẩn sau. Định lí 1. (Bolzano-Cauchy) Nếu hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b] và thỏa mãn điều kiện f(a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a, b). Định lí 2. (Hệ quả của Định lí 1) Giả sử f(x) là một hàm liên tục và đơn điệu ngặt trên đoạn [a, b]. Khi đó nếu f (a)f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm trong khoảng (a, b). Định lí 3. (Hệ quả của Định lí 2) Giả sử f (x) có đạo hàm f  (x) và đạo hàm f  (x) của nó không đổi dấu trên đoạn [a, b]. Khi đó nếu f(a)f (b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có duy nhất một nghiệm trong khoảng (a, b). 3 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1. Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến Bước 2: Giải gần đúng phương trình Sau khi sử dụng ba định lí trên để xác định khoảng chứa nghiệm của phương trình f(x) = 0, chúng ta xét phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến f(x) = 0 trong trường hợp nghiệm đơn. Ở đây f : R → R là một hàm phi tuyến trơn có nghiệm đơn x ∗ , tức là f(x ∗ ) = 0 và f  (x ∗ ) = 0. Xuất phát từ giá trị ban đầu x 0 thuộc khoảng phân li của nghiệm của phương trình (1.1), các xấp xỉ tiếp theo được xác định bởi công thức x n+1 = ϕ(x n ), n = 0, 1, 2, Phương pháp Newton - Raphson tìm nghiệm x ∗ của phương trình (1.1) sử dụng sơ đồ lặp x n+1 = x n − f(x n ) f  (x n ) . (1.2) Phương pháp lặp này có tốc độ hội tụ bậc hai nhưng chỉ tốt khi f  (x ∗ ) = 0. Người ta có thể cải tiến phương pháp này trở nên tốt hơn bằng cách nâng tốc độ hội tụ lên cao hơn. Trong chương này, chúng ta trình bày lại nội dung của một số bài báo về sự cải tiến của phương pháp Newton giải gần đúng phương trình phi tuyến với độ hội tụ bậc cao cho trường hợp nghiệm đơn và minh họa qua một số ví dụ tính toán cụ thể. Trường hợp nghiệm bội của phương trình chúng ta sẽ được xét ở Chương 2. 1.1 Phương pháp xấp xỉ tích phân Xét biểu diễn của hàm f(x) dưới dạng f(x) = f (x n ) +  x x n f  (t)dt. (1.3) Nhiều nhà toán học đã cải tiến phương pháp Newton bằng việc xấp xỉ tích phân trong công thức (1.3) bởi các quy tắc khác nhau và đã thu được không ít những phương pháp lặp tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến có tốc độ hội tụ cao hơn. Dưới đây chúng tôi trình bày phương pháp giải phương trình f(x) = 0 có tốc độ hội tụ bậc cao trong một số bài báo. 4 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... (1.16) hội tụ bậc ba Định lý 2 Giả sử hàm f : I ⊂ R → R với I là khoảng mở có một nghiệm đơn x∗ Nếu f (x) là một hàm đủ trơn trong lân cận của nghiệm x∗ thì phương pháp lặp xác định bởi 23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến (1.17) hội tụ bậc bốn Chứng minh: Từ phương pháp. .. các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến Công thức lặp (1.12) hội tụ bậc ba (xem [13]) Khi m = 2, ω1 = ω2 = 1 , τ1 = 1 − τ2 = 0 ta có sơ đồ lặp hội tụ bậc ba 2 xn+1 = xn − 1.1.8 1 1 f (xn ) + 2 f (xn ) f x − f (xn ) n f (xn ) (1.13) Phương pháp của Rostam K Saeed và Fuad W Khthr (2010, [40]) Xét x f (x) = f (xn ) + f (t)dt xn Xấp xỉ tích phân ở vế phải của phương trình. .. x∗ +yn n+1 2 xn+1 +yn 2 , với x∗ nhận được từ phương pháp lặp Newton ta thu n+1 được f xn + xn+1 = xn − f (xn ) f (xn ) f (xn ) Công thức lặp (1.7) hội tụ bậc ba (xem [17]) 15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 − f (xn ) (1.7) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến 1.1.4 Phương pháp của Liang Fang, Guoping... Phương pháp lặp này có tốc độ hội tụ bậc ba (xem [39]) 1.1.10 Phương pháp của Sanjay K Khattri, Ravi P Agarwal (2010, [44]) Chúng ta xét phương pháp Newton kép như sau:   yn = xn − f (xn ) , f (xn )  xn+1 = yn − 26Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 (1.22) f (yn ) f (yn ) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình. .. các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến Kết hợp với việc mở rộng f (zn ) tại x∗ , ta thu được 7 f (zn ) = c2 e3 + ( c2 c3 − 3c3 )e4 + O(e5 ), n 2 n 2 n 2 f (zn ) = 1 + 2c3 e3 − c2 (−7c3 + 6c2 )e4 + O(e5 ), 2 n 2 2 n n ⇒ en+1 = c5 e6 + O(e7 ) 2 n n Như vậy phương pháp xác định bởi công thức (1.18) hội tụ bậc sáu Ví dụ Các ví dụ dưới đây giúp chúng ta so sánh phương pháp. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến xn+1 = xn − f (xn ) (yn − xn )2 f (xn ) (yn + zn − xn )2 f (xn ) −λ −λ , n = 0, 1, 2, f (xn ) f (xn ) f (xn ) (1.36) Nếu λ = 1 4 1.2.3 Phương pháp của Sanjay K Khattri, Ioannis K Argyros thì công thức lặp (1.36) hội tụ bậc ba (2010, [43]) Xét phương pháp Newton kép   y n = x n − f (xn ) ,... các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến + Với u(xn ) = f (xn )± √ 2f (xn ) 2 f (xn )+4p2 f 2 (xn ) Trong công thức (1.44) cho α = − 1 , chúng ta thu được công thức lặp hội tụ bậc ba: 2 f (xn ) xn+1 = xn − f xn − √ f (xn )± , n ≥ 0 f (xn ) (1.46) f 2 (xn )+4p2 f 2 (xn ) Dấu trong mẫu thức được chọn sao cho xn+1 có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất Phương pháp lặp (1.46) hội tụ. .. bởi phương pháp lặp Newton - Raphson ta có phương pháp mới 12f (xn )f 2 (xn ) + f 2 (xn ) f (xn ) − f xn − f (xn ) f (xn ) xn+1 = xn − , n = 0, 1, 2, (1.16) 6f 2 (x f (xn ) + f xn − n) f (xn ) f (xn ) Công thức (1.16) hội tụ bậc ba Thay xn+1 trong vế phải của phương trình (1.15) bởi phương pháp Halley xn+1 = xn − 2f 2f (xn )f (xn ) n ) − f (xn )f (xn ) 2 (x thì ta thu được phương pháp hội tụ bậc bốn:... −f yn −xn (xn ) , (1.11) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến với zn = yn − f (yn ) f (yn ) Người ta đã chứng minh công thức lặp (1.11) hội tụ bậc 8 (xem [38]) 1.1.7 Phương pháp của H H H Homeier (2005, [13]) Thay vì sử dụng hàm y = f (x) như của Newton - Raphson thì Homeier lại sử dụng hàm ngược của nó: y x (η)dη, x(y)... + α2 + (1 − α1 − α2 ) yn − xn zn − yn zn − xn Người ta cũng đã chứng minh phương pháp (1.38) hội tụ bậc 7 khi và chỉ khi α1 = −1 và α2 = 1 32Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Tổng quan các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến 1.2.4 Phương pháp của Zhongyong Hu, Liu Guocai, Li Tian (2011, [50]) Chúng ta xét sơ đồ . luận văn này, tôi trình bày tổng quan các phương pháp Newton cải tiến có tốc độ hội tụ cao giải gần đúng phương trình phi tuyến cho trường hợp phương trình có nghiệm đơn và phương trình có nghiệm. các phương pháp hội tụ bậc cao tìm nghiệm đơn của phương trình phi tuyến Giải phương trình phi tuyến là một trong những bài toán quan trọng trong giải tích số. Trước hết, chúng ta xét phương trình f(x). gọi là phương pháp Newton (hay phương pháp Newton – Raphson) tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình phi tuyến f(x) = 0 bằng việc xây dựng một dãy lặp hội tụ tới nghiệm của phương trình. Phương pháp Newton