ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM          L L Ê Ê M M I I N N H H A A N N VỀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM          L L Ê Ê M M I I N N H H A A N N VỀ ĐỘ SÂU CỦA VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG Chun ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số : 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Xác nhận luận văn đã được chỉnh sửa lại theo u cầu của hội đồng chấm luận văn. Khoa Tốn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Lời mở đầu 1 1 Độ sâu của mơđun trên vành Noether địa phương 3 1.1 Dãy chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Độ sâu của mơđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Đồng điều Koszul 19 2.1 Phức Koszul và đồng điều Koszul . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Đặc trưng độ sâu qua đồng điều Koszul . . . . . . . . . . . 24 3 Vành và mơđun Cohen - Macaulay 29 3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ sở . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Một số đặc trưng vành Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . 33 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời mở đầu Sau chiều thì độ sâu là bất biến cơ bản nhất của vành Noether địa phương A hoặc A−mơđun hữu hạn sinh M. Độ sâu có thể được nghiên cứu bằng các cơng cụ nội tại của đại số giao hốn, nhưng cũng có thể nghiên cứu bằng các các đối tượng của đại số đồng điều. Chính vì thế, chúng tơi đã lựa chọn đề tài "Về độ sâu của vành Noether địa phương" làm luận văn tốt nghiệp. Luận văn trình bày các kết quả về độ sâu chủ yếu thơng qua các đối tượng của đại số đồng điều như mơđun Ext hay đồng điều Koszul, từ đó bước đầu tìm hiểu về vành và mơđun Cohen - Macaulay, một lớp vành quan trọng trong đại số giao hốn. Luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 trình bày khái niệm và một số tính chất cơ sở của dãy chính quy, sự tồn tại của dãy chính quy thơng qua tính triệt tiêu của mơđun Ext, từ đó trình bày định nghĩa và các kết quả về độ sâu của mơđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương. Chương 2, trình bày về phức Koszul và đặc trưng độ sâu thơng qua tính triệt tiêu của đồng điều Koszul. Trên cơ sở các tính chất về độ sâu được trình bày ở Chương 1 và Chương 2, Chương 3 trình bày sơ lược về khái niệm, tính chất cơ sở và một vài đặc trưng của vành và mơđun Cohen - Macaulay. Các nội dung trong luận văn được trình bày dựa theo Chương 6 trong tài liệu [5] và [6] của Hydeyuki Matsumura. Với mong muốn lại hệ thống lại một số nội dung quan trọng về độ sâu và vành Cohen - Macaulay, tác giả luận văn đã dành nhiều thời gian nghiên cứu những kết quả này. Khi trình bày luận văn, tác giả cũng đã cố gắng trình bày chi tiết lại các chứng 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ minh, bổ sung thêm một số ví dụ và kết quả trong các tài liệu tham khảo khác. Bên cạnh đó, tác giả cũng đưa ra một vài chứng minh đơn giản khơng được trình bày trong tài liệu. Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Thầy đã tạo điều kiện để tơi có cơ hội được tiếp xúc với mơi trường nghiên cứu hiện đại và chun nghiệp, để từ đó tơi đã bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu tốn một cách nghiêm túc. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn PGS. TS. Lê Thanh Nhàn, TS. Đồn Trung Cường, TS. Trần Ngun An, những thầy cơ đã tận tình giảng dạy cho tơi những kiến thức cơ sở và giúp đỡ tơi giải quyết những vướng mắc tơi gặp phải khi đọc tài liệu cũng như khi trình bày luận văn. Cuối cùng, tơi xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ và động viên tơi để tơi có thể hồn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Thái Ngun, tháng 04 năm 2014 Tác giả luận văn Lê Minh An 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Độ sâu của mơđun trên vành Noether địa phương Khái niệm dãy chính quy và độ sâu rất quan trọng cho lý thuyết vành Cohen - Macaulay. Độ sâu của vành Noether địa phương A hoặc A−mơđun hữu hạn sinh được định nghĩa bằng số phần tử trong dãy chính quy cực đại, và có thể được đặc trưng thơng qua tính triệt tiêu của mơđun Ext. Trong tồn bộ luận văn, khi nói đến một vành, ta quy ước là vành giao hốn có đơn vị. 1.1 Dãy chính quy Trong tiết này trình bày định nghĩa, ví dụ và một vài tính chất cơ bản của dãy chính quy. Định nghĩa 1.1.1. Cho A là vành Noether, M là một A−mơđun. Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử M−chính quy nếu ax = 0 với mọi 0 = x ∈ M. Dãy a 1 , , a n các phần tử của A là một M−dãy chính quy (hoặc M−dãy) nếu các điều kiện sau thỏa mãn: 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (i) M = (a 1 , , a n )M, và (ii) Với mỗi 1 ≤ i ≤ n, a i là M/(a 1 , , a i−1 )M− chính quy. Tức là với mỗi 1 ≤ i ≤ n, M/(a 1 , , a i−1 )M a i −−→ M/(a 1 , , a i−1 )M là một đơn ánh. Khi tất cả các a i nằm trong một iđêan I của A ta nói a 1 , , a n là một M−dãy chính quy trong I. Khi M = A thì a 1 , , a n là A−dãy nếu và chỉ nếu (a 1 , , a n ) là iđêan thực sự của A, và với mỗi i = 1, , n thì a i khơng phải ước của khơng trên A/(a 1 , , a i−1 ). Với mỗi A−mơđun M ta kí hiệu ZD A (M) = {a ∈ A |tồn tại 0 = x ∈ M sao cho ax = 0} là tập các ước của 0 trên M. Nếu khơng gây nhầm lẫn ta sẽ kí hiệu tập này là ZD(M). Ví dụ 1.1.2. (i) Cho A là vành, đặt S := A[x 1 , , x n ] là vành đa thức n biến x 1 , , x n . Ta có đẳng cấu S/(x 1 , , x i−1 ) ∼ = A[x i , , x n ], mà x i là A[x i , , x n ]−chính quy nên x 1 , , x n là S−dãy. (ii) Chú ý rằng khái niệm M−dãy chính quy phụ thuộc vào vị trí các phần tử trong dãy, chẳng hạn xét trong trường K và A = K[x 1 , x 2 , x 3 ] thì x 1 , x 2 (1 − x 1 ), x 3 (1 − x 1 ) là A−dãy. Nhưng x 2 (1 − x 1 ), x 3 (1 − x 1 ), x 1 lại khơng phải A−dãy. Thật vậy, trước hết ta thấy rằng x 1 /∈ ZD(A) và (x 1 ), (x 1 , x 2 (1 −x 1 )) = (x 1 , x 2 ) là các iđêan ngun tố của A. Khi đó nếu h · x 2 (1 − x 1 ) ∈ (x 1 ), do x 2 (1 − x 1 ) /∈ (x 1 ) nên h ∈ (x 1 ) tức là x 2 (1 − x 1 ) là A/(x 1 )−chính quy. Tương tự, nếu h · x 3 (1 − x 1 ) ∈ (x 1 , x 2 (1 − x 1 )), do x 3 (1 −x 1 ) /∈ (x 1 , x 2 (1 −x 1 )) nên h ∈ (x 1 , x 2 (1 −x 1 )), tức là x 3 (1 −x 1 ) là 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ A/(x 1 , x 2 (1 −x 1 ))−chính quy. Từ đó x 1 , x 2 (1 −x 1 ), x 3 (1 −x 1 ) là A−dãy. Nhưng x 2 (1 −x 1 ), x 3 (1 −x 1 ), x 1 khơng phải A−dãy. Vì x 2 /∈ (x 2 (1 −x 1 )) nhưng x 2 (1−x 1 )x 3 ∈ (x 2 (1−x 1 )) tức là x 3 (1−x 1 ) ∈ ZD(A/(x 2 (1−x 1 ))). Định nghĩa 1.1.3. Cho A là vành Noether và 0 = M là A−mơđun hữu hạn sinh. I là iđêan của A thỏa mãn IM = M. Lấy a 1 , , a n là M−dãy các phần tử trong I. Ta nói a 1 , , a n là M−dãy cực đại trong I nếu khơng có phần tử b ∈ I nào thỏa mãn a 1 , , a n , b là M−dãy có n + 1 phần tử. Nhận xét 1.1.4. Cho A là vành Noether và 0 = M là A−mơđun hữu hạn sinh. (i) Khơng tồn tại một dãy vơ hạn (a i ) ∞ i=1 các phần tử của A thỏa mãn, với mọi n ∈ N, dãy hữu hạn (a i ) n i=1 là một M−dãy. Từ đó, mọi M−dãy trong I đều có thể mở rộng thành M−dãy cực đại trong I. Thật vậy, giả sử có một dãy (a i ) ∞ i=1 thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó ta ln có (a 1 , , a n )  (a 1 , , a n , a n+1 ) (do a n+1 /∈ (a 1 , , a n )). Tức là là ta có dãy (a 1 )  (a 1 , a 2 )   (a 1 , , a n )  là dãy tăng vơ hạn các iđêan trong A. Mâu thuẫn với giả thiết A là Noether. (ii) Gọi a = a 1 , , a n là M−dãy, a là M−dãy cực đại trong I khi và chỉ khi I ⊆ ZD(M/(a)M). Mà ZD(M/(a)M) =  p∈Ass(M/(a)M) p, và Ass(M/(a)M) là tập hữu hạn, nên theo định lý tránh ngun tố thì I nằm trong một iđêan ngun tố liên kết nào đó của M/(a)M. (iii) Nhắc lại rằng, với (A, m) là vành Noether địa phương chiều d, theo ([6], Th. 13.4) ln tồn tại một iđêan m−ngun sơ sinh bởi d phần tử, 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nhưng khơng sinh bởi ít hơn d phần tử. Nếu x = x 1 , , x d là hệ sinh của một iđêan m−ngun sơ thì x được gọi là một hệ tham số của A, theo ([6], Th. 14.1) hệ tham số x có tính chất dim A/(x 1 , , x i ) = d −i với mọi 0 ≤ i ≤ d. Đặc biệt, nếu x là hệ sinh của m thì A được gọi là vành địa phương chính quy và x là hệ tham số chính quy của A. Theo ([6], Th. 14.3) vành địa phương chính quy là miền ngun. Từ đó, hệ tham số chính quy x của vành địa phương chính quy (A, m) là một A−dãy. Thật vậy, ta có A = A/(x 1 , , x i ) là vành địa phương chiều d − i với mọi 0 ≤ i < d và m/(x 1 , , x i ) là iđêan cực đại của A sinh bởi d −i phần tử x i+1 , , x d (là ảnh chính tắc của x i+1 , , x d trong A). Suy ra A cũng là vành địa phương chính quy, do đó cũng là miền ngun. Rõ ràng x i+1 /∈ (x 1 , , x i ) nên x i+1 là A/(x 1 , , x i )− chính quy. (iv) Từ Ví dụ 1.1.2,(ii) ta thấy dãy chính quy phụ thuộc vào vị trí các phần tử trong dãy. Tuy nhiên, ta chứng minh được nếu các phần tử của dãy chính quy nằm trong căn Jacobson thì mọi hốn vị của nó cũng là dãy chính quy. Ta có thể chứng minh điều đó trực tiếp theo định nghĩa bằng cách sử dụng bổ đề Nakayama, ở đây được trình bày trong Hệ quả 2.2.2 theo một cách khác. (v) Ta cũng chứng minh được mọi dãy chính quy cực đại trong một iđêan đều có cùng số phần tử, từ đó ta sẽ có khái niệm độ sâu của một mơđun. Điều này sẽ được trình bày ở tiết sau. Tiếp theo ta sẽ trình bày một số tính chất khác của M−dãy. Định lý 1.1.5. Cho (A, m) là vành Noether địa phương, M là A−mơđun hữu hạn sinh. Lấy a 1 , , a n là M−dãy. Khi đó dim M/(a 1 , , a n )M = dim M −n. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... hợp vành địa phương, A là vành CM nếu nó là một mơđun CM Ví dụ 3.1.2 (i) Với A = k[X, Y ] là vành đa thức hai biến trên trường k và m = (X, Y ) là iđêan cực đại của A, Am là vành địa phương chiều 2 Mà X, Y là A−dãy nên ảnh của X, Y trong Am cũng là Am −dãy Do đó dim Am = depth Am hay Am là vành CM địa phương (ii) Vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên trường k, A = k[[X1 , , Xn ]] là vành địa phương. .. do đó A là vành CM địa phương (iii) A = k[[X, Y ]]/(XY, Y 2 ) là vành địa phương chiều 1 Nhưng mọi phần tử trong (X, Y ) đều bị triệt tiêu bởi Y , nghĩa là depth A = 0 nên A khơng là vành CM (iv) Vành Noether chiều khơng là vành CM Chẳng hạn, với mỗi 1 < n ∈ N thì Z/nZ là vành CM (v) Miền ngun chiều 1 là vành CM Chẳng hạn, Z, k[X] là vành CM Định lý 3.1.3 Cho (A, m) là vành Noether địa phương và M... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ngay khẳng định còn lại của mệnh đề Trong các kết quả sau đây sẽ chỉ ra rằng độ sâu của một mơđun khơng vượt q chiều của nó Ta cũng chứng minh được độ sâu của vành trên một iđêan (hay còn gọi là bậc của iđêan, grade I := depth(I, A)) khơng vượt q độ cao của iđêan đó Định lý 1.2.12 (Ischebeck) Cho (A, m) là vành Noether địa phương, M, N là các A−mơđun hữu hạn sinh Giả sử depth... đại trong I (số này xác định tốt do Nhận xét 1.1.4,(i)) được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I kí hiệu là depthI (M ) hoặc depth(I, M ) (Nếu IM = M thì độ sâu của M đối với mơđun I quy ước là bằng ∞) Và ta có depth(I, M ) = inf{i| Exti (A/I, M ) = 0} A Đặc biệt với vành Noether địa phương (A, m), ta gọi depth(m, M ) đơn giản là độ sâu của M và viết là depth M hoặc depthA M : depth M = inf{i| Exti (A/m,... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Một trong những ứng dụng quan trọng của Định lý 2.2.1 là chỉ ra đặc trưng của vành địa phương chính quy qua đồng điều Koszul Mệnh đề 2.2.3 Cho (A, m) là vành Noether địa phương A là vành chính quy khi và chỉ khi tồn tại hệ sinh tối tiểu x = x1 , , xd của m thỏa mãn H1 (x) = 0 Chứng minh Nếu A là chính quy thì x là hệ sinh tối tiểu của m và theo Nhận xét 1.1.4,(iii) x là A−dãy, do đó... A là vành Noether địa phương, M là A−mơđun hữu hạn sinh, M được gọi là mơđun Cohen-Macaulay (hay đơn giản là mơđun CM) nếu depth M = dim M hoặc M = 0 Nếu A bản thân nó là mơđun CM thì ta nói A là một vành CM địa phương Mơđun M được gọi là mơđun CM tối đại nếu M là mơđun CM thỏa mãn depth M = dim A Một cách tổng qt, với A là vành Noether bất kì, M là A−mơđun CM nếu Mm là mơđun CM trên vành địa phương. .. N là các mơđun trên vành x x A và x là phần tử thuộc A Xét ánh xạ ϕ : M − M (hoặc N − N ), khi → → x đó ta có ánh xạ cảm sinh ϕ∗ : Exti (M, N ) − Exti (M, N ) → A A Phần tiếp theo là nội dung chính của tiết này, trình bày đặc trưng sự tồn tại của dãy chính quy thơng qua tính triệt tiêu của mơđun Ext từ đó định nghĩa và tính được độ sâu của mơđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương cũng thơng qua... mơđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương cũng thơng qua tính triệt tiêu ấy Cuối tiết này trình bày mối liên hệ giữa độ sâu với chiều của mơđun, độ sâu của mơđun trên một iđêan với độ cao của iđêan đó Định lý 1.2.6 Cho A là vành Noether, M là A−mơđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của A sao cho IM = M ; Với n ∈ N các mệnh đề sau là tương đương: (i) Exti (N, M ) = 0 với mọi i < n và N là A−mơđun hữu... Th 13.5) Suy ra depth(I, A) = ht I = n Chú ý 1.2.15 Tồn tại vành địa phương A thỏa mãn depth(A) < depth(Ap ) Chẳng hạn, đặt R = k[X, Y, Z] là vành đa thức trên trường k, m = (X, Y, Z), p = (Y, Z)Rm , I = (XZ, Y Z, Z 2 ) ⊂ J = (Z) Xét vành địa phương A = (R/I)m Khi đó, mọi phần tử của m đều bị triệt tiêu bởi Z = 0 nên depth A = 0 Bây giờ, địa phương hóa A tại p thì với mọi Z/f ∈ JRp ta có Z/f = ZX/f... , , ar là M −dãy 1 1.2 Độ sâu của mơđun Trước khi trình bày các kiến thức về độ sâu, phần đầu của tiết này trình bày một số kiến thức cơ sở về mơđun Ext được sử dụng trong các chứng minh kết quả sau đó Định nghĩa 1.2.1 Cho A là vành, M, N là các A−mơđun Xét hàm tử F = HomA (M, −) là hàm tử hiệp biến, tuyến tính và khớp trái trên phạm trù các A−mơđun Mơđun dẫn xuất phải thứ i của F đối với N được gọi . http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Độ sâu của mơđun trên vành Noether địa phương Khái niệm dãy chính quy và độ sâu rất quan trọng cho lý thuyết vành Cohen - Macaulay. Độ sâu của vành Noether địa phương A hoặc A−mơđun. đối tượng của đại số đồng điều. Chính vì thế, chúng tơi đã lựa chọn đề tài " ;Về độ sâu của vành Noether địa phương& quot; làm luận văn tốt nghiệp. Luận văn trình bày các kết quả về độ sâu chủ yếu. sở của dãy chính quy, sự tồn tại của dãy chính quy thơng qua tính triệt tiêu của mơđun Ext, từ đó trình bày định nghĩa và các kết quả về độ sâu của mơđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương.