MỤC LỤC CHƯƠNG 1. Vành chính và vành Euclide 1 1.1. Vành chính 1 1.1.1. Tính chất số học trong vành 1 1.1.2. Vành chính 2 1.2. Vành Euclide 6 1.2.1. Vành Euclide 6 1.2.2. Ứng dụng (ñể nghiên cứu vành ña thức [ ] K x , với K là một trường) 7 CHƯƠNG 2. ða thức trên trường số 12 2.1. Số phức 12 2.1.1. Xây dựng trường số phức 12 2.1.2. Dạng ñại số và các phép toán 13 2.1.3. Dạng lượng giác của số phức 14 2.2. ða thức với hệ số thực và phức 16 2.3. Phương trình bậc ba và bốn 19 2.3.1. Phương trình bậc ba 19 2.3.2. Phương trình bậc bốn 22 2.4. ða thức với hệ số hữu tỷ 23 2.4.1. Nghiệm hữu tỷ của một ña thức với hệ số hữu tỷ 23 2.4.2. ða thức bất khả quy của vành [ ] x ℚ 25 1 CHƯƠNG 1 Vành chính và vành Euclide Số tiết: 12 (Lý thuyết: 9 tiết; bài tập, thảo luận: 03 tiết) *) Mục tiêu: - Cung cấp và giúp sinh viên hiểu các kiến thức cơ bản về vành chính, vành Ơclít, vành ña thức trên một trường, các phương pháp vận dụng các kiến thức này ñể giải toán. - Vận dụng các kiến thức cơ bản vào giải bài tập, từ ñó giúp sinh viên nắm vững các kiến thức cơ bản về các cấu trúc ñại số. Trên cơ sở ñó hiểu sâu hơn về toán ở bậc phổ thông về phương pháp tiên ñề trong toán học và các phương pháp tư duy trừu tượng khái quát. - Rèn luyện tính chính xác, tính cẩn thận, linh hoạt; tư duy trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa. 1.1. Vành chính 1.1.1. Tính chất số học trong vành A là một miền nguyên, phần tử ñơn vị kí hiệu 1. Các ước của ñơn vị gọi là các phần tử khả nghịch, chúng lập thành một nhóm nhân U mà 1 là phần tử ñơn vị. Bổ ñề 1. (i) a | a (ii) c | b và b | a kéo theo c | a (iii) u khả nghịch, u | a với mọi a. (iv) Nếu b | u với u khả nghịch thì b khả nghịch (v) Quan hệ S xác ñịnh như sau: xSx’ khi x’ = ux với u khả nghịch, là một quan hệ tương ñương; x và x’ gọi là liên kết. Chứng minh: Xem như một bài tập Ví dụ: 1) Hai phần tử của nhóm nhân U là liên kết. 2) Trong vành các số nguyên ℤ hai số nguyên a và - a là liên kết. 3) Trong vành ña thức K[x] với K là một trường, hai ña thức f(x) và af(x), a K, a 0 ∈ ≠ , là liên kết. Bổ ñề 2. x và x’ là liên kết khi và chỉ khi x | x’ và x’ | x. Chứng minh: Xem như một bài tập Giả sử a A ∈ , tập hợp các bội của xa, x A ∈ của a là một iñêan của A, kí hiệu aA hoặc Aa. Iñêan này là iñêan chính sinh bởi a. Bổ ñề 3. | a b khi và chỉ khi Aa Ab ⊃ . Hệ quả. x và x’ là liên kết khi và chỉ khi ' Ax Ax = . ðặc biệt u là khả nghịch khi và chỉ khi Au A = . ðịnh nghĩa 1. Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch là các ước không thực sự của x, còn các ước khác của x là các ước thực sự của x. 2 Ví dụ: 2 ± và 3 ± là các ước thực sự của 6, còn 1 ± và 6 ± là các ước không thực sự của 6. ðịnh nghĩa 2. Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch của A, x gọi là một phần tử bất khả quy của A nếu x không có ước thực sự. Phần tử b ñược gọi là nguyên tố nếu b không khả nghịch và quan hệ | b ac kéo theo | b a hoặc | b c . Ví dụ: 1) Các số nguyên tố và các số ñối của chúng là các phần tử bất khả quy của vành số nguyên ℤ . 2) ða thức 2 1 x + là ña thức bất khả quy của vành [x] ℝ , ℝ là trường số thực. Nhưng trong vành [x] ℂ thì ña thức này không là bất khả quy vì nó có ước thực sự, chẳng hạn x + i. ðịnh nghĩa 3. Nếu c | a và c | b thì c gọi là ước chung của a và b. Phần tử c gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu c là ước chung của a và b và nếu mọi ước chung của a và b là ước của c. Hai ước chung lớn nhất của a và b là liên kết, do ñó có thể coi là bằng nhau nếu không kể nhân tử khả nghịch. ðịnh nghĩa tương tự cho ước chung lớn nhất của nhiều phần tử. 1.1.2. Vành chính ðịnh nghĩa 4. Một miền nguyên A ñược gọi là vành chính nếu mọi iñêan của nó ñều là iñêan chính. Ví dụ: Vành ℤ các số nguyên là vành chính. Thật vậy: Giả sử I là một iñêan của vành ℤ . - Nếu { } 0 I = thì 0 I = ℤ . - Nếu { } 0 I ≠ , giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I, b là một phần tử tùy ý của I. Giả sử 0 b ≥ , lấy b chia cho a ta ñược thương là q và dư là r , 0 b aq r r a = + ≤ < Mặt khác r b aq I = − ∈ . Nếu 0 r ≠ thì a không phải là số nguyên dương bé nhất của I, do ñó 0 r = và b aq = . Như vậy I a = ℤ . Sau ñây, giả sử A là một vành chính, các phần tử mà ta xét thuộc A. Bổ ñề 4. Ước chung lớn nhất của hai phần tử a và b bất kỳ tồn tại. Chứng minh - Gọi I là iñêan sinh ra bởi a và b. Các phần tử của I có dạng ax by + với , x y A ∈ . - Vì A là vành chính nên I là iñêan chính, tức là I d = ℤ . Suy ra , , d ax by x y A = + ∈ (*) - Ta chứng minh d là ước chung lớn nhất của a và b. + Vì , a b I dA ∈ = nên ', ' ', ' a da b db a b A = = ∈ . Do ñó d là ước chung của a và b. 3 + Nếu c là ước chung của a và b, tức là có ", " a b A ∈ sao cho ", " a ca b cb = = thế thì (*) trở thành ( " " ) d c a x b y = + Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b. Hệ quả. Nếu e là ước chung lớn nhất của a và b, thì có , r s A ∈ sao cho e ar bs = + . Chứng minh + I là iñêan sinh bởi a và b, thế thì I dA = và , , d ax by x y A = + ∈ là một ƯCLN của a và b (theo bổ ñề 4). + Do e cũng là một ƯCLN của a và b nên d và e là liên kết, tức là có phần tử khả nghịch u A ∈ sao cho e du = . Mà d ax by = + nên e du = axu byu = + . + ðặt , r xu s yu = = ta thu ñược e ar bs = + . ðịnh nghĩa 5. a và b ñược gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng nhận 1 làm ước chung lớn nhất. Bổ ñề 5. Nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì có , r s A ∈ sao cho 1 ar bs = + . Hệ quả. Nếu | c ab và c, a nguyên tố cùng nhau thì | c b . Chứng minh + Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên tồn tại , r s A ∈ sao cho 1 ar cs = + . + Nhân hai vế với b ta ñược b abr bcs = + + Vì | c ab nên có q A ∈ sao cho ab = cq. Do ñó ( ) b cqr bcs c qr bs = + = + . Suy ra | c b . Bổ ñề 6. Giả sử x là một phần tử bất khả qui và a là một phần tử bất kỳ. Thế thì hoặc x|a hoặc x và a nguyên tố cùng nhau. Chứng minh + x bất khả qui nên các ước của x là các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch. + a bất kỳ, thì ước chung lớn nhất của x và a chỉ có thể là một phần tử liên kết với x hoặc một phần tử khả nghịch. Nếu ước chung lớn nhất của x và a là một phần tử liên kết với x thì x|a. Nếu ước chung lớn nhất của x và a là một phần tử khả nghịch thì rõ ràng x và a nguyên tố cùng nhau. Bổ ñề 7. Giả sử x là một phần tử khác không và không khả nghịch, các mệnh ñề sau là tương ñương : (i) x là bất khả qui (ii) x|ab thì x|a hoặc x|b. Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử x là bất khả qui. Xét phần tử a bất kỳ, theo bổ ñề 6, x|a hoặc x và a nguyên tố cùng nhau. Nếu x và a nguyên tố cùng nhau thì theo hệ quả của bổ ñề 5, từ x|ab suy ra x|b. (ii) ⇒ (i) Giả sử có (ii) Giả sử a là một ước của x, tồn tại b A ∈ : x = ab. 4 Vì x|x = ab, tức là x|ab, theo (ii) suy ra x|a hoặc x|b. - Nếu x|a thì kết hợp với a|x suy ra a và x liên kết. - Nếu x|b thì kết hợp b|x suy ra b và x liên kết. Khi ñó x = ub, u khả nghịch. Suy ra x = ab = ub. Do 0 x ≠ nên 0 b ≠ , từ ñó suy ra a = u. Như vậy, x chỉ có ước không thực sự. Vậy x là bất khả qui. Bổ ñề 8. Trong một họ không rỗng bất kỳ F những iñêan của A sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm, có một iñêan M của họ F là tối ñại trong F. Chứng minh Giả sử 0 I là một iñêan của F. + Nếu 0 I tối ñại trong F, bổ ñề ñược chứng minh. + Nếu 0 I không tối ñại trong F thì có một iñêan 1 I trong F sao cho 1 0 I I ≠ và 1 0 I I ⊃ . Nếu 1 I tối ñại trong F thì ta có ngay ñiều phải chứng minh. Nếu không, có iñêan 2 I trong F sao cho 2 1 I I ≠ và 2 1 I I ⊃ . Tiếp tục quá trình lập luận này, hoặc ta thu ñược một iñêan M của F tối ñại trong F hoặc ta ñược một dãy vô hạn những iñêan phân biệt trong F : 0 1 2 1 n n I I I I I + ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ Gọi n n I I ∈ = ℕ ∪ thì I là một iñêan của A Vì A là vành chính nên I ñược sinh bởi một phần tử x I ∈ , tức là n n x I ∈ ∈ ℕ ∪ . Suy ra: : n n n x I Ax I I ∃ ∈ ∈ ⇒ = ⊂ ℕ Mặt khác 1 1 1 n n n n n I I I I I I + + + ⊂ ⇒ ⊂ ⇒ = . Mâu thuẫn. ðể tránh mâu thuẫn ta có ñiều phải chứng minh. ðịnh lý 1. Cho 0 x ≠ , x không khả nghịch, thế thì x có thể viết dưới dạng 1 2 n x p p p = (2) Với các ( 1, ) i p i n = là những phần tử bất khả qui. Chứng minh - Gọi F là tập các phần tử không khả nghịch khác 0 sao cho x không viết ñược dưới dạng (2). Ta chứng minh F = ∅ . - Giả sử F ≠ ∅ , kí hiệu A họ các iñêan Ax với x F ∈ . - Theo bổ ñề 8, F có phần tử m sao cho Am là tối ñại trong A . m không bất khả qui vì nếu ngược lại m sẽ có dạng (2). Do m không bất khả qui nên m có ước thực sự a, do ñó : b A m ab ∃ ∈ = , b cũng là ước thực sự của m vì a là ước thực sự của m. Từ ñó suy ra: , Am Aa Am Aa ⊂ ≠ , Am Ab Am Ab ⊂ ≠ 5 Do Am là tối ñại trong A nên , Aa Ab ∉ A. Do ñó , a b F ∉ . Mà , 0 a b ≠ , không khả nghịch nên a và b viết ñược dưới dạng (2), 1 2 i a p p p = 1 2 i i n b p p p + + = Suy ra 1 2 n m ab p p p = = , tức là m F ∉ . Mâu thuẫn với m F ∈ . ðể tránh mâu thuẫn này thì F = ∅ . ðịnh lý ñược chứng minh. ðịnh lý 2. Giả sử 1 2 1 2 m n x p p p q q q = = , với 1 2 1 2 , , , ; , , , m n p p p q q q là những phần tử bất khả qui. Thế thì m = n và với một sự ñánh số thích hợp ta có , 1, i i i q u p i m = = i u khả nghịch. Chứng minh Theo bổ ñề 7, từ 1 1 2 | n p q q q và 1 p là phần tử bất khả qui suy ra 1 p là ước của một phần tử i q nào ñó. Do vành A giao hoán nên có thể giải thiết 1 1 | p q . Vì 1 q là phần tử bất khả qui nên 1 q không có ước thực sự mà 1 p không khả nghịch nên 1 p và 1 q liên kết, tức là có 1 1 1 q u p = , 1 u khả nghịch. Suy ra 1 2 1 1 2 m n p p p u p q q = ⇒ 2 1 2 m n p p u q q = (do 1 0 p ≠ ) Theo bổ ñề 7, 2 p là ước của một phần tử i q nào ñó ( 2 i ≥ ), giả sử ñó là 2 q , lập luận tương tự suy ra 2 2 2 q u p = , 2 u khả nghịch. Lúc ñó lại có 2 1 2 2 3 1 2 3 m n m n p p u u p q p p u u q q = ⇒ = Sau khi lặp lại quá trình ñó m lần ta ñược m n ≤ và 1 2 3 1 1 m m n u u u u q q + = Vì n q không khả nghịch nên ta phải có m = n. ðịnh lý 3. Giả sử K là trường các thương của vành chính A, K α ∈ là một nghiệm của ña thức 1 1 1 0 ( ) n n n f x x a x a x a − − = + + + + , i a A ∈ . Thế thì A α ∈ . Chứng minh Do K α ∈ nên nó viết ñược dưới dạng , , a a b A b α = ∈ , a và b nguyên tố cùng nhau. Từ giả thiết, ( ) 0 f α = , nên 1 1 1 0 0 n n n a a a a a a b b b − −       + + + + =             Nhân hai vế với n b ta ñược 1 2 1 1 1 0 ( ) 0 n n n n n a b a a a ab a b − − − − + + + + = Suy ra b chia hết n a , kết hợp với ñiều kiện b và a nguyên tố cùng nhau ta thu ñược b|a. Do ñó b là phần tử khả nghịch của A, tức là 1 b A − ∈ . Suy ra 1 ab A α − = ∈ . ðịnh nghĩa 6. Giả sử K là trường các thương của miền nguyên A. Nếu mọi K α ∈ là một nghiệm của ña thức có dạng 1 1 1 0 ( ) n n n f x x a x a x a − − = + + + + , i a A ∈ ñều thuộc A, thì A ñược gọi là vành ñóng nguyên. 6 Ví dụ 2. Xét vành các số nguyên Gauss [ ] { } | ,A i a bi a b= = + ∈ ℤ ℤ . Chứng minh A là một vành chính. Hướng dẫn : - Ta có { } ( ) | ,i α βi α β= + ∈ ℚ ℚ là trường các thương của A. Với ( ) x i ∈ ℚ , 2 1 , 1 2 z A x z ∃ ∈ − ≤ < . - Lấy I là một iñêan không tầm thường của A. Tập hợp { } 2 | 0 X z z I = ≠ ∈ * ⊂ ℕ - X có phần tử bé nhất kí hiệu là 2 , u u I ∈ . - Chứng minh I là iñêan sinh bởi u. 1.2. Vành Euclide 1.2.1. Vành Euclide ðịnh nghĩa 1. Giả sử A là một miền nguyên, * A là tập hợp các phần tử khác 0 của A. Miền nguyên A cùng với một ánh xạ (gọi là ánh xạ Euclide) * : A δ → ℕ từ * A ñến tập hợp các số tự nhiên ℕ thỏa mãn các tính chất : i) Nếu | b a và 0 a ≠ thì ( ) ( ) b a δ δ ≤ ; ii) Với hai phần tử a, b tùy ý của A, 0 b ≠ , có q và r thuộc A sao cho a bq r = + và ( ) ( ) r b δ δ < nếu 0 r ≠ ; gọi là một vành Euclide. Phần tử r gọi là dư. Nếu r = 0 thì b chia hết a và theo i) có ( ) ( ) b a δ δ ≤ . Do ñó ñiều kiện cần ñể một phần tử b là ước của một phần tử 0 a ≠ là ( ) ( ) b a δ δ ≤ . Ta còn nói vành Ơclít là một vành trong ñó có phép chia với dư. Ví dụ: + Vành các số nguyên ℤ cùng với ánh xạ * : , n n δ → ℤ ℕ ֏ là một vành Euclide. + Vành ña thức [ ] K x , với K là một trường là một vành Euclide. Ánh xạ Euclide là ánh xạ cho tương ứng một ña thức với bậc của nó. + Vành các số nguyên Gauss là vành Euclide với 2 ( ) z z δ = . ðịnh lý 1. Nếu A là một vành Euclide thì A là một vành chính. Hướng dẫn: - Lấy I là một iñêan bất kỳ không tầm thường của A. - Gọi a là phần tử khác 0 của I có ( ) δ a là bé nhất trong tập hợp ( *) δ I . - Dùng tính chất vành Ơclít chứng minh I là iñêan sinh bởi a, tức là x qa x I = ∀ ∈ . 7 Trên vành Euclide ước chung lớn nhất của hai phần tử không những tồn tại mà còn có thể thực hiện liên tiếp những phép chia với dư ñể xác ñịnh ước chung lớn nhất, ñó là các kết quả sau ñây: Bổ ñề 1. Giả sử A là một vành chính, a, b, q, r là những phần tử của A thỏa mãn quan hệ a bq r = + Thế thì ước chung lớn nhất của a và b là ước chung lớn nhất của b và r. Chứng minh. Xem như một bài tập. Vấn ñề tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử , a b A ∈ . + 0 a = , ước chung lơna nhất của a và b chính là b. + Giả sử cả a và b ñều khác 0. Thực hiện phép chia a cho b ñược 0 0 a bq r = + với 0 ( ) ( ) δ r δ b < nếu 0 0 r ≠ . + Nếu 0 0 r ≠ ta lại chia b cho 0 r : 0 1 1 b r q r = + với 1 0 ( ) ( ) δ r δ r < nếu 1 0 r ≠ . + Nếu 1 0 r ≠ ta lại chia 0 r cho 1 r : 0 1 2 2 r r q r = + với 2 1 ( ) ( ) δ r δ r < nếu 2 0 r ≠ . …. Quá trình chia như vậy phải chấm dứt sau một số hữu hạn bước vì dãy các số tự nhiên 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) δ b δ r δ r δ r > > > > không thể giảm vô hạn. Ta ñi ñến 1 1 0 k k k r r q − + = + . Áp dụng bổ ñề 1 ta thu ñược k r là ước chung lớn nhất của a và b. Ví dụ : Tìm ước chung lớn nhất của hai ña thức 6 5 4 2 ( ) 2 2 1 f x x x x x x = − + − + − , 5 3 2 ( ) 3 2 1 g x x x x x = − + + − . 1.2.2. Ứng dụng (ñể nghiên cứu vành ña thức [ ] K x , với K là một trường) - Các phần tử khả nghịch của [ ] K x là các phần tử khác 0 của K. - Các ña thức liên kết của ña thức ( ) f x là các ña thức có dạng ( ) af x với 0 a K ≠ ∈ . - Các ña thức bất khả qui : Các ña thức bậc nhất ax b + là bất khả qui, chúng có nghiệm duy nhất b K a − ∈ . ðó là các ña thức bất khả quy duy nhất có nghiệm trong K. Các ña thức bất khả qui bậc lớn hơn 1 không có nghiệm trong K. - Mọi ña thức ( ) f x bậc lớn hơn hoặc bằng 1 ñều có thể viết thành 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k l m n m n k k l f x a x b a x b p x p x = + + 8 Trong ñó các , 1,2, , i i a x b i k + = là những ña thức bậc nhất không liên kết ; các ( ), 1,2, , j p x j l = là những ña thức bất khả qui bậc > 1 không liên kết ; các , i j m n là các số tự nhiên. ðịnh lý 2. Giả sử ( ) f x là một ña thức bậc n > 1 của vành [ ] K x , với K là một trường. Thế thì ( ) f x có không quá n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau. Xét trường hợp phân tích của ( ) f x chỉ chứa những nhân tử tuyến tính, lúc ñó số nghiệm của ( ) f x bằng số bậc của ( ) f x , giả sử 1 2 , , , n α α α là n nghiệm của ( ) f x ( 1 0 1 1 ( ) n n n n f x c x c x c x c − − = + + + + ). Ta có công thức Viete : 1 1 2 0 n c c α α α + + + = − 2 1 2 1 3 1 0 n n c c α α α α α α − + + + = 3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 n n n c c α α α α α α α α α − − + + + = − … 1 2 0 ( 1) n n n c c α α α = − . Xét m ộ t ñ a th ứ c b ấ t kh ả qui ( ) p x có b ậ c l ớ n h ơ n 1 c ủ a vành K[x], ( ) p x không có nghi ệ m trong K. Ta hãy ñặ t v ấ n ñề xây d ự ng m ộ t tr ườ ng E ch ứ a K nh ư m ộ t tr ườ ng con sao cho ( ) p x có nghi ệ m trong E. ðịnh lý 3. Giả sử 0 1 ( ) n n p x a a x a x = + + + (n > 1) là một ña thức bất khả qui của vành K[x]. Thế thì có một trường E xác ñịnh duy nhất (ly lai một ñẳng cấu) sao cho: i) K là một trường con của E ii) ( ) p x có một nghiệm θ trong E iii) Mọi phần tử E α ∈ viết duy nhất dưới dạng 1 0 1 1 , , 0,1, , 1 n n i b b b b K i n α θ θ − − = + + + ∈ = − . Chứng minh. Áp dụng ñịnh lý 3 cho K là trường số thực ℝ , 2 ( ) 1 p x x = + ta ñược E là trường số phức ℂ . Hệ quả. Giả sử f(x) là ña thức có bậc n > 1 của vành ña thức K[x]. Thế thì bao giờ cũng có một trường chứa K như một trường con sao cho f(x) có ñúng n nghiệm trong ñó, các nghiệm có thể phân biệt hay không. Chú ý: Giả sử ( ) [ ] f x K x ∈ là một ña thức có bậc lớn hơn 1 và E là một trường mở rộng của trường K (nghĩa là K là trường con của E) sao cho f(x) có n nghiệm trong E. Các nghiệm [...]... ng cách nhân t và m u cho s ph c liên z h p z z z z (a a + b b ) − i (a1b2 − a2b1 ) a a2 + b b a b1 − a b V y: 1 = 1 2 = 1 2 1 2 2 = = 1 2 122 + 2 2 1 22 i 2 z2 z2 z 2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 V y w t n t i Do ñó z-1 = w = 2 M r ng: +) z + z = 2 Re z +) z − z = 2i Im z 13 +) z.z = a 2 + b 2 = z 2 1 z = 2 z a + b2 z z +) = w w 2. 1.3 D ng lư ng giác c a s ph c a) Mô ñun và argument c a s ph c Ta g i E... 3 x3 = −3 x 2 + 3 x − 2 22 Sau ñó c ng vào hai v 9x2 , ta ñư c 4 2 3 2  2 3x   x −  = − x + 3x − 2 2  4  3x  y2  ; Cu i cùng c ng vào hai v t ng  x 2 −  y + 2  4  2 y  y2 3  2 3x y    x − +  = x 2  y −  + 3x 1 −  + − 2 (*)  2 2 4    2 4 Ta tìm y tri t tiêu bi t s 2  3   y2 y   9 1 −  − 4  y −   − 2  = 0 4  4  2   Hay sau khi khai tri n y 2 ( y − 3) +... 0 4  4  2   Hay sau khi khai tri n y 2 ( y − 3) + y − 3 = ( y − 3) ( y 2 + 1) = 0 Ch n y = 3, phương trình (*) tr thành 2 2  2 3x 3   3x 1  x − +  = −  2 2  2 2  T ñó x 2 − Hay 3x 3 3x 1 + = − , 2 2 2 2 x2 − 3x 3 3x 1 + =− + 2 2 2 2 x 2 − 3 x + 2 = 0, x 2 + 1 = 0 Hai phương trình này cho ta b n nghi m 1, 2, i, − i S th c ra trong trư ng h p c th này ta nhìn th y ngay nghi m 1 c a... b c hai c a + 4 27 4 27 q q2 p3 q q 2 p3 G i u1 là m t căn b c ba c a − + + và v1 là m t căn b c ba c a − − + 2 4 27 2 4 27 sao cho tích u1v1 th a mãn (4), thì ta cũng có u2 v2 và u3v3 th a mãn (4) v i u2 = εu1 , u3 = ε 2u1 và v2 = ε 2v1 , v3 = εv1 1 3 2 1 3 trong ñó ε = − + i , ε = − −i là hai căn b c ba ph c c a ñơn v 2 2 2 2 Như v y ta thu ñư c ba c p s ph c (u1 , v1 ), (u2 , v2 ), (u3 , v3 ) th... ng): ( x1 − x2 )2 ( x2 − x3 )2 ( x1 − x3 ) 2 = −4 p 3 − 27 q 2 v i x1 , x2 , x3 là nghi m c a phương trình x3 + px + q = 0 2. 10 Gi i các phương trình a) x 4 − 3 x3 + x 2 + 4 x − 6 = 0 b) x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 + 2 x − 1 = 0 c) x 4 + 2 x 3 + 8 x 2 + 2 x + 7 = 0 d) x 4 + 6 x3 + 6 x 2 − 8 = 0 Ph n: ða th c v i h s h u t 2. 11 Tìm nghi m h u t c a các ña th c a) x3 − 6 x 2 + 15 x − 14 b) 2 x 3 + 3 x 2 + 6 x −... a z 2. 1 .2 D ng ñ i s c a s ph c và các phép toán a) D ng ñ i s M i s ph c z ñ u ñư c bi u di n duy nh t dư i d ng z = a + b.i v i a, b ∈ ℝ và i 2 = −1 b) Các phép toán Cho các s ph c z = a + bi ;z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i v i a,b,a1,b1,a2,b2 ∈ ℝ ; +) Phép c ng: z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i +) Phép tr : z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i +) Tích c a hai s :z1.z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)... sau: Chuy n ba h ng t cu i sang v ph i r i c ng a2 x2 vào c hai v , ta ñư c 4 2 2   2 ax   a x +  =  − b  x 2 − cx − d  2   4   ax  y2  Sau ñó ta c ng vào hai v c a phương trình này t ng  x 2 +  y + Trong ñó y là m t n 2  4  m i, ta ñư c: 2 2  y2  2 ax y   a  ay  x + +  =  − b + y  x 2 +  − c  x + − d (*)  2 2  4 4   2   Ta hãy l a ch n n ph y sao cho v ph i là m... : r = z = a 2 + b 2 v i a = r cos ϕ ; b= r sin ϕ Do ñó z = a + bi có th vi t dư i d ng z = r(cos ϕ + i sin ϕ ) v i r > 0 ñư c g i là d ng lư ng giác c a s ph c c) Các phép tính s ph c Cho 2 s ph c ; z1 = a1+b1i; z2 = a2 +b2i v i a1, b1, a2, b2 ∈ R; l n lư t có d ng lư ng giác là z1 = r1(cos ϕ 1+ isin ϕ 1); z2= r2(cos ϕ 2+ isin ϕ 2) +) Phép nhân z1 z2 = r1 r2(cos( ϕ 1+ ϕ 2) +isin( ϕ 1+ ϕ 2) ) +) Phép chia...  2  y2 = εu1 + ε v1  2  y3 = ε u1 + εv1 B ng tính toán ta thu ñư c y1 + y2 + y3 = 0 y1 y2 + y1 y3 + y2 y3 = p y1 y2 y3 = −q V y ( y − y1 )( y − y2 )( y − y3 ) = y 3 − y 2 ( y1 + y2 + y3 ) + y ( y1 y2 + y1 y3 + y2 y3 ) − y1 y2 y3 = y 3 + py + q ða th c y 3 + py + q ñã ñư c phân tích thành tích các nhân t tuy n tính và ta ñư c các nghi m c a nó là y1 , y2 , y3 Ta thư ng vi t t t dư i d ng 2 3 2. ..  2 2 2  3 2  3  g i là công th c Các ña nô Như v y vi c gi i phương trình b c ba b ng căn th c ñã hoàn thành 20 3 Lưu ý : ð t D = −4 p 3 − 27 q 2 , ta có ( y1 − y2 ) 2 ( y1 − y3 )2 ( y2 − y3 )2 = D Do ñó (1) có nghi m b i khi và ch khi D = 0 1 i 3 Ví d Gi i phương trình b c ba x3 − 3  +  x + 2i = 0 2 2    ð t x = u + v , ta ñư c   1 i 3  u 3 + v 3 + 3(u + v) uv −  +   + 2i . nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp z . Vậy: 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 . ( ) ( ) . z z z a a b b i a b a b z z z a b + − − = = + = 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b b a b a b i a. trường số 12 2. 1. Số phức 12 2. 1.1. Xây dựng trường số phức 12 2. 1 .2. Dạng ñại số và các phép toán 13 2. 1.3. Dạng lượng giác của số phức 14 2. 2. ða thức với hệ số thực và phức 16 2. 3. Phương. + b 2 )i +) Phép trừ: z 1 - z 2 = (a 1 - a 2 ) + (b 1 - b 2 )i +) Tích của hai số :z 1 .z 2 = (a 1 a 2 - b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) +) Phép chia 2 số phức. Bổ ñề: Cho số phức