Đang tải... (xem toàn văn)
bài tập lớn lí thuyết ngẫu nhiên dành cho Thac sỹ xây dựng . tài liệu chuẩn...................................................................................................................................................................................................
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC BÀI TẬP LỚN LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : TS. NGUYỄN NGỌC CỪ HỌC VIÊN : LỚP : XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP Năm 2011 BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bài 1: Gieo xúc xắc liên tiếp n lần, tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở n lần gieo chia hết cho 6. Giải Hai lần gieo xúc xắc, A : chia hết cho 6. ( ) 6 1 36 6 A p = = Số lần gieo xúc xắc B1, B2, B3, , B6 ⇒ Hệ đầy đủ. 6 ( ) ( / ) ( ) 1 1 . 6 A A Bi Bi i p p p = = = ∑ Bi = tổng số (n-1) lần gieo đầu: i = mod(6) ( ) 1 6 Bi p = ( / ) 1 6 A Bi p = Áp dụng định lý xác suất đầy đủ ⇒ xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở n lần gieo chia hết cho 6 bằng 1 6 Bài 2: Một tập gồm 10 vé trong đó có 3 vé trúng thưởng. Chọn ngẫu nhiên 5 vé, tìm xác suất để trong đó có đúng hai vé có thưởng. Giải Gọi A là biến cố có đúng hai vé trúng thưởng trong 5 vé lấy ra. Số trường hợp có thể có khi lấy ra 5 vé là: 252C 5 10 = Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: 105 2 3 3 7 =CC 3 2 7 3 5 10 105 ( ) 0.416667 252 C C P A C = = = Bài 3: Một xạ thủ bắn bia, xác suất trung bia của xạ thủ là 0,75. Tìm xác suất để sau 4 lần bắn liên tục, lần bắn cuối cùng là lần đầu tiên xạ thủ bắn trúng bia. Giải Gọi B i = {xạ thủ bắn trúng đích ở phát thử i } với i = 1,2,3,4 A = {xạ thủ bắn trúng đích ở phát thứ 4 mới trúng đích} Các biến cố này độc lập với nhau. Do vậy 4321 BBBBA = )().().().()A( 432 1 BPBPBPBPP = Học viên: ……… 2 BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 0.0117180,25.0,750,25.0,25.)AP( == Bài 4: A và B chơi một trò chơi như sau: A gieo đồng thời 2 xúc xắc. Nếu tổng bằng 7 hoặc 11, A thắng cuộc, nếu tổng bằng 2,3 hoặc 12, A thua cuộc. Các trường hợp còn lại, A lặp lại trò chơi đến khi có người thắng người thua. Tìm xác xuất để A thắng? Giải Gọi B 1 là biến cố có tổng bằng 7 hoặc 11. B 2 là biến cố có tổng bằng 2,3 hoặc 12. B 3 là biến cố có tổng bằng các trường hợp còn lại. A là biến cố A thắng cuộc. Khi đó B 1 , B 2 , B 3 lập thành hệ đầy đủ các biến cố. Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có: P(A) = P(B 1 ).P(A|B 1 ) + P(B 2 ).P(A|B 2 ) + P(B 3 ).P(A|B 3 ) P(B 1 ) = 2 9 ; P(B 2 ) = 1 9 ; P(B 3 ) = 2 3 P(A|B 1 ) = 1 ; P(A|B 2 ) = 0 ; P(A|B 3 ) = P(A) Khi đó: P(A) = 2 9 . 1 + 1 9 . 0 + 2 3 . P(A) 1 3 . P(A) = 2 9 . Vậy P(A) = 2 3 Bài 5: Chọn ngẫu nhiên hai số thực dương x,y không vượt quá 3. Tim xác suất của biến cố 1 y x ≤ và 2≤xy ? Giải Xác suất của biến cố y/x ≤ 1 và xy ≤ 2 (với 0 < x, y ≤ 3) chính là tỷ lệ giữa diện tích S 1 , phần giới hạn bởi y = x, xy = 2, y = 3 , x = 0 và diện tích tích của hình vuông có cạnh là 3, S 2 S 1 = 2 3 0 2 2 xdx dx x + ∫ ∫ = 2 2 3 0 2 2ln 2 x x+ = 2,50407 S 2 = 3 x 3 = 9 Vậy xác suất cần tìm: P = 2,50407/9 = 0,2782 Học viên: ……… 3 0 3 2 2 y/x =1 xy = 2 3 X Y BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bài 6: Các hộp được đánh số từ 1,2…N và hộp mang số k chứa k bi đỏ, N-k bi trắng (k = 1…N). Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ hộp này chọn một viên bi. Tìm xác suất được bi đỏ? Giải Biến cố để chọn được hộp thứ k là A k , các biến cố này độc lập nhau: N AP K 1 )( = Biến cố để chọn được bi đỏ là B. Xác suất để chọn được bi đỏ từ hộp thứ là B k : ( ) 2 N k BP K = Xác suất để chọn được bi đỏ: 2222 21321 ) 21( 21 ) ()( N N N N NN PPPBBBBPBP NN +++ =++=+++=++++= NN N N NN k N BP N k 2 1 2 1 2 1 )1( 2 1 1 )( 2 1 2 += + = + == ∑ = Hoặc dùng công thức xác suất đầy đủ: Gọi B k là xác suất chọn được bi đỏ từ hộp thứ k chọn trước đó: ∑ ∑ = = +=== N k N k kk NNN k APABPBP 1 1 2 1 2 11 )()/()( Bài 7: Một học sinh làm bài thi gồm 4 câu hỏi. Xác suất giải đúng mỗi câu trong ba câu hỏi đầu là 0,75, giải đúng câu hỏi cuối là 0,4. Tìm luật phân bố câu giải đúng, tính kỳ vọng, phương sai của nó? Giải Gọi biến cố làm đúng số lượng i câu là x i : X= {x i } Biến cố làm đúng câu i là y i có xác suất tương ứng là: 25,075,0 321 321 ===→=== yyy yyy pppppp 6.04.0 4 4 =→= y y pp Biến cố làm đúng không câu: 4321 0 yyyyx = Biến cố làm đúng một câu: 32144213431243211 yyyyyyyyyyyyyyyyx +++= Biến cố làm đúng hai câu: 2143314241323241423143212 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyx +++++= Biến cố làm đúng ba câu: 43214321432143213 yyyyyyyyyyyyyyyyx +++= Biến cố làm đúng bốn câu: 43214 yyyyx = 0.009375)( 00 == xpp 0.309375)( 0.090625)( 22 11 == == xpp xpp 0.16875)( 0.421875)( 44 33 == == xpp xpp Vì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nên luật phân bố cho dưới dạng bảng Học viên: ……… 4 X x 0 = 0 x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 =3 x 4 = 4 P i 0.009375 0.090625 0.309375 0.421875 0.16875 BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Tính kỳ vọng: EX =0.0,009375+ 1.0,090625 + 2.0,309375 + 3. 0,421875 + 4.0,16875 = 2,65 Tính phương sai: ( ) ( ) ( ) 8025,065,2825,7)( 2 2 2 2 =−=−=−= EXXEEXXExD Trong đó: 825,7 16.0,16875 0,421875 9. 4.0,309375 1.0,090625)( 2 =+++=XE Bài 8: X có phân bố đều trên đoạn [0, π /2]. Hãy tìm hàm mật độ của X eY = và hàm mật độ của XZ sin= Giải X là phân bố đều nên nó có hàm mật độ: ≤ > = 0 ;0 0 ; 2 )( x x xf π a) Xét Y = e X Có Y’ = e X với [ ] 2/,0 π =∈ IX hàm Y’ không đổi dấu trong khoảng I. Tìm hàm ngược của Y = e x và đạo hàm của hàm ngược đó: X eXY == ][ ϕ XY =)ln( Hàm ngược của Y = e X là )ln(][ 1 XX = − ϕ và đạo hàm là X 1 ( ) ; 2 ))(ln()ln( 1 π ϕ =→= − yfyy ( ) y y 1 ')( 1 = − ϕ Hàm mật độ của Y là: = = 0 212 )( yy yg ππ 2 2 ;1 1 π π eyy ey >< ≤≤ b) Xét Z = sinX Z’= Cos(X) ta thấy Z’ cũng không đổi dấu trong khoảng [0,π/2] Hàm ngược của Z : )( 1 X − ϕ = ArcsinX; có đạo hàm là = − )'( 1 X ϕ 2 1 1 x− ( ) ; 2 ))sin(()sin( 1 π ϕ =→= − zArcfzArcz ( ) 2 1 1 1 ')( z z − = − ϕ Hàm mật độ của Z là: − = − = 0 1 2 1 12 )( 22 zz zg π π 1;0 10 >< ≤≤ zz z Học viên: ……… 5 BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bài 9: X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân bố đều trên đoạn [0,1]. Xác định hàm mật độ của X + Y và 2X+Y. Tính kỳ vọng và phương sai của chúng? Giải ( ) 0 1 neu x [0,1] f x neu x [0,1] ∈ = ∉ Hàm mật độ của Y là: ( ) 0 1 neu y [0,1] g y neu y [0,1] ∈ = ∉ Gọi r(z) là hàm mật độ của Z = X + Y ( ) ( ) ( )r z f z y g y dy +∞ −∞ = − ∫ 1 0 ( ) ( )r z f z y dy= − ∫ Nếu 0 < z ≤1: 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 z z z r z f z y dy f z y dy dy z= − + − = = ∫ ∫ ∫ Nếu 1 < z ≤ 2: 1 1 1 1 ( ) ( ) 1. 2 z z r z f z y dy dy z − − = − = = − ∫ ∫ r(z) = [ ] neu z (0,1] 2-z neu z (1,2] 0 neu z 0,2 z ∈ ∈ ∉ Kì vọng: E(Z) = E(X + Y) = EX + EY EX = 1 0 1 ( ) 2 xf x dx xdx +∞ −∞ = = ∫ ∫ EY = 1 0 1 ( ) 2 yg y dy ydy +∞ −∞ = = ∫ ∫ Vậy EZ = 1 1 1 2 2 + = Phương sai: DZ = D(X + Y) = DX + DY EX 2 = 1 2 2 0 1 ( ) 3 x f x dx x dx +∞ −∞ = = ∫ ∫ DX = 1 1 1 3 4 12 − = = DY Vậy: DZ = DX + DY = 1 1 1 12 12 6 + = Gọi r(z) là hàm mật độ của Z = 2X + Y Học viên: ……… 6 BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ( ) ( ) ( ) 2 z y r z f g y dy +∞ −∞ − = ∫ 1 0 ( ) ( ) 2 z y r z f dy − = ∫ Nếu 0 < z ≤ 1: 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 2 2 z z z z y z y r z f dy f dy dy z − − = + = = ∫ ∫ ∫ Nếu 1 < z ≤ 2: 1 1 0 0 ( ) ( ) 1. 1 2 z y r z f dy dy − = = = ∫ ∫ Nếu 2 ≤ z ≤ 3 1 1 2 2 ( ) ( ) 1. 3 2 z z z y r z f dy dy z − − − = = = − ∫ ∫ r(z) = [ ] nêu z (0,1] 1 nêu z (1,2] 3-z nêu z (2,3] 0 nêu z 0,3 z ∈ ∈ ∈ ∉ Kì vọng: E(Z) = E(2X + Y) = 2EX + EY EX = 1 0 1 ( ) 2 xf x dx xdx +∞ −∞ = = ∫ ∫ EY = 1 0 1 ( ) 2 yg y dy ydy +∞ −∞ = = ∫ ∫ EZ = 1 1 3 2 2 2 2 × + = Phương sai: DZ = D(2X + Y) = 4DX + DY EX 2 = 1 2 2 0 1 ( ) 3 x f x dx x dx +∞ −∞ = = ∫ ∫ DX = 1 1 1 3 4 12 − = = DY DZ = 1 1 5 4 12 12 12 × + = Bài 10: X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố đều trên khoảng (-1,1). Hãy tính hàm mật độ của X+Y ? Giải *)Tìm hàm mật độ của X+Y=Z Hàm phân bố của Z=X+Y )()()( zYXzZZ PPR <+< == Học viên: ……… 7 BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN ( ) << −− <<− −− = 20 8 )2(8 02 8 2 2 2 )( Zneu Z Zneu Z R Z =>Hàm mật độ của Z=X+Y. <<− <<−+ == 20 42 1 02 42 1 ' Zneu Z Zneu Z Rr Z z Bài 11: Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân bố mũ với tham số λ . Hãy tính hàm mật độ của |X-Y| ? Giải X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ với tham số λ. Vậy hàm mật độ của X, Y lần lượt là: nêu x > 0 ( ) 0 nêu x 0 x e f x λ λ − = ≤ nêu y > 0 ( ) 0 nêu y 0 y e g y λ λ − = ≤ Gọi r(z) là hàm mật độ của Z = X – Y = X + (-Y) Khi đó : ( ) ( ) ( )r z f z y g y dy +∞ −∞ = + ∫ = 0 ( ) y f z y e dy λ λ +∞ − + ∫ Với z ≤ 0: ( ) 2 2 ( ) ( ) y y z y z y z z z r z f z y e dy e e dy e e dy λ λ λ λ λ λ λ λ λ +∞ +∞ +∞ − − + − − − − − − = + = = ∫ ∫ ∫ ( ) 2 z r z e λ λ = Với z > 0: 2 2 0 0 ( ) ( ) y z y r z f z y e dy e e dy λ λ λ λ λ +∞ +∞ − − − = + = ∫ ∫ ( ) 2 z r z e λ λ − = Hàm mật độ của X Y− là nêu z > 0 0 nêu z 0 z e λ λ − ≤ Học viên: ……… 8 BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bài 12: Hàm mật độ đồng thời của X và Y có dạng: ×∉ ×∈ = ) 4 ,0() 4 ,0(;0 ) 4 ,0() 4 ,0(),(;cossin ),( ππ ππ yxyxC yxh (a) Xác định C? (b) X và Y có độc lập không? Tại sao? (c) Tính xác suất P(2Y<X)? Giải (a) Tính C: Theo tính chất hàm mật độ có ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− = 1),( dxdyyxh Ta có: ∫ ∫ − =→ −== 4 0 4 0 12 2 2 1 2 1 1cossin π π CCyxC (b) X, Y có độc lập không? Gọi hàm phân bố của X là f 1 (x) của Y là f 2 (y) 4 1 0 sin ( ) sin cos 2 C x f x C x ydy π = ∫ ; ∫ −== 4 0 2 cos 2 1 1cossin)( π yCydxxCyf ),(cossin 2 12 )()( 2 21 yxhxxCyfxf = − = khi C= 12 2 − Vậy X, Y là độc lập nhau. c/ Tính xác suất P(2Y<X): P(2Y<X) = ∫∫ <xy dxdyyxh 2 ),( = ∫ ∫ − 4/ 0 2/ 0 cossin 12 2 π ydxdyx x = dxyx x ∫ − 4/ 0 2/ 0 sin.sin 12 2 π = − − 4/ 0 4/ 0 2 3 3 2 2 2 12 1 ππ x Sin x Sin = − − 8 3 3 2 8 2 12 1 ππ SinSin = 0,3608 Học viên: ……… 9 BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bài 13: Hàm mật độ (X,Y) bằng: ( ) ∉ ∈++ = )1,0()1,0(),(;0 )1,0()1,0(),(; 11 12 ),( 22 xyx xyxyxyx yxh (a) Tính EX, EY và tìm P(X+Y<1)? (b) X và Y độc lập không? Tính cov(X,Y) và hệ số tương quan XY ρ ? Giải (a) Hàm mật độ của X, Y: ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∞+ ∞− +∞ ∞− ++=== ++=== 1 0 2 1 0 2 632 11 2 ),(),()( 632 11 2 ),(),()( yydxyxhdyyxhyg xxdyyxhdyyxhxf Kỳ vọng của X, Y: EX = ∫ = 1 0 11 7 )( dxxxf EY = ∫ = 1 0 11 7 )( dyyyg Tính )1( <+ YXP : ( ) ∫ ∫∫∫ − =++==<+ 1 0 1 0 22 22 5 11 2 ),()1( x A dyyxyxdxdxdyyxhYXP (b) X và Y độc lập không? ( )( ) →≠++++=× ),(632632 121 4 )()( 22 yxhyyxxygxf X và Y phụ thuộc nhau. c2/ Tính Cov(X,Y) : Cov(X,Y) = E(XY) - EX.EY E(XY) = dxdyyxhxy ∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− ),(. = ∫∫ ++ 1 0 1 0 22 )( 11 12 dxdyyxyxxy = 1 0 234 89811 12 ++ xxx = 33 13 EX = ∫ ∞ ∞− dxxxf )( = ∫ ++ 1 0 ) 3 1 2 ( 11 12 2 dx x x x = 7/11 ≈ 0.63636 EY = ∫ ∞ ∞− dyyyg )( = ∫ ++ 1 0 ) 3 1 2 ( 11 12 2 dy y y y = 7/11 ≈ 0.63636 Cov(X,Y) = E(XY) - EX.EY = 011,0 363 4 11 7 33 13 2 −≈ − = − c3. Hệ số tương quan của (XY) : Học viên: ……… 10 [...]...ρ XY BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN −4 Cov ( x, y ) − 40 363 = = = ≈ −0,156 σ ( x).σ ( y ) 257 257 257 × 3630 3630 Bài 14: X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn N(0,1) Tính xác suất P(X . 17.608281 )-2 -4 ,12CHIINV(0.0= 2 = α χ Học viên: ……… 19 Cao Số cây Cao Số cây <7 1 9. 5-1 0 13 7. 0-7 .5 2 1 0-1 0.5 20 7. 0-8 .5 7 10. 5-1 1 22 8. 0-8 .5 6 1 1- 11.5 15 8. 5-9 .0 13 11. 5-1 2 8 9. 0-9 .5 12 1 2-1 2.5. LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN Bài 3 : Mẫu có phân bố chuẩn X 6.9 7. 2- 7.8 7. 8- 8.4 8. 4- 9 9. 0- 9.6 9. 6- 10.2 n i 8 14 8 3 5 2 (a) Với độ tin cậy 94% tìm khoảng tin cậy cho kỳ vọng EX. 45.5625 0.007227 0.020335 7. 0- 7.5 7.25 2 14.5 105.125 0.013948 0.063607 7. 0- 8.5 7.75 7 54.25 420.4375 0.03205 2.586469 8. 0- 8.5 8.25 6 49.5 408.375 0.062108 0.283267 8. 5- 9.0 8.75 13 113.75 995.3125