WWW.VIETMATHS.COM CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ I.SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ : ( SGK) II.MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ : Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y  f ( x, m ) , m laø tham số, có tập xác định D  Hàm số f đồng biến D  y  0, x  D  Hàm số f nghịch biến D  y  0, x  D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Neáu y '  ax  bx  c thì: a  b   c   y '  0, x  R    a      a  b   c   y '  0, x  R     a      3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c :  Nếu  < g(x) dấu với a  Nếu  = g(x) dấu với a (trừ x =  b ) 2a  Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x )  ax  bx  c với số 0:    x1  x2    P   S       x1  x2   P   S    x1   x2  P  5) Để hàm soá y  ax  bx  cx  d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau:  Tính y  Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến: a      Biến đổi x1  x2  d thaønh ( x1  x2 )2  x1x2  d  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m (1) (2) WWW.VIETMATHS.COM  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm VD1: Định m để hàm số ln đồng biến a) y  x  x  mx  m  D=R  y'  3x  x  m '    3m   m  a   Hàm số đồng biến  y'     Vậy: với m  hs ln đồng biến D b) y  mx  (2m  1) x  (m  2) x   D=R  y '  3mx  2(2 m  1) x  m  Hàm số đồng biến 4 m  4m   3m(m  2)  ( m  1)  '   y'      m0 a  3m  m  m   Vậy: với m  hs đồng biến D mx  c) y  xm  D= R \ {m}  y'  m2  ( x  m) m  2 m  Hàm số đồng biến  y '   m      m  2  Vậy: với  hs ln đồng biến D m  VD2: Định m để hàm số nghịch biến: y  x  mx  m x  D= R \ {m}  y'   x  2mx  m  ( x  m) '   m  m   (điều không thể)  a  1  Hàm số nghịch biến  y'     Vậy: không tồn m để hs nghịch biến D VD3: Định m để hàm số y  x  x  ( m  1) x  4m nghịch biến ( - 1; 1)  D=R  y'  3x  x  m  WWW.VIETMATHS.COM Hàm số nghịch biến ( - 1; 1)  y' x1  1   x2 af (1)  3(3   m  1)  m      m  8 af (1)  3(3   m  1)  m  8  Vậy: m  8 hs nghịch biến ( - 1; 1) VD4: Định m để hàm số y  x  (m  1) x  (2m  3m  2) x tăng (2;)  D=R  y '  x  2( m  1) x  (2m  3m  2) Hàm số tăng (2;)  y' x1  x  7 m  m    '       '   7 m  m     m         m2 af ( 2)  m  5 3( 2m  m  6)    S   2(m  1)   2      3.2  Vậy:   m  hs tăng (2;) VD5: Định m để hàm số y  x  x  mx  m nghịch biến khoảng có độ dài  D=R  y'  3x  x  m Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài  y' x1  x  9  3m  m  3   m  S  P    4m   Vậy: m  hs nghịch biến khoảng có độ dài SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ : *) Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) (C2) : y = g(x) Để tìm hồnh độ giao điểm (C1) (C2) ta giải phương trình : f(x) = g(x) (*) (gọi phương trình hồnh độ giao điểm) Số nghiệm phương trình số giao điểm hai đồ thị *) Đồ thị hàm bậc y = ax3 + bx + cx + d (a  )cắt trục hoành điểm phân biệt  Phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt  Hàm số y = ax + bx + cx + d có cực đại , cực tiểu yCĐ.yCT < *) Dùng độ thị biện luận số nghiệm phương trình : Cho phương trình : f(x) = m f(x) = f(m) (1) +) Với đồ thị ( C ) h/s y = f(x) +) Đường thẳng d : y = m y = f(m) đường thẳng thay đổi phương với trục OX P2: Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C ) d Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm phương trình WWW.VIETMATHS.COM *) BÀI TẬP : Câu 1: Cho hµm sè y  x 1 x 1 ( ) có đồ thị (C ) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ( 1) Chứng minh đường thẳng (d ) : y x m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn Cõu : Cho hµm sè y  2x  có đồ thị (C) x2 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhÊt Câu : Cho hàm số y = 2x  (1) x 1 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2/ Định k để đường thẳng d: y = kx + cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm M, N cho tam giác OMN vng góc O ( O gốc tọa độ) Câu : Cho hàm số y = x3 + mx + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -3 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh điểm Câu : Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) đường thẳng (d): y = mx + m + 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm m để (d) cắt (C) M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc 2x  1 x 1) Khảo sát vẽ đồ thị  C  hàm số Câu 6: Cho hàm số y  2) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN  10 Câu : Cho hàm số y  2x  (C) x 1 Khảo sát hàm số Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = Câu : khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C) hàm số: y  2x  x2 Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho tiếp tuyến (C ) hai điểm song song với Câu : Cho hàm số y  x3  2mx  3( m  1) x  (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m  Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng  : y   x  điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) WWW.VIETMATHS.COM Câu 10 : Cho hàm số y = x  3x  2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi (C) hàm số Cho điểm M thuộc (C) có hồnh độ xM = a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị a tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M Câu 11 : Cho hàm số y  x  x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Biện luận theo tham số k số nghiệm phương trình x  x   3k Câu 12 : Cho hàm số y  x 1 x 1 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số 2.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x 1 x 1  m m x có đồ thị ( H m ) , với m tham số thực x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m  Tìm m để đường thẳng d : x  y   cắt ( H m ) hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích S  Câu 14 : Cho hàm số y  x  x  Câu 13 : Cho hàm số y  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt | 2x4  4x2  Câu 15 : Cho hàm số y = |  m2  m  2 2x (C) x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thị cho khoảng cách điểm nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 16 : Cho hàm số y  x  x  (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Định m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x  x  m  3m Câu 17 : Cho hàm số y   x  x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình x  x  m3  3m2 có ba nghiệm phân biệt WWW.VIETMATHS.COM Câu 18 : Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm m để phương trình | x  x  | log m có nghiệm Câu 19 : Cho hàm số: y  x  x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x  x   log2 m  (m > 0) Câu 20 : Cho hàm số y  f ( x )  x  x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: 8cos4 x  cos2 x  m  với x  [0;  ] Câu 21 : Cho hàm số y  3x  x 2 (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số  2  :   2) Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm đoạn  0; Câu 22 : Cho hàm số y  x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình Câu 23 : Cho hàm số y  x 1  m x 1 x 1 x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm a b để đường thẳng (d): y  ax  b cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng qua đường thẳng (  ): x  y   Câu 24 : Cho hàm số y  f ( x)  8x  9x  1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 8cos x  9cos2 x  m  với x  [0;  ] *) Chú ý : Biện luận số nghiệm phương trình bậc đồ thị Cơ sở phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax  bx  cx  d  (a  0) (1) Gọi (C) đồ thị hàm số baäc ba: y  f ( x )  ax  bx  cx  d Số nghiệm (1) = Số giao điểm (C) với trục hoành Dạng 1: Biện luận số nghiệm phương trình bậc  Trường hợp 1: (1) có nghiệm  (C) Ox có điểm chung WWW.VIETMATHS.COM  f cực trị    f có cực trị    yCĐ yCT   ( h.1a ) ( h.1b) y y (C) (C) yCÑ A x0 O (h.1a) yCT x1 o A x0 x x2 x (h.1b)  Trường hợp 2: (1) có nghiệm  (C) tiếp xúc với Ox    f có cực trị ( h.2)  yCÑ yCT  y y (C) (C) yCÑ A x0 o yCÑ (H.2) B x2 A x0 x1 x'0 o yCÑ B x1 x'0 x C x" x (H.3) (yCT = f(x0) = 0)  Trường hợp 3: (1) có nghiệm phân biệt  (C) cắt Ox điểm phân biệt    f có cực trị ( h.3)  yCĐ yCT  Dạng 2: Phương trình bậc ba có nghiệm dấu  Trường hợp 1: (1) có nghiệm dương phân biệt  (C) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương  f có cực trị  y y     CÑ CT  xCÑ  0, xCT    a f (0)  ( hay ad  0) y y a>0 a0 y a