ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI HỆ SỐ TUẦN HOÀN CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG 2012 MC LC Trang Mc lc…………………………………………………………… 1 M u…………… …………………………………………… 2 Li cm n…………………………………………………………. 4 Chng 1 Lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng 5 1.1 Các khái nim c bn ca phng trình vi phân thng………… 5 1.2 Lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng 13 Chng 2 Lý thuyt Floquet trên thang thi gian … 17 2.1 Mt s nh ngha và tính cht c bn v thang thi gian……… 17 2.2 H ng lc tuyn tính trên thang thi gian 27 2.3 Lý thuyt Floquet trên thang thi gian … 29 2.4 Nhân t Floquet, m Floquet … 42 2.5 Áp d ng ca lý thuyt Floquet… 50 Kt lun…………………………………………………………… 57 Tài liu tham kho………………………………………………… 58 2 M U Nhiu bài toán thc t nh các h c hc, các h thng in, h sinh thái, h ng lc,…, thng c mô t bi các phng trình vi phân. Mt lp quan trng ca phng trình vi phân là lp các phng trình vi phân vi h s tun hoàn. nh lý Floquet là mt nh lý c bn nht trong lý thuyt phng trình vi phân vi h s tun hoàn. Nghiên cu các phng trình vi phân vi h s tun hoàn nói chung và lý thuyt Floquet nói riêng là mt ch  c các nhà nghiên cu quan tâm, vì ây là mô hình hay gp trong thc t, thí d, h thng các hành tinh trong h mt tri, các dao ng vt lý, , là các h tun hoàn. Song hành vi phng trình vi phân, lý thuyt phng trình sai phân cng c nghiên cu và phát trin, c bit trong nhng nm gn ây (xem [5]). Phng trình sai phân không ch là mt mô hình ri r c ca phng trình vi phân, mà còn là mt mô hình toán hc c lp, rt nhiu bài toán thc t (trong kinh t, trong k thut, ) cng có th mô t c bi h phng trình sai phân. Nm 1988, nh!m thng nht nghiên cu các h ri r c và liên tc, Hilger [8] ã a ra khái nim thang thi gian. Khái nim thang thi gian ca Hilger không nhng ch có ý ngha toán hc, mà còn có ý ngha trit hc sâu s"c. Nó cho phép thng nht hai bn cht ca chuyn ng, ó là tính liên tc và tính ri r c. Sau khi Hilger a ra khái nim thang thi gian và nghiên cu h ng lc trên thang thi gian, mt s nhà toán hc ã quan tâm nghiên cu và xây dng lý thuyt Floquet i vi h ng lc tun hoàn trên thang thi gian. Lun vn Phng trình vi phân vi h s tun hoàn có mc ích trình bày lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng tuyn tính vi h s tun hoàn và h ng lc tuyn tính tun hoàn trên thang thi gian tun hoàn. Ngoài phn m u, kt lun, lun vn g#m hai chng. 3 Chng 1: Lý thuyt Floquet cho phng trình vi phân thng. Chng này trình bày các nh ngha và tính cht c bn ca h phng trình vi phân thng, phát biu và chng minh nh lý Floquet i vi phng trình vi phân thng. Các kin thc trình bày trong Chng này ch yu da vào các tài liu [2], [3], [4]. Chng 2: Lý thuyt Floquet trên thang thi gian. Chng 2 trình bày mt s nh ngha và tính cht v thang thi gian, h ng lc tuyn tính trên thang thi gian, lý thuyt Floquet i vi h ng lc tuyn tính tun hoàn trên thang thi gian tun hoàn và mt s ví d áp dng. Ni dung ca Chng c trình bày theo các tài liu [6], [7], có tham kho thêm tài liu [1]. Do thi gian và kh nng còn nhiu h n ch nên lun vn này không th tránh kh$i nhng thiu sót. Rt mong nhn c nhng ý kin óng góp quí báu ca các thy cô và các b n #ng nghip. 4 LI CM N Tác gi trân trng cm n Ban Giám hiu, Phòng ào t o sau  i hc, Trng  i hc khoa hc,  i hc Thái Nguyên ã quan tâm và t o iu kin tt nht cho tác gi hoàn thành khóa hc sau  i hc. Tác gi xin trân trng cm n cô giáo TS Nguy%n Th Thu Thy cùng các thy cô giáo tham gia ging d y lp cao hc K4B khóa 2010-2012 ã em ht nhit tình và tâm huyt ca mình trang b cho tác gi nhng kin thc c s. Tác gi xin trân trng cm n trng Ph& thông Hermann Gmeiner, Hi Phòng ã t o nhiu iu kin  tác gi có thi gian v'a hoàn thành nhim v ging d y t i trng, #ng thi hoàn thành tt khóa hc Th c s. Lun vn này c hoàn thành di s hng d(n tn tình ca thy giáo PGS TS T Duy Phng, Vin Toán hc. Tác gi xin trân trng bày t$ lòng bit n sâu s"c ti Thy. Tác gi cng xin gi li cm n chân thành n các thành viên lp cao hc K4B ã luôn quan tâm, giúp ) tác gi trong sut quá trình hc tp. Xin chân thành cm n gia ình, b n bè ã ng h, ng viên và giúp ) tác gi trong sut quá trình hc cao hc và thc hin  tài lun vn. Thái Nguyên, tháng 10 nm 2012. 5 CHNG 1 LÝ THUYT FLOQUET CHO H PHNG TRÌNH VI PHÂN THNG 1.1 Các khái nim c bn ca phng trình vi phân thng 1.1.1 H phng trình vi phân thng H phng trình vi phân thng là h phng trình d ng ( ) 1 2 , , , , , i i n dx f t x x x dt = 1,2, , , i n = , t I + ∈ (1.1.1) trong ó t là bin c lp (ch thi gian), { } :I t t t + = < < ∞ v  i t ∈  ho  c . t = −∞ Các hàm s  : i f G →  , 1, , i n = cho tr  c, xác  nh trong n  a hình tr  . n G I D + = × ⊂ ×   D là t  p m  trong không gian véc t  n chi  u th  c n  ho  c ph  c . n  Các hàm kh  vi 1 2 , , , n x x x là các hàm s  c  n tìm, Kí hi  u ( ) 1 2 1 , , ; n n x x x column x x x       = =        ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 , , ( , ) ( , ), , ( , ) . , n n f t x f t x f t x column f t x f t x f t x       = =          Khi  ó (1.1.1)  c vi  t d  i d ng ph  ng trình vi phân vect  : ( ) , , dx f t x dt = , t I + ∈ (1.1.2) Thông th  ng, ta  òi h $ i nghi  m c  a ph  ng trình vi phân (1.1.2) ph  i th $ a mãn  i  u ki  n ban  u 0 0 ( ) x t x = (1.1.3) v  i ( ) 0 0 , t x G ∈ cho tr  c. nh ngha 1.1.1 Hàm véc t  th  c ho  c ph  c ( ) x x t = thu  c l  p hàm kh  vi 1 C xác  nh trong kho  ng ( ) , a b I + ⊂ và th $ a mãn ph  ng trình (1.1.2)-(1.1.3) v  i 6 m  i , a t b < < trong  ó ( ) ( ) 0 0 , , , t x a b D ∈ ×  c g  i là nghi  m c  a ph  ng trình vi phân (1.1.2), th $ a mãn  i  u ki  n ban  u (1.1.3). D  i  ây nh " c l i  nh lý c  b  n v  t # n t i và duy nh  t nghi  m, là c  s   nghiên c  u tính ch  t & n  nh nghi  m c  a h  ph  ng trình vi phân th  ng. Hàm s Lipschitz Cho t  p . n G ⊂ ×   Hàm s  : n f G →   c g  i là Lipschitz  i v  i x  u theo t n  u t # n t i s  th  c d  ng L sao cho 1 2 1 2 ( , ) ( , ) f t x f t x L x x − ≤ − v  i m  i 1 2 ( , ) , ( , ) t x G t x G ∈ ∈ . Hàm : n f G →  , ( ) , n G a b D = × ⊂ ×   c gi là hàm Lipschitz a phng i vi x u theo t nu vi mi im x D ∈ t#n t i mt lân cn ( ) V x D ⊂ ca x sao cho f là Lipschitz i vi x u theo t trong lân cn y, tc là 1 2 1 2 ( , ) ( , ) f t x f t x L x x − ≤ − vi mi 1 2 , ( ) x x V x ∈ và ( ) , . t a b ∈ nh lý 1.1.1 (nh lý Picard-Lindelöp v s t#n t i và duy nht nghim ca phng trình vi phân) Gi s hàm : n f G →  xác nh và liên tc trên tp m , n G ⊂ ×   tha mãn iu kin Lipschitz theo x u theo t trên : G 1 2 1 2 ( , ) ( , ) f t x f t x L x x − ≤ − vi mi 1 2 ( , ) , ( , ) . t x G t x G ∈ ∈ Khi y vi mi 0 0 ( , ) t x G ∈ tìm c mt s 0 d > sao cho trên khong ( ) 0 0 , , t d t d − + nghim ca phng trình vi phân (1.1.2) tho mãn iu kin ban u (1.1.3) là tn ti và duy nht. Chúng ta có khái nim &n nh nghim do Lyapunov a ra nm 1892 di ây. 7 nh ngha 1.1.2 Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ ca h phng trình (1.1.2)-(1.1.3) c gi là n nh theo Lyapunov khi , t → +∞ nu vi mi s dng ε cho trc và vi mi ( ) 0 ; , t t ∈ +∞ t#n t i s dng ( ) 0 , 0 t δ δ ε = > sao cho 1. Mi nghim ( ) x t ca phng trình (1.1.2)-(1.1.3), k c nghim ( ), t η th$a mãn iu kin ( ) 0 0 ( ) , x t t η δ − < (1.1.4) phi kéo dài c ti vô cùng, tc là mi nghim ( ) x t có iu kin ban u th$a mãn (1.1.4) u xác nh trong khong 0 , t t ≤ < +∞ hay ( ) x t D ∈ vi mi [ ) 0 ; . t t ∈ +∞ 2. Các nghim ó th$a mãn bt *ng thc: ( ) ( )x t t η ε − < vi mi [ ) 0 ; . t t ∈ +∞ (1.1.5) iu kin (1.1.5) nói r!ng, các nghim có iu kin ban u ( ) 0 x t  gn ( ) 0 t η t i im 0 t phi mãi mãi (vi mi 0 t t ≥ )  trong ε − ng có trc là ( ) . t η nh ngha 1.1.3 Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) c gi là n nh u theo 0 t khi t → +∞ nu vi mi s dng ε cho trc, t#n t i s dng ( ) δ δ ε = không ph thuc vào 0 , t sao cho vi mi ( ) 0 ; , t a ∈ +∞ mi nghim ( ) x t ca phng trình (1.1.2) th$a mãn iu kin ban u ( ) 0 0 ( )x t t η δ − < u kéo dài c ti vô cùng (xác nh trong khong 0 t t ≤ < +∞ ) và th$a mãn iu kin (1.1.5). nh ngha 1.1.4 Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) c gi là không n nh theo Lyapunov khi t → +∞ nu t#n t i mt s 0 0 ε > và mt thi im 0 t I + ∈ sao cho, vi mi s 0, δ > t#n t i ít nht mt nghim ( ) x t ca 8 phng trình (1.1.2) và t#n t i mt thi im 1 0 t t > sao cho ( ) 0 0 ( )x t t η δ − < nhng ( ) 1 1 0 ( ) . x t t η ε − ≥ iu này có ngha là, t#n t i mt thi im 1 0 t t >  nghim ( ) x t vt ra kh$i ε − ng có trc là ( ) . t η nh ngha 1.1.5 Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) c gi là n nh tim cn khi t → +∞ nu: 1. Nghim ( ) 0 ( ),t t t η < < +∞ là &n nh theo Lyapunov khi t → +∞ và 2. Vi m+i 0 t I + ∈ t#n t i 0 ( ) 0 t ∆ = ∆ > sao cho tt c các nghim 0 ( ), ( ) x t t t ≤ < +∞ th$a mãn iu kin ( ) 0 0 ( )x t t η − < ∆ u có tính cht: lim ( ) ( ) 0. t x t t η →+∞ − = (1.1.6) B!ng phép &i bin ( ) ( ) ( ), y t x t t η = − ta có th a h phng trình (1.1.2) v phng trình d ng ( ) ( ) , , y t f t y =   vi ( ,0) 0. f t ≡  Do ó ta luôn có th gi thit ( ,0) 0. f t ≡ Khi y (1.1.2) có nghim tm thng (nghim cân b!ng) ( ) 0. t η ≡ Các nh ngha (1.1.2)-(1.1.5) có th phát biu gn gàng hn cho nghim ( ) 0. t η ≡ Thí d, ta nói nghim tm thng ( ) 0 t η ≡ ca phng trình (1.1.2) vi ( ,0) 0 f t ≡ là n nh tim cn nu nó &n nh theo Lyapunov và vi m+i 0 t I + ∈ t#n t i 0 ( ) 0 t ∆ = ∆ > sao cho tt c các nghim 0 ( ),( ) x t t t ≤ < +∞ th$a mãn iu kin 0 ( )x t < ∆ ta u có lim ( ) 0. t x t →+∞ = Vi m+i 0 t cho trc, hình cu 0 ( )x t < ∆ c gi là min hút v v trí cân b!ng ( ) 0 t η ≡ ca h (1.1.2). nh ngha 1.1.6 Gi s phng trình (1.1.2) xác nh trong na không gian . n G I + = ×  Khi ó nu nghim ( ) ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) &n 9 nh tim cn khi t → +∞ và mi nghim 0 ( ), ( ) x t t t ≤ < +∞ u th$a mãn iu kin lim ( ) ( ) 0 t x t t η →+∞ − = thì ( ) t η c gi là n nh tim cn trong toàn th. Nh vy nghim ( ) t η &n nh tim cn trong toàn th nu t i thi im ban u 0 t tùy ý, min hút ca nghim ó là toàn th không gian . n  Cùng vi h (1.1.2) ta xét h có nhi%u tác ng thng xuyên: ( ) , ( , ), dx f t x t x dt ϕ = + (1.1.7) trong ó ta luôn gi thit ( ) ( ) 0,1 0,1 ( , ) , ( , ) f t x C G t x C G ϕ ∈ ∈ là các hàm liên tc theo bin t và kh vi theo bin . x nh ngha 1.1.7 Nghim ( ) ( ),t t t η < < +∞ ca phng trình (1.1.2) c gi là n nh vi nhiu tác ng thng xuyên ( , ), t x ϕ nu vi mi 0 ε > và vi mi 0 , t I + ∈ t#n t i s ( ) 0 , 0 t δ δ ε = > sao cho khi ( ) , , t x ϕ δ < mi nghim ( ) x t ca h (1.1.7) th$a mãn iu kin ( ) 0 0 ( )x t t η δ − < cng u xác nh trên khong ( 0 t t ≤ < +∞ ) và th$a mãn iu kin ( ) ( )x t t η ε − < vi mi [ ) 0 ; . t t ∈ +∞ 1.1.2 H phng trình vi phân thng tuyn tính Xét h phng trình vi phân thng tuyn tính d ng ( ) ( ) 1 , 1, , n i ik k i k dx a t x f t i n dt = = + =  (1.1.8) trong ó ( ) ( ) . , . ( ), ik i a f C I + ∈ tc là các h s ( ) . ik a ca k x và các s h ng t do ( ) . i f ca h (1.1.8) là các hàm s liên tc trên khong ( ) ; . I t + = +∞ Nu không có chú thích gì khác, ta luôn gi thit các hàm s ( ) ( ) , ik i a t f t nhn giá tr thc và ( ), 1, , i x t i n = là các ,n hàm cn tìm cng nhn các giá tr thc. Nu a vào các kí hiu: [...]... trình vi phân tuy n tính ng trình vi phân tuy n tính 11 dx = A(t ) x + f (t ) , dt (1.1.9) trong ó A ( t ) , f ( t ) ∈ C ( I + ) và gi s dx = A(t ) x dt là h thu n nh t t (1.1.10) ng ng Tính ch t 1 T t c các nghi m c a h ph ng trình vi phân tuy n tính nh theo Lyapunov khi t → +∞ nh ho c không n T' tính ch t này, thay vì nói m t nghi m c th c a h ph &n nh, ta có th nói h ph không n u n ng trình vi phân. .. trình vi phân (1.1.9) x(t ), ( t0 ≤ t < +∞ ) c a h H qu 1.1.5 N u h ph n nh khi và ch! khi m i nghi m u gi i n i trên n a tr c t0 ≤ t < +∞ ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t n nh thì m i nghi m c a nó ho c b ch n ho c không b ch n khi t → +∞ 1.1.4 H kh quy Lý thuy t v h ph d ng t ph ng ng trình vi phân tuy n tính v i h s h!ng ã i tr n v-n M t câu h$i t nhiên t ra là: Li u có th ng trình vi. .. (1.1.10) t nh c ng t ng ng ng ng dáng i u c a 12 Vì v y, sau này ta gi i h n vi c nghiên c u tính &n nh ch i v i h vi phân tuy n tính thu n nh t Tính ch t 3 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n khi nghi m t m th ng η ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t nh u khi và ch! ng "ng (1.1.10) là n u khi t → +∞ nh Tính ch t 4 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n ng x ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t nghi m t... nh ti m c n khi t → +∞ H qu 1.1.3 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) n ch! khi h tuy n tính thu n nh t t Tính ch t 5 H ph ng "ng (1.1.10) n ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) ch! khi m i nghi m x(t ), ( t0 ≤ t < +∞ ) c a h ud n nh ti m c n khi và nh ti m c n n nh ti m c n khi và n 0 khi t → +∞, t"c là ta có lim x(t ) = 0 t →∞ H qu 1.1.4 H ph ng trình vi phân tuy n tính n nh ti m c n thì n nh ti... nói m t nghi m c th c a h ph &n nh, ta có th nói h ph không n u n ng trình vi phân là ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n nh hay nh Chú ý 1.1.1 Tính ch t trên không úng cho h ph ng trình vi phân phi tuy n vì có ví d ch ra r!ng, h phi tuy n có th v'a có nghi m &n nghi m không &n nh Tính ch t 2 H ph ng trình vi phân (1.1.9) n t do f (t ) khi và ch! khi nghi m t m th H qu 1.1.1 H ph n nh Lyapunov v... ( n × 1) − véc t , là phép bi n cg i i Liapunov nh ngh a 1.1.10 H ph ng trình vi phân tuy n tính thu n nh t (1.1.10) g i là kh quy theo Lyapunov n u nó th a c v h ph c ng trình vi phân tuy n tính v i ma tr n h!ng dy = By dt (1.1.12) nh m t phép bi n &i Lyapunov y = L ( t ) x nh lý 1.1.3 (Erugin, xem [2], [4]) H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.10) là kh quy khi và ch! khi m t ma tr n c b n X (t... ng trình vi phân th ng trình vi phân tuy n tính ng 14 dx = A ( t ) x, t ≥ 0 dt (1.2.1) v i ma tr n A ( t ) có các h s là các hàm s liên t c (ho c liên t c t'ng khúc), và tu n hoàn, t c là A ( t + ω ) = A ( t ) Ta có (1.2.2) nh lý Floquet n&i ti ng sau ây nh lý 1.2.1 ( nh lý Floquet, xem [2], [4]) Ma tr n nghi m c b n, chu n hóa t i t = 0 c a h tuy n tính (1.2.1) v i ma tr n A ( t ) là ω - tu n hoàn. .. 1.1.1 H ph n nh Lyapunov v i m i s h ng ng η ( t ) ≡ 0 c a h thu n nh t t ng nh Lyapunov khi t → +∞ "ng (1.1.10) là n nghi m c a h nh v'a có ng trình vi phân tuy n tính n nh, không n H qu 1.1.2 H ph nh n u ít nh t m t nh n u có m t nghi m không n nh ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t n và ch! khi h tuy n tính thu n nh t t ng "ng n V i h qu trên, nghiên c u tính &n nghiên c u tính &n nh c a nghi... u ( t ) phân ti n thông th 2.1.4 Tính kh tích nh ngh a 2.1.7 M t hàm f : → g i là ti n kh vi (pre-differentiable) v i mi n kh vi D n u các i u ki n sau #ng th i a) D ⊂ b) k k c th$a mãn: , \ D là không quá m c và không ch a i m cô l p ph i nào c a , c) f kh vi t i m+i t ∈ D nh lý 2.1.3 ( nh lý giá tr trung bình) Cho f và g là các hàm nh n giá tr th c, xác nh trên và là ti n kh vi v i mi n kh vi D Khi... nh t và m r ng trình vi phân sang cho h nh lý 2.3.1 ( Gi s t n 0 ng c a p nh lý Floquet trong lý thuy t ph ng ng l c tuy n tính p − tu n hoàn trên thang th i gian nh lý Floquet cho h t i và k ∈ n × n − ma tr n ng l c trên thang th i gian) h#ng R h i quy eR ( p + t0 , t0 ) = Φ A ( p + t0 , t0 ) , trong ó Φ A là ma tr n chuy n c a h hoàn (2.3.1) Khi ó ma tr n chuy n c a (2.3.1) có th c vi t d sao cho . trình vi phân. Mt lp quan trng ca phng trình vi phân là lp các phng trình vi phân vi h s tun hoàn. nh lý Floquet là mt nh lý c bn nht trong lý thuyt phng trình vi phân. CHO H PHNG TRÌNH VI PHÂN THNG 1.1 Các khái nim c bn ca phng trình vi phân thng 1.1.1 H phng trình vi phân thng H phng trình vi phân thng là h phng trình d ng (. tun hoàn trên thang thi gian. Lun vn Phng trình vi phân vi h s tun hoàn có mc ích trình bày lý thuyt Floquet cho h phng trình vi phân thng tuyn tính vi h s tun hoàn