1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1. Nhắc lại một số khái niệm về tập hợp. Cho A và B là 2 tập hợp, B gọi là tập con của A nếu mọi phần tử của B đều thuộc A . Ký hiệu là BA . Tập rỗng ký hiệu là / o efd B A b B b A Tích Decac (tích trực tiếp) của 2 tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử của nó đều có dạng ,ab với ,a A b B . Ký hiệu là AB , : ,A B a b a A b B Ta có thể tổng quát cho tích Decac hữu hạn các tập hợp 12 , , , n A A A như sau: 1 1 1 2 , , , : , 1,2, , n n i i A A A a a a a A i n Một quan hệ trên tập A là tập con ~ của AA ta viết ~ab nếu ,~ab . Một quan hệ ~ trên A đgl một quan hệ tương đương nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: Tính phản xạ tức là ~,a a a A . Tính đối xứng tức là nếu ~ab thì ~ , ,b a a b A . Tính bắc cầu tức là nếu ~ab và ~bc thì ~ac . Lớp tương đương của A ký hiệu a hoặc a và :~ efd a b A a b . Nếu ~ là một quan hệ tương đương trên A thì mỗi phần tử của A đều xác định một lớp tương đương. 2. Nhắc lại một số khái niệm về Đại số tuyến tính. Cho tập hợp / Xo . Nếu ,x y X mà x y X gọi là phép cộng. Nếu xX và số mà xX gọi là phép nhân vô hướng. Tập hợp X với 2 phép toán trên đgl không gian vectơ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: ,x y y x x X , , ,x y z x y z x y z X !0 : 0 ,X x x x X Với mỗi xX , tương ứng duy nhất một phần tử x sao cho 0xx , , ,x x x x X là số bất kỳ , , ,x y x y x y X là số bất kỳ ,x x x X 1. ,x x x X .,O x O x X Không gian vectơ gọi là không vectơ thực hay phức nêu  hay  . Nếu X là không gian vectơ thì xX đgl vectơ. Hệ 12 , , , n x x x gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số 12 , , , n không đồng thời bằng 0 sao cho 1 1 2 2 0 nn x x x . Bài 1 2 Hệ 12 , , , n x x x không phụ thuộc tính thì gọi là độc lập tuyến tính. Cho hệ vectơ 1 2 1 1 2 2 , , , , : n n n B x x x x X x x x x thì vectơ x đgl biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ B và B đgl tập sinh của không gian vectơ X . Hệ 12 , , , n B x x x đgl cơ sở của không gian vectơ X nếu hệ B độc lập tuyến tính và là tập sinh của X . Không gian vectơ X đgl hữu hạn chiều nếu X chứa một cơ sở hữu hạn các vectơ. Cho không gian vectơ X và tập hợp / Bo , BX đgl không gian vectơ con của X nếu ,x y B , số thỏa: x y B xB Cho tập hợp / So trong không gian vectơ X và X là không gian vectơ con chứa S của X . Khi đó I MX  đgl không gian vectơ nhỏ nhất chứa S và là không gian con mở rộng của S hay là mở rộng của S . Cho ,UV là 2 không gian vectơ trên trường K ( ,KK ). Tổng trực tiếp của ,UV là một không gian vectơ được ký hiệu là UV . Khi đó: :, efd U V u v u U v V và phép toán tuyến tính định nghĩa bởi công thức: 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 , , ,u v u v u u v v Cho X là không gian vectơ thì tập hợp 1 2 1 2 1 : , , 0,1A x tx t x x x X t đgl đoạn nối điểm 12 ,xx . Khi đó AX gọi là tập lồi nếu mọi đoạn nối 2 điểm của A đều nằm trong A . Cho HX , A là tập lồi chứa H . Khi đó I MA  đgl bao lồi của H và M cũng là một tập lồi. Phép biến đổi tuyến tính trên không gian vecto V là phép gán tương ứng mỗi phần tử xV , một vecto Ax trong V sao cho A x y Ax Ay , với , là số bất kỳ. Một hàm tuyến tính trên không gian vecto V là lượng vô hướng giá trị của hàm f định bởi mọi vecto xV thõa 1 2 1 2 f x x f x f x với 22 ,x x X và , là số bất kỳ. Cho V là không gian vecto và ' V là giao của tất cả các hàm tuyến tính trên V . Ký hiệu 0 hàm tuyến tính f sao cho 0,f x x X . Nếu 12 ' ,f f V và nếu 12 , là số bất kỳ thì ta viết 1 1 2 2 f x f x f x . Khi đó f là hàm tuyến tính. Định nghĩa của 0 với phép cộng, phép nhân vô hướng thì ' V là không gian vecto và là không gian đối ngẫu của V . Quy ước : Viết ,xy thế cho hàm thông thường ký hiệu yx . Cho V là không gian vecto và phần tử ' fV . Các ánh xạ tuyến tính A trong V đều xét đến biểu thức ,,Ax f x V . Cố định f , hàm ' f đinh bởi ' ,f x Ax f là hàm tuyến tính trong V . Ta có thể viết ' ,,Ax f x f . Nếu bây giờ ta thực hiện các biến đối f trên ' V thì thủ tục 3 tương ứng cho ta mỗi f tất cả chúng chứa ' f và có thể viết '' f A f hay ' ,,Ax f x A f . Khi đó ' A là ánh xạ tuyến tính trong ' V . Thật vậy, nếu 1 1 2 2 f f f thì ' ' ' 1 1 2 2 1 1 2 2 , , , , , ,x A f Ax f Ax f Ax f x A f x A f = '' 1 1 2 2 ,x A f A f . Ánh xạ tuyến tính ' A đgl phụ hợp (liên hợp) của A . 3. Các khái niệm về ánh xạ. Cho X , Y là 2 tập hợp. Ánh xạ :f X Y là phép tương ứng với mỗi phần tử xX có duy nhất phần tử y f x Y . Ảnh của ánh xạ f được xác định: :Im f f X y Y x X y f x Tạo ảnh của ánh xạ f được xác định: 1 f Y x X f x Y Ánh xạ đồng nhất trên X là ánh xạ :I X X x thõa ,I x x x X x . Cho AX ánh xạ :i A X xác định bởi i a a A đgl bao hàm của ánh xạ A lên X . Cho AX thì f hạn chế lên A là ánh xạ :f A Y A thõa ,f a f a a A A . Ánh xạ :f X Y gọi là đơn ánh nếu 1 2 1 2 1 2 ,:x x X x x f x f x hay 1 2 1 2 1 2 ,:x x X f x f x x x ; gọi là toàn ánh nếu Imf X Y f hay ,:y Y x X f x y ; gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh, toàn ánh hay yY tồn tại duy nhất :x X f x y . Nếu f là song ánh thì tồn tại ánh xạ ngược của f là 1 :f Y X được xác định theo công thức 1 x f y y f x . Nếu : , :f X Y g Y Z thì ánh xạ hợp của ,fg là ánh xạ : o g f X Z cho bởi công thức ,g f x gf x x X . 4. Nhắc lại một số vấn đề về Topo đại cƣơng. Cho tập hợp X , là tập hợp các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau: , / Xo Giao của 2 phần tử của thì thuộc Hợp tùy ý các phần tử của thì thuộc Nếu tập hợp thỏa mãn các điều kiện trên đgl Topo trên X và X đgl không gian Topo. Ký hiệu: ,X Mỗi phần tử thuộc đgl một tập mở. Cho X là không gian Topo. Khi đó: 0 GX đgl lân cận của xX iff tồn tại tập mở x UG . 0 AX đgl tập mở iff xX tồn tại tập mở x UA . 0 BX đgl tập đóng iff \XA mở. Cho X là không gian Topo, YX . Tập đóng nhỏ nhất chứa Y đgl bao đóng ký hiệu là Y . Khi đó j jI YF  với : j F j I là họ tập đóng chứa Y . 4 Cho SX khi đó topo cảm sinh trên S bởi topo X bao gồm họ các tập hợp thỏa US với U mở trong X . Nếu T là họ các tập mở trong X thì : S T U S U T là họ các tập mở trong S và từ sự thành lập đó thì S T đgl topo trên S . Topo cảm sinh đôi khi có thể gọi topo tương đối. Nếu S là topo cảm sinh thì S đgl không gian topo con của X . Cho SX cái phủ của S là giao tất cả các tập con j U của X sao cho j jI SU  . Nếu chỉ số jI hữu hạn (i.e. I hữu hạn) thì cái phủ hữu hạn và nếu j U mở thì ta gọi là phủ mở. Tập SX đgl compact nếu mọi phủ mở của S đều chứa một phủ con hữu hạn. Nếu X là compact thì X đgl không gian compact. Compact có các tính chất. Đóng trong compact là compact (i.e. A đóng, AB , B compact suy ra A compact). ,XY là 2 không gian topo. Khi đó ,XY compact XY compact. Tập con của n  đóng và bị chặn thì compact. Một không gian topo X đgl liên thông nếu X không thể biễu diễn thành hợp của 2 tập hợp mở khác rỗng rời nhau trong X . X liên thông nếu X chỉ có 2 tập con vừa đóng vừa mở đó là X và / o . Một tập SX đgl liên thông nếu S liên thông trong không gian với topo cảm sinh. Một số tính chất của không gian liên thông. Hiển nhiên ,ab  là liên thông. Cho , j S j I là họ các tập con liên thông của X . Nếu / j jI So  thì j jI SS  liên thông. Nếu ,XY là 2 không gian topo thì XY liên thông iff X , Y liên thông. Một không gian topo X đgl liên thông cục bộ tại điểm xX nếu với mọi tập mở chứa x đều chứa một tập mở liên thông chứa x . Không gian X đgl liên thông cục bộ nếu X liên thông cục bộ tại mọi điểm thuộc X . Một tập con của X liên thông cực đại đgl một bộ phận của X . Liên thông cục bộ có các tính chất sau: Một không gian topo X liên thông cục bộ iff những bộ phận cấu thành của không gian con mở của X đều mở trong X . Nếu X liên thông cục bộ thì mọi bộ phận cấu thành của X đều mở. Cho 2 không gian topo ,XY . Ánh xạ :f X Y liên tục nếu mọi tập mở trong Y thì có tạo ảnh là mở trong X (i.e :f X Y iff mọi mở UY thì 1 fU mở trong X ) Một số tính chất của ánh xạ liên tục. Nếu : , :f X Y g Y Z liên tục thì : o g f X Z liên tục. Nếu :f X Y liên tục và AX là không gian topo con thì :f A X A liên tục. Nếu :f X Y liên tục và fX là không gian topo con trong Y thì :f X f X liên tục. Cho :f X Y liên tục. Nếu SX là không gian con compact thì fS compact. Cho ánh xạ :f X Y . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: 5 f liờn tc To nh ca tp úng trong Y l úng trong X . Vi mi xX v lõn cn N f x trong Y thỡ tn ti lõn cn Vx trong X sao cho f V x N f x . Nu AX thỡ f A f A . Nu BY thỡ 11 f B f B . Mt ỏnh x bin mt tp m thnh mt tp m thỡ gl ỏnh x m. Mt ỏnh x bin mt tp úng thnh mt tp úng thỡ gl ỏnh x úng. nh x :f X Y gl phộp ng phụi nu f n ỏnh, ỏnh x m liờn tc. nh ca khụng gian liờn thụng cc b nh bi mt ỏnh x liờn tc v m l liờn thụng cc b. Cho X l khụng gian topo, tp hp Y v ỏnh x :f X Y ton ỏnh. Khi ú topo thng trong Y vi liờn h f l h 1 :, mụỷ trong j U U U Y f U X . Xột tp hp ,:S nn RP x x x , ỏnh x : nn S RP cho bi ,x x x l ton ỏnh. Tp hp n RP vi topo thng vi liờn h ỏnh x gl khụng gian x nh thc n chiu. Cho X , Y l 2 khụng gian topo thỡ ỏnh x :: vaứ XY X Y X X Y Y l ỏnh x x nh. C hai ỏnh x X v Y lin tc bi vỡ 11 vaứ XY U U Y V X V . 5. Nhc li mt s khỏi nim v i s i cng. Phộp toỏn 2 ngụi trờn tp hp X l hm :f X X Y . Khi ú, ta cú th ký hiu ,f x y di dng xy (ký hiu l phộp nhõn) hoc xy (ký hiu l phộp cng). Mt tp hp A gl mt nhúm nu tn ti phộp toỏn 2 ngụi v tha món cỏc iu kin sau: Tn ti 1 phn t eA gi l phn t n v (ng nht) ca A sao cho ,ae ea a a A . 1 ,a A a A gi l phn t nghch o ca a sao cho 11 a a a a e . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , : . .a a a A a a a a a a quan h ny gi l tớnh cht kt hp. Nu nhúm A cng tớnh thỡ phn t n v ký hiu l 0 v phn t nghch o ca a ký hiu l a . Nhúm ch cú 1 phn t gm phn t n v e hoc phn t 0 gl nhúm tm thng (nhúm c bit). Cho 2 nhúm ,GH thỡ tớch trc tip (tớch cỏc) ca G v H ký hiu GH vi phộp toỏn 1 ngụi nh bi ' ' ' ' , , , , ,g h g h gg hh g h G H . i vi phộp cng thỡ tng trc tip c ký hiu GH . Cho ,GH l 2 nhúm, ỏnh x :f G H tha '' ,f gg f g f g g G gl cu x. Nu f n ỏnh thỡ gi l n cu, nu f ton ỏnh gi l ton cu, nu f song ỏnh thỡ gi l ng cu v ,GH gi l ng cu nhúm ký hiu GH hoc :f G H . Ht nhõn ca :f G H l tp hp ker :f g G f g e 6 Chú ý: Nếu f là phép đẵng cấu thì ker f chỉ có một phần tử đơn vị e . Nhóm A đgl nhóm Abel hoặc nhóm giao hoán nếu ' ' ' . . , ,a a a a a a A . Một nhóm Abel tự do có hạng n là nhóm đẵng cấu của n vành số nguyên     . Cho nhóm A và aA , ta nói phần tử a có bậc n nếu tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho n ae . Nếu không tồn tại số nguyên dương n sao cho n ae thì ta gọi a có bậc vô hạn. Nhóm A đgl nhóm cyclic nếu tồn tại phần tử aA sao cho mọi phần tử của A là lũy thừa của a và a đgl phần tử sinh của A . Số các phần tử trong nhóm cylic A đgl bậc của nhóm. Bậc của nhóm cyclic bằng bậc của phần tử sinh. Cho nhóm A và HA . Khi đó H đgl nhóm con của nhóm A nếu H là nhóm với phép toán 2 ngôi của A . Nếu H là nhóm con của A và aA thì lớp ghép trái của H bởi phần tử a được xác định bởi tập con :aH ah h H . Lớp ghép phải được định nghĩa tương tự. Nhóm con H của nhóm A đgl nhóm con chuẩn tắc của A nếu ,aH Ha a A . Cho nhóm A và H là nhóm con chuẩn tắc của A thì lớp ghép trái bằng lớp ghép phải. Tập hợp A H của tất cả các lớp ghép của H trong A với phép toán 2 ngôi được định nghĩa bởi ,,Ha Hb Hab Hb Ha A là nhóm và nhóm này đgl nhóm thương hay nhóm nhân tử của A sinh bởi H . PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ 1. Phạm trù. Một cách trực giác chúng ta có thể xem phạm trù bao gồm các lớp của tập hợp và có thể là hàm với cấu trúc phép cộng trên 1 hoặc 2 lớp. 1.1. Định nghĩa. Một phạm trù bao gồm: a) Lớp các đối tượng. b) Mỗi cặp đối tượng có thứ tự X và Y trên cùng một lớp ta ký hiệu hom ,XY là tập tất cả cấu xạ từ miền xác định X vào miền giá trị Y . Nếu hom ,f X Y thì :f X Y hoặc f XY . c) Với mỗi bộ ba các đối tượng có thứ tự ,XY và Z . Một cặp hàm cấu xạ liên kết :f X Y và :g Y Z thì tích hợp thành của ,fg là : o g f X Z . 11 hom , hom , / X Y X Y o nếu 1 XX và 1 YY thì cấu xạ và ánh xạ xem như là một. Tất cả những điều kiện trên cần thỏa mãn 2 tiên đề sau: a) Tính kết hợp. Nếu :f X Y , :g Y Z và :h Z V thì : oo h g f h g f X V . b) Tính đồng nhất. Bài 2 7 Tương ứng mỗi đối tượng Y có một cấu xạ : Y I Y Y sao cho nếu :f X Y thì . Y I f f và nếu :h Y Z thì . Y h I h . Khi đó Y I là cấu xạ đồng nhất và duy nhất. 1.2. Ví dụ. a) Phạm trù gồm các đối tượng là lớp của tất cả tập hợp. Nếu ,XY là tập hợp thì hom ,XY là tập tất cả hàm :f X Y . b) Phạm trù gồm các không gian Topo và hom ,XY là tập hợp của các hàm :f X Y liên tục với tích hợp thành là tích hợp thành của các hàm thuộc hom ,XY . c) Phạm trù gồm các nhóm và hom ,XY là tập hợp các đẵng cấu từ nhóm X vào nhóm Y . d) Cho 1 X và 2 X là 2 đối tượng. Phạm trù của 2 đối tượng 1 X , 2 X xác định như sau: 12 1 1 2 2 1 2 2 1 hom , , hom , hom , , hom , / / XX X X I X X I X X o X X o 2. Tính khả nghịch. Cho 2 đối tượng ,XY . Ánh xạ :f X Y và :g Y X là cấu xạ sao cho .g f I X thì g đgl khả nghich trái của f và f đgl khả nghịch phải của g . Một khả nghịch của f là một cấu xạ vừa khả nghịch trái vừa khả nghịch phải. Nếu :f X Y là một cấu xạ thì f đgl tương đương nếu có một cấu xạ :g Y X thỏa khả nghịch 2 phỉa đối với f . Ký hiệu :f X Y . Nếu 1 :g Y X khả nghịch trái của f và 2 :g Y X khả nghịch phải của f thì 1 1 1 2 1 2 2 2 . . . . . . YY g g I g f g g f g I g g . Bổ đề 2.1. Nếu :f X Y có khả nghịch trái và khả nghịch phải thì chúng bằng nhau và f tương đương.(i.e) Nếu 12 ,gg lần lượt là khả nghịch trái, phải của f thì 12 12 : gg f g g . Nếu :f X Y có khả nghịch ký hiệu là 1 :f Y X thì 1 f là duy nhất và tương đương. Điều đó có nghĩa sự tương đương của f có tính đối xứng. Nếu :f X Y tồn tại thì X và Y tương đương với nhau ký hiệu XY . Hợp của 2 phép tương đương là tương đương. Quan hệ XY là một quan hệ tương đương (phản xạ, đối xứng, bắc cầu) trong tập hợp các đối tượng của phạm trù. 3. Hàm tử. 3.1. Định nghĩa. Định nghĩa 1. Cho 12 ,cc là 2 phạm trù, một hàm hiệp biến F đi từ 1 c vào 2 c gồm một hàm đối tượng xác định với mỗi đối tượng X thuộc 1 c thì 2 F X c và một hàm cấu xạ sao cho với mỗi cấu xạ :f X Y thuộc 1 c , có một cấu xạ :F f F X F Y thuộc 2 c thõa: a) X FX F I I b) F g f F g F f 8 Định nghĩa 2. Một hàm phản biến từ 1 c vào 2 c bao gồm hàm đối tượng và hàm cấu xạ trong định nghĩa 1 ngoại trừ rằng nếu :f X Y thì :F f F X F Y và theo điều kiện b) ta luôn có F g f F g F f . Trong 2 định nghĩa trên ta viết 12 :F c c có nghĩa F là một hàm tử. 3.2. Ví dụ. a) Cho F là một hàm hiếp biến từ phạm trù của không gian Topo và ánh xạ liên tục vào phạm trù của nhiều tập hợp và hàm, xác định với mỗi không gian Topo thì nó nằm ở cơ sở tập hợp. Hàm tử F gọi là hàm quên vì nó quên một vài cấu trúc của không gian Topo. b) Cho K u là phạm trù của không gian vectơ trên trường K (thực hoặc phức) và ánh xạ tuyến tính. Cho : Kk F u u cho bởi * F V V và * F f f với * V là không gian đối ngẫu của V và * f là liên hợp của f . Khi đó F là hàm tử phản biến. c) Cho c là phạm trù, hàm tử đồng nhất từ c vào c là đồng nhất trên các đối tượng và ánh xạ và là hiệp biến. 3.3. Định lí 2.1. Nếu T là hàm tử từ phạm trù 1 c vào phạm trù 2 c thì T biến các quan hệ tương đương trong 1 c thành các quan hệ tương đương trong 2 c . Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh định lý trên trong trường hợp T là hàm tử hiệp biến, còn trường hợp T là hàm tử phản biến chứng minh tương tự. Giả sử T là hàm tử hiệp biến và :f X Y là phép tương đương trong 1 c thì theo định nghĩa ta được 1 1 . . X Y f f I f f I . Ta lại có 1 1 . . X TX Y TY I T I T f T f I T I T f T f Suy ra 1 Tf khả nghịch 2 phía đối với Tf . Theo bổ đề 2.1. trên cho ta Tf tương đương trong 2 c . ĐỒNG LUÂN 1. Định nghĩa. Một không gian con của không gian topo X là đồng luân với không gian con khác nếu không gian con này biến đổi thành không gian con khác bởi một phép biến dạng liên tục. (một cách chính xác đồng luân là quan hệ giữa các ánh xạ liên tục chứ không phải giữa các không gian con). Đường cong đơn trong X được xác định là ảnh của một ánh xạ liên tục 1 :f C X với 1 C  cho bởi 1 :,C a u b a b . Bài 3 9 Định nghĩa 1. Hai ánh xạ liên tục 01 ,:f f X Y đgl đồng luân với nhau nếu có một ánh xạ liên tục :F X C Y sao cho 0 1 ,0 ,1 F x f x F x f x , xX , trong đó 0,1C . Ánh xạ F đgl đồng luân giữa 0 f và 1 f ký hiệu là 01 ff hoặc 01 :F f f . Với mọi uC thì ánh xạ u F được xác định bởi ,, u F x F x u x X . Vì vậy 00 11 Ff Ff . Ví dụ 1. a) Cho n XY và 01 , 0, n f x x f x x  . Cho : nn FC xác định bởi ,1F x t t x thì F là đồng luân giữa 0 f và 1 f hay 01 :F f f . Thật vậy, theo định nghĩa ta có: 0 1 ,0 1 0 , ,1 1 1 0 F x x x f x xX F x x f x . b) Cho X Y C và 01 , 0,f x x f x x C . Cho :F C C C xác định bởi ,1F x u u x thì F là đồng luân giữa 0 f và 1 f hay 01 :F f f . Định nghĩa 2. Một ánh xạ liên tục :f X Y đgl đồng luân không nếu f đồng luân với ánh xạ hằng bất kỳ. Ví dụ 2. Các ánh xạ đồng luân không có thể không đồng luân. Thật vậy, các ánh xạ hằng không phải là đồng luân. Cho X liên thông, Y không liên thông và 0 y , 1 y là 2 điểm phân biệt trong một bộ phận của Y . Kết hợp với 00 f x y và 11 ,f x y x X thì 0 f và 1 f không đồng luân. Bởi vì, XC liên thông, Y không liên thông và ảnh của không gian liên thông xác định bởi ánh xạ liên tục liên thông. 2. Tính chất của đồng luân. Định lí 3.1. Ánh xạ : nn f B S với .f i I tồn tại iff ánh xạ đồng nhất 11 : nn I S S là đồng luân với ánh xạ hằng, với 1 : nn i S B là ánh xạ bao hàm có nghĩa là tích vô hướng. Chứng minh. Giả sử f tồn tại, ta xác định đồng luân 11 : nn F S C S xác định bởi 1 ,, n F x t f tx x S . Thật vậy, với 1n xS thì ,0 0. 0 ,1 1. F x f x f F x f x f x x I x , không phụ thuộc vào x . Suy ra ánh xạ đồng nhất I đồng luân với ánh xạ hằng. Ngược lại, tồn tại 11 : nn F S C S với ,0 ,1 F x c F x x , ánh xạ 1 : nn f B S xác định bởi , , 0 x f x F x f c x . Vì 1n S compact và F liên tục đều nên 0, 0 độc lập với x sao cho ,F x t c , bất kỳ t . Do đó, f liên tục tại 0 . Suy ra tồn tại ánh xạ f . Bổ đề 3.1. Nếu :f X Y và :g Y Z là 2 ánh xạ liên tục thì .:h g f X Z liên tục. Chứng minh. Lấy U mở trong Z , ta có 1 1 1 1 .h U f g U f g U Vì g liên tục nên 1 gU mở trong Y . Suy ra 11 f g U mở trong X . (do f liên tục ) 10 Suy ra 1 hU mở trong X . Suy ra .h g f liên tục. Bổ đề 3.2. Nếu :p X Y X và :q X Y Y xác định bởi ,, vaø p x y x q x y y với ,x X y Y thì ,pq liên tục. Chứng minh. Lấy U mở trong X thì 1 p U U Y mở trong XY . Suy ra p liên tục. Chứng minh tương tự ta cũng được q liên tục. Nhận thấy rằng, trong bổ đề trên ta cũng chứng minh được rằng ,pq là ánh xạ mở. Bổ đề 3.3. Nếu X A B với ,A B X , ,AB đóng trong X và : , :f A Y g B Y là 2 ánh xạ liên tục thõa ,f x g x x A B thì phép biến đổi :h X Y xác định bởi công thức , , h x f x x A h x g x x B là liên tục. Chứng minh. Lấy FX và 12 ,F F A F F B thì 12 F F F và 12 h F h F h F . Suy ra 12 F F F và 12 h F h F h F . Nếu 1 x F F A F A x A x A (vì A đóng) thì 1 FA . Suy ra 11 h F f F Tương tự, ta cũng có 22 h F g F . Vì ,fg liên tục nên 12 12 vaø f F f F g F g F . Theo trên ta lại có 1 2 1 2 1 2 1 2 h F h F h F f F g F f F g F h F h F Mà 1 2 1 2 h F h F h F h F h F do đó h F h F theo mệnh đề tương đương về ánh xạ liên tục thì h liên tục. Định lí 3.2. Đồng luân là một quan hệ tương đương. Chứng minh. Để chứng minh đồng luân là một quan hệ tương đương (theo nghĩa đại số) ta phải chứng minh đồng luân có tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Tính chất phản xạ là hiển nhiên (chỉ cần chọn đồng luân ,F x t f x f f ) Tính chất đối xứng. Nếu :F f g thì ,0 ,1 F x f x F x g x . Đặt ' , ,1F x t F x t Suy ra hàm ' F liên tục. Ta lại có: ' ' ,0 ,1 ,1 ,0 F x F x g x F x F x f x suy ra ' :F g f . Tính chất bắc cầu. Nếu :F f g và ' :F g h thì ,0 ,1 F x f x F x g x và ' ' ,0 ,1 F x g x F x h x Đặt '' ' 1 ,2 0, 2 , 1 ,2 1 ,1 2 , , F x t t F x t F x t t suy ra hàm '' F liên tục. Khi đó '' '' ' ,0 ,0 ,1 ,1 F x F x f x F x F x h x theo định nghĩa ta được '' :F f h . [...]... A thì tối đa 2 số đó k x vi nếu x chỉ nằm trong một tập mở U i và k x i x là khác không Khi 1 t v j với bất kỳ t thỏa tvi 0 t 1 nếu x nằm trong 2 tập mở U i và U j Trong trường hợp này, k x thuộc hợp của biên của T gọi là BdT Vì vậy k biến T thành BdT Hơn nữa k biến mỗi cạnh của T thành chính nó Nếu x thuộc biên vw của T , bất kỳ tập mở U i chứa x đều cắt biên vw Do đó vi v hoặc vi w Vi c xác định... có ứng dụng quang trọng trong vi c nghiên cứu tích phân mặt Rieamann và đa tạp phức Định nghĩa 6.1 Cho ánh xạ p : E B liên tục, toàn ánh Tập mở U B đgl phủ đều bởi p nếu ảnh ngược p 1 U V với V I E là họ các tập mở rời nhau Ánh xạ hạn chế I pV : V U là đồng phôi Tập V đgl phân hoạch của p 1 U tạo thành các lát cắt Nếu U là tập mở phủ đều bởi p thì ta hãy tưởng tượng tập hợp p 1 U như là một “Ngăn... Tổng quát, cho trước i0 và j0 Giả sử F xác định trên tập hợp A 0 I j j0   Giả sử F phép nâng, liên tục của FA khi đó F xác định trên I i0 i i0 của B được phủ đều bởi p và chứa tập F I i0 lát cắt Với mỗi V thì p : V J j0 Cho V I 0 J j0 Chọn tập mở U là phân hoạch của p  U là phép đồng phôi Vì thế, F xác định trên C và C là hợp của cạnh trái, cạnh trên của hình chữ nhật I i0 I i J j với 1 A U bởi... cy0 Chúng ta chỉ đơn thuần chọn c đủ lớn 31 sao cho an 1 c an 2 c2 a cn 1 để quy về trường hợp đặc biệt của định lí đã chứng minh ở bước 3 Vậy định lí 9.1 được chứng minh 32 Chuyên đề ĐA TẠP TRÊN TẬP KHẢ VI Biên tập: Nguyễn Thành An Tổng hợp và dịch: Lớp Toán 4 VT Hiệu đính: TS Nguyễn Hà Thanh 33 ... được nâng  trong E có điểm bắt đầu tại e0 Chứng minh Phủ tập B bởi những tập mở U , mỗi tập mở U được phủ đều bởi p Ta chia nhỏ đoạn 0,1 bởi các điểm chia s0 , s1 , , sn sao cho với mỗi i thì f Lebesgue) f Đặt  0 si , si p 1 1 e0 , giả sử  s được xác định sao cho 0 f như sau: tập f si , si 1 si , si U (theo bổ đề số 1 si Ta xác định  trên đoạn f s U mở được phủ đều bởi p , lấy V là phân hoạch... số phức, phương trình đa thức x n và ai  hoặc ai an 1 x n 1 a1 x a0 0 bậc n 1  có n nghiệm Có thể bạn đã gặp vấn đề này trong môn đại số ở cấp THPT, mặc dù vấn đề đó bạn cảm thấy ghi ngờ nhưng nó đã được chứng minh Vi c chứng minh là rất khắc nghiệt nhưng phần khó khăn nhất là chứng minh phương trình đa thức bậc nguyên dương có ít nhất một nghiệm Đó là một vấn đề khác vi c đang làm Ta có thể chỉ... Với mỗi i 1,2, , n chọn vecto vi của T như sau Nếu U i cắt 2 biên của T thì vi là đỉnh chọn chung của biên T , nếu U i chỉ cắt một biên của T thì vi là một trong các điểm cuối của biên T , nếu U i không cắt biên của T thì vi là đỉnh bất kỳ của T Giả sử k :T i là một phân hoạch của phần tử đơn vị ưu thế bởi U1, ,U n Định nghĩa ánh xạ 2 xác định bởi phương trình k x n i x vi thì k liên tục i 1 Cho một... f ' , f ' và f '' Xét ánh xạ F '' : X I Vì F '' liên tục trên 2 tập con đóng X Y xác định bởi F '' x, t 0, 1 , X 2 ,t F '' x, 2t 1 , , t 0, 1 2 1 ,1 2 1 ,1 nên hàm F '' liên tục trên X I 2 Dễ dàng kiểm tra được hàm F '' đồng luân giữa f và f '' theo định nghĩa f  f '' Nếu F , F ' đồng luân đường thì F '' đồng luân đường Suy ra f  p f '' Vi c F '' đồng luân đường ta có thể minh họa bằng hình bên... toàn cạnh   bên trái 0 I của I 2 thành điểm đơn b B Vì F là phép nâng của F và F biến cạnh này 0 thành tập p 1 U , nhưng tập này có topo rời rạc là một không gian con của E Do vậy, 0 I liên    thông và F liên tục, F 0 I liên thông vì thế nó phải là tập hợp một điểm Tương tự, F I I  cũng là tập một điểm Do đó, F là đồng luân đường Định lí 7.1 Giả sử p : E B là ánh xạ phủ, p e0 b0 Cho f , g là... phân hoạch của U là phép đồng luân Do đó,  si nằm f U bởi các lát cắt, ứng với mỗi tập V thì p : V trong những tập này gọi là V0 Định nghĩa  s f với s si , si bởi phương trình 1 1  s f pV0 f s f U là phép đồng phôi nên  liên tục trên đoạn si , si Vì ánh xạ pV0 : V0 1 f Tiếp tục quá trình này, ta sẽ định nghĩa được  trên đoạn 0,1 thỏa mãn bổ đề và theo định f nghĩa của  cho ta po  f f f Tiếp theo . , , : , 1,2, , n n i i A A A a a a a A i n Một quan hệ trên tập A là tập con ~ của AA ta vi t ~ab nếu ,~ab . Một quan hệ ~ trên A đgl một quan hệ tương đương nếu nó thỏa mãn các điều. 1. Nhắc lại một số khái niệm về tập hợp. Cho A và B là 2 tập hợp, B gọi là tập con của A nếu mọi phần tử của B đều thuộc A . Ký hiệu là BA . Tập rỗng ký hiệu là / o efd B A. đại cƣơng. Cho tập hợp X , là tập hợp các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau: , / Xo Giao của 2 phần tử của thì thuộc Hợp tùy ý các phần tử của thì thuộc Nếu tập hợp thỏa mãn