CHƯƠNG 1 Giai đoạn phát sinh toán học Số tiết: 04 (Lý thuyết: 03 tiết; bài tập, thảo luận: 01) *) Mục tiêu - Sinh viên hiểu được hoàn cảnh lịch sử và đặc điểm chung, tình hình phát triển của giai đoạn phát sinh toán học. - Sinh viên hiểu và biết được một số thông tin về hai nền văn minh cổ đại tiêu biểu cho giai đoạn phát sinh toán học: toán học cổ Ai Cập và toán học Babilon. Qua đó vận dụng các kiến thức đã học tìm hiểu về các nhà toán học có vai trò quyết định đối với sự hình thành và phát sinh toán học. - Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn lịch sử toán đối với các môn học khác, tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo. 1.1. Hoàn cảnh lịch sử 1.1.1. Thời gian - Rất lâu dài, từ thời xa xưa, (thời kỳ đồ đá cũ) đến khoảng thế kỷ VII - - V - . 1.1.2. Căn cứ xác định - Tài liệu về lịch sử văn hóa của loài người: khảo cổ, những sự kiện về lịch sử ngôn ngữ. - Những hiểu biết từ kết quả khảo sát các bộ lạc man rợ còn tồn tại. - Những thành tựu mới nhất về sinh lí học, tâm lí lứa tuổi và các qui luật nhận thức. 1.2. Đặc điểm chung 1.2.1. Đặc điểm Tuy hình thức và con đường phát triển của kiến thức toán học rất khác nhau ở các dân tộc, song có một nét chung là: + Các khái niệm cơ bản của toán học đều phát sinh từ thực tiễn và trải qua một quá trình hoàn thiện khá lâu dài. + Các khái niệm toán học chỉ có thể có khi loài người đã có công cụ lao động (tức là sớm nhất chỉ vào thời kì đồ đá cũ). Khi đó, nhờ lao động mới có ngôn ngữ và mới phát triển bộ óc con người; trên cơ sở đó mới có khả năng trừu tượng hóa để đếm và đo Đây là điểm khác biệt giữa con người và loài vật: đối với con người trước khi xây dựng một cái gì đó thì họ đã xây dựng nó ở trong óc rồi! 1.2.2. Minh họa thông qua sự phát triển khái niệm số, phép tính, phép đo các hình 1.2.2.1. Sự hình thành khái niệm số - Khái niệm số phát triển khá chậm về sau, khi đã phát triển khá đầy đủ khái niệm tập hợp trong tư duy trừu tượng. - Sự phát sinh khái niệm số là do nhu cầu thực tiễn đếm và đo các đồ vật: Do nhu cầu kiểm tra, phân phát các dụng cụ sản phẩm khi săn bắn, hái lượm mà con người biết thiết lập sự tương ứng một đối một (một cách trực tiếp qua hoạt động phân phát). Phép tương ứng đó được lặp đi lặp lại nhiều lần, lâu dài con người dần dần nhận ra có một cái gì chung cho những tập hợp như vậy, đi đến chỗ đặt tên cho cái chung đó - Khái niệm trừu tượng về số, xem như là tính chất chung của mọi tập hợp hữu hạn tương đương được củng cố dần qua ngôn ngữ, trước hết bằng lời, sau bằng những dấu hiệu, tức là chữ số. 1 Như vậy, lịch sử hình thành số tự nhiên có thể chia làm 4 giai đoạn lớn (tương ứng với 4 giai đoạn phát triển kĩ thuật đếm). + Giai đoạn I Đếm chính là việc thiết lập sự tương ứng của các tập hợp vật thể khác nhau. Khi đó các tính chất chung của các tập hợp được phản ánh đầy đủ bằng chính bản chất cụ thể của các đối tượng đem so sánh. Con số có tính chất vật lí; con người nhận thức được một cách trực giác. + Giai đoạn II Tính đếm được của một tập hợp xác định được biểu thị qua yếu tố tương đương của một tập hợp khác. Lúc này, tính chất chung của các tập hợp tương đương bắt đầu được quan niệm khác với bản chất cụ thể của từng tập hợp. Người ta thường gọi tên con số qua tên các vật cụ thể khác: “ 1- mặt trời; 2 - cánh chim; 4 - chân chó; 5- bàn tay” + Giai đoạn III Người ta chọn được một tập hợp xác định làm tập hợp mẫu về số lượng (sỏi, que, đá, các bộ phận cơ thể ). Khi đó, tính chất chung của các tập hợp được phân biệt rõ rệt với tập hợp cần đếm. + Giai đoạn IV Tính chất chung của mọi tập hợp tương đương được tách khỏi mọi tập hợp đối tượng cụ thể và xuất hiện dưới dạng thuần túy ‘‘khái niệm trừu tượng về số tự nhiên”. Tóm lại, như Ăng ghen đã nói: ‘‘Muốn đếm con người phải biết trừu xuất tất cả để chỉ giữ lại ‘‘con số” thôi”. 1.2.2.2. Các hệ thống ghi số + Hệ thống ghi số không theo vị trí mà ghi bằng chữ tượng hình Dùng các chữ tượng hình (các dấu chấm; nét gạch đứng, gạch ngang, gạch chéo ) theo nguyên tắc cộng, trừ. Tiêu biểu là các hệ thống ghi số Ai Cập, Trung Quốc, La Mã, Xyry - Chữ số La Mã: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, L(50), C(100), D(500), M(1000), - Chữ số Trung Quốc: , = , ≡, ,+ + Hệ thống ghi số bằng chữ cái Dùng chữ cái (có thêm kí tự để phân biệt với chữ trong ngôn ngữ viết) và kí hiệu phụ để biểu thị các số. Tiêu biểu là hệ thống ghi số của Hy Lạp, Do Thái, Slavơ, Ácmênia, Chẳng hạn, chữ số Hy Lạp cổ được láy từ các chữ cái có thêm dấu gạch ngang phía trên: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 α β γ δ ε ξ η θ ι χ = = = = = = = = = = + Hệ thống ghi số theo vị trí Với hệ cơ số 60: Chẳng hạn, người Babilon cổ sử dụng hệ cơ số 60 để viết số tự nhiên k = a 0 60 0 + a 1 60 1 + a 2 60 2 + + a n 60 n dưới dạng: n n 1 n 2 2 1 0 a a a a a a − − Hệ cơ số 10: Người Ấn Độ cổ ghi số theo vị trí thập phân (cơ số 10), chẳng hạn: số tự nhiên k = a n 10 n + a n-1 10 n-1 + + a 1 10 1 + a 0 10 0 được viết dưới dạng n n 1 n 2 2 1 0 a a a a a a − − Lúc đầu loài người chưa biết đến số 0, sau đó đến thế kỷ V-VI, ở Ấn Độ, do nhu cầu tính toán và việc dùng bàn tính, người ta đã đưa thêm số 0 vào hệ thống số. Từ ‘‘sunya” nghĩa là trống không, không có gì trên bàn tính được dùng để chỉ số 0. *) Cùng với khái niệm số, các phép tính cộng trừ nhân chia trên số tự nhiên có điều kiện hình thành và phát triển. 2 *) Những kiến thức về hình học, thiên văn, lượng giác cũng được hình thành từ nhu cầu quan sát, đo đạc, Tóm lại, như Ăng ghen đã viết: ‘‘Toán học xuất phát từ việc đo đạc ruộng đất, đo dung tích bình chậu, từ tính toán thời gian, từ cơ học”. 1.3 . Tình hình phát triển Để minh họa cho sự phát sinh toán học, ta sẽ nghiên cứu hai nền toán học tiêu biểu ở thời kì này là toán học Ai Cập và toán học Babilon. 1.3.1. Toán học cổ Ai Cập Tư liệu lịch sử về toán học Ai Cập chủ yếu dựa vào 2 ‘‘Papirut” (có từ khoảng thế kỷ XX - ) và một số ít tài liệu khác còn lưu lại. Papirut Rhin (hiện nay lưu giữ ở Luân Đôn) dài 5,5m rộng 32 cm gồm 84 bài toán mang tính thực tiễn: diện tích một số hình phẳng (hình chữ nhật, tam giác, hình thang, hình tròn với S= (8d/9) 2 hay π ≈ 3,1605; thể tích hình hộp, hình trụ , ; các bài toán tính toán với phân số, chia tỷ lệ %, tính tổng của cấp số nhân, Papirut Matxcova (hiện nay lưu giữ ở Matxcova) dài 5m rộng 8cm gồm 25 bài toán tương tự ở Papirut Rhin: Tính diện tích một số hình phẳng (hình chữ nhật, tam giác, hình thang, hình tròn với S= (8d/9) 2 hay π ≈ 3,1605; thể tích hình hộp, hình trụ , ; các bài toán tính toán với phân số, chia tỷ lệ %, tính tổng của cấp số nhân, Ngoài ra, còn có bài toán số 14 tính được đúng thể tích hình chóp cụt đáy vuông theo công thức giống như hiện nay: V= h/3 (a 2 + ab + b 2 ) và bài toán số 10 có công thức tính diện tích mặt cong (mặt bên của hình viên trụ có đường cao bằng đường kính đáy). - Thành tựu toán học của người Ai Cập cổ là: Đã biết sử dụng hệ thống ghi số xác định (thập phân tượng hình) tạo điều kiện thuận lợi cho việc làm tính với mọi số nguyên. Kỹ thuật tính toán dựa trên phép cộng. Biết sử dụng phân số với công cụ là 1 n kèm thêm một số phân số đặc biệt 2/3, 3/4; Từ đó xác định phép chia bằng cách coi 1m m n n ≡ × . Chẳng hạn: chuyển phép chia 2:9 về phép cộng 1/6 + 1/18. Đã biết phép giải phương trình tuyến tính dạng ax+by+cz = α . Như vậy, ở Ai Cập cổ từ 4000 năm trước công nguyên đã tích lũy được một số yếu tố của toán học như một khoa học. Toán chỉ mới được tách ra từ thực tiễn, vẫn còn phụ thuộc vào nội dung của từng bài toán. Các qui tắc mang nặng tính thực nghiệm. Các phương pháp giải còn chưa thống nhất (ví dụ số π được lấy với nhiều giá trị khác nhau: 3; (16/9) 2 ; 3,1605; ); vẫn còn những cách giải sai như khi tính diện tích tam giác cân, người ta lấy nửa cạnh đáy nhân với cạnh bên (!). Song có thể nói rằng vào thời xa xưa này khoa học nói chung trong đó có toán học đã phát triển đến một trình độ khá cao ở Ai Cập (bằng chứng ở các kim tự tháp và hầm mộ cổ còn lại ngày nay). 1.3.2. Toán học cổ Babilon Vào khoảng thế kỷ XX - đến XIV - trước công nguyên, Babilon là một tập đoàn quốc gia chiếm hữu nô lệ khá phát triển ở vùng lưu vực 2 con sông Tigơrơ và Ơphơrat. Tài liệu về văn hóa Babilon còn lưu lại khá nhiều: 20 vạn bản đất sét nung có khắc chữ, trong đó có 250 bản có 3 nội dung toán học (50 bản có lời văn và 200 bản không có lời). Thành tựu toán học Babilon chủ yếu gồm: - Sử dụng hệ thống ghi số theo vị trí: xen lẫn cơ số 60 và cơ số 10. - Xây dựng nhiều quy tắc tính toán thực hành, lập ra các bảng tính toán sẵn (nhân, chia, bình phương, lập phương, khai căn bậc hai và bậc 3, ). - Giải được các bài toán tính tỷ lệ %, các phương trình bậc 1, một số phương trình bậc 2 và bậc 3 như: x 2 ± ax = b; x 3 (x+1)=a. - Tính được các tổng ∑ 2 k ; ∑ k 2 ; , tìm được công thức xác định bộ 3 số Pitago. - Về hình học cũng đạt được kết quả tương tự như ở Ai Cập: các phép tính về diện tích các đa giác và thể tích các đa diện thông thường. - Phát triển các kiến thức về thiên văn và tam giác lượng: tính gần đúng thể tích , lập bảng các tỷ số thực nghiệm thiên văn, bảng tỷ số lượng giác, 1.4. Kết luận về giai đoạn phát sinh toán học Quá trình tích lũy một số lớn các sự kiện toán học cụ thể dưới dạng phương tiện tính toán số học, phương pháp xác định diện tích và thể tích, phương pháp giải một số loại toán đã diễn ra lâu dài và khác nhau. Sự tích lũy các kiến thức về số cũng như về hình đã tạo ra những tiền đề cho sự hình thành các kỹ thuật toán học: +) Khả năng chuyển từ việc nghiên cứu trên các vật cụ thể sang việc nghiên cứu trên các hình ảnh thu gọn, trên sơ đồ và ký hiệu của chúng, về sau điều này đưa đến sự phát triển hệ thống ghi số và các phép dựng hình. +) Biết thay thế những bài toán cụ thể bằng những bài toán có dạng tổng quát , giải theo những qui tắc xác định, bao gồm một loạt các trường hợp riêng. Đây là những hình thức đầu tiên tạo nên những thuật toán và phép toán có liên quan. Chỉ khi nào các tiền đề trên đã phát huy tác dụng một cách rõ rệt và trong xã hội có một lớp người biết sử dụng một số nhất định những phương tiện toán học, thì lúc đó mới có căn cứ để nói rằng: toán học đã bắt đầu trở thành một khoa học độc lập. *) Tài liệu học tập 1 Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục. 2. Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP Thái Nguyên. *) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 1.1. Bằng phương pháp Ai cập, hãy thực hiện các phép toán sau 22.32; 1998:33. 1.2. Dung quy tắc đặt sai hãy giải hệ phương trình sau đây 2 2 100 3 4 x y x y  + =   =   . 1.3. Theo bạn thì thành tựu nào của nền toán học Babylon là có ý nghĩa nhất, tại sao? 1.4. Các nhà toán học Babylon đã phát hiện ra các bộ số Pythagoras theo quy tắc nào? Quy tắc đó đúng hay không, hãy kiểm chứng? 1.5. Hãy cho biết dạng phương trình bậc ba nào người Babylon có thể giải được bằng bảng? 1.6. Người Ai Cập cổ đã tính thể tích hình chóp cụt đáy là hình vuông bằng cách nào? Hãy cho biết bài toán tính thể tích hình chóp cụt đáy là hình vuông của họ mà được tìm thấy. 4 CHƯƠNG 2 Giai đoạn toán học sơ cấp Số tiết: 15 (Lý thuyết: 12 tiết; bài tập, thảo luận: 03) *) Mục tiêu: - Sinh viên hiểu được hoàn cảnh lịch sử, tình hình phát triển và các nét chính của giai đoạn toán học sơ cấp Hy Lạp cổ đại, Hy Lạp thời kỳ Elinit, Hy Lạp thời kỳ đô hộ La Mã, toán học sơ cấp Trung Quốc, Ấn Độ, Trung Á- Cận Đông, Châu Âu. - Sinh viên biết được sự phát triển của toán học sơ cấp ứng với từng vùng, miền. Qua đó vận dụng các kiến thức đã học tìm hiểu về các nhà toán học có đóng góp lớn đối với môn đại số, giải tích, hình học. - Sinh viên tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có năng lực tự học cao, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo. 2.1. Hoàn cảnh lịch sử xã hội + Thời gian: Diễn ra rất lâu dài (khoảng 20 thế kỷ) từ thế kỷ VII - -V - đến thế kỷ XV-XVI. + Chế độ chính trị Chiếm hữu nô lệ (Hy Lạp- La Mã), phong kiến (Trung Quốc, Ấn Độ, Châu Âu). + Tôn giáo Đa tôn giáo ( Hy Lạp- La Mã), Phật giáo ( Trung Quốc- Ấn Độ), Thiên chúa giáo ( Châu Âu). + Triết học: Cổ Hy Lạp, phương Đông, + Giao lưu văn hóa Ở Hy Lạp - La Mã - Ấn Độ -Trung Á Cận Đông và Châu Âu có sự di chuyển và ảnh hưởng lẫn nhau còn ở Trung Quốc thì mang tính độc lập tương đối. 2.2. Đặc điểm chung của giai đoạn toán học sơ cấp + Cùng với những bài toán thực dụng, người ta đã nghiên cứu những hệ thống khái niệm cơ sở của từng ngành toán học riêng biệt. Những hệ thống khái niệm này khái quát hóa thành tựu toán học đã đạt được và phản ánh quy luật khách quan của tư duy toán học loài người. + Toán học trong giai đoạn này đã trở thành một khoa học suy diễn (những lý thuyết toán học được trừu tượng hóa từ những bài toán cụ thể hoặc từ những bài toán cùng loại, tạo ra những tiền đề cần thiết và đầy đủ cho việc nhận thức tính độc lập của toán học). + Toán học được xem như một hệ thống suy luận logic xuất phát từ một số mệnh đề cơ bản (tiên đề) được coi là đúng (dựa trên cơ sở thực nghiệm) rồi rút ra những kết quả khác bằng đường lối suy luận logic chặt chẽ. + Về cơ bản, toán học nghiên cứu các đại lượng không đổi, các quá trình tĩnh tại. + Sự phát triển của toán học chịu ảnh hưởng khá rõ rệt của chế độ chính trị, tôn giáo, chiến tranh, và toán học mang đậm nét tư tưởng văn hóa xã hội. Do đó toán học sơ cấp mang tính di chuyển theo vùng địa lý: từ Hy Lạp – La Mã; Ấn Độ → Trung Á- Cận Đông → Châu Âu. 2.3. Toán học sơ cấp ở Hy Lạp cổ đại 2.3.1. Hoàn cảnh lịch sử xã hội 5 - Thời gian: Từ rất sớm khoảng thế kỷ VII - - Chế độ chính trị: Cổ Hy Lạp là một tập đoàn quốc gia chiếm hữu nô lệ lớn có nền kinh tế phát triển với công cụ sản xuất bằng kim loại. - Tôn giáo: Đa tôn giáo. - Triết học cổ Hy Lạp. - Giao lưu: có quan hệ về văn hóa và thương mại với Ai Cập, Ba tư và Babilon. 2.3.2. Tình hình phát triển Sớm hình thành ở Iôni một khoa học chung bao gồm: triết học, toán học, vật lý học, hóa học, thiên văn học, y học, Trong đó có ba trường phái lớn về khoa học tự nhiên - toán học - triết học. 2.3.2.1. Trường phái Iôni (Thể kỷ VII - - VI - ) do Talet (639 - - 548 - ) lãnh đạo Với quan niệm triết học ‘‘Nhất nguyên luận: mọi vật đều do nước sinh ra”: chẳng hạn đất do nước đặc lại, còn không khí do nước loãng ra Nghiên cứu toán học để phục vụ triết học: Với mục đích triết học, trong nghiên cứu toán học, Talet đã yêu cầu không chỉ phát biểu các mệnh đề mà cần phải chứng minh. Chẳng hạn, trường phái này đã chứng minh những mệnh đề sau: + Đường kính chia đường tròn thành 2 phần bằng nhau. + Các góc ở đáy của tam giác cân thì bằng nhau. + Các góc vuông bằng nhau. + Hai tam giác có một cạnh bằng nhau kề với 2 góc bằng nhau từng đôi một thì bằng nhau (hai tam giác bằng nhau theo trường trường hợp: cạnh – góc - cạnh). + Góc nội tiếp trong nửa đường tròn là góc vuông. + Định lý Talet: về các đoạn do các đường thẳng song song định trên hai cát tuyến Có thể nói: Talet là người mở đường xây dựng toán học trở thành một khoa học mang tính lý thuyết nhất so với khoa học khác. 2.3.2.2. Trường phái Pitago ( Thế kỷ VI - - V - ) do Pitago ( 569 - -470 - ) lãnh đạo Là một trường phái triết học nghiên cứu toán học với mục đích chính trị, mang màu sắc tôn giáo: đặt cơ sở cho một trật tự vĩnh hằng, lấy thứ tự và quan hệ giữa các con số để biện minh. Coi con số là gốc của thế giới: ‘‘Mọi quan hệ đều là quan hệ số”, ‘‘Số 1 là do thượng đế sáng tạo ra, các số khác do con người sang lập ra”. Dùng con số để giải thích thế giới: Số lẻ đầu tiên (3) là số nam, số chẵn đầu tiên (2) là số nữ ⇒ số 5 = 2 + 3 biểu thị cho sự kết duyên; số 7 biểu thị cho sức khỏe; số 8 đặc trưng cho tình yêu, Họ tôn thờ con số, coi con số là thần linh đã sáng tạo ra cả loài người, thậm chí đã xuyên tạc cả kiến thức thiên văn đương thời. Để nêu lên tính chất thần linh và đẹp đẽ của số 10, ngoài 8 cầu thể đã biết là sao Kim, Mộc, Thủy, Hỏa, Thổ, mặt trời, trái đất, mặt trăng, họ đã tưởng tượng ra ‘‘đối mặt đất” và quan niệm cả 9 cầu thể đó chuyển động xung quanh ‘‘trung tâm lửa” theo một chu kỳ gọi là ‘‘năm vũ trụ”. Tư tưởng mê tín con số vẫn còn đến ngày nay: đến thế kỷ XVI ở Châu Âu vẫn có người đeo ‘‘Bảng số thiêng liêng” (Hình 2.1) làm bùa chống dịch tả. Thói quen kiêng sợ số 13, ‘‘chớ đi ngày 7, chớ về ngày 3”, chọn ngày chẵn, lẻ Trường phái Pitago đã có những đóng góp về mặt toán học: 6 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Hình 2.1 Tính tổng cấp số cộng: 1 (2 1) n k k n = − = ∑ 2 ; Nghiên cứu các tỷ số: số học a-b = c - d; hình học a: b=c:d; điều hòa 1 1 1 1 a b c d − = − (là những hình thức đầu tiên của trung bình cộng; trung bình nhân và trung bình điều hòa); Nghiên cứu về các đa diện đều, đa giác đều (bài toán lấp đầy không gian bằng một hệ thống hình lập phương). Thành tựu quan trọng nhất là định lý Pitago trong tam giác vuông (c 2 = a 2 + b 2 ) mà từ đó dẫn đến việc phát hiện ra số vô tỷ 2 của Ơđôc ( 408 - - 355 - ). 2.3.2.3. Trường phái Aphin (nửa sau thế kỷ V - ) do Hypocrat (?-450-?) lãnh đạo Hypocrat hệ thống các kiến thức hình học để viết tập ‘‘Cơ bản” ở Khiôt (450 - - 430 - ). Trong đó: các phương pháp chứng minh hình học được nghiên cứu và hoàn thiện; Khảo sát định lý Pitago và các bất đẳng thức trong tam giác không vuông; đặc biệt là trình bày những nghiên cứu về ba bài toán nổi tiếng. Lịch sử của 3 bài toán đã có từ khá lâu. Song đến tận đầu thế kỷ XIX, bằng những thành tựu của đại số cao cấp thì các bài toán này mới được giải quyết trọn vẹn. Người ta chứng minh được là không thể giải quyết 3 bài toán trên thuần túy bằng hình học (nhờ một số hữu hạn các phép dựng đường thẳng và đường tròn). Có thể giải gần đúng các bài toán đó nhờ việc đưa ra công cụ là các thiết diện cônic, các đường cong bậc 3, bậc 4, đường cong siêu việt Quadra trixơ. Đồng thời, chúng cũng liên quan đến toán hiện đại, đến lĩnh vực số vô tỷ, số đại số và lý thuyết nhóm. Hypocrat (450 - ) đã giải bài toán ‘‘Gấp đôi hình lập phương” (thường gọi là bài toán Đenphi): Dựng một hình lập phương có thể tích gấp đôi một hình lập phương cạnh a đã cho (Tương truyền rằng xuất phát của bài toán này là do lời sấm buộc phải tăng gấp đôi thể tích đàn tế dựng ở đảo Đêlôt). Từ V’ = 2a 3 đã dẫn đến giải phương trình bậc ba x 3 = 2a 3 ⇒ cần dựng đoạn thẳng x=a. 3 2 . Đây là một trong những nguyên nhân khiến cho thiết diện conic trở thành một phương tiện để giải các bài toán không thể thực hiện được bằng thước và compa. Hypocrat (420 - ) đã giải quyết bài toán ‘‘chia ba một góc”: Dùng thước và compa chia 1 góc bất kì thành 3 góc bằng nhau. Bài toán này dẫn đến việc giải phương trình bậc 3 biểu thị dưới dạng lượng giác: cos 4cos ϕ = 3 3cos 3 3 ϕ ϕ − hay a = 4x 3 -3x. Ông đã sử dụng một đường cong đặc biệt (mà sau này gọi là Quadratrixơ) làm phương tiện. Đinostrat (350 - ) dùng đường Quadratrixơ để giải quyết bài toán ‘‘cầu phương trình tròn”: Dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích của một hình tròn đã cho. Do bản chất siêu việt của bài toán này (cạnh của hình vuông bằng x= R π ) nên không thể cầu phương chính xác được hình tròn bằng thước và compa. Mãi đến cuối thế kỷ XVIII Lambe và Lagrange mới chứng minh được tính siêu việt của số π và gần cuối thế kỷ XIX, Lơđơman mới chứng minh được số π là số siêu việt (không thể là nghiệm của bất kỳ phương trình đại số nào với hệ số nguyên). Song những nỗ lực khi giải bài toán này lại đem đến cho toán học nhiều sự kiện và phương pháp mới: phương pháp sơ khai về giới hạn (phương pháp ‘‘tát cạn”). Hypocrat đã sử dụng các hình trăng (giới hạn bởi các cung tròn) và tính diện tích theo cách gần đúng (dùng thước và compa dựng các hình tương đương giới hạn bởi các đoạn thẳng). Từ đó phát triển xu hướng tính gần đúng diện tích hình tròn bằng các đa giác nội tiếp hoặc ngoại tiếp, tính gần đúng số π 7 Platon (427 - - 347 - ): Lãnh đạo trường phái triết học phản động duy tâm chủ quan của viện hàn lâm khoa học Aten, ông quan niệm: ‘‘Điều kiện để nghiên cứu triết học, để nắm được quy luật thiên nhiên là phải có kiến thức toán học”. Platon treo biển trước cửa viện ‘‘Ai không hiểu hình học, miễn vào!”. Trường phái Platon cho rằng: Toán học quan trọng không phải ở áp dụng thực tế, mà là để hiểu ‘‘ý trời”; Toán học là thứ tiêu khiển riêng của giới thượng lưu, quần chúng lao động không cần biết đến. Ông nhấn mạnh vai trò của hình học không gian, nghiên cứu tìm ra 5 khối đa diện đều (còn gọi là ‘‘Vật thể Platon” vì gắn với 5 yếu tố: lửa, nước, không khí, đất và thượng đế). Ông quan niệm: chân lý của toán học là các định lý. Quy luật Platon tìm bộ ba số Pitago nguyên tố cùng nhau: x=4p 2 -1, y= 4p,z= 4p 2 +1 (trong đó x và z là hai số lẻ liền nhau). Aristôten (384 - -322 - ): Là một trong những nhà tư tưởng lớn ở thời kì cổ đại. Tác phẩm: ‘‘Triết học và khoa học tự nhiên’’ của ông đã đề cập đến những nguyên tắc cơ bản cần tôn trọng để xây dựng - một hệ thống suy diễn: giải thích về bản chất của tiên đề, định đề, định nghĩa, giả thuyết và chứng minh. Với quan điểm toán học này, ông chống lại quan niệm của Platon. Những quan điểm toán học của ông về sau của ông đã được Ơclit sử dụng. Zenon ( 450 - ) đã đưa ra một số nghịch lý liên quan đến tính vô hạn. Do những kiến thức toán học đương thời không đủ giải thích những quá trình vô hạn nên Zenon đã đưa ra một số nghịch lý mà nổi tiếng nhất là: + Không thể có một chuyển động nào cả vì đường đi có thể chia nhỏ vô hạn (chia đôi mãi) nên cần phải vượt qua một tập hợp vô hạn những phần nhỏ của con đường (thực chất là chưa hình dung được 1 2 1 k k ∞ = ∑ =1). + Lực sĩ chạy nhanh Asin trong thần thoại Hy lạp cũng không đuổi kịp một con rùa: vì Asin luôn luôn phải đạt tới những vị trí mà con rùa vừa đi qua ( thực chất là chưa hình dung được 1 1 (n 1) 1 k k n n n ∞ = = ≠ − ∑ ). + Mũi tên không thể bay được nếu thời gian được xem như là tổng các khoảnh khắc ngắn ngủi, mà trong mội khoảnh khắc đó thì mũi tên đứng im. 2.3.3. Kết luận về toán học sơ cấp ở Hy Lạp cổ Nếu như vào thời kì trước, toán học ở Ai Cập- Babilon còn mang nặng tính chất thực nghiệm, chưa xây dựng các lý thuyết tổng quát thì các nhà toán học Hy Lạp không dừng lại ở câu hỏi: ‘‘Làm thế nào ?’’ mà đã tìm hiểu ‘‘Tại sao ?’’ lại làm được như vậy ! Ở Hy Lạp cổ đại đã có những cống hiến đặc biệt to lớn về khoa học tự nhiên và toán học. Đặc biệt, nền toán học sơ cấp Hy Lạp cổ có những kiến thức căn bản về kiến thức toán học với trình độ trừu tượng khá cao, với suy luận logic trong trình bày. Ăng ghen cho rằng: ‘‘Nếu khoa học tự nhiên muốn tìm hiểu lịch sử phát sinh và phát triển của những lý thuyết tổng quát hiện nay, thì nhất thiết phải quay trở về Hy Lạp ’’. 2.4. Toán học sơ cấp Hy Lạp ở thời kỳ Elinit 2.4.1. Hoàn cảnh lịch sử Ở thời kỳ này, trong khoảng thời gian từ cuối thế kỷ IV - đến thế kỷ I - , toán học phát triển trong điều kiện về chế độ chính trị xã hội: kết hợp tốt đẹp giữa nhu cầu thực tiễn và sự phát triển 8 của toán học. Về tôn giáo: đa tôn giáo, về triết học: cổ Hy Lạp. Lúc này ở Hy Lạp đó có sự giao lưu văn hóa, phát triển thương mại mà điển hình là trung tâm khoa học Alecxanđri (Ai Cập). 2.4.2. Tình hình phát triển 2.4.2.1. Ơclit (330 - -275 - ) Là nhà toán học nổi tiếng nhất vào thời kỳ này. Ông đã trả lời hoàng đế Ptoleme I (306 – 283 - ): ‘‘Trong hình học không có con đường dành riêng cho nhà vua’’(!) Ông viết bộ ‘‘cơ bản’’ gồm 13 quyển ( được đánh giá như một ‘‘ vì tinh tú’’ sáng chói trên bầu trời toán học!) với nội dung không nhằm thống kê mọi kiến thức toán học đương thời mà trình bày các cơ sở của toán học một cách logic (kiểu tiên đề), tập trung vào 3 vấn đề chính: + Lý thuyết tỉ số của Ơđoc. + Lý thuyết vô tỷ của Talet. + Lý thuyết về 5 khối đa diện đều. Trong đó có 3 định đề đầu nói về thước và compa và đặc biệt, định đề 5 ‘‘Qua một điểm đã cho ngoài một đường thẳng cho trước, kẻ duy nhất được một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước’’ bị nhiều nhà toán học thời kỳ sau nghi ngờ có thể suy ra được từ những tiên đề còn lại. Nhưng đây cũng chính là tiền đề cơ sở để tìm ra hình học phi Ơclit vào năm 1826 (Lobasepki). Quyển 1: Các phép tính toán góc, đoạn thẳng, tính chất của các hình tam giác, hình chữ nhật, hình bình hành. So sánh các diện tích. Định lý Pitago thuận và đảo. Quyển 2 : Xét tương quan giữa diện tích hình vuông và hình chữ nhật. Từ đó sử dụng công cụ hình học để giải một số phương trình bậc hai. Quyển 3 : Tính chất hình tròn, đường tròn, tiếp tuyến, góc nội tiếp, Quyển 4 : Tính chất đa giác đều nội tiếp, ngoại tiếp. Dựng các đa giác đều 3,5,6 và 15 cạnh đều. Quyển 5 : Lý thuyết tổng quát về các tỷ lệ của Ơđoc (số thực - nhát cắt Đơđêkin) Quyển 6 : Ứng dụng lý thuyết tỷ số vào hình học phẳng. Quyển 7, 8, 9 : Lý thuyết số hữu tỷ: phép chia hết, cấp số, số nguyên tố, Quyển 10: Sự phân loại số vô tỷ, phương pháp tát cạn, bộ 3 số Pitago, đoạn thẳng thông ước, vô ước. Quyển 11, 12, 13: Về hình học không gian: tính vuông góc, tính song song, góc, tỷ lệ thể tích giữa hình hộp và hình lăng trụ, tỷ lệ thể tích của hình chóp, hình lăng trụ, hình nón, hình cầu, hình trụ. Chỉ ra 5 khối đa diện đều (4, 6, 8, 12, 20 cạnh) và chứng minh không còn khối đa diện đều nào nữa. Tuy còn một số hạn chế song bộ ‘‘cơ bản’’ là cơ sở cho mọi tìm tòi về hình học và là cơ sở cho các giáo trình hình học ở bậc học phổ thông cho đến ngày nay. Nghiên cứu bộ ‘‘cơ bản’’ là một việc làm có ích cho mọi người làm toán. 2.4.2.2. Acsimet (287 - -212 - ) Là nhà bác học Hy Lạp vĩ đại nhất trong thời kỳ Elinit, với các câu nói nổi tiếng như ‘‘Ơreca !’’, ‘‘hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ đẩy cả trái đất lên !’’, ‘‘không được đụng vào các vòng tròn của ta !’’ Ông có nhiều đóng góp nghiên cứu trong các lĩnh vực toán học, vật lý học, cơ học, thiên văn học Đặc biệt về toán học, để giải bài toán tìm diện tích, thể tích, ông đã đưa ra phương 9 pháp ‘‘tát cạn’’ - một phương pháp mà về sau làm cơ sở cho phép vi - tích phân ở thế kỷ XVI- XVII (như vậy có thể nói tư tưởng của ông đã vượt lên trước thời đại tới 20 thế kỷ !). Ông chủ trương tăng cường vận dụng lý thuyết vào thực hành, xây dựng hệ thống ghi số (với các số lớn tùy ý: chẳng hạn bài toán lấp đầy vũ trụ bằng 10 63 hạt cát), viết 10 tác phẩm lớn về toán học: cầu phương Parabol, về phương pháp cơ học để giải bài toán hình học, về hình cầu và hình trụ, đo đường tròn 2.4.2.3. Apoloniut (262 - -200 - ) Ông viết 8 quyển sách về ‘‘thiết diện conic’’ (tạo ra do cắt mặt nón bằng một mặt phẳng ngang, đứng hoặc xiên) và là người đã đặt tên cho chúng là Elip, Parabol, Hypebol, tạo cơ sở cho hình học giải tích về sau ; Quỹ tích đường tròn Apoloniut 2.4.3. Kết luận về toán học sơ cấp ở Hy Lạp thời kỳ Elinit Bộ mặt toán học Hy Lạp đã thay đổi mạnh mẽ cả về hình thức lẫn nội dung. Các lý thuyết toán học quan trọng được hình thành, đa số các lý thuyết có đối tượng hình học. Mặc dù vậy, trong phạm vi thực tiễn, người Hy Lạp cổ đã áp dụng nhiều phương pháp tính toán số học (tuy còn ở mức độ thấp). Đặc tính này tồn tại trong thời gian dài. Có thể nói đây là thời kỳ nở hoa của nền toán học Hy Lạp. 2.5. Toán học sơ cấp Hy Lạp vào thời kỳ đô hộ của La Mã 2.5.1. Hoàn cảnh lịch sử Ở thời kì này, trong khoảng thời gian từ cuối thế kỷ II - đến khoảng thế kỷ XII, toán học Hy Lạp phát triển trong một thể chế xã hội bị La Mã chiếm đóng với chế độ xã hội từ chiếm hữu nô lệ chuyển sang xã hội phong kiến. Tôn giáo chính là Thiên Chúa Giáo và triết học của nhà thờ La Mã. Trung tâm khoa học vẫn ở Alêcxanđri (Ai Cập). Tiếng Hy Lạp thay dần bằng tiếng La tinh. Sự phát triển của toán học chịu nhiều ảnh hưởng của xã hội, chiến tranh. 2.5.2. Tình hình phát triển Hipac ( 180 - - 125 - ) Là người có nhiều công trình nghiên cứu về thiên văn (tính thể tích mặt trời, mặt trăng và khoảng cách giữa chúng ). Ông đã lập ra bảng hàm số sin tính sẵn; nghiên cứu phép chiếu quả cầu lên mặt phẳng Menelaus( cuối thế kỷ I sau công nguyên) Là người mở đầu nghiên cứu môn tam giác lượng cầu; tìm ra hệ thức về tính chất của tứ giác toàn phần phẳng và cầu (tạo bởi 4 đường thẳng: trong đó mỗi đường cắt 3 đường còn lại tại 3 điểm - tạo bởi 4 cung tròn ); Ptoleme (85 - 165) Là người viết bộ ‘‘Almagest” gồm 13 quyển, tổng hợp các kiến thức về thiên văn và tam giác lượng (phẳng - cầu). Ông lập ra bảng dây cung (bảng sin) từ 0 ° → 180 ° cách nhau 30’ chính xác tới 5 chữ số thập phân; Nghiên cứu phương pháp tọa độ sơ khai (đưa ra khái niệm độ cao và độ lệch để chỉ một địa điểm), Herong (75 - 150) Ông sống ở Alecxandri, viết bộ sách “Đo đạc” theo cách mới: phát biểu quy tắc cho những bài toán xác định, củng cố bằng ví dụ để chứng minh quy tắc. Cuốn sách này đóng vai trò “ Bách khoa toàn thư” cho các kỹ sư trong thực hành. 10 [...]... phương pháp toán học được mở rộng dần, các quan điểm chung về bản chất và khả năng toán học cũng đổi thay Toán học đã đạt tới trình độ bắt đầu hình thành những ngành mà ngày nay là cơ sở cổ điển của nền toán học cao cấp ở bậc học Đại học và Trung học chuyên nghiệp *) Tài liệu học tập 1 Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục 2 Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP Thái... (1999), Lịch sử toán học, NXB Trẻ [2] Nguyễn Cang, Nguyễn Đăng Phất (2001), Giới thiệu cuộc đời và sự nghiệp các nhà toán học, tập 1 & tập 2, NXB Trẻ [3] Hoàng Chúng (1999), Lịch sử toán học, NXB trẻ thành phố Hồ Chí Minh [4] Ngô Thúc Lanh (2004), Các danh nhân toán học, NXB Khoa học và kĩ thuật [5] Nguyễn Phú Lộc (1998), Giáo trình lịch sử toán, Đại học Cần Thơ [6] Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, ... triển của giai đoạn toán học hiện đại - Sinh viên biết được sự phát triển của toán học hiện đại, qua đó tìm hiểu về các nhà toán học có vai trò quyết định đối với sự hình thành và phát triển toán học hiện đại và lịch sử của các nhà toán học - Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn lịch sử toán đối với các môn học khác, tích cực, chủ động tham gia các hoạt động của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng... sở tán học, giữa Hinbe và Godel đã có vấn đề gì khác nhau? 4.6 Sau khi nghiên cứu về lịch sử toán học, bạn đã rút ra điều gì bổ ích cho bản thân và cho nghề nghiệp trong tương lai? 4.7 Theo bạn thì giáo viên toán ở trường trung học phổ thông có thể tận dụng lịch sử toán vào dạy học toán dưới những hình thức nào? 4.8 Khi dạy về hình học trong trường trung học phổ thông, những điều gì về lịch sử của... hình học, người ta có những loại không gian khác nhau có số chiều hữu hạn hay vô hạn Nhờ vậy, toán học được áp dụng rất rộng rãi trong tất cả các lĩnh vực khoa học khác nhau *) Tài liệu học tập 1 Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục 2 Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP Thái Nguyên 3 Nguyễn Cang (2001), Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp các nhà toán học, ... trẻ Thành phố Hồ Chí Minh *) Câu hỏi, bài tập, nội dung ôn tập và thảo luận 4.1 Các nhà toán học đã giải quyết vấn đề cơ sở của giải tích toán học như thế nào? 4.2 Nêu các sự kiện trong lịch sử toán học liên quan đến tiên đề V (tiên đề song song) của Ơclit 4.3 Chứng tỏ rằng toán học trong thế kỷ XIX và XX có khuynh hướng trừu tượng hóa rất cao 4.4 Những nhà toán học nào đã đưa ra định nghĩa chính xác... Anh kiến thức toán học của ông còn rất hạn chế, nhưng tài năng toán học của ông xuất hiện một cách đặc biệt Lepnit đã giành nhiều công sức nghiên cứu các vấn đề tổ hợp và đã thấy trong đó có cơ sở toán học của logic học Những cuộc gặp gỡ trao đổi khoa học giữa Lepnit và Huyghen đã đưa ông tới các vấn đề vi phân của toán học Huyghen đã nêu cho Lepnit một loại bài toán nối liền những vấn đề này với tổ... (1858-1932), Hinbe (1899) 4.3.5 Tiên đề hóa hình học Ơclit ở thế kỉ XX Vào đầu thế kỉ XX, nhiều nhà toán học đã metric hóa hình học bằng phương pháp khác nhau, từ đó xây dựng các tiên đề hình học Ơclit khác nhau: hệ tiên đề Hinbe (Đức, 1899), hệ tiên đề Pieri (Ý, 1899), hệ tiên đề Cagan (Nga, 1902), hệ tiên đề Vaylo (Đức, 1918 ) 4.3.6 Ứng dụng toán học vào điều khiển học và tin học Cổ xưa: con người tính bằng... học sơ cấp ở Hy Lạp – La Mã Toán học sơ cấp Hy Lạp-La Mã đánh dấu bước đầu tiên của sự phát triển toán học thành một khoa học suy diễn Các nhà toán học Hy Lạp - La Mã là những người đầu tiên có quan niệm rõ ràng về hệ thống toán học, về yêu cầu chính xác chặt chẽ trong toán học Nhiều lý thuyết toán học quan trọng được hình thành Những di sản kinh điển của các nhà toán học cổ Hy Lạp-La Mã như Ơclit, Acsimet,... môn hình học mà bạn có thể kể cho học sinh? 4.9 Khi dạy về đại số trong trường trung học phổ thông, những điều gì về lịch sử của môn đại số mà bạn có thể kể cho học sinh? 4.10 Khi dạy về giải tích trong trường trung học phổ thông, những điều gì về lịch sử của môn giải tích mà bạn có thể kể cho học sinh? 4.11 Bạn hãy cho một số ý kiến về nền toán học Việt Nam 4.12 Những câu nói của nhà toán học nào gây . rằng: toán học đã bắt đầu trở thành một khoa học độc lập. *) Tài liệu học tập 1 Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục. 2. Nguyễn Anh Tuấn (2000), Bài giảng lịch sử toán học, ĐHSP. từ cơ học . 1.3 . Tình hình phát triển Để minh họa cho sự phát sinh toán học, ta sẽ nghiên cứu hai nền toán học tiêu biểu ở thời kì này là toán học Ai Cập và toán học Babilon. 1.3.1. Toán học cổ. đoạn phát sinh toán học: toán học cổ Ai Cập và toán học Babilon. Qua đó vận dụng các kiến thức đã học tìm hiểu về các nhà toán học có vai trò quyết định đối với sự hình thành và phát sinh toán học. -