THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 1 … …   H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H T T R R O O N N G G K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N   … … § § 1 1 . . H H Ệ Ệ T T O O Ạ Ạ Đ Đ Ộ Ộ T T R R O O N N G G K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . 1) HỆ TỌA ĐỘ:  Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc trong không gian.  Gọi i  , j  , k  là ba véctơ đơn vị tương ứng với trục Ox, Oy, Oz, ta có: 2 2 2 1; . . . 0 i j k i j j k k i                . 2) TỌA ĐỘ VÉCTƠ, ĐỘ DÀI VÉCTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM:  Trong không gian toạ độ Oxyz, các véctơ i  , j  , k  không đồng phẳng. Cho u  , khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho u  = x. i  + y. j  + z. k  thì bộ 3 số(x; y; z) được gọi là toạ độ của u  . Ta có: ( ; ; ) u x y z u xi y j zk           .  Độ dài véctơ: 2 2 2 ( ; ; ) u x y z u x y z        .  Toạ độ OM  chính là toạ độ của điểm M. ( ; ; ) ( ; ; ) M x y z OM x y z    .  Cho       ; ; , ; ; ; ; A A A B B B B A B A B A A x y z B x y z AB x x y y z z       và       2 2 2 B A B B A AB x x y y z z       3) CÁC PHÉP TOÁN & TÍNH CHẤT: Trong không gian Oxyz cho   1 1 1 1 ; ; u x y z    0  ,   2 2 2 2 ; ; u x y z    0  và một số thực k.  1 u  = 2 u   1 2 1 2 1 2 ; ; x x y y z z     1 u  ± 2 u  =   1 2 1 2 1 2 ; ; x x y y z z    tổng, hiệu hai véctơ là một véctơ.  k. 1 u  =   1 1 1 ; ; kx ky kz tích một số với một véctơ là một véctơ.  1 u  . 2 u  = 1 2 1 2 1 2 x x y y z z   tích vô hướng hai véctơ là một số.    1 2 1 2 1 2 . cos , . u u u u u u        = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . x x y y z z x y z x y z       Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là  thì 0 0 0 90    . Góc giữa hai véctơ là  thì 0 0 0 180     1 u   2 u   1 u  . 2 u  = 0  1 2 1 2 1 2 x x y y z z   = 0  1 u  và 2 u  cùng phương  1 u  = k 2 u  và A, B, C thẳng hàng  AB  = k AC   M là trung điểm AB  ; ; 2 2 2 A B A B A B M M M x x y y z z x y z       .  G là trọng tâm của ABC  ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C G G G x x x y y y z z z x y z          .  G trọng tâm tứ diện ABCD  ; ; 4 4 4 A B C D A B C D A B C D G G G x x x x y y y y z z z z x y z             .   1 Vd Trong không gian toạ độ Oxyz cho a  = 2 i  + 3 j  – 4 k  , b  = 3 i  + 4 k  , c  = j  – k  . a) Tìm toạ độ của véctơ a  , b  , c  và tính độ dài của chúng; b) Tính toạ độ véctơ 2 a  – 3 b  + c  ; c) Tính a  . b  và b  . c  ; d) Tính cos( a  , b  ) và cos( b  , c  ). Giải: a) a  = (2; 3; –4), b  = (3; 0; 4), c  = (0; 1; –1) và | a  | = 29 , | b  | = 5, | c  | = 2 . b) 2 a  – 3 b  + c  = (–5; 7; –21) 6 6 THPT Tõn Bỡnh Bỡnh Dng. H H è è N N H H G G I I I I T T C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ờ ờ H H n n h h P P h h ỏ ỏ p p . . Trang 2 c) a . b = 6 + 0 + (16) = 10; b . c = 0 + 0 + (4) = 4. d) cos( a , b ) = 10 2 29.5 29 , cos( b , c ) = 4 2 2 5 5 2 4) TCH Cể HNG HAI VẫCT: nh ngha: Trong khụng gian to Oxyz, tớch cú hng ca hai vộct 1 1 1 1 ; ; u x y z , 2 2 2 2 ; ; u x y z l mt vộct cú to c xỏc nh nh sau: [ 1 u , 2 u ] = 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ; ; y z z x x y y z z x x y Vi i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k = (0; 0; 1). Ta cú: [ i , j ] = (0; 0; 1) = k ; [ j , k ] = i , [ k , i ] = j . Tớnh cht: Vộct [ 1 u , 2 u ] vuụng gúc vi c hai vộct 1 u v 2 u , tc l [ 1 u , 2 u ]. 1 u = [ 1 u , 2 u ]. 2 u = 0. di vộct [ 1 u , 2 u ] l 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 , sin , y z z x x y u u u u u u y z z x x y . 1 u cựng phng 2 u [ 1 u , 2 u ] = 0 . 1 u , 2 u , 3 u ng phng [ 1 u , 2 u ]. 3 u = 0. ng dng tớch cú hng: Din tớch ABC: 1 , 2 ABC S AB AC . Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD: , ABCD S AB AD . Th tớch khi hp ABCD.ABCD: . , . ' ABCD AB C D V AB AD AA . Th tớch t din ABCD: . 1 , . 6 D ABC V AB AC AD . 2 Vd Trong khụng gian to Oxyz cho A(0; 1; 1), B(1; 0; 2), C(1; 1; 0), D(2; 1; 2). a) Chng minh 4 im ú khụng ng phng; b) Tớnh di ng cao ca ABC k t A v bỏn kớnh ng trũn ni tip ú; c) Tớnh gúc gia hai ng thng AB v CD; d) Tớnh th tớch t din ABCD v di ng cao ca t din k t nh D. Gii: a) AB = (1; 1; 1), AC = (1; 0; 1), AD = (2; 0; 3) cú [ AB , AC ] = (1; 2; 1) v [ AB , AC ]. AD = 2 + 0 + 3 = 5 0 AB , AC , AD khụng ng phng. b) Din tớch : S = 1 2 , AB AC = 6 2 , BC = (0; 1; 2), | BC | = 5 A h = 2 S BC = 6 5 . AB = 3 , AC = 2 p = 5 3 2 2 r = S p = 6 5 3 2 c) AB = (1; 1; 1), CD = (3; 0; 2), |cos( AB , CD )| = . . AB CD AB CD = 5 5 3 13 39 0 , 37 AB CD d) V = 1 3 . ABC S .DH = 1 6 , . AB AC AD = 1 6 (2 + 0 +3) = 5 6 , DH = 3. V S = 5 6 5) PHNG TRèNH MT CU: 2 2 2 2 ) ( ):Maởt cau ( taõm I(a;b;c) baựn kớnh R coự phửụng trỡnh S S x a y b z c R . THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 3  Đặt d = 2 2 2 2 a b c R    với 2 2 2 2 0 R a b c d       2 2 2 ( ): 2 2 2 0 S x y z ax by cz d        là phương trình mặt cầu dạng khai triển có tâm I(a; b; c) và bán kính R = 2 2 2 a b c d    .   3 Vd Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1; –2; 3), B(5; 4; 1) Giải: I là trung điểm AB  I(3; 1; 2), R = 2 AB = 16 36 4 14 2     (S):       2 2 2 3 1 2 14 x y z       .   4 Vd Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S): 2 x + 2 y + 2 z + 4x – 2y + 6z + 5 = 0 Giải: (S)        2 2 2 2 2 1 3 3 x y z        tâm I(–2; 1; –3), bán kính R = 3. B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Cho ba véctơ a  = (2; –5; 3), b  = (0; 2; –1), c  = (1; 7; 2). a) Tính toạ độ d  = 4 a  – 1 3 b  + 3 c  ; b) Tính toạ độ e  = a  – 4 b  –2 c  .  Hướng dẫn: a) d  = 4 a  – 1 3 b  + 3 c  = (11; 1 3 ; 55 3 ); b) e  = a  – 4 b  –2 c  = (0; –27; 3). 2) Cho các véctơ u  = i  – 2 j  ; v  = 3 i  + 5( j  – k  ); w  = 2 i  – k  + 3 j  a) Tìm toạ độ của các véctơ đó; b) Tìm côsin của các góc ( v  , i  ), ( v  , j  ), ( v  , k  ); c) Tính tích vô hướng u  . v  , u  . w  , v  . w  .  Hướng dẫn: a) u  = (1; –2; 0), v  = (3; 5; –5), w  = (2; 3; –1) b) cos( v  , i  ) = . 3 0 0 3 | |.| | 9 25 25. 1 59 vi v i           ,tương tự: cos( v  , j  ) = 5 59 ; cos( v  , k  ) = 5 59  c) u  . v  = 3 – 10 + 0 = –7; u  . w  = 2 – 6 + 0 = –4; v  . w  = 6 + 15 + 5 = 26. 3) Cho u   0  . Chứng minh rằng:       2 2 2 cos , cos , cos , u i u j u k         = 1  Hướng dẫn: Ta có:   2 2 2 . cos , | |.| | u i x u i u i x y z           ;   2 2 2 . cos , | |.| | u j y u j u j x y z           ;   2 2 2 . cos , | |.| | u k z u k u k x y z                  2 2 2 cos , cos , cos , u i u j u k         = 2 2 2 2 2 2 x y z x y z     = 1 4) Tìm góc giữa hai véctơ u  và v  trong mỗi trường hợp sau: a) u  = (1; 1; 1), v  = (2; 1; –1); b) u  = 3 i  + 4 j  ; v  = –2 j  + 3 k  .  Hướng dẫn: a) cos( u  , v  ) = . | |.| | u v u v     = 2 1 1 2 2 3 3. 6 3 2     b) u  = (3; 4; 0), v  = (0; –2; 3)  cos( u  , v  ) = . | |.| | u v u v     = 0 8 0 8 8 13 65 25. 13 5 13       5) Biết | u  | = 2, | v  | = 5, ( u  , v  ) = 2 3  . Tìm k để véctơ p  = k u  + 17 v  vuông góc với véctơ q  = 3 u  – v  .  Hướng dẫn: p   q   p  . q  = 0  (k u  + 17 v  ).(3 u  – v  ) = 0  3k 2 u  – 17 2 v  + (51 – k) u  . v  = 0  12k – 425 + (51–k).2.5.(– 1 2 ) = 0  17k – 680 = 0  k = 40 THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 4 6) Cho hình hộp ABCD.ABCD biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; –1; 1), C(4; 5; –5). Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp.  Hướng dẫn: AB  = (1; 1; 1), AD  = (0; –1; 0)  AC  = AB  + AD  = (1; 0; 1)  C(2; 0; 2). Ta có ' CC  = (2; 5; –7) mà ' CC  = ' AA  = ' BB  = ' DD  , tương tự như cách tính toạ độ điểm C như trên, ta có: A(3; 5; –6), B(4; 6; –5), D(3; 4; –6). 7) Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau: a) 2 x + 2 y + 2 z – 8x – 2y + 1 = 0; b) 3 2 x +3 2 y +3 2 z – 6x + 8y +15z– 3 = 0; c) 2 x + 2 y + 2 z – 8x + 2y + 1 = 0; d) 3 2 x + 3 2 y + 3 2 x + 6x – 3y + 15z – 2 = 0;  Hướng dẫn: a)      2 2 2 2 4 1 4 x y z       I(4; 1; 0) và R = 4 b)    2 2 2 2 4 5 19 1 3 2 6 x y z                          4 5 1; ; 3 2 I         và R = 19 6 c) I(4; –1; 0), R = 4 d) I(–1; 1 2 ; 5 2  ), R = 7 6 6 . 8) Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau đây: a) Đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3); b) Đi qua A(5; –2; 1) và tâm C(3; –3; 1)  Hướng dẫn: a) I trung điểm AB  I(3; –1; 5), R = 2 AB = 3        2 2 2 3 1 5 9 x y z       b) R = | AC  | = 5  (S):       2 2 2 3 3 1 5 x y z       9) Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu: a) Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4) và có tâm nằm trên mặt phẳng Oyz. b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc mặt phẳng Oyz và có tâm nằm trên tia Ox. c) Có tâm I(1; 2; 3) và tiếp xúc mặt phẳng Oyz.  Hướng dẫn: a) I (Oyz)  I(0; b; c). Thay A, B, C vào (S): 2 2 2 2 2 0 x y z by cz d        (S):     2 2 2 7 5 26 x y z      b) I  Ox  I(a; 0; 0), mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng Oyz  tiếp điểm là O, do đó R = IO = 2  I(2; 0; 0)  (S):   2 2 x  + 2 y + 2 z = 4 c) I(1; 2; 3), mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng Oyz  R = d(I; (Oyz)) = |a| = 1  (S):       2 2 2 1 2 3 1 x y z       . 10) Cho điểm M(a; b; c). a) Tìm hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ. b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ và đến các trục toạ độ. c) Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ.  Hướng dẫn: a) 1 M (x; y; 0) là hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên mặt phẳng Oxy  1 1 1 1 . 0 . 0 MM Ox MM i MM Oy MM j                               .1 .0 0 .0 0 .0 .1 0 .0 0 x a y b c x a y b c                   x a y b       1 M (a; b; 0). Tương tự: hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên mặt phẳng Oyz là 2 M (0; b; c) Tương tự: hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên mặt phẳng Oxz là 3 M (a; 0; c) b) Gọi x M (x; 0; 0) là hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên trục Ox  . 0 x MM i     (x – a).1 + (0 – b).0 + (0 –c).0 = 0  x = a  x M (a; 0; 0) Tương tự: hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên trục Oy là y M (0; b; 0) Tương tự: hình chiếu vuông góc của M(a; b; c) lên trục Oy là z M (0; 0; c) THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 5 d(M(a; b; c), (Oxy)) = M 1 M = 2 2 2 0 0 c   = |c|; d(M(a; b; c), (Oyz)) = M 2 M = |a|; d(M(a; b; c), (Oxz)) = M 3 M = |b|; d(M(a; b; c);Ox) = M x M = 2 2 b c  ; d(M(a; b; c),Oy) = M y M = 2 2 a c  ; d(M(a; b; c),Oz) = M z M = 2 2 a b  ; c) Gọi 1 M  là đối xứng của M(a; b; c) qua mặt phẳng Oxy thì 1 M (a; b; 0) là trung điểm của 1 M  M  1 M  (a; b; –c). Tương tự: 2 M  (–a; b; c) và 3 M  (a; –b; c). 11) Cho hình bình hành ABCD với A(–3; –2; 0), B(3; –3; 1), C(5; 0; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai véctơ AC  và BD  .  Hướng dẫn: AB  = (6; –1; 1), AC  = (8; 2; 2), AB  , AC  không cùng phương  ABCD là hình bình hành khi AB  = DC   5 6 0 1 2 1 D D D x y z              D(–1; 1; 1). BD  = (–4; 4; 0)  cos( AC  , BD  ) = . . AC BD AC BD     = 32 8 0 1 2 64 4 4. 16 16 0           ( AC  , BD  ) = 2 3  12) Tìm toạ độ M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1; 2; 3) và B(–3; –3; 2)  Hướng dẫn: M  Ox  M(x; 0; 0), MA = MB  2 2 MA MB   x = –1  M(–1; 0; 0) 13) Xét sự đồng phẳng của ba véctơ u  , v  , w  trong các trường hợp sau: a) u  = (4; 3; 4), v  = (2; –1; 2), w  = (1; 2; 1) b) u  = (1; –1; 1), v  = (0; 1; 2), w  = (4; 2; 3);  Hướng dẫn: a) [ u  , v  ] = 3 4 4 4 4 3 ; ; 1 2 2 2 2 1         = (10; 0; –10)  [ u  , v  ]. w  = 10 + 0 – 10 = 0  u  , v  , w  đồng phẳng. b) Không đồng phẳng. 14) Cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1) a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng; b) Tính chu vi và diện tích ABC; c) Tính độ dài đường cao ABC kẻ từ đỉnh A; c) Tính các góc của ABC.  Hướng dẫn: a) AB  = (–1; 0; 1), AC  = (1; 1; 1) không cùng phương  A, B, C không thẳng hàng. b) BC  = (2; 1; 0). Chi vi: AB + BC + AC = 2 + 5 + 3 . Diện tích ABC: S = 1 2 , AB AC       = 6 2 c) S = 1 2 BC.AH  AH = 2 S BC = 30 5 d) ABC vuông tại A  cosB = AB BC = 2 5 ; cosC = 3 5 AC BC  15) Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(–2; 1; –2). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. b) Tính góc giữa đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó. c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.  Hướng dẫn: a) AB  = (–1; 1; 0), AC  = (–1; 0; 1), AD  = (–3; 1; –2), [ AB  , AC  ] = (1; 1; 1)  [ AB  , AC  ]. AD  = –4  0  AB  , AC  , AD  không đồng phẳng  A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện. b) CD  = (–2; 1; –3), BD  = (–2; 0; –2), BC  = (0; –1; 1). |cos( AB  , CD  )| = 3 7 14 ; |cos( AC  , BD  )| = 0; |cos( AD  , BC  )| = 3 7 14 ; c) V = 1 6 , . AB AC AD        = 2 3 ; BCD S = 1 2 , BC BD       = 3  AH = 3 BCD V S = 2 3 THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 6 § § 2 2 . . P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H M M Ặ Ặ T T P P H H Ẳ Ẳ N N G G . . 1) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG: a) Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng: Véctơ n   0  có giá vuông góc với mặt phẳng () được gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (). b) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng () đi qua   0 0 0 0 ; ; M x y z có véctơ pháp tuyến n  = (A; B; C), khi đó điều kiện cần và đủ để M(x; y; z)  () là n  . 0 M M  = 0        0 0 0 0 A x x B y y C z z        Vậy 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ) : ( ) ( ) ( ) 0 coù vtpt thì P P M x y z n A B C P A x x B y y C z z            Đặt D = –   0 0 0 Ax By Cz   thì  trở thành: 0 Ax By Cz D      thì  được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng () với A, B, C không đồng thời bằng 0 ( 2 2 2 0 A B C    ).  Chú ý: (P): 0 Ax By Cz D     có vô số véctơ pháp tuyến có dạng n  = k(A; B; C).   1 Vd Viết phương trình mặt phẳng qua A(2; –3; 4) và có véctơ pháp tuyến n  = (1; 2;–1) Giải: Phương trình (P): 1(x –2) + 2(y + 3 ) – 1(z – 4) = 0  x + 2y – z + 8 = 0   2 Vd Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0; 1; 1), B(1; –2; 0), C(1; 0; 2). Giải: AB  = (1; –3; –1), AC  = (1; –1; 1). Gọi n  là một véctơ pháp tuyến của (P)  n  = [ AB  , AC  ] = (–4; –2; 2). Vậy (P): –4(x – 0) – 2(y – 1) + 2(z – 1) = 0  2x + y – z = 0   3 Vd Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB với A(1; –2; 3), B(–5; 0; 1). Giải: M là trung điểm AB  M(–2; –1; 2), (P) là mặt phẳng trung trực của AB  (P) đi qua M và nhận AB  = (–6; 2; –2) = –2(2; –1; 1) làm véctơ pháp tuyến  (P): 3x – y + z + 3 = 0. c) Các trường hợp riêng: Cho mặt phẳng (P): 0 Ax By Cz D      D = 0  (P) đi qua gốc toạ độ O(0; 0; 0;)  A = 0  (P) //  Ox; B = 0  () //  Oy; C = 0  () //  Oz (song song hoặc chứa).  A = B = 0  (P) //  Oxy; B = C = 0  () //  Oyz; A = C = 0  () //  Oxz.  A  0, B  0 và C  0, đặt a = D A  , b = D B  , c = D C   trở thành 1 x y z a b c     thì  được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, tức là  qua A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).   4 Vd Trong không gian Oxyz cho M(30; 15; 6) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu của M lên các trục toạ độ. b) Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (P). Giải: a) Hình chiếu M lên các trục Ox, Oy, Oz là x M = (30; 0; 0), y M (0; 15; 0), z M (0; 0; 6). Phương trình (P) theo đoạn chắn là: 1 30 15 6 x y z     x + 2y + 5z – 30 = 0. b) H(x; y; z)(P)  toạ độ H thoả phương trình (P)  x + 2y + 5z – 30 = 0 (1). n  = (1; 2; 5) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)  OH  cùng phương với n   OH  = t. n    1 ; 2 ; 5 x t y t z t    thay vào (1)  t = 1  x = 1; y = 2; z = 5  H(1; 2; 5). 2) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG:   1  : 1 1 1 1 0 A x B y C z D     ;   2  : 2 2 2 2 0 A x B y C z D     và số thực k  0.    1  //   2     1 1 1 ; ; A B C = k   2 2 2 ; ; A B C và 1 D  k 2 D .    1     2     1 1 1 1 ; ; ; A B C D = k   2 2 2 2 ; ; ; A B C D .    1  cắt   2     1 1 1 ; ; A B C  k   2 2 2 ; ; A B C .    1     2   1 2 1 2 1 2 A A B B C C   = 0. THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 7   5 Vd   1  : 2x – my + 10z +m + 1 = 0 và   2  : x – 2y + (3m + 1)z – 10 = 0. Tìm m để: a)   1  //   2  ; b)   1     2  ; c)   1  cắt   2  ; d)   1     2  . Giải: a) Không tìm được m thoả (2; –m; 10) = k(1; –2; 3m + 1)    1  không //   2  . b) Không tìm được m thoả (2; –m; 10; m + 1) = k(1; –2; 3m + 1; –10)    1  không trùng   2  . c) Từ a) và b)    1  và   2  luôn cắt nhau m. d)   1     2   2.1 + m.2 + 10.(3m + 1) = 0  32m + 12 = 0  m = 3 8    6 Vd Viết phương trình () đi qua M(1; –2; 3) và song song (): 2x – 3y + z + 5 = 0. Giải: () đi qua M và nhận véctơ pháp tuyến n  = (2; –3; 1) của mặt phẳng () làm véctơ pháp tuyến  (): 2(x – 1) – 3(y + 2) + 1(z – 3) = 0  2x – 3y + z – 11 = 0   7 Vd Viết phương trình mặt phẳng () qua hai điểm A(3; 1; –1), B(2; –1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (): 2x – y + 3z – 1 = 0. Giải: AB  = (–1; –5; 2), n   = (2; –1; 3)  AB  và n   không cùng phương. Gọi n  là véctơ pháp tuyến của ()  n   AB  và n   n    n  = [ AB  , n   ] = (–1; 13; 5)  (): –1(x – 3) + 13(y – 1) + 5(z + 1) = 0  x – 13y – 5z + 5 = 0. 3) KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG:  Khoảng cách từ   0 0 0 0 ; ; M x y z đến (P): 0 Ax By Cz D     là   0 0 0 0 2 2 2 ,( ) Ax By Cz D d M P A B C       .   8 Vd Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (): 3x – y + 2z – 6 = 0 và (): 6x – 2y + 4z + 4 = 0. Giải: Ta có (3; –1; 2) = 1 2 (6; –2; 4) và –6  1 2 .4  () // (). Gọi M(0; 0; 3) là điểm tuỳ ý thuộc ()    ( ),( ) d   =   ,( ) d M  = 6.0 2.0 4.3 4 16 4 14 7 36 4 16 56        . B B À À I I T T Ậ Ậ P P . . 1) Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua điểm M(1; –2; 4) và nhận n  = (2; 3; 5) là véctơ pháp tuyến; b) Đi qua điểm A(0; –1; 2) song song với giá của mỗi véctơ u  = (2; 3; 1) và v  = (–3; 0; 1). c) Đi qua điểm ba điểm A(–3; 0; 0), B(0; –2; 0), C(0; 0; –1)  Hướng dẫn: a) (P): (2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4) = 0  2x + 3y + 5z – 16 = 0. b) n  = [ u  , v  ] = (2; –6; 6)  (): 2(x – 0) – 6(y + 1) + 6(z – 2) = 0  x – 3y + 3z + 9 = 0. c) PT mặt phẳng theo đoạn chắn: 1 3 2 1 x y z        2x + 3y + 6z + 6 = 0 2) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)  Hướng dẫn: Gọi I trung điểm AB  I(3; 2; 5). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB qua I và nhận véctơ AB  = (2; –2; –4) = 2(1; –1; –2) làm véctơ pháp tuyến  ():x – y – 2z + 9 = 0 3) a) Lập phương trình của các mặt phẳng toạ độ Oxy, Oyz, Oxz b) Lập phương trình các mặt phẳng đi qua M(2; 6; –3) và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ.  Hướng dẫn: a) Mặt phẳng Oxy qua O(0; 0; 0) và nhận k  = (0; 0; 1) là véctơ pháp tuyến  (Oxy): z = 0. Tương tự: (Oyz): x = 0, (Oxz): y = 0 THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 8 b) () qua M(2; 6; –3) và () // (Oxy) nhận véctơ k  = (0; 0; 1) là véctơ pháp tuyến  ():z + 3 = 0. Tương tự: x – 2 = 0 và y – 6 = 0. 4) Lập phương trình của mặt phẳng: a) Chứa trục Ox và điểm P(4; –1; 2); b) Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; –3); c) Chứa trục Oz và điểm R(3; –4; 7).  Hướng dẫn:   , 0; 2; 1 n i OP             (): 2y + z = 0. Tương tự: 3x + z = 0 c) 4x + 3y = 0 5) Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng () đi qua AB và song song với cạnh CD.  Hướng dẫn: a)(ACD): 2x + y + z – 14 = 0; (BCD): 6x + 5y + 3z – 42 = 0. b) (): 10x + 9y + 5z – 74 = 0 6) Hãy viết phương trình () qua A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với (): 2x – y + z – 7 = 0.  Hướng dẫn: (): x – 2z + 1 = 0. 7) Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm M(2; 0; –1), N(1; –2; 3), P(0; 1; 2); b) Đi qua hai điểm A(1; 1; –1), B(5; 2; 1) và song song trục Oz; c) Đi qua điểm (3; 2; –1) và song song mặt phẳng có phương trình x – 5y + z = 0; d) Đi qua hai điểm A(0; 1; –1), B(–1; 0; 2) và vuông góc mặt phẳng x – y + z + 1 = 0; e) Đi qua điểm M(a; b; c) (với abc  0) và song song với một mặt phẳng toạ độ; f) Đi qua G(1; 2; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm ABC g) Đi qua điểm H(2; 1; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của ABC.  Hướng dẫn: a) MN  = (–1; –2; 4), MP  = (–2; 1; 3)  n  = [ MN  , MP  ] = –5(2; 1; 1)  (MNP): 2x + y + z – 3 = 0. b) AB  = (4; 1; 2), k  = (0; 0; 1)  n  = [ AB  , k  ] = (1; –4; 0)  (): x – 4y + 3 = 0. c) () // (): x – 5y + z = 0  véctơ pháp tuyến n  = (1; –5; 1)  (): x – 5y + z + 8 = 0 d) AB  = (–1; –1; 1), ()// (): x – y + z + 1 = 0  vtpt n  = [ AB  , n   ] = (0; 2; 2)  (): y + z – 2 = 0 e)() qua M(a; b; c) và () // (Oxy)  n   k  = (0; 0; 1)  (): z – c = 0. Tương tự: () // (Oyz)  (): x – a = 0; () // (Oxz)  (): y – b = 0 f) Gọi A  Ox, B  Oy, C  Oz  A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), G(1; 2; 3) là trọng tâm ABC   3; 6; 9 a b c     phương trình đoạn chắn: 1 3 6 9 x y z     6x + 3y + 2z – 18 = 0 g) OH  = (2; 1; 1). Tứ diện OABC có H là trực tâm ABC và OA, OB, OC đôi một vuông góc  OH  (ABC)  véctơ pháp tuyến n  = OH   (ABC): 2x + y + z – 6 = 0. 8) Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: 2 x + 2 y + 2 z – 2x – 4y – 6z – 2 = 0.  Hướng dẫn: Mặt cầu đã cho có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 4. Vì (P) song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 nên có phương trình là: 4x + 3y – 12z + D = 0 (D  1). Khoảng cách từ I đến mp(P) là d = 4 6 36 26 13 16 9 144 D D         . Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu khi và chỉ khi d = R, hay: 26 13 D   = 4  78 26 D D       Có hai mặt phẳng là: 4x + 3y – 12z + 78 = 0, 4x + 3y – 12z – 26 = 0. THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 9 § § 3 3 . . P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G T T R R Ì Ì N N H H Đ Đ Ư Ư Ờ Ờ N N G G T T H H Ẳ Ẳ N N G G T T R R O O N N G G K K H H Ô Ô N N G G G G I I A A N N . . 1) PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ, CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG:  Trong không gian toạ độ Oxyz, đường thẳng  đi qua   0 0 0 0 ; ; M x y z và nhận véctơ   1 2 3 ; ; u u u u   làm véctơ chỉ phương.  Điều kiện cần và đủ để điểm   ; ; M x y z nằm trên  là 0 M M  cùng phương véctơ u   0 M M  = t. u   0 1 0 2 0 3 x x u t y y u t z z u t            với t  R là phương trình tham số của đường thẳng . Vậy 0 0 0 0 0 0 ( ; ; ) ( ; ; ) : coù vtcp thì phöông trình ñöôøng thaúng x x at d M x y z u a b c d y y bt z z ct                Khi 1 2 3 ; ; u u u đều khác không thì phương trình đường thẳng  viết dưới dạng chính tắc là: 0 0 0 1 2 3 x x y y z z u u u        1 Vd Trong không gian Oxyz cho A(–3; 2; –5), B(–5; 3; –1), C(0; 5; –2), D(5; –3; 1). a) Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng AB, AC; b) Chứng minh ABCD là một tứ diện; Viết phương trình tham số đường cao DH của tứ diện ABCD; c) Tìm toạ độ H và tính độ dài DH. Giải: a) AB  = (–2; 1; 4), AC  = (3; 3; 3) Phương trình tham số của đường thẳng AB: 3 2 2 5 4 x t y t z t              và chính tắc: 3 2 5 2 1 4 x y z       Phương trình tham số của đường thẳng AC: 3 2 5 x t y t z t              và chính tắc: 3 2 5 1 1 1 x y z      b) n  = [ AB  , AC  ] = (–3; 6; –3) = –3(1; –2; 1)  (ABC): x – 2y + z + 12 = 0. Vì không thoả phương trình (ABC)  D  (ABC)  ABCD là một tứ diện. HD  (ABC)  DH nhận vtpt của (ABC) làm véctơ chỉ phương  DH: 5 3 2 1 x t y t z t             c) H = DH  (ABC)  H: 5 ; 3 2 ; 1 2 12 0 x t y t z t x y z                H(1; 5; –36)  DH  = (–4; 8; –4)  DH = 7 2   2 Vd Viết phương trình của đường thẳng  qua M(1; –1; 2) và vuông góc với hai đường thẳng 1 d và 2 d có phương trình 1 d : 1 4 6 6 x t y t z t            , 2 d : 1 2 2 1 5 x y z      Giải: 1 d và 2 d có các vtcp là 1 u  = (1; –4; 6), 2 u  = (2; 1; –5) và [ 1 u  , 2 u  ] = (14; 17; 9).  vuông góc cả 1 d và 2 d   nhận véctơ [ 1 u  , 2 u  ] làm vtcp  : 1 1 2 14 17 9 x y z      2) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG: THPT Tân Bình – Bình Dương. H H Ì Ì N N H H G G I I Ả Ả I I T T Í Í C C H H 1 1 2 2 . . Gv: L L ê ê H H à à n n h h P P h h á á p p . . Trang 10  Đường thẳng 1 d đi qua điểm 1 A ( 1 1 1 ; ; x y z ) có véctơ chỉ phương 1 u  = ( 1 1 1 ; ; a b c )  Đường thẳng 2 d đi qua điểm 2 A ( 2 2 2 ; ; x y z ) có véctơ chỉ phương 2 u  = ( 2 2 2 ; ; a b c )  1 d // 2 d  1 u  , 2 u  cùng phương và 1 2 A A  không cùng phương với 1 u  hoặc 2 u   1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 : : : : ( ):( ):( ) a b c a b c x x y y z z       1 2 2 1 2 [ , ] 0 [ , ] 0 u u u A A               1 d  2 d  ba véctơ 1 u  , 2 u  , 1 2 A A  cùng phương  1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 : : : : ( ):( ) : ( ) a b c a b c x x y y z z       1 2 2 1 2 [ , ] 0 [ , ] 0 u u u A A               1 d cắt 2 d  1 u  , 2 u  không cùng phương và ba véctơ 1 u  , 2 u  , 1 2 A A  đồng phẳng  1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 : : : : . . a b c a b c A A m u nu             1 2 1 2 1 2 [ , ] 0 [ , ] 0 u u u u A A               1 d và 2 d chéo nhau  ba véctơ 1 u  , 2 u  , 1 2 A A  không đồng phẳng  1 2 1 2 . . A A m u nu       1 2 1 2 [ , ] 0 u u A A       3 Vd Xét vị trí tương đối của 1 d 1 2 1 3 x mt y m t z m t             và 2 d : 2 ' ' 1 ' x m t y mt z m t            Giải: 1 A (1; m; 1 – m), 1 u  = (m; 2; –3), 2 A (m; 0; 1 – m), 2 u  = (–2; m; 1), 1 2 A A  = (m – 1; –m; 0), [ 1 u  , 2 u  ] = (2 + 3m; 6 – m; 2 m + 4), [ 1 u  , 2 u  ] 1 2 A A  = 4 2 m – 7m – 2 = (m – 2)(4m + 1) Nếu m  2 và m  – 1 4 thì hai đường thẳng chéo nhau. Nếu m = 2 thì 1 u  = (2; 2; –3), 2 u  = (–2; 2; 1) không cùng phương  hai đường thẳng cắt nhau. Nếu m = – 1 4 thì 1 u  = (– 1 4 ; 2; –3), 2 u  = (–2; – 1 4 ; 1) không cùng phương  hai đ thẳng cắt nhau.   4 Vd Cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (): x + y = 0 và (): 2x – y + z – 15 = 0. Xét vị trí tương đối của d với d: 1 2 2 3 x t y t z           Giải: d = ()  ()  d: 0 2 15 0 x y x y z          có vtcp là u  = (1; –1; –3) và qua M(5; –5; 0). d có vtcp ' u  = (–1; 2; 0) và qua M(1; 2; 3). Ta có   , ' 6;3;1 u u        ,   ' 4;7;3 MM    và , ' ' 0 u u MM         nên d và d cắt nhau. 3) BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH:   Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  0 M có véctơ chỉ phương u  là:   0 [ , ] , | | d u M M M d u      Chứng minh: Trên d lấy A sao cho 0 M A  = u   diện tích S = 1 2 |[ 0 M M  , 0 M A  ]| = 1 2 |[ 0 M M  , u  ]|  MH = 0 2 S M A  = 0 [ , ] | | u M M u    [...]... Phân ban lần 2)  Theo chương trình Nâng cao: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm E(1; –4; 5) và F(3; 2; 7) a) Viết phương trình mặt cầu đi qua F và có tâm là E b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF Gv: Lê Hành Pháp Trang 24 HÌNH GIẢI TÍCH 12 THPT Tân Bình – Bình Dương  Theo chương trình Chuẩn: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1; 0; 2) và N(3; 1; 5) và đường thẳng... 2t ) 2  = 12t 2  48t  76  12( t  2) 2  28 MA2  MB 2 nhỏ nhất  t = 2  M(–1; 0; 4) Gv: Lê Hành Pháp Trang 34 HÌNH GIẢI TÍCH 12 THPT Tân Bình – Bình Dương 36) (Đề dự trữ ĐH 2007 – Khối D – Đề 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x  3 y  2 z 1 d:   và mặt phẳng (P): x  y  z  2  0 2 1 1 a) Tìm giao điểm M của d và (P) b) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P)... NM = d(M, (α))  (1  a)2 = 36  |1 – a| = 6  a = –5; a = 7 Vậy có 2 điểm N thoả điều kiện là N(–5; 0; 0) và N(7; 0; 0) Gv: Lê Hành Pháp Trang 25 HÌNH GIẢI TÍCH 12 THPT Tân Bình – Bình Dương 12) (Đề thi TN.THPT năm 2008 Không phân ban lần 2) Trong không gian Oxyz, cho M(–2; 1; –2) và x 1 y  1 z đường thẳng d:   2 1 2 a) Chứng minh rằng đường thẳng OM song song với đường thẳng d b) Viết phương... TN.THPT năm 2011)  Theo chương trình Chuẩn: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3;1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y – z + 1 = 0 a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) b) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P)  Theo chương trình Nâng cao: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,... 4 t  2 1 17   N(0; –1; 4) và MN = 4   0   4 2  x  4 y  2 z  12  0  x  0; y  1; z  4 21) (Đề dự trữ ĐH năm 2005 – Khối B – Đề 1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5; 2; –3) và mặt phẳng (P): 2 x  2 y  z  1  0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 29 HÌNH GIẢI TÍCH 12 THPT Tân Bình – Bình Dương a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P) Xác định tọa độ điểm M1 và tính độ dài... 1 = 0 Gv: Lê Hành Pháp Trang 33 HÌNH GIẢI TÍCH 12 THPT Tân Bình – Bình Dương 33) (Đề dự trữ ĐH 2006 – Khối A – Đề 1) (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có A  0; 0; 0  , B  2; 0; 0  , C  0; 2; 0  , A '  0; 0; 2  a) Chứng minh A ' C vuông góc với BC ' Viết phương trình mặt phẳng  ABC '  b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng... + z + 3 – 3 2 = 0 2 5) (Đề thi TN.THPT năm 2006 Phân ban)  Theo chương trình Nâng cao: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C Tính diện tích ABC b) Gọi G là trọng tâm ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG  Theo chương trình Chuẩn: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(–1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) a) Chứng... ( y  2) 2  ( z  3) 2  50 15) (Đề thi TN.THPT năm 2010)  Theo chương trình Chuẩn: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 3) a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC b) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC x y  1 z 1  Theo chương trình Nâng cao: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :   2 2 1 a) Tính khoảng cách từ O... Phân ban)  Theo chương trình Nâng cao: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(–1; –1; 0) và mặt phẳng (P): x + y – 2z – 4 = 0 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song mặt phẳng (P) b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc mặt phẳng (P) Tìm toạ độ giao điểm H của đường thẳng d với mặt phẳng (P)  Theo chương trình Chuẩn: (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho điểm...  d  N , AMB1   1 4 1 6 Gv: Lê Hành Pháp 3 t  2t  t  Trang 28 HÌNH GIẢI TÍCH 12 THPT Tân Bình – Bình Dương  t 6 d1 6 2 Vậy tỉ số khoảng cách từ N  AC1  N  A  t  0  tới 2 mặt phẳng    d2 2 3 2t 2 3  AB1 D1  và  AMB1  không phụ thuộc vào vị trí của điểm N 19) (Đề dự trữ ĐH năm 2005 – Khối D – Đề 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2; 0; . 4 Vd Trong không gian Oxyz cho M(30; 15; 6) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua các hình chiếu của M lên các trục toạ độ. b) Tìm toạ độ hình chiếu H của O trên mặt phẳng (P). Giải: a) Hình.   1     2  . Giải: a) Không tìm được m thoả (2; –m; 10) = k(1; –2; 3m + 1)    1  không //   2  . b) Không tìm được m thoả (2; –m; 10; m + 1) = k(1; –2; 3m + 1; –10)    1  không trùng.        . 2) TỌA ĐỘ VÉCTƠ, ĐỘ DÀI VÉCTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM:  Trong không gian toạ độ Oxyz, các véctơ i  , j  , k  không đồng phẳng. Cho u  , khi đó tồn tại duy nhất bộ ba số x, y,