ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỒN KIÊN TRUNG BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QT LOẠI II LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỒN KIÊN TRUNG BÀI TỐN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QT LOẠI II Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN XN TẤN Thái Ngun - Năm 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cam đoan Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ cơng trình nào khác. Thái Ngun, tháng 4 năm 2014 Tác giả Đồn Kiên Trung i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Nguyễn Xn Tấn. Trước tiên, Tơi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Nguyễn Xn Tấn, người đã đặt bài tốn và tận tình hướng dẫn trong suốt q trình nghiên cứu của tơi. Đồng thời tơi cũng chân thành cảm ơn các thầy cơ trong khoa Tốn, khoa Sau đại học - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, đã tạo mọi điều kiện cho tơi để tơi có thể hồn thành bản luận văn này. Tơi cũng gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp Cao học Tốn k20, đã chia sẻ động viên và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và làm luận văn. Tơi cũng vơ cùng biết ơn Bố, mẹ, anh, chị, em trong gia đình của mình, đặc biệt là người vợ đã cảm thơng chia sẻ cùng tơi trong hai năm qua để tơi có thể học tập và hồn thành luận văn này. Do thời gian ngắn và khối lượng kiến thức lớn nên bản luận văn sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót, tơi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cơ và bạn bè, tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, tháng 4 năm 2014 Tác giả Đồn Kiên Trung ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Nón và các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại hai 18 2.1 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Các bài tốn liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Bao hàm thức tựa biến phân . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Một số bài tốn tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . 29 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu 1. Lý do chọn luận văn Lý thuyết cân bằng được hình thành từ những ý tưởng trong kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Sau đó có rất nhiều cơng trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các nghành khoa học kỹ thuật cũng như thực tế như: Borel (1921), Von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niệm và kết quả tốn học, Koopmam (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thơng hàng hóa. Lý thuyết cân bằng là bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Sau những cơng trình của H.W.Kuhn và A.W.Tucker về các điều kiện cần và đủ cho một véc tơ thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực sự là một nghành tốn học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài tốn cơ bản trong lý thuyết tối ưu véc tơ bao gồm: Bài tốn tối ưu, bài tốn cân bằng Nash, bài tốn bù, bài tốn bất đẳng thức biến phân, bài tốn điểm n ngựa, Trong kinh tế, bài tốn điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các cơng trình của Arrow-Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà tốn học sử dụng để xây dựng những mơ hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) trong [6] và Browder-Minty (1978) trong [4] đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài tốn điểm cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991, Blum và Oettli [3] đã phát biểu bài tốn cân bằng một cách tổng qt và tìm cách liên kết bài tốn của Ky Fan và Browder-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài tốn được phát biểu ngắn gọn là: Tìm ¯x ∈ D sao cho f(¯x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ D, trong đó D là tập cho trước của khơng gian, f : D × D → R là hàm số thực thỏa mãn f(x, x) ≥ 0. Đây là 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ dạng suy rộng trực tiếp của các bài tốn trong lý thuyết tối ưu vơ hướng. Ban đầu người ta nghiên cứu những bài tốn liên quan đến ánh xạ đơn trị từ khơng gian hữu hạn chiều này sang khơng gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởi nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang khơng gian có số chiều vơ hạn với nón bất kỳ. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do u cầu phát triển của bản thân tốn học và các lĩnh vực khoa học khác. Những định nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả tương tự như các kết quả đã biết từ đơn trị. Chính vì vậy mà bài tốn điểm cân bằng trong những năm gần đây được nhiều nhà nghiên cứu tốn học đặc biệt quan tâm. Với lí do trên tơi chọn đề tài:" Bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II " 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả của bài tốn cân bằng tổng qt loại II . 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây: Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích đa trị, một số tính chất của ánh xạ đa trị và các phép tốn . Trình bày bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại hai và các vấn đề liên quan đến chúng trong lý thuyết tối ưu đa trị. 4. Bố cục của luận văn Ngồi phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày gồm 2 chương. Chương 1 trình bày một số khái niệm về ánh xạ đa trị, tính liên tục theo nón, lồi theo nón và một số định lý điểm bất động làm kiến thức cơ sở cho 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ chương 2. Chương 2 trình bày bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II. Định lý 2.1.1 và 2.1.2 cho ta kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn. Các hệ quả 2.2.1, 2.2.6 chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài tốn bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng loại II. Sử dụng định lý 2.1.1 và 2.1.2 và tính chất của ánh xạ giả đơn điệu, giả đơn điệu mạnh ta chứng minh được các bài tốn tựa cân bằng yếu, tựa cân bằng Pareto và tựa tối ưu véc tơ đơn trị có nghiệm, điều này thể hiện trong các hệ quả 2.2.6, 2.2.9, 2.2.10, 2.2.11. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong thực tế, nhiều bài tốn liên quan đến phép chuyển mỗi điểm của tập này thành một tập con của tập kia. Những khái niệm cổ điển về hàm số, về tốn tử hay về ánh xạ khơng còn phù hợp. Do đó việc mở rộng ánh xạ đa trị là tất yếu để phù hợp với nhu cầu thực tại của các vấn đề nảy sinh từ tự nhiên cuộc sống. Vì vậy mà mơn giải tích đa trị đã được hình thành và trở thành cơng cụ đắc lực để nghiên cứu các bài tốn liên quan đến ánh xạ đa trị. Chúng ta sẽ dành chương này để nhắc lại một số kiến thức cơ bản về mơn giải tích đa trị này. Các kiến thức đó rất quan trọng trong việc nghiên cứu các bài tốn ở chương sau. 1.1 Nón và các khái niệm liên quan Trong khơng gian các số thực hai phần tử bất kỳ đều so sánh được với nhau qua khái niệm lớn hơn hay bé hơn hoặc bằng. Điều này khơng có được trong các khơng gian tơ pơ tuyến tính khác. Muốn mở rộng bài tốn nhận giá trị thực sang bài tốn nhận giá trị véc tơ và đa trị người ta đưa vào các khái niệm mới, đồng thời có thể xây dựng các khái niệm tương tự của số thực, số phức trong khơng gian tơ pơ tuyến tính. Một phương pháp hữu hiệu để xây dựng các khái niệm đó là đưa nón vào khơng gian tơ pơ tuyến tính mà chúng ta sẽ nghiên cứu ngay sau đây. Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là khơng gian tuyến tính và C là tập con trong Y . C được gọi là nón có đỉnh tại gốc (gọi ngắn gọn là nón) trong Y nếu 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0. Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nếu Y là khơng gian tơ pơ tuyến tính và C là nón trong Y , ký hiệu clC, intC, convC là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C, l(C) = C ∩ (−C). khi nghiên cứu các bài tốn liên quan đến nón, người ta thường quan tâm đến các loại nón sau: i). Nón C gọi là nón đóng nếu C là tập đóng. ii). Nón C gọi là nón nhọn nếu l(C) = 0. Với nón C cho trước, ta định nghĩa quan hệ như sau: x, y ∈ Y, x  Cy nếu x − y ∈ C. Nếu khơng có sự nhầm lẫn ta có thể viết đơn giản x  y. Ký hiệu x  y nếu x − y ∈ C \ l(C) và x  y nếu x − y ∈ intC. Ta thấy quan hệ trên là một quan hệ thứ tự từng phần nếu C là nón lồi nhọn. Sau đây là một số ví dụ về nón. Ví dụ 1.1.2. i). Tập {0} và Y là nón trong khơng gian Y . Ta gọi chúng là các nón tầm thường. ii). Cho R n là khơng gian Euclid n chiều, tập C = R n + = {x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n | x j ≥ 0, j = 1, 2, , n} là nón lồi, đóng, nhọn và được gọi là nón Orthant dương trong R n . Nếu lấy C = {x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n | x 1 ≥ 0} thì C là nón lồi, đóng nhưng khơng nhọn. Vì l(C) = {x = (0, x 2 , , x n ) ∈ R n } = {0}. iii). Cho L p [0, 1], 0 < p < 1 là khơng gian các hàm trên đoạn [0,1 ]. L p [0, 1] = {x,  1 0 (| x |) p dµ < ∞, µ là độ đo Lesberge}. Tơ pơ trên khơng gian được xác định bởi cơ sở lân cận của 0, gồm các tập có dạng {x ∈ L p [0, 1]/(  1 0 (| x |) p dµ) 1 p < 1 n }. Tập C = {x ∈ L p [0, 1] : x(t) ≥ 0, t ∈ [0, 1]}. C là nón lồi đóng. Định nghĩa 1.1.3. Cho C là nón trong khơng gian tuyến tính Y . B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, ký hiệu C = coneB, nếu C = {tb | b ∈ B, t ≥ 0}. Trong trường hợp B khơng chứa điểm gốc và với mọi c ∈ C, c = 0 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... bằng tổng qt loại II, ký hiệu bởi (GQEP )II Trong đó, S, T, P1 , P2 và Q là các ánh xạ ràng buộc, F là ánh xạ mục tiêu, nó có thể là đẳng thức, bất đẳng thức đối với ánh xạ đơn trị hoặc hợp hay giao của các ánh xạ đa trị, hoặc là một quan hệ trong khơng gian nao đó Trong chương này ta chỉ xét bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II Bài tốn này bao gồm các bài tốn quen biết trong lý thuyết tối ưu sau 1) Bài. .. rỗng Bài tốn: Tìm (¯, y ) ∈ D × K sao cho x ¯ x ∈ S(¯, y ); y ∈ T (¯, y ), ¯ x ¯ ¯ x ¯ và 0 ∈ F (¯, x, x, t) với mọi t ∈ S(¯, y ), y ¯ ¯ x ¯ được gọi là bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại I, ký hiệu (GQEP )I 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bài tốn: Tìm x ∈ D sao cho ¯ x ∈ P1 (¯), ¯ x 0 ∈ F (y, x, t), với mọi t ∈ P2 (¯), y ∈ Q(¯, t), ¯ x x được gọi là bài tốn tựa cân bằng. .. (y, x) = H(y, x, x) là C -liên tục dưới ii) G là (Q, C)-giống như tựa lồi dưới theo đường chéo, theo biến thứ ba Khi đó bài tốn (LIQV IP ) có nghiệm 2.2.2 Một số bài tốn tựa cân bằng Trong mục này, cho G : D × D → 2Y là ánh xạ đa trị, P1 , P2 , P : D → 2D , T : D → 2K , ánh xạ nón C : D → 2Y và ánh xạ đơn trị f : K ×D → Y Ta xét các bài tốn sau: 1 Bài tốn tựa cân bằng Pareto: tìm điểm x ∈ D sao cho ¯... tồn tại nghiệm của (GQEP )II với điều kiện của ánh xạ P2 là nửa liên tục dưới Định lý 2.1.2 Giả sử rằng tất cả các điều kiện của định lý 2.1.1 đều thỏa mãn, trừ điều kiện (iii) và (ii) được thay bởi ii ) P1 là ánh xạ đóng và có tập các điểm bất động khác rỗng; iii’) P2 nửa liên tục dưới với giá trị khác rỗng và bao lồi coP2 (x) ⊆ P1 (x) với mỗi x ∈ D Khi ấy bài tốn(GQEP )II có nghiệm Chứng minh Gọi... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ các bài tốn tối ưu véc tơ thường gặp nhất(hay được nghiên cứu trong các vấn đề ứng dụng) là bài tốn tối ưu yếu và tối ưu Pareto Sự tồn tại nghiệm của các bài tốn này có liên quan đến sự tồn tại nghiệm của các bài tốn tựa cân bằng yếu và Pareto Cho đến nay các bài tốn này vẫn đang được rất nhiều nhà tốn học quan tâm, giải quyết Điều khó khăn trong việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài tốn này... −C(¯)\{0}, với mọi x ∈ P2 (¯) x x 2 Bài tốn tựa cân bằng Yếu: tìm điểm x ∈ D sao cho ¯ x ∈ P1 (¯), ¯ x G(¯, x) x −intC(¯), với mọi x ∈ P2 (¯) x x 3 Bài tốn tựa tối ưu đơn trị Pareto: tìm điểm x ∈ D sao cho ¯ x ∈ P (¯), ∃¯ ∈ T (¯), ¯ x y x và f (¯, t) ∈ f (¯, x) − C\{0}, với mọi t ∈ P (¯) y / y ¯ x Những bài tốn thường được xét đến trong lý thuyết tối ưu véc tơ đa trị là bài tốn tối ưu lý tưởng, tối ưu... P (¯) Vậy hệ quả được chứng ¯ x y ¯ x minh 2.2 2.2.1 Các bài tốn liên quan Bao hàm thức tựa biến phân Cho các ánh xạ đa trị G, H : K × D × D → 2Y Trong phần này ta xét sự tồn tại nghiệm của các bài tốn sau: 26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1) Bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên loại II (Ký hiệu(U IQV IP )II ) Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (¯) và ¯ ¯ x G(y, x, t) ⊆ H(y,... sau 1) Bài tốn tựa cân bằng Giả sử D, K, Pi , i = 1, 2, Q xác định như trên Cho R+ là tập các số thực khơng âm, hàm thực Φ : K × D × D → R thỏa mãn Φ(y, x, x) = 0 với mọi y ∈ K, x ∈ D Bài tốn: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (¯) và ¯ ¯ x φ(y, x, t) ≥ 0 với mọi t ∈ P2 (¯), và y ∈ Q(¯, t), ¯ x x đã được nghiên cứu bởi rất nhiều tác giả, xem trong [3],[5], [10], [13] và nó cũng mở rộng bài tốn cân bằng đã biết... (y, x, t) ∈ K × D × D; thì bài tốn trên được đưa về (GQEP )II 2.1 Định lý tồn tại nghiệm Mục này tập trung nghiên cứu các điều kiện cho các ánh xạ P1 , P2 , Q và F để bài tốn (GQEP )II có nghiệm Ta có: Định lý 2.1.1 Các điều kiện sau đủ cho bài tốn (GQEP )II có nghiệm: i) D là tập con khác rỗng, lồi, compact; 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii) P1 : D → 2D là ánh xạ... F (x) là tập đóng, đồng thời có ít nhất một điểm x ∈ D sao cho F (x ) là tập compact thì ∩x∈D F (x) = ∅ 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại hai Xét bài tốn tối ưu về kinh tế sau: Tập đồn kinh tế chun sản xuất hàng tiêu dùng hoạt động theo mơ hình cơng ty mẹ, cơng ty con Xét cơng ty con A có tập phương án sản xuất D Với mỗi phương . Các bài tốn cơ bản trong lý thuyết tối ưu véc tơ bao gồm: Bài tốn tối ưu, bài tốn cân bằng Nash, bài tốn bù, bài tốn bất đẳng thức biến phân, bài tốn điểm n ngựa, Trong kinh tế, bài tốn điểm cân. Chính vì vậy mà bài tốn điểm cân bằng trong những năm gần đây được nhiều nhà nghiên cứu tốn học đặc biệt quan tâm. Với lí do trên tơi chọn đề tài:" Bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II " 2 bày bài tốn tựa cân bằng tổng qt loại II. Định lý 2.1.1 và 2.1.2 cho ta kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài tốn. Các hệ quả 2.2.1, 2.2.6 chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài tốn bao hàm thức tựa