Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 3 Ch-ơng I: chuỗi số - dãy hàm - chuỗi hàm Chuỗi số 1 Các định nghĩa - Cho dãy số 12 , , , , n a a a Tổng vô hạn 12 1 nn n a a a a (*) đ-ợc gọi là một chuỗi số. Trong (*), n a đ-ợc gọi là số hạng thứ n và 12 nn S a a a gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi. Dãy n S gọi là dãy các tổng riêng của (*) - Nếu lim n n SS thì ta viết 1 n n aS và gọi S là tổng của chuỗi. - Nếu lim n n SS là một số hữu hạn thì chuỗi gọi là hội tụ. - Nếu lim n n S hoặc không tồn tại thì chuỗi gọi là phân kỳ. - Tổng của chuỗi nếu có là duy nhất do giới hạn của dãy n S nếu có là duy nhất. - Ví dụ 1: Chuỗi 1 n n a +/. Nếu 1a thì 2 1 1 n n n aa S a a a a +/. Nếu 1a thì 1 1 1 n Sn Khi 1a thì lim 0 n n a do đó lim 1 n n a S a Vậy chuỗi hội tụ và có 1 1 n n a a a Khi 1a thì lim n n S nên chuỗi phân kỳ và có 1 n n a Khi 1a thì không tồn tại lim n n S nên chuỗi phân kỳ. - Ví dụ 2: a/. Chuỗi 1 21 n n n là phân kỳ vì 1 lim 2 1 2 n n n b/. Chuỗi 1 1 n n có 1 lim 0 n n nh-ng 11 lim 1 2 n n phân kỳ nên chuỗi phân kỳ. - Chuỗi 1 n n a gọi là chuỗi d-ơng nếu 0 n an - Chuỗi có dạng 1 1 4321 n n aaaaa trong đó 0 n a hoặc 0 n a với mọi n gọi là chuỗi đan dấu. - Chuỗi 1n n a với n a có dấu bất kỳ đ-ợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi 1n n a hội tụ. - Giả sử n s là dãy các tổng riêng của chuỗi d-ơng 1 n n a Khi đó 1 0 n n n s s a do đó Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 4 n s là dãy tăng. 2 Các định lý, tính chất - Định lý 1: Chuỗi (*) hội tụ khi và chỉ khi 12 0; : , n n n p M n M p N a a a Hệ quả 1: (Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi (*) hội tụ thì lim 0 n n a Hệ quả 2: Chuỗi (*) và chuỗi nhận đ-ợc từ (*) bằng cách thay đổi hoặc bỏ đi một số hữu hạn là cùng hội hoặc cùng phân kỳ. - Định lý 2: Nếu chuỗi 1 n n a , 1 n n b cùng hội tụ và có tổng lần l-ợt là S và T thì các chuỗi 1 nn n ab ; 1 n n a cùng hội tụ và 1 nn n a b S T ; 1 n n aS - Định lý 3: Chuỗi d-ơng hội tụ khi và chỉ khi tổng riêng của nó bị chặn. - Định lý 4: Cho hai chuỗi d-ơng (a): 1 n n a và (b): 1 n n b Nếu tồn tại số 0c và 0 n sao cho 0 nn ta có . nn a cb thì chuỗi (b) hội tụ kéo theo chuỗi (a) hội tụ; chuỗi (a) phân kỳ kéo theo chuỗi (b) phân kỳ. - Định lý 5: Cho hai chuỗi d-ơng (a): 1 n n a và (b): 1 n n b Giả sử lim n n n a k b Khi đó, nếu 0 k thì chuỗi (b) hội tụ kéo theo chuỗi (a) hội tụ; Nếu 0 k thì chuỗi (b) phân kỳ kéo theo chuỗi (a) phân kỳ. - Định lý 6: ( Dấu hiệu Cauchy ) Cho chuỗi d-ơng (a): 1 n n a Nếu lim n n n ac thì chuỗi (a) hội tụ với 1c , phân kỳ với 1c - Định lý 7: ( Dấu hiệu D'Alembert ) Cho chuỗi d-ơng (a): 1 n n a Nếu tồn tại 1 lim n n n a D a thì chuỗi (a) hội tụ với 1D ; phân kỳ với 1D - Định lý 8: ( Dấu hiệu tích phân ) Cho xf là một hàm d-ơng, giảm trên ;1 Đặt nfa n khi đó chuỗi 1n n a và tích phân suy rộng 1 dxxf cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. - Định lý 9: ( Dấu hiệu Leibnitz ) Cho chuỗi đan dấu 0;1 1 1 n n n n aa Khi đó nếu naa nn 1 và 0lim n a thì chuỗi hội tụ. - Định lý 10: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. - Định lý 11: Nếu chuỗi 1n n a hội tụ và có tổng là s thì chuỗi 212121 112111 kkk nnnnnnn aaaaaaaaa (*) cũng hội tụ và có tổng là s * Chú ý: Nếu có một chuỗi có dạng (*) hội tụ thì chuỗi xuất phát ch-a chắc hội tụ. Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 5 - Định lý 12: Nếu chuỗi (a): 1n n a hội tụ tuyệt đối thì chuỗi (b): 1n n b nhận đ-ợc bằng cách đổi chỗ tuỳ ý các số hạng của chuỗi (a) cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng tổng của chuỗi (a). * Chú ý: Định lý 12 chỉ đúng với các chuỗi hội tụ tuyệt đối. Một chuỗi bán hội tụ cũng có thể đổi chỗ các số hạng để nó trở thành hội tụ đến một tổng s tuỳ ý. - Định lý 13: ( Định lý Riemann ) Giả sử 1n n a là chuỗi bán hội tụ. Khi đó: a/. Với Rs tuỳ ý, tồn tại một cách đổi chỗ các số hạng của chuỗi sao cho sa n n 1 b/. Tồn tại một phép đổi chỗ các số hạng sao cho chuỗi 1n n a 3 Một số ví dụ - Ví dụ 1: Chuỗi 2 1 1 n n Với n ta có: 22 11 1 2 n s n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1.2 2.3 1 . 2 2 3 1n n n n n Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo Định lý 3. - Ví dụ 2: Chuỗi 1 21 32 n n n n hội tụ theo dấu hiệu Cauchy vì 2 1 2 lim lim 1 3 2 3 n n nn n a n - Ví dụ 3: Chứng minh rằng chuỗi 2 ln 1 n nn phân kỳ. Hàm số 1 ln fx xx ; 2,x là d-ơng, giảm và 2 2 lnlnlim ln x xx dx nên chuỗi đã cho phân kỳ. - Ví dụ 4: Chuỗi 1 ! n n n n Ta có 1 1 1 1 1 lim 1 limlim 1 e n n n a a n n n n Do đó chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert. - Ví dụ 5: Chuỗi 1 ln 1 n n nn có hàm xxxf ln với 1 ' 1 0fx x 1x Do đó nnnnn ln1ln1 Mặt khác n n nnn ln 1ln khi n thì 0 ln n n Tức là nn ln Vậy dãy 0 ln 1 nnn và chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu Leibnitz. - Ví dụ 6: Chuỗi 1 2 cos n n n Ta có 22 1 cos nn n , chuỗi 1 2 1 n n hội tụ nên chuỗi 1 2 cos n n n hội tụ. Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 6 Vậy 1 2 cos n n n là hội tụ tuyệt đối. 4 Bài tập - Bài 1: Xuất phát từ định nghĩa, chứng minh sự hội tụ của các chuỗi a/. 1 1212 1 n nn b/. 1 3 1 n nn - Bài 2: Chứng minh chuỗi 1 1 2 n n ntg hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert. - Bài 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây a/. 1 11 1 n nn b/. 1 2 sin n n - Bài 4: Tính tổng 1 2 3 2 cos n n n - Bài 5:Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: a/. 1 1 1 k k k b/. 2 1 ln 1 k k k - Bài 6:Dùng tiêu chuẩn Côsi để khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau: a/. 1 sin 3 k k kx b/. 1 1 k k c/. 1 cos 2 k k k x d/. 1 1 1 k kk - Bài 7: CMR nếu 11 ; kk kk ab là hai chuỗi hội tụ và kkk a c b thì 1 k k c hội tụ. Còn nếu 11 ; kk kk ab là hai chuỗi phân kỳ thì có thể kết luận đ-ợc gì không? - Bài 8: Khảo sát các chuỗi sau a/. 3 4 1 21 32 k k k b/. 44 1 21 k k k k k trong đó là số d-ơng cho tr-ớc c/. 1 sin k k d/. 1 ln k k k Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 7 dãy hàm - chuỗi hàm 1 Sự hội tụ và hội tụ đều của dãy hàm a Các khái niệm cơ bản - Nếu với mọi Nn đặt t-ơng ứng với một hàm xu n xác định trên tập X thì ta gọi ; ; ;; 21 xuxuxu n ( gọi tắt xu n ) là một dãy hàm xác định trên tập X và xu n đ-ợc gọi là số hạng thứ n của dãy. - Điểm Xx 0 gọi là điểm hội tụ của dãy hàm nếu dãy số 0 xu n hội tụ. - Tập 0 X gồm tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm gọi là miền hội tụ của dãy hàm đó. - Với mỗi 0 Xx đặt xuxu n lim khi đó ta đ-ợc một hàm xu xác định trên 0 X khi đó ta nói 1 xu n hội tụ đến xu trên 0 X - Điểm Xx 1 tại đó dãy 1 xu n phân kỳ gọi là điểm phân kỳ của dãy hàm. - Ví dụ: Dãy hàm ; ; ;;;1 2 n xxx Ta có 0lim n x khi 1x và 1lim n x khi 1x Do đó miền hội tụ của dãy là 1;1 và giới hạn của dãy là 11 1;10 x x xu - Dãy hàm xu n hội tụ đến hàm xu trên tập X nếu ,,0 Xx ,x NN sao cho Nn ta có xuxu n * Chú ý: +/. N phụ thuộc vào cả x và +/. xu n hội tụ đến xu theo nghĩa trên gọi là hội tụ th-ờng hay còn gọi là hội tụ theo điểm trên tập X - Dãy hàm xu n gọi là hội tụ đều đến hàm xu trên tập X nếu ,0 NN sao cho Nn và Xx đều có xuxu n * Chú ý: Một dãy hàm hội tụ đều thì hội tụ th-ờng, điều ng-ợc lại ch-a chắc đã đúng. - Nếu xu n hội tụ th-ờng đến xu trên tập X Ký hiệu: xuxu n trên X - Nếu xu n hội tụ đều đến xu trên tập X Ký hiệu: n u x u x trên X - Ví dụ: a/. Dãy sin x n Ta có sin lim 0 x x xR n Do đó sin 0 x n trên R 1 0; ; ;N n N x R Ta có: sin 1 0 x nn Do đó ta có: sin 0 x n trên R b/. Dãy n x Đặt 0 0;1 11 x ux x thì ta có n n u x x u x trên 0;1 Với 0 1 2 thì mọi số tự nhiên n có 1 0;1 2 n n x để cho 2 0 11 2 2 n n n u x u x Nghĩa là không tồn tại số N để ; 0;1n N x đều có 1 2 n u x u x Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 8 Tức là n ux không hội tụ đều đến ux * Trong ví dụ này ta thấy n ux liên tục trên 0;1 tuy nhiên giới hạn của nó không liên tục trên 0;1 b Các định lý Cho X là một tập tuỳ ý trong R th-ờng là ;ab hoặc ;ab - Định lý 1: (Tính liên tục của dãy hàm) Nếu các hàm số n ux liên tục trên X và n u x u x trên X thì hàm ux liên tục trên X . - Định lý 2: (Tính khả tích của dãy hàm) Cho dãy xu n các hàm liên tục trên ;ab ; n u x u x trên ;ab Khi đó ux khả tích trên ;ab và lim bb n x aa u x dx u x dx - Định lý 3: (Tính khả vi của dãy hàm) Cho dãy xu n các hàm có đạo hàm liên tục trên ;ab ; dãy các đạo hàm , n ux hội tụ đều trên ;ab . Khi đó nếu n u x u x trên ;ab thì ux có đạo hàm và , ' n u x u x trên ;ab . 2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm a Một số khái niệm - Cho dãy hàm xu n xác định trên tập X Khi đó ta gọi tổng vô hạn 12 1 nn n u x u x u x u x (*) là một chuỗi hàm xác định trên X - Hàm n ux gọi là số hạng thứ n của chuỗi. - Hàm 12 nn S x u x u x u x gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. - Điểm xX gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (*) nếu dãy tổng riêng n Sx của nó hội tụ hay phân kỳ. - Nếu 0 X là miền hội tụ của dãy n Sx thì ta cũng gọi 0 X là miền hội tụ của chuỗi (*) - Nếu n S x u x trên 0 X thì ta viết 0 1 ; n n u x u x x X và ux gọi là tổng của chuỗi. - Ví dụ: Chuỗi 1 1 n n x Ta có 1 1 n n S x x x Nếu 1x thì 1 1 1 n n x Sx x Nếu 1x thì lim 0 n n x nên 1 1 1 1;1 1 n n xx x b Một số định lý - Chuỗi (*) gọi là hội tụ đều trên X nếu dãy các tổng riêng của nó hội tụ đều trên X - Nếu các k ux liên tục, có đạo hàm, khả tích trên X thì các tổng riêng n Sx cũng có các tính chất đó. - Định lý 1': Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 9 Cho XR mà thông th-ờng ;X a b hoặc ;ab . Nếu chuỗi 1 n n ux các hàm liên tục trên X , hội tụ đều và có tổng ux thì hàm ux liên tục. - Định lý 2': Cho chuỗi 1 n n ux các hàm liên tục trên ;ab . Nếu chuỗi là hội tụ đều và có tổng bằng ux thì ux cũng khả tích 1 bb nn n aa u x dx u x dx - Định lý 3': Cho chuỗi 1 n n ux các hàm có đạo hàm , n ux liên tục trên ;ab . Nếu chuỗi 1 n n ux hội tụ có tổng là ux , chuỗi , 1 n n ux hội tụ đều trên ;ab thì ux có đạo hàm trên ;ab và ,, 1 nn n u x u x - Chuỗi hàm 1 n n ux gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi 1 n n ux hội tụ. * Chú ý: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ, ng-ợc lại ch-a chắc đúng. - Định lý 4: (Weierstrass) Nếu ; nn u x C n x X ; chuỗi số 1 n n C hội tụ, thì chuỗi 1 n n ux hội tụ tuyệt đối và đều trên X . - Ví dụ: Hàm số 3 1 sin n x fx n Ta có 33 sin 1x nn và 3 1 1 n n hội tụ, do đó theo định lý 4, chuỗi 3 1 sin n x n hội tụ tuyệt đối và đều trên R . Vì mọi hàm 3 sin x n liên tục trên R nên theo định lý 1', fx là một hàm liên tục trên R 3 Bài tập - Bài 1: Xét sự hội tụ đều của dãy hàm 2nn n f x x x trên 0;1 - Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 1 n n n x x - Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm 1 2 n n n x x tg - Bài 4: Cho dãy hàm số 1 1,2, n n f x nx x n Chứng minh rằng: 11 00 lim lim nn nn f x dx f x dx - Bài 5: Tìm tập hội tụ ( tuyệt đối và không tuyệt đối ) của các chuỗi sau: a/. 1 k k k x b/. 1 1 x k k Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 10 c/. 1 1 k p k xk d/. 2 1 1 k k k x x - Bài 6: CMR a/. Dãy 24 1 k kx Sx kx hội tụ không đều trên 0,1 và hãy kiểm tra rằng 11 00 lim lim kk kk S x dx S x dx b/. Dãy 1 k k S x kx x hội tụ không đều trên 0,1 tuy nhên 11 00 lim lim kk kk S x dx S x dx c/. Dãy 2 1 sin k S x x kx k hội tụ đều trên , nh-ng ' lim ( ) k k Sx tồn tại còn ' lim ( ) k k Sx không tồn tại. - Bài 7: ( Bài tập của phần sau ) Tìm miền hội tụ của chuỗi sau 1 41 k k k k x k * Định lý: Cho chuỗi luỹ thừa 0 k k k ax ; Giả sử lim k k k al khi đó bán kính hội tụ r của chuỗi luỹ thừa đ-ợc tính nh- sau: 1 0 0 0 l l rl l Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 11 Chuỗi luỹ thừa - bài tập 1 Định nghĩa - Bán kính hội tụ - Chuỗi hàm có dạng 0 n n n ax (*) trong đó 0 1 2 , , , a a a là các hằng số, hay tổng quát hơn 0 0 n n n a x x (**) trong đó 0 0 1 2 , , , , x a a a là hằng số đ-ợc gọi là chuỗi luỹ thừa. - Chuỗi (**) có thể đ-a về chuỗi (*) bằng cách đặt 0 X x x vì vậy ta chỉ xét chuỗi (*). - Định lý 5: (Abel) Nếu chuỗi (*) hội tụ tại 0 0x thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x mà 0 xx - Đặt supRx với 0 n n n ax hội tụ. Số R gọi là bán kính của chuỗi (*) 0R thì chuỗi chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất 0x R thì chuỗi hội tụ tại mọi xR . - Định nghĩa: Số R là bán kính hội tụ của chuỗi nếu mọi x mà xR thì chuỗi hội tụ, xR thì chuỗi phân kỳ. - Định lý 6: Cho chuỗi luỹ thừa 0 n n n ax nếu 1 lim n n n a a hoặc lim n n n a thì bán kính hội tụ của chuỗi là 1 ( Nếu 0 thì R và nếu thì 0R ) - Ví dụ: +/. Chuỗi 0 ! n n x n Ta có 1 1 0 1 n n a an nên bán kính hội tụ là R tức là chuỗi hội tụ tại mọi xR +/. Chuỗi 1 nn n nx Ta có n n an nên 0R tức là chuỗi chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất 0x +/. Chuỗi 2 0 1 n n n x n x có 11 1 n n n a ne do đó bán kính hội tụ của chuỗi là Re Tại xe ta có: 2 1 1 1 n n n n xe n n n không dần đến 0 nên miền hội tụ của chuỗi là ;ee 2 Sự hội tụ đều của chuỗi luỹ thừa - Định lý 7: Nếu chuỗi luỹ thừa (*) có bán kính hội tụ là 0R thì '' ,0R R R chuỗi (*) hội Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 12 tụ tuyệt đối và đều trên ;RR - Định lý 8: Cho chuỗi luỹ thừa 0 n n n ax có bán kính hội tụ là R Khi đó: i/. Hàm 0 n n n f x a x liên tục trên ;RR ii/. 1 00 00 1 xx nn n n nn a f t dt a t dt x n với ;x R R iii/. '1 1 n n n f x na x với ;x R R - Hệ quả: Nếu chuỗi 0 n n n f x a x có bán kính hội tụ R thì fx có đạo hàm mọi cấp trên khoảng ;RR và 1 1 k nk n nk f x n n n k a x - Định lý 9: Giả sử chuỗi 0 n n n f x a x có bán kính hội tụ R và chuỗi số 0 n n n aR hội tụ. Khi đó ta có 0 lim n n xR n f x a R - Ví dụ: +/. Tính tổng 2 3 4 1 2 3 4 x x x x fx Vì chuỗi có bán kính bằng 1 nên nếu 1x thì '2 1 1 1 f x x x x Từ đó ln 1 1 dx f x x C x Với 00xC Vậy 1;1x ln 1f x x Chuỗi hội tụ tại 1x nên 1 1 1 1 lim ln 1 1 1 2 3 4 x fx Vậy ta có: 1 1 1 ln2 n n n +/. 2 1 2 3 f x x x Chuỗi có bán kính hội tụ 1R Với 1x ta có: 1 11 00 1 xx nn nn x f t dt nt dt x x Từ đó ' 2 1 1;1 1 1 x f x x x x 3 Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa - Hàm fx gọi là khai triển đ-ợc thành chuỗi luỹ thừa trên khoảng ;RR nếu có chuỗi luỹ thừa 0 n n n ax sao cho 0 n n n f x a x ;x R R - Định lý 10: Nếu fx khai triển đ-ợc thành chuỗi luỹ thừa ;RR thì fx có đạo hàm [...]... Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Bài 4: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau: a/ f x, y x y tại 0, 0 x y b/ f x, y cosxy 1 tại 0,1 x y 1 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 20 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 đạo hàm - bài tập 1 Đạo hàm - Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên a, b , x0 a, b Cho. .. Trang: 25 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học b/ c/ d/ Năm 2008 x 2 y 2 4; y 0; x 0 x2 y 2 ; y 2 1 x2 x 1 y 2 2 2 1 - Bài 4: CMR nếu f x , g y lần l-ợt là các hàm khả tích trên a, b và c, d thì a ,bc ,d b d a c f x g y dxdy f x dx g y dy Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 26 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008... y M ; lim g x, y N thì ( x , y ) ( a1 , a2 ) +/ +/ +/ ( x , y ) ( a1 , a2 ) lim f x, y g x , y M N lim f x, y g x, y MN lim f x, y M g x, y N ( x , y ) ( a1 , a2 ) ( x , y ) ( a1 , a2 ) ( x , y ) ( a1 , a2 ) N 0 d Giới hạn lặp Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 17 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 - Hàm u f x, y xác định trên... 27 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học * Đặc biệt: f x, y, z 0 x, y, z V Năm 2008 f x, y, z dV 0 V f Nếu m f x, y, z M , x, y, z V mV f x, y, z dV MV V g Nếu f x, y, z liên tục trên một miền đóng, bị chặn và liên thông V thì x0 , y0 , z0 V : f x, y, z dV f x0 , y0 , z0 V V Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 28 Toán cao cấp A2 - Dùng. .. 0,0 x0 0,0 0 x 0 x x x y 3 Đạo hàm riêng cấp cao +/ f 2 f f 2 f '' '' '' 2 f xx f x''2 và 2 f yy f y2 x x x y y y Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 22 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 f 2 f f 2 f '' '' f yx ( Đây là hai đạo hàm hỗn hợp ) +/ f xy và y x yx x y xy +/ Ví dụ: Cho hàm f x, y x3 y sin xe y Ta có f f ... phép chọn C , tức P 0 là 0, 0 sao cho với mọi phân hoạch P và mọi phép chọn C nếu P I I f , P, C thì I gọi là tích phân của hàm f x, y trên miền D Ký hiệu: D n f x, y dS lim f xi , yi Si P 0 1 - Khi chia D thành các miền nhỏ bởi các đ-ờng thẳng song song Ox, Oy thì Si Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái xi yi Trang: 24 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học... dần x y2 đến (0,0) Hãy tìm những dãy xk , yk 0, 0 sao cho f xk , yk m trong đó m là một số Bài 3: Cho hàm f ( x, y) 2 cho tr-ớc Bài 4: Xét các giới hạn của f ( x, y ) Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái cos 2 x cos 2 y x 2 y2 2 khi (x,y) dần tới (0,0) đồng thời hoặc lặp Trang: 18 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 hàm liên tục 1 Hàm liên tục - Hàm u f x xác.. .Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 mọi cấp trên R; R và f k 0 k !ak k 0,1, 2, - Cho f x có đạo hàm mọi cấp trên một khoảng R; R Khi đó chuỗi S x n 0 f n n x n! gọi là khai triển Taylor của hàm f x trong lân cận của 0 ( Khai... Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 hàm nhiều biến - giới hạn 1 Hàm nhiều biến a Các khái niệm - Cho X R n , một quy luật f đặt t-ơng ứng mỗi điểm x x1 , x2 , , xn X với một số thực u f x1 , x2 , , xn R gọi là một hàm n biến số có miền xác định là tập X - Ký hiệu hàm f có miền xác định X là u f x , x R hoặc x f x, xR - Nếu u f x1 , x2 , , xn là hàm cho. .. x g' x g 2 x g x ' ' ' - Định lý 4: Cho hàm y f x có đạo hàm tại điểm x0 , hàm z g x xác định trong một khoảng chứa y0 f x0 và có đạo hàm tại y0 Khi đó hàm gf x có đạo hàm tại x0 và gf x0 g ' y0 f x0 ' Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 21 Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 - Định lý 5: Cho hàm y f x liên tục và đồng biến ( hoặc . nếu tồn tại 0 sao cho ()B x A +/. Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại 0 sao cho ()B x A Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại. 1 0;1 2 n n x để cho 2 0 11 2 2 n n n u x u x Nghĩa là không tồn tại số N để ; 0;1n N x đều có 1 2 n u x u x Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm. tính chất đó. - Định lý 1': Toán cao cấp A2 - Dùng cho sinh viên lớp Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tr-ờng CĐSP Yên Bái Trang: 9 Cho XR mà thông th-ờng ;X a b