Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính tích phân dạng   cos .sin I f x x dx     đặt cos sin t x dt dx     Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau   2 2 0 sin cos 1 cos I x x x dx     Giải: Cách 1: Ta có:       2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos .sin I x x x dx x x x x dx x x x xdx               Đặt cos sin t x dt xdx     Đổi cận 0 1 0 2 x t t x               Khi đó     0 1 2 3 4 2 3 2 3 1 0 1 2 17 2 2 0 2 3 4 12 t t t I t t t dt t t t dt                    Cách 2:         2 2 2 2 2 2 3 0 0 0 2 3 4 sin cos 1 cos sin cos 1 2cos cos cos 2cos cos . cos cos 2cos cos 17 2 2 3 4 12 0 I x x x dx x x x x dx x x x d x x x x                            Cách 3: Đặt sin 1 cos cos 1 xdx dt t x x t           … bạn đọc tự giải (cách này là dễ nhất) Cách 4: Đặt         3 2 2 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 co sin cos s 3 du x x x xdx u x d v d xv xdx                       Khi đó www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2           2 2 3 3 3 0 0 4 1 2 1 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 3 3 3 0 2 1 17 1 cos 2 3 12 1 c 12 os . 3 0 x x x dx x d x I x x                    Bài 2: Tính tích phân sau 2 3 sin dx I x     Giải: Cách 1: Nhân cả tử và mẫu cho sin x ta được 2 2 2 2 2 3 3 3 sin sin sin sin 1 cos dx xdx xdx I x x x              Đặt cos sin t x dt xdx     Đổi cận 0 2 1 2 3 t x t x                    Khi đó   1 1 1 1 0 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln3 2 2 2 0 dt dt dt dt I dt t t t t t t t t                                Cách 2: Đặt 2 2 1 2 tan tan 1 2 2 2 1 x x dt t dt dx dx t              2 2 1 1 2 1 . 2 sin 1 1 tdt dx dt t x t t t      Đổi cận 3 3 3 1 2 x t x t                    www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 Khi đó   1 2 3 3 3 1 1 1 3 1 ln ln ln3. 3 sin 3 2 3 I dx dt t x t           Cách 3: 2 2 2 2 2 3 3 3 3 tan 1 2 2 ln tan ln3 sin 2 2 2sin cos 2tan cos tan 2 2 2 2 2 3 x d dx dx dx x I dx x x x x x x                           Cách 4:          2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 cos 1 cos sin sin 1 cos sin 2 1 cos 1 cos sin 1 cos x x dx xdx xdx I d x x x x x x                              2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 cos 1 cos 1 cos 2 1 cos 1 cos 2 1 cos 2 1 cos d x d x d x x x x x                            1 1 1 2 2 ln 1 cos ln 1 cos ln3 2 2 2 3 3 x x           Cách 5: Đặt 2 sin c c os o n t si u x du xdx dx v d x x v               …. Bạn đọc tự giải nhé Bài 2: (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x      Giải: Cách 1: Ta có:   sin 2 sin sin 2cos 1 x x x x    . Đặt 1 3cos t x   ta được 3sin sin 2 3 2 1 3cos 1 3cos x x dt dt dx dx x x        ; 2 2 1 2 1 cos 2cos 1 3 3 t t x x       Đổi cận 0 2 1 2 x t t x               Khi đó www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 4 2 2 3 1 2 4 2 4 2 34 1 9 9 27 9 27 t I dt t t                   Cách 2: Đặt 1 3cos t x   … bạn đọc tự giải Cách 3: Đặt   2cos 1 2sin 1 3cos 2 sin 1 3cos 3 1 3cos 3 1 3cos u x du x d x x v x dv dx x x                        Khi đó       2 2 0 0 3 2 4 2 4 2cos 1 1 3cos sin 1 3cos 1 3cos 1 3cos 2 3 3 3 9 0 2 8 34 1 3cos 2 3 27 27 0 I x x x xdx xd x x                     Cách 4: Phân tích           2 1 1 3cos sin 2 sin 1 2cos 1 1 3 3 . 1 3cos . 1 3cos 3 3 1 3cos 1 3cos 1 3cos 2 1 1 3cos 1 3cos 1 3cos 9 9 1 3cos x x x x dx d x d x x x x xd x d x x                      … Đến đây thì quá dễ rùi, bạn đọc tự làm nhé Chú ý: Nếu ta đặt cos t x  thì tích phân ban đầu trở thành tích phân hàm hữu tỷ lại phải đặt lần nữa mất công nên ta lựa chọn cách nào là phù hợp nhất Tổng quát:      dx xdc xbxa cos sin2sin. hoặc .sin 2 s a x bcosx dx c d inx      ta đặt cos c d x t   . Bài 3: (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau 2 0 sin 2 .cos 1 cos x x I dx x     Giải: Cách 1: Ta có 2 2 2 0 0 sin 2 .cos sin .cos 2 1 cos 1 cos x x x x I dx dx x x         Đặt sin 1 cos cos 1 dt xdx t x x t           www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 5 Đổi cận 1 2 2 0 t x t x               Khi đó   2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ln 2ln 2 1 12 t t I dt t dt t t t t                          Cách 2:       2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 1 cos 1 sin 2 .cos sin .cos 2 2 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 1 cos cos sin ln 1 cos 2ln2 1 2 1 cos 2 0 x x x x x I dx dx d x x x x x x d x x x x                                            Chú ý:     cos 1 cos d x d x   và ta có thể đặt cos t x  Tổng quát: sin 2 .cos .cos a x x I dx b c x      ta đặt .cos t b c x   hoặc cos t x  Bài 4: (Đề 68 IVa) Tính tích phân sau 3 2 0 4sin 1 cos x I dx x     Giải: Ta có        3 3 3 2 4sin 1 cos 4sin 1 cos 4sin 4sin 4sin cos 4sin 2sin 2 1 cos 1 cos 1 cos sin x x x x x x x x x x x x x x            Cách 1: Khi đó     3 2 2 0 0 4sin 4sin 2sin 2 cos2 4cos 2 2 1 cos 0 x I I dx x x dx x x x              Cách 2:     3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4sin 4sin 4sin cos 4 sin 4 cos cos 4cos 2cos 2 2 2 1 cos 0 0 x I dx x x x dx xdx xd x x x x                     Cách 3:   2 3 2 2 0 0 4 1 cos sin 4sin 1 cos 1 cos x x x I dx dx x x          Đặt sin 1 cos cos 1 dt xdx t x x t           www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 6 Đổi cận 1 2 2 0 t x t x               Khi đó       2 1 2 2 2 1 4 1 1 2 4 8 2 8 2 1 t I dt t dt t t t                  Chú ý: Có thể đặt cos t x  Cách 4: Đặt 2 2 2 2 tan sin 2 1 1 cos 1 dt dx x t t x t t x t                  Chú ý: Nếu ta phân tích theo hướng sau 3 4sin 4sin (1 cos )(1 cos ) 4sin 2sin2 1 cos 1 cos x x x x x x x x        … lại có mấy cách khác, bạn đọc tự làm và khám phá nhé! Tương tự 3 2 0 4cos 2 1 sin x I dx x      Bài 5: Tính tích phân sau 12 0 tan 4 I xdx    Giải: Cách 1: Ta có: 12 12 0 0 sin 4 tan 4 cos4 x xdx dx x      Đặt cos4 4sin 4 sin 4 4 dt t x dt xdx xdx        Đổi cận 0 1 1 12 2 x t x t                 Khi đó 1 1 12 12 2 1 0 0 1 2 1 sin 4 1 1 1 1 tan 4 ln ln 2. 1 cos4 4 4 4 4 2 x dt dt I xdx dx t x t t              Cách 2: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 7   12 12 12 0 0 0 cos4 sin 4 1 1 1 tan 4 ln cos4 ln 2 12 cos4 4 cos4 4 4 0 d x x I xdx dx x x x               Bài 6: Tính tích phân sau 3 2 4 cos 1 sin x I dx x      Giải:     2 3 2 2 2 2 2 4 4 4 4 1 sin cos cos cos cos 1 sin cos 1 sin 1 sin 1 sin x x x I dx xdx xdx x xdx x x x                      Đến đây ta đặt 1 sin t x   Hoặc   2 2 2 4 4 4 1 1 3 2 2 2 cos cos sin cos sin 2 sin sin 2 2 4 4 4 I x x x dx xdx xdx x x                          Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (ĐHTL – 2000) Tính tích phân: 2 2 2 0 3sin 4cos 3 ln3 6 3sin 4cos x x I dx x x         HD: Tách làm hai tích phân 2 2 2 2 2 2 0 0 sin cos 3 4 3sin 4cos 3sin 4cos x x I dx dx x x x x         kết hợp với công thức 2 2 sin cos 1 x x   ta sẽ được kết quả Cách khác: Sử dụng tích phân liên kết là 2 2 2 0 3cos 4sin 3sin 4cos x x J dx x x      Bài 2: (DBĐH – A 2005) Tính tích phân sau 3 2 0 3 sin .tan ln 2 8 I x xdx      HD: Ta có   2 2 sin sin .tan 1 cos cos x x x x x   và đặt cos t x  Bài 3: (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau 2 0 sin3 1 3ln2 1 cos x I dx x        HD: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 8 Ta có   2 3 2 2 2 0 0 0 sin 4cos 1 sin3 3sin 4sin 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x I dx dx dx x x x               và đặt 1 cos t x   Bài 4: (ĐHQGHN – A 1997) Tính tích phân sau 3 2 2 0 sin 1 2 1 cos x I dx x        HD: Ta có 3 2 2 2 sin 1 cos sin 1 cos 1 cos x x x x x     và đặt cos t x  Bài 5: Tính tích phân sau 2 2 2 0 sin ln 2 sin 2cos .cos 2 x I dx x x x      HD: Ta có   2 2 2 sin 2cos .cos sin cos 1 cos 1 cos 2 x x x x x x x       và đặt 1 cos t x   Bài 6: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân: 2 0 cos2 1 1 cos 2 x I dx x        Bài 7: Tính tích phân: 3 6 0 sin3 sin 3 1 1 ln 2 1 cos3 6 3 x x I dx x         HD: Phân tích   3 2 sin3 sin 3 sin3 1 sin 3 sin3 .cos3 x x x x x x     và đặt 1 cos3 t x   Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau: 2 cos 0 sin 2 2 x I e xdx     HD: Sử dụng công thức nhân đôi sin 2 2sin cos x x x  và đặt cos t x  Bài 9: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau:   1 4 sin 2 0 tan cos ln 2 1 x I x e x dx e        HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau:   2 sin 0 cos cos 1 4 x I e x xdx e         HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 11: (TN – 2005) Tính tích phân sau: 2 2 0 sin 2 4 cos x I dx x     www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 9 Bài 12: Tính tích phân sau: 3 0 2sin 2 sin 6cos 2 x x I dx x      HD: Đặt 6cos 2 t x   hoặc 6cos 2 t x   Bài 13: (HVKTQS – 1996) Tính tích phân sau:   2 3 4 4 4 4 0 0 1 cos sin 4sin 4 1 cos 1 cos x x x I dx dx x x          HD: Đặt cos t x  Bài 14: Tính tích phân sau: 2 2 0 cos 4 1 cos x I dx x       HD: Phân tích 2 2 1 cos 2 sin x x    từ đó đặt sin t x  Bài 15: Tính tích phân sau 2 2 0 sin 4 3 2 6ln 4 1 cos x I dx x       HD: Phân tích 2 sin 4 2sin 2 cos2 1 cos2 1 cos 1 2 x x x x x     và đặt 3 cos2 t x   hoặc cos2 t x  Dạng 2: Tính tích phân dạng   sin .cos b a I f x xdx   đặt sin cos u x du xdx    Để tính tích phân dạng .sin 2 .sin .cos a x b x dx c d x    ta đổi biến bằng cách đặt .cos t c d x   Bài tập giải mẫu: Bài 1: (ĐH – B 2003) Tính tích phân sau 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x I dx x      Giải: Cách 1: Ta có 2 4 4 0 0 1 2sin cos2 1 sin 2 1 sin2 x x I dx dx x x          Đặt 1 sin 2 cos2 2 dt x t xdx     www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 10 Đổi cận 2 4 1 0 t x t x               Khi đó 2 1 2 1 1 1 ln ln 2 1 2 2 2 dt I t t     Hoặc đặt sin 2 x t  Cách 2:       ' 4 4 4 0 0 0 1 sin 2 cos2 1 1 (1 sin 2 ) 1 1 ln 1 sin2 ln 2 4 1 sin 2 2 1 sin2 2 1 sin 2 2 2 0 x x d x I dx dx x x x x                   Cách 3: Biến đối     2 1– 2sin cos sin cos – sin x x x x x   và   2 1 sin 2 cos sin x x x      2 4 4 4 0 0 0 cos sin 1 2sin cos sin 1 ln cos sin ln2 4 1 sin 2 cos sin cos sin 2 0 d x x x x x I dx dx x x x x x x x                    Hoặc đặt sin cos t x x   Bài 2: Tính tích phân sau    3 0 2 2cos2 cos  dx x x I Giải: Đặt sin cos t x dt xdx    Đổi cận 0 0 3 3 2 t x x t                 Khi đó        2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 23 2cos2 cos t dt t dt dx x x I  Đặt 3 3 cos sin 2 2 t u dt udu     Đổi cận 0 2 3 2 4 t u t u                    Khi đó www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]... Tính tích phân: I   cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  dx  0 0 HD: 1 Phân tích sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x và đặt t  sin 2 x 2  2 Bài 6: (TN – KHP 2005) Tính tích phân sau: I   0 sin 2 x 4 dx  ln 2 3 4  cos x  2 sin x cos 3 x dx 2 0 1  cos x Bài 7: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau: I    6 Bài 8: (CĐSP HCM – 1997) Tính tích phân sau: I   0  2 Bài 9: (CĐHQ – 1999) Tính tích phân. .. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG HÀM LIÊN QUAN TỚI LƯỢNG GIÁC Một số dạng thường gặp  Dạng 1: Tính tích phân: I   Pn  x  2  cos  ax  b  dx u  Pn  x   Đặt:  1 dv  cos 2  ax  b  dx   Dạng 2: Tính tích phân: I    sin Pn  x  2  ax  b  dx u  Pn  x   Đặt:  1 dv  sin 2  ax  b  dx     I   sin  ln x  dx  Dạng 3: Tính tích phân:  ... – 2005) Tính tích phân sau I   e3 x sin 5 xdx  34 0 1 Bài 6: (ĐHQG HCM – 2000) Tính tích phân sau I   e x sin 2   x  dx  0 2  e  1 1  4 2 HD: Hạ bậc và sử dụng tích phân từng phần  4 Bài 7: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau: I   x  2cos 2 x  1 dx  0  2 Bài 8: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân sau: I   e 2 x sin 3 x.dx  0  2 8 3  2e 13 Bài 9: Tính các tích phân sau: 1 a... 1 2 4 2  0 2  4 Bài 24: Tính tích phân sau I    x  1 cos x dx  0  2 1 8 Bài 25: Tính tích phân sau  4   sinx  b I    4  x 2 sin 3 x  dx 3  0  cos x  sin x  a I     cos x tan(sin x)  dx 2  0  1  cos x  2 Bài 26: (HVKHQS – 1999) Tính tích phân sau I   cos x.ln 1  cos x  dx  0  1 2 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN LIÊN KẾT ĐỐI VỚI HÀM LƯỢNG GIÁC  2 sin 6 x dx 6 6 0 sin x... 1999) Tính tích phân sau I    Gmail: Loinguyen1310@gmail.com dx  ln 3 x sin 2 HD: x  d  tan  dx dx 1 dx 4   2  x x x 2 x x x sin 2sin cos tan cos 2 tan 2 4 4 4 4 4  2 dx 1 1  cos x 0 Bài 9: (HVQY – 1999) Tính tích phân sau I   HD: dx  1  cos x dx x   d  tan  x 2  2 cos 2 2  4 cos 2 x dx sin 2 x  cos 2 x 0 Bài 10: (ĐHTS – 2001) Tính tích phân sau I   HD: Phân tích cos 2... tích phân sau I   1  tan 8 x  dx  0 76 105 HD: Phân tích 1  tan 8 x    tan 8 x  tan 6 x    tan 6  tan 4 x    tan 4 x  tan 2 x    tan 2 x  1     Dạng 5: Tính tích phân I   f  cot x   1 1 dx đặt u  cot x  du   2 dx 2 sin x sin x  Hoặc: I   f  cot x  1  cot 2 x  dx đặt u  cot x  du    1 dx sin 2 x Bài tập giải mẫu:  2 Bài 1: (KTQS – 1997) Tính tích phân. .. x sin x  2 Bài 2: Tính tích phân sau I    4 3cot x  1 dx sin 2 x HD: Đặt t  3cot x  1 hoặc t  3cot x  1  4 Bài 3: Tính tích phân sau: I    6 1 2 sin x cot x dx HD: Đặt t  cot x www.MATHVN.com 25 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  3 Bài 6: Tính tích phân sau: I   sin   3 2 Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 1 dx x  9 cos 2 x HD: Phân tích sin 2 x  9cos 2 x... Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com  3 Bài 2: (ĐHTCKT – 1999) Tính tích phân sau I   Gmail: Loinguyen1310@gmail.com cos x  sin x  4 3  sin 2 x dx  arcsin 3 1 4 HD: 2 Phân tích 3  sin 2 x  4   sin x  cos x  và đặt t  sin x  cos x  2 Bài 3: Tính tích phân sau I    4 sin x  cos x 1  sin 2 x 1 ln 2 2 dx  HD: Phân tích 1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x.cos x   sin x  cos... (ĐHNT – 2001) Tính tích phân sau I   6 HD: sin 4 x 2sin 2 x cos 2 x 3  và đặt t  sin 2 x hoặc t  1  sin 2 2 x 6 3 2 4 sin x  cos x 1  sin 2 x 4   14 1 1 3 2 4  3 2  Hoặc I   d  1  sin 2 x    ln 1  sin 2 x 4  ln 2 3 30 4 3 4 3  1  sin 2 2 x  0 4 Phân tích 6  4 Bài 2: Tính tích phân sau: I   0 e tan x dx cos 2 x HD: Đặt t  tan x 3 8 Bài 3: (Đề 104) Tính tích phân sau: I  ... Vĩnh Phúc – 2007) Tính tích phân sau I    x sin x  dx  1 3 2 1   384 32 4 2 4 Bài 2: (CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005) Tính tích phân sau I   0  4 Bài 3: (CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006) Tính tích phân sau I   0 www.MATHVN.com x sin xdx  2 4 2 x  2 dx   ln 2 4 2 cos x 33 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.MATHVN.com  2 Bài 4: (ĐHDB – D 2007) Tính tích phân sau I   x 2 cos . Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SỐ TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính tích phân dạng   cos .sin I f x x dx     . І – B 1998) Tính tích phân: 2 0 cos2 1 1 cos 2 x I dx x        Bài 7: Tính tích phân: 3 6 0 sin3 sin 3 1 1 ln 2 1 cos3 6 3 x x I dx x         HD: Phân tích   3 2 sin3. Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 10: (ĐH – D 2005) Tính tích phân sau:   2 sin 0 cos cos 1 4 x I e x xdx e         HD: Tách ra thành tổng hai tích phân đơn giản Bài 11: