ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM I HC KHOA HC T NHIÊN HUỲNH VĂN ĐỨC XÂY DNG THUNG T GII BÀI TOÁN TÌM KIM VI TRI THC HEURISTIC Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH Mã số chuyên ngành: 62 48 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Tp. Hồ Chí Minh năm 2013 Công trình được hoàn thành tại: Khoa Công Nghệ Thông Tin Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, Viện Toán Học 2. GS.TSKH. Bùi Doãn Khanh, Đại Học Paris VI, Pháp Phản biện 1: PGS.TS. Phan Trung Huy Phản biện 2: PGS.TS. Lê Anh Vũ Phản biện 3: TS. Trần Nam Dũng Phản biện độc lập 1: PGS.TS. Đoàn Văn Ban Phản biện độc lập 2: TS. Hồ Trung Dũng Phản biện độc lập 3: PGS.TS. Bùi Xuân Hải Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án họp tại Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh vào lúc giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:  Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM  Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên 1 LI CM T Tác giả xin khắc ghi công ơn GS. TSKH. Đỗ Ngọc Diệp, Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam; GS. TSKH. Bùi Doãn Khanh, Đại học Paris VI, Cộng hòa Pháp, những người thầy đáng kính, đã dày công hướng dẫn và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thành viên trong Hội đồng chấm luận án đã đọc và có các góp ý quý báu để tác giả hoàn thiện luận án. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến:  Quý Thầy Cô Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia TP.HCM;  Quý Thầy Cô, Nhân viên Khoa Hệ thống Thông tin kinh doanh, Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM;  Quý Thầy Cô, Nhân viên Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM; bởi sự quan tâm giúp đỡ tận tâm và thiết thực trong quá trình nghiên cứu cũng như trong quá trình hoàn thành luận án. Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, những người thân đã động viên giúp đỡ trong suốt quá trình thực hiện luận án. Cuối cùng xin cảm ơn người vợ thân yêu và hai con ngoan đã đóng góp giá trị tinh thần to lớn để chồng, cha hoàn thành công việc. 2 M U 1 Lý do ch tài Chúng tôi chọn xây dựng thuật toán lượng tử là vì chúng tôi tin rằng tính toán lượng tử hứa hẹn một cuộc cách mạng trong lĩnh vực khoa học máy tính. Niềm tin này càng được củng cố khi sự kiện giải Nobel vật lý năm 2012 được trao cho 2 nhà khoa học Pháp (Serge Haroche) và Mỹ (David Wineland) vì những phương pháp đột phá của họ liên quan đến khả năng xây dựng máy tính lượng tử. Với các nhà tin học, trong lúc chờ đợi các nhà vật lý khắc phục được các rào cản công nghệ để xây dựng máy tính lượng tử, các nghiên cứu về thuật toán vẫn phải được tiến hành. Thêm vào đó, hiện trạng nghiên cứu thuật toán lượng tử ở trong nước hầu như im ắng lại càng thôi thúc chúng tôi hơn. Theo chỗ chúng tôi biết, hiện trong nước chỉ có nhóm của PGS Phan Trung Huy quan tâm xây dựng phần mềm hỗ trợ cài đặt các thuật toán lượng tử đã có, với mục đích thực nghiệm, các nghiên cứu thuật toán hầu như còn bỏ ngỏ. Vì thế chúng tôi cho rằng việc xây dựng thành công thuật toán lượng tử sẽ có một ý nghĩa khích lệ lớn các nhà tin học trong nước. Bên cạnh đó chúng tôi còn thấy, trong lúc phép biến đổi Fourier có vai trò hết sức to lớn trong xây dựng thuật toán lượng tử, thì các phép biến đổi khác hầu như vắng mặt, trong đó có các phép biến đổi xử lý ảnh. Chúng tôi cho rằng xây dựng thuật toán lượng tử dựa trên các phép biến đổi xử lý ảnh có thể là một trong những điểm khởi đầu tốt cho các nghiên cứu trong nước. 2 Mng và phm vi nghiên cu Mục đích. Xây dựng thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu, được biểu diễn bằng hộp đen, dựa trên thuật toán Grover và phép biến đổi Hough, một trong những phép biến đổi có ý nghĩa trong lĩnh vực xử lý ảnh, cho phép bổ sung thông tin heuristic. 3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu của luận án là phép biến đổi unita, phần chính của một thuật toán lượng tử, giới hạn trên hộp đen và phép biến đổi trực giao SO(2N). 3 Nhng kt qu mi ca lun án Bao gồm: 1. Thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu với thông tin heuristic. Mẫu chịu tác động của nhóm H và thuật toán nhằm cài đặt hàm Boole f xác định trên H, xác định lời giải bài toán. Hàm f được sử dụng trong thuật toán Grover để giải bài toán. Thuật toán cho phép dùng một phần tử nhóm làm heuristic, thu hẹp không gian tìm kiếm trên một lớp kề của một nhóm con K cho trước. 2. Kỹ thuật phân tích hộp đen thành các cổng lượng tử. Hộp đen được biểu diễn qua các phần tử đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn. Các phần tử này được xây dựng hiệu quả bởi dãy tác động phụ hợp của các cổng CNOT và Toffoli lên cơ sở của đại số Lie su(2). Dùng kỹ thuật này, các phép biến đổi so sánh, tịnh tiến và hoán vị dùng để xây dựng thuật toán tìm mẫu cũng được cài đặt hiệu quả. 3. Thủ tục phân rã Cartan chuẩn. Chọn một phân rã Cartan hạng cực đại từ xuyến tối đại chuẩn của nhóm tương ứng, thủ tục được xây dựng có sự kết hợp của phân rã không gian nghiệm. Áp dụng phân rã đồng thời các phép biến đổi hoán vị, cung cấp một cách cài đặt khác các phép biến đổi của nhóm hoán vị, tùy thuộc ý đồ của người xây dựng thuật toán giải bài toán cụ thể. 4 4 Pu 1. Cài đặt phép biến đổi Hough. Tổng quát hóa phép biến đổi Hough dưới thuật ngữ tác động nhóm. Mô tả các hàm bầu chọn thông qua các phép toán nhóm. Mở rộng khái niệm hộp đen lượng giá hàm thành hộp đen nhóm, biểu diễn tác động nhóm, phép toán nhóm, và hàm bầu chọn bằng hộp đen. Dùng các hộp đen này và các hộp đen biểu diễn dữ liệu bài toán xây dựng phiên bản lượng tử cho phép biến đổi Hough. 2. Cài đặt heuristic. Mô tả hàm heuristic qua phép toán nhóm. Vẫn dùng hộp đen biểu diễn nhóm và phép toán hợp thành của nhóm, qua đó thiết kế thuật toán cho phép cài đặt heuristic. 3. Cài đặt hộp đen. Chéo hóa đồng thời các hộp đen, chuyển bài toán về khảo sát trên đại số Lie. Chọn cơ sở không gian véc tơ thích hợp và dùng tác động phụ hợp của các cổng CNOT và Toffoli cài đặt hiệu quả các phần tử cơ sở này. Phân rã một hộp đen lúc này đơn giản là giải một bài toán đại số tuyến tính. Áp dụng cài đặt các hộp đen dùng trong mô hình thuật toán tìm mẫu. 4. Phân rã phép biến đổi SO(2N). Chọn một phân rã Cartan từ phân rã không gian nghiệm hình thành từ các nghiệm định nghĩa trên xuyến tối đại chuẩn của SO(2N). Cách làm này cho phép phân rã tiếp theo vẫn làm việc với SO(2N). Hơn nữa việc chọn xuyến tối tại chuẩn đủ tường minh để xây dựng thủ tục phân rã. 5. Sử dụng heuristic. Mô tả phép biến đổi hoán vị dưới dạng hộp đen điều khiển cho phép bổ sung heuristic qua các giá trị này. Ngoài ra, sắp xếp các phép biến đổi hoán vị dưới dạng tổng trực tiếp cho phép phân rã đồng thời cũng là một cách bổ sung heuristic. 5 5 Cu trúc lun án Luận án gồm phần 141 trang, bao gồm:  Phần mở đầu: 9 trang;  Chương 1: 28 trang, trình bày tổng quan về thuật toán lượng tử, tích nửa trực tiếp, cấu trúc đại số Lie và phép biến đổi Hough;  Chương 2: 29 trang, xây dựng mô hình và khung thuật toán cho bài toán tìm mẫu với thông tin heuristic, sử dụng tích nửa trực tiếp của nhóm và phép biến đổi Hough;  Chương 3: 35 trang, trình bày các kết quả nghiên cứu hộp đen thông qua đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn của nhóm Lie SU(N), các kết quả này giúp cài đặt hiệu quả các phép biến đổi dùng trong xây dựng mô hình thuật toán ở chương 2;  Chương 4: 27 trang, đề xuất phân rã Cartan chuẩn, là sự kết hợp giữa phân rã không gian nghiệm và phân rã Cartan; chương này cũng đề xuất một thủ tục phân rã cho phép phân rã các biến đổi trực giao;  Phần kết luận: 1 trang, liệt kê 3 kết quả mới của luận án;  Phần kiến nghị: 1 trang, liệt kê 6 công việc cần nghiên cứu tiếp;  Phần danh mục công trình của tác giả: 1 trang, liệt kê 5 công trình, trong đó 4 bài báo được đăng trên các tạp chí và tuyển tập công trình trong nước, 1 bài báo đăng trong kỷ yếu quốc tế được tổ chức ở Việt Nam và được in ở Paris, Pháp;  Phần danh mục các tài liệu tham khảo: 10 trang, liệt kê 114 tài liệu tiếng Anh. Để tiện đối chiếu, bản tóm tắt này phản ảnh trung thực kết cấu, bố cục và nội dung của luận án bao gồm cả thứ tự đánh số các định nghĩa, bổ đề, mệnh đề, định lý, công thức. 6  TNG QUAN Trong chương này chúng tôi trình bày vắn tắt về thuật toán lượng tử, nhóm tích bện, cấu trúc đại số Lie, và phép biến đổi Hough. Chúng tôi dùng nhóm tích bện cài đặt phép biến đổi Hough trong chương 2; dùng đại số Lie cài đặt hộp đen trong chương 3, qua đó cài đặt một số phép biến đổi quan trọng được sử dụng trong mô hình ; dùng cấu trúc đại số Lie phân rã một số phép biến đổi quan trọng khác trong chương 4. Tất cả nhằm hoàn chỉnh thuật toán tìm mẫu được xây dựng trong chương 2. Sơ đồ sau cung cấp một cái nhìn tổng thể, trong đó phép dịch chuyển bít và phép toán so sánh đã được cài đặt từ trước bởi các tác giả khác 7  THUT TOÁN TÌM MU Trong chương này chúng tôi đề xuất một thuật toán lượng tử cho bài toán tìm mẫu dùng thông tin heuristic dựa trên lý thuyết nhóm. Chúng tôi phát biểu bài toán dưới thuật ngữ phép toán nhóm, tổng quát hóa phép biến đổi Hough dùng tác động nhóm, qua đó phát biểu tiêu chuẩn tối ưu thành các đẳng thức dùng các phép toán nhóm. Từ đó xây dựng các bước thiết kế thuật toán dễ theo dõi và đáng tin cậy. 1 Phát biu bài toán Ký hiệu tập mẫu   : nm f B B , (2.1) với B = {0, 1} và B m là nhóm. Giả sử nhóm H tác động lên B n , hình thành nhóm tích bện []n m Wr B H H   , (2.2)   1 : hh h p p x p x    . (2.3) Xét mẫu p, quỹ đạo của p dưới tác động của H là họ các mẫu   h hH p   , (2.4) định nghĩa hàm Boole quyết định f xác định trên H       1, h f h q p R     . (2.5) Với phép biến đổi Hough, quan hệ R được xác định bởi các phiếu bầu. Bài toán 2.1 Tìm h thuộc H thỏa f(h) = 1. 8 Trong thực tế ứng dụng, cấp của H thường rất lớn, chúng tôi quan tâm đến việc tìm h thỏa f(h) = 1 trong một nhóm con K của H, với số phần tử của K ít hơn rất nhiều so với số phần tử của H. Với h như vậy, xét     1 , h f g f gh g H     . (2.6) Bài toán 2.2 Với dữ kiện của Bài toán 2.1, xét nhóm con K và h thuộc về lớp kề chứa lời giải, bài toán quy về tìm k thuộc K sao cho   1 1 h fk   , với 1 h f  được định nghĩa bởi (2.6). 2 Xây dng thut toán tìm mu 2.1  Ký hiệu hàm Boole so khớp d p,q xác định p nằm trong q               , 10 pq d x d x p x p x q x      ; (2.10) ngoài ra với hàm Boole b, đặt       1 1 b c b c b x b      ; (2.11) và với mẫu p, ký hiệu p là hàm Boole xác định p khác với đơn vị 0     10p x p x   . (2.12) 2.3 Giả sử p, q thuộc ℱ , ta định nghĩa (p, q) ∈ R nếu     ,pq c d c p , (2.13) trong đó d p,q , c và p cho bởi (2.10), (2.11) và (2.12). Như vậy với p, q thuộc ℱ , ta có         , 1 h pq f h c d c p     . (2.14) [...]... tác động của nhóm H và thuật toán nhằm cài đặt hàm Boole f xác định trên H, xác định lời giải bài toán Hàm f được sử dụng trong thuật toán Grover để giải bài toán Mô hình cho phép dùng một phần tử nhóm làm heuristic, thu hẹp không gian tìm kiếm trên một lớp kề của một nhóm con K cho trước 2 Kỹ thuật phân tích hộp đen thành các cổng lượng tử Hộp đen được biểu diễn qua các phần tử đại số Lie của xuyến... phát tri n thêm chi tiết 3 Cài đặt 3.1 Các cổng tịnh tiến Định lý 3.2 Hộp đen tịnh tiến (hay phép toán cộng lượng tử) (2.26) được cài đặt hiệu quả, với độ phức tạp O(n2) cho U+ và độ phức tạp O(n) cho U+k nh 3.3: Thuật toán cài đặt phép toán cộng lượng tử U+ 15 nh 3.4: Thuật toán cài đặt phép cộng với hằng U+k 3.2 Cài đặt các cổng so sánh Định lý 3.3 Các hộp đen so sánh U 𝜃 (2.27) có thể được cài đặt với. .. đề 4.2, và Thuật toán 4.3, ta có  n U    x  I n  2  1      1 n    I n  2    I n  2  I  U  1  x    1    1      Tương tự cho trường hợp dịch chuyển trái Như vậy phép biến đổi dịch chuyển bit (3.17) được cài đặt với độ phức tạp tuyến tính 23 KẾT LUẬN Những kết quả mới của luận án gồm có: 1 Thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu với thông tin heuristic. .. gian con sinh bởi k phần tử độc lập tuyến tính tùy ý lấy từ A, ta có C1  C2   CN  V 13 (3.11) Cố định k, với v thuộc V, tìm khoảng cách của v với Ck Trong thực tế ứng dụng, khi N = 2n quá lớn, k được chọn cỡ đa thức theo n Khi ấy bài toán tìm A để khoảng cách Ck với v đủ nhỏ là thật sự có ý nghĩa Định nghĩa 3.1 Với V, A và Cj như trên, họ các Cj, với j cỡ đa thức đối với logN được gọi là họ các... O(n) lần tác động của cổng Toffoli lên c0 Như vậy km  h được xây dựng từ w1 với độ phức tạp tuyến tính theo n Kết hợp với (3.13), suy ra các cơ sở W con được xây dựng với độ phức tạp tuyến tính Chúng tôi đề xuất bổ sung các cơ sở W con vào A Với cơ sở B, bằng cách thêm 1 qubit luôn nhận giá trị 0, chúng tôi cài đặt các phần tử thuộc cơ sở B với độ phức tạp không quá n Ad x  I m  k   I  k  km... các Định lý 4.2 và Định lý 4.3 dùng để xây dựng Định lý 4.4, cơ sở xây dựng các thủ tục phân rã, Thuật toán 4.2 và Thuật toán 4.3 Định lý 4.2 Cho trước tập con tùy ý T  {1,, m} , sao cho { j } jT  t* độc lập tuyến tính Khi ấy với mọi v    l j , tồn tại x  t , và v0 {e j } jT  jT sao cho v  Adexp x v0 Định lý 4.3 Cho phân rã Cartan chuẩn g  l  m với t là một đại số con Cartan của m... chuẩn Các phần tử này được xây dựng hiệu quả bởi dãy tác động phụ hợp của các cổng CNOT và Toffoli lên cơ sở của đại số Lie su(2) Dùng kỹ thuật này, các phép biến đổi so sánh, tịnh tiến và hoán vị dùng để thiết kế thuật toán tìm mẫu cũng được cài đặt hiệu quả 3 Thủ tục phân rã Cartan chuẩn Chọn một phân rã Cartan hạng cực đại từ xuyến tối đại chuẩn của nhóm tương ứng, thủ tục được xây dựng có sự kết... Diệp, Bùi Doãn Khanh (2009), “Tiếp cận đại số xây dựng thuật toán lượng tử , Tạp chí Ứng dụng Toán học, Tập VII, số 01, 06-2009, pp 093-110 [D4] Huynh Van Duc, Bui Doan Khanh, Do Ngoc Diep (2011), “A Quantum Algorithm for Solving the Traveling Salesman Problem”, Journal of Science and Technology, Vol49, N5, 2011, pp 25-34 [D5] Huỳnh Văn Đức (2012), Thuật toán phân rã Cartan hạng cực đại”, Tuyển tập... các phép biến đổi hoán vị, cung cấp một cách cài đặt khác các phép biến đổi của nhóm hoán vị, tùy thuộc ý đồ của người xây dựng thuật toán giải bài toán cụ thể 24 DANH MỤC CÔNG TRÌNH [D1] Huynh Van Duc, Bui Doan Khanh, Do Ngoc Diep (2008), Pattern Search Quantum Algorithms, Addendum Contributions to 2008 IEEE International Conference RIVF, ISSN 1242-5125 ENST S (Paris), July 13-17, 2008, Ho Chi Minh City,... (4.15) Hệ quả 4.3 Với mỗi G  SO(2 N ) , G  K1 AK 2 Đặc biệt nếu G  exp(v), v   ( x , y )T1 l xy   ( x , y )T2 k xy , { xy }( x , y )T1  { xy }( x , y )T2 độc lập tuyến tính, G  Ad A1 K Trong đó  xy là nghiệm ứng với l xy ,  xy là nghiệm ứng với k xy ; K1 , K 2 , K  el ; còn A, A1  e t Thuật toán 4.3 (phân rã so(2N)) Vào: G  SO(2 N ) Ra: G  K1 AK 2 hoặc G  Ad A1 K , với K1, K2, K, . cài đặt các thuật toán lượng tử đã có, với mục đích thực nghiệm, các nghiên cứu thuật toán hầu như còn bỏ ngỏ. Vì thế chúng tôi cho rằng việc xây dựng thành công thuật toán lượng tử sẽ có một. chính của một thuật toán lượng tử, giới hạn trên hộp đen và phép biến đổi trực giao SO(2N). 3 Nhng kt qu mi ca lun án Bao gồm: 1. Thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu với thông tin. nhóm H và thuật toán nhằm cài đặt hàm Boole f xác định trên H, xác định lời giải bài toán. Hàm f được sử dụng trong thuật toán Grover để giải bài toán. Thuật toán cho phép dùng một phần tử nhóm