ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN-TIN HỌC ————oOo———— Tiểu luận tốt nghiệp chuyên ngành Giải Tích ĐIỂM TỚI HẠN CỦA CÁC HÀM KHÔNG THUỘC LỚP C 2 NHÓM THỰC HIỆN : TRẦN VĨNH HƯNG - NGUYỄN TIẾN KHẢI THẦY HƯỚNG DẪN : PGS DƯƠNG MINH ĐỨC THẦY PHẢN BIỆN : PGS ĐẶNG ĐỨC TRỌNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2006 1 LỜI CẢM ƠN Chúng tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các thầy cô trong khoa Toán-Tin học, đặc biệt, chúng tôi cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Giải tích đã tận tình dạy dỗ chúng tôi trong suốt thời gian học đại học. Hơn hết, chúng tôi chân thành cảm ơn PGS.Dương Minh Đức đã tận tình hướng dẫn cho nhóm chúng tôi và PGS.Đặng Đức Trọng đã động viên, khích lệ, hướng dẫn, xem và góp ý trong quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh tiểu luận tốt nghiệp này, cảm ơn anh Trương Trung Tuyến và các bạn Trần Anh Hoàng, Trần Việt Cường và Nguyễn Tuấn Duy đã giúp đỡ nhóm chúng tôi rất nhiều trong quá trình làm và chỉnh sửa tiểu luận này. Trần Vĩnh Hưng - Nguyễn Tiến Khải Tôi xin chân thành cảm ơn bố mẹ, em tôi và Hải Vân, những người luôn tạo cho tôi mọi điều kiện tốt nhất trong học tập và nghiên cứu, những người luôn động viên và giúp tôi mỗi khi tôi gặp khó khăn. Tôi xin cảm ơn Tiến Khải đã cùng tôi học tập và nghiên cứu trong suốt thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người bạn trong nhóm học tập luôn sát cánh cùng tôi. Trần Vĩnh Hưng Tôi xin cảm ơn ông bà, cha mẹ vì tất cả. Xin chân thành cảm ơn bạn Vĩnh Hưng đã cùng tôi làm việc, học tập, nghiên cứu và đã động viên giúp đỡ tôi trong những lúc khó khăn. Cuối cùng tôi xin được cảm ơn những người bạn đã luôn ở bên tôi. Nguyễn Tiến Khải Tp. HCM, tháng 12 năm 2005 2 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 2 MỤC LỤC 3 LỜI GIỚI THIỆU 4 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Các định nghĩa về sự khả vi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Các kết quả của bậc tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Không gian các hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Các định nghĩa về toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp . . . . 14 1.5 Định lý hàm ngược và Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Các kết chính 17 2.1 Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Định lý Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Chứng minh của định lý 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Chứng minh của định lý tách Gromoll-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 3 LỜI GIỚI THIỆU Tiểu luận này là một phần trong bài báo [8] của chúng tôi, bài báo này đã được nhận đăng trên tạp chí "Topological Methods in Nonlinear Analysis". Trong [19] Palais đã chứng minh bổ đề Morse-Palais cho lớp hàm C 3 . Kết quả này đã được mở rộng cho lớp hàm C 2 bởi Kuiper trong [14] (hoặc [18]). Gần đây Li, Li và Liu [17] đã đưa ra một phiên bản mới về bổ đề Morse-Palais cho lớp hàm không C 2 . Nhưng những hàm số trong [17] là những hàm số thuộc lớp C 2 theo một nghĩa nào đó (xem trang 440 của [17]). Trong bài báo này chúng tôi đưa ra bổ đề Morse-Palais mới mà không cần điều kiện thuộc lớp hàm C 2 cũng như là sự đầy đủ của không gian (xem Định lý 0.1). Bổ đề Morse-Palais của chúng tôi có thể áp dụng cho hàm sau J(x, y) =      x 2 − y 2 + 1 40 (x 2 + y 2 ) 5 sin 1 (x 2 + y 2 ) 2 ∀(x, y) ∈ IR 2 , 0 (x, y) = (0, 0) . Ví dụ này minh hoạ ý tưởng của chúng tôi: dạng đồ thị của hàm g(x, y) = x 2 − y 2 và hàm nhiễu J của nó giống nhau khi gần (0, 0) thậm chí nếu phần nhiễu J −g không thuộc C 2 nhưng đạo hàm cấp hai theo hướng của nó chỉ thoả một số điều kiện (xem điều kiện (v) trong định lý 0.1). Chúng ta chú ý rằng những kết quả trong [14, 17] không áp dụng được trong trường hợp này (xem chú thích 0.2 cho trường hợp không gian vô hạn chiều ). Từ nhận xét chúng ta không thể sử dụng định lý hàm ẩn để định nghĩa ánh xạ ϕ trong định lý 0.1 cho những hàm số không thuộc lớp C 2 , chúng tôi áp dụng phương pháp trong [5, 14, 18]: sử dụng flows tương ứng với những hàm số đó để định nghĩa hàm ϕ. Trong bài báo này chúng tôi xây dựng flows trên không gian định chuẩn tương ứng với những hàm không trơn (xem định lý 2.1). Chúng tôi thu được flows không cần tính đầy đủ của không gian, điều kiện này rất cần thiết trong [5, 14, 18]. Ý tưởng của chúng tôi như sau : Chúng tôi làm nhẹ những vấn đề trong deformations bằng cách đưa về trường hợp các không 4 gian hữu hạn chiều và chúng tôi có thể làm nhẹ đi tính đầy đủ của không gian và chúng tôi chỉ cần tính chất trơn rất yếu của hàm số ( xem Định nghĩa 2.1 và Định lý 2.2). Sự giảm bớt này rất thành công trong nghiên cứu nhân tử Lagrange (xem [2]). Sử dụng những kết quả về deformations, chúng tôi làm giảm một số điều kiện compắc và trơn của định lý Mountain-pass và định lý Gromoll-Meyer (xem Định lý 2.3, 0.2 và ví dụ trong chú thích 0.2). Những ứng dụng của những kết quả này cho vấn đề resonance sẽ được xuất hiện trong bài báo sắp tới. Bổ đề Morse-Palais mới của chúng tôi được phát biểu như sau. Định lý 0.1 [Bổ đề Morse-Palais ] Cho H là một không gian véctơ với chuẩn ||.|| H được định nghĩa bằng tích vô hướng < ., . >, O là một tập con mở của H, J là một hàm thực H-khả vi cấp hai trên O (xem Định nghĩa 2.1). Cho a trong O là một điểm tới hạn cô lập của J. Giả sử rằng có một toán tử tuyến tính Hermite bị chặn A trên H và những số thực dương α, Γ, δ và θ sao cho (i) D 2 J(a)(u, v) =< Au, v > ∀ u, v ∈ H, (ii) Γ||x|| ≥ ||A(x)|| ≥ α||x|| ∀ x ∈ H, (iii) θ < min{ α 2 , α 2 Γ }, (iv) Với mọi h trong H, ánh xạ x → DJ(x)h liên tục trên O, (v) ||D 2 J(z)(z − a, h) − D 2 J(a)(z − a, h)|| < θ||z − a||||h|| với mọi h trong H, z trong B H (a, δ). Lúc đó có hai không gian véctơ con đóng E và F của H, hai lân cận mở U và W lần lượt của a và 0 trong H và một đồng phôi ϕ từ W vào U sao cho H = E ⊕ F, ϕ(0) = a và J(ϕ(y + z)) =< y, y > − < z, z > +J(a) ∀ y ∈ E, z ∈ F, y + z ∈ W. Chú ý 0.1 Những điều kiện (i) − (v) được thoả khi J thuộc lớp C 2 , H là một không gian Hilbert và A khả đảo. Định lý 0.2 [Định lý tách Gromoll-Meyer] Cho H là một không gian Hilbert, và J là một hàm thực H-khả vi cấp hai trên H (xem Đinh nghĩa 2.1). Cho a trong H là một điểm tới hạn cô lập của J. Giả sử rằng D 2 J(a) là một toán tử A tuyến tính Hermite bị chặn trên H; A và DJ thuộc lớp S + trên H. Thì có những số thực dương C, α và Γ, một không gian véctơ con đóng H + , hai không gian vectơ con hữu hạn chiều H 0 và H − của H sao cho H − ⊕ H 0 ⊕ H + là tổng trực tiếp của H, H 0 = kerA, 5 < Ax, x > ≥ C||x|| 2 ∀ x ∈ H + < Ax, x > ≤ −C||x|| 2 ∀ x ∈ H − . Γ||y|| ≥ ||A(y)|| ≥ α||y|| ∀ y ∈ Y ≡ H + ⊕ H − . Hơn nữa,giả sử rằng có những số thực dương δ và θ sao cho (i) θ < min{ α 2 , α 2 Γ }, (ii) Ánh xạ x → DJ(x)h liên tục trên O, (iii) ||D 2 J(x)(x − a + z, h) − D 2 J(a)(x − a + z, h)|| < θ||x − a + z||||h|| ∀ x ∈ B(a, δ), z ∈ Z ≡ H 0 . (iv) < DJ(z + x 1 + y 1 ) − DJ(z + x 2 + y 2 ), (x 1 − x 2 ) − (y 1 − y 2 ) >> 0 ∀x 1 , x 2 ∈ H + ; y 1 , y 2 ∈ H − và x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ∈ B  Y (0, δ 2 ), z ∈ B  Z (0, δ 2 ) Thì tồn tại một ánh xạ liên tục ψ từ B Z (0, δ 2 ) vào B Y (0, δ 2 ) và hai lân cận mở U và W của 0 trong H, và một đồng phôi ϕ từ W vào U sao cho ϕ(0) = 0, DJ(z + ψ(z))| Y = 0 và J(z + ψ(z)) = min{J(z + Qψ(z) + x) : x ∈ H + ; Qψ(z) + x ∈ B Y (0, δ 1 )}, J(z + ψ(z)) = max{J(z + Pψ(z) + t) : t ∈ H − ; P ψ(z) + t ∈ B Y (0, δ 1 )}, J(ϕ(y + z)) = 1 2 < Ay, y > +J(z + ψ(z)) bất kì y ∈ H + ⊕ H − , z ∈ H 0 , y + z ∈ U, với P và Q được định nghĩa trong Định nghĩa 5.2. Chú ý 0.2 Định lý này được chứng minh trong [5] nếu J là C 2 và A trường véctơ compắc. Trong ví dụ sau chúng tôi làm giảm tính trơn này. Cho Ω = B(0, 1) là quả cầu đơn vị trong IR N , N ≥ 3, và H là không gian Sobolev W 1,2 0 (Ω) với chuẩn ||u|| = {  Ω |∇u| 2 } 1/2 . Đặt ρ(x) = −(1 − ||x||) −2 ∀ x ∈ Ω. Theo bất đẳng thức Poincaré, tồn tại một số thực dương C sao cho |  Ω ρw 2 dx| ≤ C||w|| 2 ∀w ∈ H. (1) Cho γ là một số thực, ε là một số thực dương và k là một hàm số thuộc lớp C 2 (IR, IR) sao cho: k(t) =  1 6 t 3 ∀t ∈ (−1, 1) 1 2 t|t| ∀t ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞) Chú ý rằng k  (t) = t bất kì t trong [−1, 1] và có một số thực dương M sao cho |k  (s)| ≤ 6 M bất kì s trong IR. Đặt J(u) =  Ω [ 1 2 |∇u(x)| 2 + γu(x) 2 + ερ(x)k(u(x))]dx ∀ u ∈ H. Theo (1) chúng ta thấy rằng J là H-khả vi trên H và bất kì u, v và w trong H DJ(u)(v) =  Ω [∇u(x)∇v(x) + γu(x)v(x) + ρ(x)k  (u(x))v(x)]dx, D 2 J(u)(v, w) =  Ω [∇v(x)∇w(x) + γv(x)w(x) + ρ(x)k  (u(x))v(x)w(x)]dx, |D 2 J(u)(v, w) − D 2 J(0)(v, w)| = |  Ω [ρ(x)k  (u(x))v(x)w(x)]dx| ≤ M||v||||w||. Do đó J thoả những điều kiện (i), (ii) và (iii) của Định lý 0.2 với a = 0 nếu  đủ nhỏ. Bây giờ cho H 0 , H − và H + như trong Định lý 0.2, u thuộc H 0 , v 1 và v 2 thuộc H + , và w 1 và w 2 thuộc H − . Ta có [DJ(u + v 1 + w 1 ) − DJ(u + v 2 + w 2 )][(v 1 − v 2 ) − (w 1 − w 2 )] ≥  Ω [|∇(v 1 − v 2 )| 2 + γ(v 1 − v 2 ) 2 ]dx − 2M  Ω ρ(v 1 − v 2 ) 2 dx −  Ω [|∇(w 1 − w 2 )| 2 + γ(w 1 − w 2 ) 2 ]dx − 2M  Ω ρ(w 1 − w 2 ) 2 dx. Ta suy ra rằng J thoả những điều kiện (iv) của Định lý 0.2 với a = 0 nếu  đủ nhỏ. Chúng ta sẽ chứng minh rằng D 2 J không liên tục tại 0. Đặt a i = (1−2 −i , 0, · · · , 0) và r i = 2 −i−2 bất kì số nguyên dương i. Chọn ψ trong C ∞ c (IR N ) sao cho ψ(x) =      1 |x| < 1 ∈ [0, 1] 1 ≤ |x| ≤ 3 2 0 |x| > 3 2 . Chú ý rằng {  Ω |ψ| 2 dx} 1/2 = γ 0 > 0 và {  IR N |∇ψ| 2 dx} 1/2 = γ 1 > 0. Ta định nghĩa φ i (x) = r 1− N 2 i ψ( x − a i r i ), ψ i (x) = ψ( x − a i r i ) ∀ x ∈ IR N , i ∈ IN. Ta thấy rằng φ i và ψ i thuộc W 1,2 0 (Ω), ||ψ i || = r N 2 −1 i γ 1 và ||φ i || = γ 1 bất kì số nguyên i. Do đó {ψ i } hội tụ về 0 trong W 1,2 0 (Ω). Mặt khác ta có |D 2 J(ψ i )(φ i , φ i ) − D 2 J(0)(φ i , φ i )| =   Ω (1 − ||x||) −2 ψ i φ 2 i dx 7 ≥   B(a i , r i ) (1 − ||x||) −2 φ 2 i dx ≥  1 25  B(a i , r i ) r −2 i φ 2 i dx = ( γ 0 5 ) 2 > 0. Vì thế {D 2 J(ψ i )} không hội tụ về D 2 J(0) và hàm J không thuộc lớp C 2 trên W 1,2 0 (Ω). Chú thích này chứng minh rằng kết quả chúng tôi có thể áp dụng rất mạnh đặc biệt những phương trình elliptic không cần tính compắc. Trong [10] chúng tôi có thể nghiên cứu về sự biến dạng của vỏ kim loại dày bằng phương pháp này. Tiểu luận này sẽ gồm 2 chương. Chương 1 sẽ nêu các kiến thức cần thiết cho các phần sau của tiểu luận. Chương 2 sẽ phát biểu và chứng minh các kết quả chúng tôi thu được và có kèm theo sự so sánh với các kết quả trước đó. 8 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày lại các kiến thức cơ bản đã được học trong chương trình đại học cũng như một số kiến thức khác cần cho những trình bày về sau. 1.1 Các định nghĩa về sự khả vi trong không gian định chuẩn Cho (E,  E ) và (F,  F ) là các không gian định chuẩn và D là một tập mở trong E. X là không gian véctơ con của E. Z là một không gian véctơ con của X. Cho f là một ánh xạ từ D vào F , e là một véctơ trong E và x ∈ D. Cho v là một véctơ trong X. Ta ký hiệu Z(v) là không gian véctơ sinh bởi Z ∪ {v}. Ta nói (i) f có đạo hàm riêng phần theo hướng e tại x là ∂f ∂e (x) nếu và chỉ nếu lim t→0 f(x + te) − f(x) t = ∂f ∂e (x), (ii) f khả vi theo hướng tại x nếu f có đạo hàm riêng phần theo hướng theo mọi hướng trong E và có một ánh xạ tuyến tính Df (x) từ E vào F để cho ∂f ∂e (x) = Df(x)(e) ∀e ∈ E, (iii) f khả vi Gâteaux tại x nếu f khả vi theo hướng tại x và Df(x) thuộc L(E, F), (iv) f khả vi Fréchet tại x nếu f khả vi Gâteaux tại x và có một ánh xạ φ từ một quả cầu mở B(0, δ) trong E vào F sao cho B(x, δ) ⊂ D, lim h→0 φ(h) = 0 và f(x + h) − f(x) = Df(x)(h) + h φ(h) ∀h ∈ B(0, δ). Ta định nghĩa D x,Z(v) = {y ∈ Z(v) : x + y ∈ D}, f x,Z(v) (y) = f(x + y) ∀ y ∈ D x,Z(v) . 9 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 Khi đó Z(v) là không gian véctơ con của E, và D x,Z(v) là một tập mở của Z(v). Ta nói (vi) f (X, Z)-liên tục trên D nếu và chỉ nếu f x,Z(v) liên tục tại 0 với mọi x trong D và v trong X, (vii) f X-khả vi tại x nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính Df(x) từ X vào F sao cho lim t→0 f(x + th) − f(x) t = Df(x)(h) ∀ h ∈ X, (viii) f (X, Z)-khả vi tại x nếu và chỉ nếu f X-khả vi tại x và với mọi v trong X, nếu dãy {(h m , t m )} m∈IN hội tụ về (h, 0) trong Z(v) × IR, thì lim m→∞ J(x + t m h m ) − J(x) t m = DJ(x)(h), (ix) f (X, Z)-khả vi mạnh tại x nếu và chỉ nếu f X-khả vi tại x và với mọi v trong X, tồn tại một ánh xạ φ từ một quả cầu mở B E (0, η) ∩ Z(v) trong Z(v) vào F sao cho B E (x, η) ⊂ D, lim z→0 φ(z) = 0 và f(x + z) = f(x) + Df (x)(z) + ||z|| X φ(z) ∀ z ∈ B E (0, η) ∩ Z(v) . Chú ý 1.1 Cho J là ánh xạ tuyến tính từ E vào IR n . X là không gian véctơ con của E và Z là không gian véctơ con hữu hạn chiều của X. Dễ thấy là J (X, Z)-liên tục trên E và (X, Z)-khả vi mạnh tại mọi x trong E mặc dù nó có thể không liên tục trên E. Chú ý 1.2 Nếu X = F = E, thì tính chất (X, F )-liên tục trên E và (X, F )-khả vi mạnh tại x tương ứng trùng với tính chất liên tục trên E và khả vi Fréchet tại x thông thường. Nếu X = F = E và J khả vi Fréchet tại x, J sẽ (X, F )-khả vi mạnh tại x. Định lý 1.1 (Định lý đạo hàm hàm hợp) Cho Ω 1 và Ω 2 là các tập con mở lần lượt trong không gian định chuẩn E và F . Cho f : Ω 1 → Ω 2 và g : Ω 2 → G, ở đây G là không gian định chuẩn. Cho x là một điểm trong Ω 1 . Giả sử f khả vi Fréchet tại x và g khả vi Fréchet tại f(x). Thì g ◦ f khả vi Fréchet tại x và D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) ◦ Df(x). Định lý này đã được phát biểu và chứng minh trong [6]. [...]... trị tới hạn suy rộng của J Chú ý 2.1 Nếu E là không gian Banach và V = E, với bổ đề 2.5, β là giá trị tới hạn cổ điển của J và chúng ta nhận được định lý Mountain-pass cổ điển trong [1] không cần tính trơn C 1 của J Định nghĩa 2.5 Cho (E, ||.||) là một không gian Banach, J là hàm liên tục từ tập con U CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 32 trong E vào I sao cho J liên tục E-khả vi trên U Cho x là điểm tới hạn của J... nói c là một giá trị tới hạn suy rộng của J, và mỗi véctơ u trong Kc được gọi là điểm tới hạn suy rộng của J Nếu y thuộc E, J ∗ (y) = {J(y)} Vì thế định nghĩa của chúng tôi J ∗ (y) tương tự như định nghĩa cổ điển Định nghĩa điểm tới hạn suy rộng đã từng được giới thiệu trong [7], với một phiên bản của Định lý Mountain-pass đã từng dược chứng minh và áp dụng để giải phương trình của Yamabe Bây giờ ta... lý 2.1, a∈A ta có Fs là một không gian véctỏ con hữu hạn chiều của E và t νb (t) = b + g(νb (s))ds ∈ Fs 0 Điều này hoàn thành chứng minh của bổ đề ∀ t ∈ [0, s] CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 22 Bổ đề 2.4 Giả sử tất cả điều kiện của định lý 2.1 vẫn thoả và g(W ) nằm trong một không gian véctơ V của E Cho b thuộc W ∩ E, và s thuộc (0, tb ) Thì có một không gian véctơ con hữu hạn chiều Vs của V sao cho νb ([0, s])... ngược Ψ = φ−1 của φ Theo trên ta thấy rằng φ là một đồng phôi từ BH (0, δ/3) vào φ(BH (0, δ/3)) Hệ quả 2.1 Giả sử J thoả tất cả điều kiện của Định lý 0.1 Cho x0 là một điểm tới hạn không suy biến của J với Morse index j Thì Cq (J, x0 ) = G nu q = j , 0 nu( q = j Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x0 = 0 Cho E và F là lần lượt không gian con dương và không gian con âm của toán tử D2... deformation cho hàm số liên tục V-khả vi (xem Định nghĩa 2.1) Chúng tôi không cần tính đầy đủ của không gian, điều này nhẹ hơn điều kiện trong [1, 5, 7, 20] Đầu tiên ta cần những định nghĩa sau : Trong phần này, chúng tôi giả sử rằng J là ánh xạ liên tục Định nghĩa 2.1 Cho V là không gian véctơ con không tầm thường của không gian định chuần (E, ||.||E ) và J là một ánh xạ từ tập con U của E vào một không gian... U và DJ là ánh xạ V -khả vi từ U vào L(E, F ), với L(E, F ) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Bây giờ chúng tôi đưa ra một một định nghĩa cho ||DJ(x)|| CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 23 Định nghĩa 2.2 Cho V là không gian véctơ con không tầm thường của không gian định chuẩn (E, ||.||), E là không gian đầy đủ của E và J là một hàm số liên tục V -khả vi trên E Ta đặt ||DJ(x)|| = sup lim inf{|DJ(y)h|... gian Banach Ta định nghĩa không gian đối ngẫu của không gian E là / E là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào K (K = C hay I Theo [6], E R) là không gian Banach trên K với chuẩn định nghĩa như sau ∀T ∈ E thì T E = sup |T (x)| x∈E, x ≤1 Định nghĩa 1.4 Cho E là không gian định chuẩn và E là không gian đối ngẫu của nó M , N lần lượt là không gian véctơ con của E và E Đặt M ⊥ = {f ∈... N ⊥ lần lượt là không gian trực giao của M và N Định nghĩa 1.5 Giả sử E, F là các không gian Banach Ta gọi toán tử tuyến tính không bị chặn từ E KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 vào F là một ánh xạ tuyến tính A : D(A) ⊂ E → F xác định trên không gian véctơ con D(A) của E và lấy giá trị trong F , D(A) được gọi là miền xác định của A Ta ký hiệu Đồ thị của A=G(A)= ∪ [u, Au] ⊂ E × F u∈D(A) Ảnh của A=R(A)= ∪ u∈D(A)... N cũng là các không gian Banach với chuẩn tương ứng trên E Chứng minh Do E là tổng trực tiếp tôpô của M và N nên theo Định lý 1.9, tồn tại một đồng phôi từ E vào M × N E là không gian Banach, suy ra M × N là không gian Banach Nên M , N cũng là các không gian Banach với chuẩn tương ứng trên E 1.4 Các định nghĩa về toán tử tuyến tính không bị chặn và toán tử liên hợp Định nghĩa 1.3 Cho E là không gian... Deformation) Cho V là không gian véctơ con không tầm thường của không gian định chuẩn (E, ||.||), E CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 24 là không gian đầy đủ của E, J là hàm thực liên tục V -khả vi trên E, và a và b là hai số thực sao cho a < b Giả sử (i) J thoả điều kiện (P S)c với bất kì c trong [a, b], (ii) Kα = ∅ với bất kì α trong (a, b), (iii) Ka , Kb ⊂ E, (iv) Mỗi tập con liên thông T của Ka có nhiều nhất một . NHIÊN KHOA TOÁN-TIN HỌC ————oOo———— Tiểu luận tốt nghiệp chuyên ngành Giải Tích ĐIỂM TỚI HẠN CỦA CÁC HÀM KHÔNG THUỘC LỚP C 2 NHÓM THỰC HIỆN : TRẦN VĨNH HƯNG - NGUYỄN TIẾN KHẢI THẦY HƯỚNG DẪN : PGS. số thuộc lớp C 2 theo một nghĩa nào đó (xem trang 440 của [17]). Trong bài báo này chúng tôi đưa ra bổ đề Morse-Palais mới mà không cần điều kiện thuộc lớp hàm C 2 cũng như là sự đầy đủ của không. chúng tôi: dạng đồ thị của hàm g(x, y) = x 2 − y 2 và hàm nhiễu J của nó giống nhau khi gần (0, 0) thậm chí nếu phần nhiễu J −g không thuộc C 2 nhưng đạo hàm cấp hai theo hướng của nó chỉ thoả một