Th.s Đỗ Minh Tuân Th.s ĐỖ MINH TUÂN TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NAM ĐỊNH, NĂM 2009 www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân Lời nói đầu Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước rất nhiều , không còn tính đánh đố cũng như bắt học sinh phải nhớ nhiều những mẹo rất lặt vặt. Một số tài liệu giảng dạy rất hay ngày trước như "Các bài giảng luyện thi môn Toán", "Bộ đề thi tuyển sinh" chỉ còn lại một ít giá trị thực tiễn của nó. Chắt lọc những tài liệu này, bám sát những đề thi tuyển sinh những năm gần đây (Từ năm 2002-2010) cộng với những kinh nghiệm trong thực tiễn giảng dạy luyện thi của mình (có tham khảo một số bài giảng ở những trang web dạy học) tôi biên soạn tài liệu này mục đích chính để mình giảng dạy một cách bài bản. Tôi nghĩ rằng tài liệu này sẽ có ích đối với những người dạy toán, cũng như những bạn ngấp nghé cổng trường Đại học. Tài liệu này gồm 12 chuyên đề (vẫn còn thiếu) 1. Phương trình đại số. 2. Phương trình lượng giác. 3. Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối. 4. Hệ phương trình đại số 5. Giải tích tổ hợp 6. Hình phẳng tọa độ 7. Giới hạn 8. Bất đẳng thức 9. Hàm số và đồ thị 10. Hình học không gian tọa độ 11. Tích phân và ứng dụng 12. Số phức Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai, Mong các bạn lượng thứ, mọi góp ý xin gửi về: Th.s Đỗ Minh Tuân. Trường CĐSP Nam Định, 813 đường Trường Chinh, TP Nam Định Email: xuxutit@gmail.com Mobile: 0982843882. ————————————— Chúc các bạn thành công trong kỳ thi đại học sắp tới! Nam Định, ngày 20 tháng 06 năm 2010 Tác giả Đỗ Minh Tuân Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 2 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục Mục lục Lời nói đầu 2 1 Phương trình đại số 8 1.1 Lý thuyết về đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ . . . . . . . . . . 9 1.2 Phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Phương trình bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 Tính chất của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Đa thức bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.2 Các dạng của phương trình bậc 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Dấu của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.1 Đa thức bậc 1 - bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.2 Đa thức - Phân thức tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6.3 Giải hệ bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Phương trình lượng giác 32 2.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.1 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.2 Các công thức của các góc liên hệ với α . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Bảng dấu của các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.4 Bảng các giá trị lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.5 Công thức lượng giác của tổng, hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.6 Công thức cộng lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.7 Công thức biến đổi tích thành tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.8 Công thức góc nhân đôi, nhân ba - Công thức hạ bậc . . . . . . . 34 2.1.9 Công thức tính sin x, cos x, tan x, cot x theo t = tan x 2 . . . . . . 35 2.1.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 3 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Phương trình sin x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Phương trình cos x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Phương trình tan x = m, cot x = m . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.4 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Các phương trình lượng giác khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Phương trình a sin x + b cos x = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 Phương trình đẳng cấp chứa sin và cos . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.3 Đại số hóa phương trình lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.4 Phương trình đối xứng sin, cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.5 Phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.6 Sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.7 Loại nghiệm không thích hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối 49 3.1 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Bất phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4.1 Dạng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4 Hệ phương trình đại số 59 4.1 Hệ phương trình bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1.1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1.2 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.3 Hệ phương trình bậc nhất bốn ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.2 Hệ phương trình bậc nhất - bậc hai: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.1 Phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.2 Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Hệ đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4.1 Hệ đối xứng loại I: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4.2 Hệ đối xứng loại II: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5 Hệ phương trình tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 4 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 5 Giải tích tổ hợp 77 5.1 Khái quát chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.1 Quy tắc cộng - nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2.2 Tổ hợp - chỉnh hợp - hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2.3 Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6 Hình phẳng tọa độ 85 6.1 Véc tơ, điểm, đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.1.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.1.2 Dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.2 Đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.2.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.2.2 Các dạng bài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.3 Ba đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.3.1 Kiến thức chung về 3 đường Conic . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.3.2 Elip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.3.3 Hyperbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3.4 Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7 Giới hạn 126 7.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.1.1 Các tính chất cơ bản của giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.2 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.2.1 Giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.2.2 Phương pháp tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8 Bất đẳng thức 135 8.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.2 Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.2.1 Tìm min tổng, max của tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 8.2.2 Bất đẳng thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 8.2.3 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8.3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 9 Hàm số và đồ thị 153 9.1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.1.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.1.2 Các bước khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 5 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 9.1.3 Hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 9.1.4 Hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.2 Cực trị và tiệm cận của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.2.1 Quy tắc tìm cực đại và cực tiểu của hàm số . . . . . . . . . . . . 159 9.2.2 Cực trị hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 9.2.3 Các bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.2.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 9.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.3.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.3.2 Các bài toán đơn thuần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.3.3 Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chứa tham số . . . . . . . . . 171 9.3.4 Phương pháp miền giá trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 173 9.3.5 Phương pháp chiều biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 9.3.6 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.4.1 Kiến thức cần nhớ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.4.2 Tiếp tuyến với đường cong tại điểm M . . . . . . . . . . . . . . . 178 9.4.3 Tiếp tuyến với đường cong đi qua điểm M . . . . . . . . . . . . . 179 9.4.4 Lớp các bài toán về sự tiếp xúc rất đa dạng . . . . . . . . . . . . 180 9.4.5 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.5 Xác định điểm thỏa mãn điều kiện cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9.5.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 9.5.2 Tìm điểm không thuộ c mọi đường cong trong họ y = f(x, m) . . . 184 9.6 Sự tương giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 9.6.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 9.6.2 Sự tương giao của hàm đa thức với trục Ox . . . . . . . . . . . . 187 9.6.3 Sự tương giao của hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 9.6.4 Củng cố kiến thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 9.7 Sự tiếp xúc của 2 đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.7.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.7.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.7.3 Củng cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.8 Biện luận số nghiệm bằng đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.8.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.8.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 9.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 10 Hình không gian tọa độ 208 10.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 10.1.1 Véctơ và phép toán véctơ trong không gian . . . . . . . . . . . . . 208 10.1.2 Mặt phẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 10.1.3 Đường thẳng trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.1.4 Vị trí tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.1.5 Chùm mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.1.6 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 10.1.7 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 10.1.8 Diện tích, thể tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 6 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân Mục lục Mục lục 10.1.9 Một số dạng toán về mặt phẳng và đường thẳng . . . . . . . . . . 214 10.1.10Mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 10.2 Véc tơ, điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 10.3 Phương trình mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.4 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 11 Tích phân 226 11.1 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.1.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 11.1.3 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . . . 226 11.2 Nguyên hàm và tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 11.2.3 Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp . . . . . . . . . 228 11.3 Các phương pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.3.1 Phép đổi biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 11.3.2 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 11.3.3 Tích phân hàm phân thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 11.4 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 11.5 Ứng dụng của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.5.1 Tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 11.5.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 11.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12 Số phức 259 12.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.1.1 Các kiến thức chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.1.2 Các phép toán trên số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 12.2 Các dạng bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 12.2.1 Thực hiện các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 12.2.2 Khai căn bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 12.2.3 Giải phương trình đại số và các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . 262 12.2.4 Biểu diễn số phức trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.2.5 Chứng minh đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 12.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 7 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân Chương 1. Phương trình đại số Chương 1 Phương trình đại số 1.1 Lý thuyết về đa thức 1.1.1 Phân tích đa thức thành nhân tử +) Nếu P(x) là một đa thức bậc 2 có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì P (x) = a.(x − x 1 ).(x 2 ) (a là hệ số bậc cao nhất của P (x)). +) Tổng quát: Nếu P (x) là một đa thức bậc n có đủ n nghiệm x 1 , x 2 , ··· , x n thì P (x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ) ···(x −x n ) +) Một đa thức P (x) bất kỳ bao giờ cũng phân tích thành tích những đa thức bậc nhất và đa thức bậc 2 (vô nghiệm). Ví dụ 1.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) P (x) = 2x 2 − 5x + 2. b) P (x) = −3x 2 + 12x − 12 c) P (x) = 4x 3 − 4x 2 − 7x − 2. d) P (x) = 6x 3 − 13x 2 + 4x + 3 Giải: a) P (x) có a = 2, x 1 = 2, x 2 = 1 2 nên P (x) = 2(x − 2)  x − 1 2  = (x − 2)(2x − 1). b) P (x) có nghiệm kép x = 2 nên P (x) = −3(x −2) 2 . c) P (x) có a = 4 và 2 nghiệm x = − 1 2 và x = 2??? Chú ý: P(x) là đa thức bậc 3 nhưng lại chỉ có 2 nghiệm. Nên sẽ có một nghiệm là nghiệm kép. Tốt nhất trong trường hợp này ta dùng lược đồ Hoocne để giải quyết. Kết quả: P (x) = 4  x + 1 2  2 (x − 2). Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 8 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân 1.2. Phương trình bậc nhất Chương 1. Phương trình đại số d) P (x) có a = 6 và 3 nghiệm x = 1, x = − 1 3 , x = 3 2 P (x) = 6(x − 1).  x + 1 3  x − 3 2  = (x − 1)(3x + 1)(2x −3). 1.1.2 Tính giá trị một đa thức, phân thức tại điểm lẻ Cách làm: Nhập hàm, sử dụng tính năng CALC của máy 570ES. Ví dụ 1.2: Tính giá trị biểu thức: a) y = x 3 − 3x 2 − x − 1 tại x = 1 − √ 3 và x = 1 + √ 3 b) y = x 2 − x − 1 2x + 3 tại x = 3 + √ 2 và x = 3 − √ 2 Giải: a) x = 1 − √ 3 ⇒ y = −4 + √ 3 x = 1 + √ 3 ⇒ y = −4 − √ 3 b) x = 3 + √ 2 ⇒ y = 43 + 31 √ 2 73 x = 3 − √ 2 ⇒ y = 43 − 31 √ 2 73 1.2 Phương trình bậc nhất 1.2.1 Phương pháp giải ☞ Dạng của phương trình: ax + b = 0 ☞ Cách giải: ➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R ➤ Với a = 0, b = 0: Phương trình vô nghiệm. ➤ Với a = 0 Phương trình có nghiệm duy nhất x = − b a 1.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1.3: Giải và biện luận phương trình: (m 2 − 1)x + m −1 = 0 Giải: - Nếu m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. +) Với m = 1 phương trình trở thành: 0x + 0 = 0. Phương trình nghiệm đúng ∀x ∈ R. +) Với m = −1 phương trình trở thành: 0x − 2 = 0. Phương trình vô nghiệm. - Nếu m 2 − 1 = 0 ⇔ m = ±1. Phương trình có nghiệm duy nhất: x = − 1 m + 1 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 9 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân 1.3. Phương trình bậc hai Chương 1. Phương trình đại số Ví dụ 1.4: Tìm điểm cố định của họ đường thẳng:(d m ) : y = (m − 2)x + 2m − 3 Giải: Gọi (x 0 , y 0 ) là điểm cố định của (d m ) ⇒ y 0 = (m − 2)x 0 + 2m − 3 ∀m ⇔ m(x 0 + 2) − 2x 0 − 3 − y 0 = 0 ∀m ⇔  x 0 + 2 = 0 −2x 0 − 3 − y 0 = 0 ⇔  x 0 = −20 y 0 = 1 Vậy điểm cố định của họ (d m ) là điểm A(−2; 1) 1.3 Phương trình bậc hai 1.3.1 Phương pháp giải ☞ Dạng của phương trình: ax 2 + bx + c = 0. ☞ Biện luận: ➢ Nếu a = 0: phương trình bậc nhất ➢ Nếu a = 0: ∆ = b 2 − 4ac hoặc ∆ ′ = b ′2 − ac. +) Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm. +) Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = − b 2a = − b ′ a +) Nếu ∆ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = − b ± √ ∆ 2a = − b ′ ± √ ∆ ′ a ☞ Nhẩm nghiệm: ➢ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x 1 = 1, x 2 = c a ➢ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x 1 = −1, x 2 = − c a ☞ Phân tích một tam thức bậc 2 thành nhân tử. Giả sử f(x) = ax 2 + bx + c có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì f(x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ). Ví dụ: f(x) = 2 x 2 − 5x + 2 có 2 nghiệm x 1 = 2, x 2 = 1 2 nên f(x) = 2(x − 2)(x − 1 2 ) = (x − 2)(2x − 1). ☞ Định lý Vi-et: Giả sử x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình thì ta có:        x 1 + x 2 = − b a x 1 x 2 = c a Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 10 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com [...]... √ 73 6 Bài 1 .12: Giải các phương trình sau: a) 2x4 − 5x2 − 7 = 0 b) x4 − 5x2 + 6 = 0 c) x4 − 5x3 − 12x2 + 15x + 9 = 0 d) 2x4 + 3x3 − 16x2 − 17x + 12 = 0 e) x4 − 5x3 + 8x2 − 10x + 4 = 0 f) x4 − 2x3 − 5x2 + 2x + 1 = 0 g) (x2 − 2x)(x2 + 4x + 3) = 7 h) (x2 − 3x + 2)(x2 + 9x + 18) = 12x2 i) x4 − 4x3 + 8x − 12 = 0 j) x4 + 2x3 − 2x2 − 9x − 6 = 0 k) x4 − 3x3 − 2x2 + 5x + 3 = 0 l) x4 − 5x3 − 12x2 + 15x + 9... Nam Định www.VNMATH.com Chương 2 Phương trình lượng giác Chương 2 Công thức liên hệ giữa các hàm lượng giác M in 2.1.1 Các kiến thức cơ bản h 2.1 Tu â n Phương trình lượng giác  Nhận xét: Th sĐ ỗ sin2 α + cos2 α = 1 1 = 1 + tan2 α cos2 α 1 = 1 + cot2 α sin2 α tan α cot α = 1 ® Nếu biết một trong các giá trị lượng giác thì ta có thể tính được các giá trị lượng giác còn lại ® sin α, cos α ∈ [−1; 1] 2.1.2... −2x + 3 ≤ 0 thì tập nghiệm S =  −x2 + 4x − 5 > 0 thì S = ∅  −x2 + 4x − 5 ≥ 0 thì S = ∅  −x2 + 4x − 5 < 0 thì S = R  −x2 + 4x − 5 ≤ 0 thì S = R  4x2 − 12x + 9 > 0 thì S = R\ 3 2  4x2 − 12x + 9 ≥ 0 thì S = R  4x2 − 12x + 9 < 0 thì S = ∅  4x2 − 12x + 9 ≤ 0 thì S = 3 2  x2 − x − 6 > 0 thì S = (−∞; −2) ∪ (3; +∞)  x2 − x − 6 ≥ 0 thì S = (−∞; −2] ∪ [3; +∞)  x2 − x − 6 < 0 thì S = (−2; 3)  x2 − x... dấu của các hàm lượng giác IV + − − − Tu â III − − + + Bảng các giá trị lượng giác 0 1 π 6 √ 3 2 π 4 √ 2 2 √ 2 2 600 900 120 0 1350 1500 π 3 π 2 2π 3 0 − 3π 4 √ 5π 6 √ M in 450 Th cos α 300 sĐ ỗ 00 1 2 √ 3 2 sin α 0 1 2 tan α 0 1 √ 3 1 √ √ 1 1 √ 3 cot α 2.1.5 II − + − − n I + + + + cos α sin α tan α cot α 2.1.4 π sin( − α) = cos α 2 π cot( − α) = tan α 2 3 h 2.1.3 Chương 2 Phương trình lượng giác 1 1... 3 3 Bài 2.4: Tính giá trị biểu thức: a) A = cos6 x + sin6 x b) B = cos4 x + sin4 x c) C = cos 12x 1 Biết rằng cos 4x = 3 Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 35 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com 2.2 Các phương trình lượng giác cơ bản 2.2 Chương 2 Phương trình lượng giác Các phương trình lượng giác cơ bản 2.2.1 Phương trình sin x = m  Điều kiện có nghiệm: −1 ≤ m ≤ 1 x = arcsin m +... 3 −1 √ − 3 Công thức lượng giác của tổng, hiệu cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b tan a ± tan b tan(a ± b) = 1 ∓ tan a tan b cot a cot b ∓ 1 cot(a ± b) = cot b ± cot a Biên tập : Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 33 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định www.VNMATH.com 2.1 Các kiến thức cơ bản 2.1.6 Chương 2 Phương trình lượng giác Công thức cộng lượng giác a−b a+b cos... Th.s Đỗ Minh Tuân Trang 13 Khoa Tự nhiên - Trường CĐSP Nam Định 1.4 Phương trình bậc 3 www.VNMATH.com Chương 1 Phương trình đại số   ∆≥0 e) Phương trình có nghiệm thỏa mãn x1 ≤ x2 < 2 ⇔ a.f (2) > 0  S/2 < 2   m ≥ 4 ∨ m ≤ −2 4 ≤ m < 17/4 ⇔ ⇔ m < 17/4  m ≤ −2 m 0 sĐ ỗ a) Giải và biện luận bất phương trình b) Tìm m để... + (3a − 2) x Bài 1.15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: a) (m − 1)x2 − (2m + 1)x + m + 3 > 0 b) x2 − 2mx + m + 12 > 0 c) x2 − 2x + m|x − 1| + m2 − 2 > 0 2 x2 − mx + 1 3 d) ≤ 2 ≤ 3 x −x+1 2 Bài 1.16: Giải các bất phương trình sau: a) −4x2 + 12x − 9 < 0 b) 2x2 − 5x + 4 > 0 c) −x2 − 4x + 5 ≥ 0 3 Hướng dẫn a) x = 2 b) x ∈ R c) x ∈ [−5; 1] Bài 1.17: Tìm a để biểu thức Biên tập... www.VNMATH.com 1.5 Phương trình bậc 4 Chương 1 Phương trình đại số  Hướng giải: ­ Dùng tính năng SOLVE hoặc TABLE của máy tính fx-570ES, fx-500ES để nhẩm nghiệm của phương trình, sau đó dùng lược đồ Hooc-ne để phân tích thành phương trình bậc 3 và giải tiếp như ở trên ­ Tuy nhiên một số trường hợp cách giải trên trở nên vô hiệu hoặc quá phức tạp không cần thi t, những trường hợp đó có cách giải riêng biệt . trường Đại học. Tài liệu này gồm 12 chuyên đề (vẫn còn thi u) 1. Phương trình đại số. 2. Phương trình lượng giác. 3. Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối. 4. Hệ phương trình đại số 5 Tuân Th.s ĐỖ MINH TUÂN TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NAM ĐỊNH, NĂM 2009 www.VNMATH.com Th.s Đỗ Minh Tuân Lời nói đầu Trong những năm gần đây, đề thi đại học đã trở nên cơ bản hơn trước. thị 10. Hình học không gian tọa độ 11. Tích phân và ứng dụng 12. Số phức Vì số lượng các chuyên đề lớn nên không thể tránh khỏi những lỗi đánh máy, lỗi tính toán sai, Mong các bạn lượng thứ, mọi