Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Mục lục Mở đầu 2 Chương 1. Kiến thức cơ sở 5 1.1. Khái niệm về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . 5 1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai . . . . . . . 6 1.3. Giải phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Khái niệm chuỗi và tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Các hệ tọa độ cong trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Phương trình parabolic 22 2.1. Mở đầu về phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . 22 2.2. Phương pháp Fourier để giải phương trình parabolic . . . 23 2.3. Bài toán Cauchy đối với phương trình parabolic . . . . . . 24 2.4. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình parabolic . . . . . 26 Chương 3. Ứng dụng của phương trình parabolic trong vật lý 30 3.1. Phương trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2. Quá trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn . . . . . . . . 31 3.3. Quá trình truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn . . . . . . . 35 3.4. Truyền nhiệt trong tọa độ trụ và tọa độ cầu . . . . . . . . 42 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Phụ lục 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Trong chương trình của bậc Đại học, sinh viên chuyên ngành Toán đã được làm quen với học phần Phương trình đạo hàm riêng. Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng mang hai nét đặc thù cơ bản: Thứ nhất là liên quan mật thiết với các ngành Toán học khác như Giải tích, Tôpô, Đại số, Thứ hai là mối liên hệ trực tiếp với các bài toán vật lý, ứng dụng phương trình đạo hàm riêng để giải các bài tập vật lý như: phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình dừng. Quá trình nghiên cứu nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong vật lý đã dẫn tới việc hình thành một ngành mới trong giải tích – phương trình vật lý toán – vào khoảng giữa thế kỷ XVIII. "Người đặt nền móng cho ngành khoa học này phải kể đến các nhà toán học: J. D’Alembert, L. Euler, P. Laplace, " ([2]) Các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của các nhà toán học đó khi xem xét các bài toán cụ thể của vật lý toán có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển lý thuyết tổng quát của phương trình đạo hàm riêng vào cuối thế kỷ XIX. Phương trình parabolic hay còn được gọi phương trình truyền nhiệt là một trong ba loại phương trình tiêu biểu của phương trình đạo hàm riêng, đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. "Phương trình parabolic được đưa ra nghiên cứu vào năm 1822 trong công trình nổi tiếng của J. Fourier “Lý thuyết giải tích truyền nhiệt”"([2]). Công trình này đóng vai trò quan trọng vào sự pháp triển của các phương pháp vật lý toán và lý thuyết chuỗi lượng giác. Phương trình parabolic không chỉ đặc trưng cho quá trình truyền nhiệt mà còn mô tả các hiện tượng khuếch tán như khuyếch tán chất khí, chất lỏng, quá trình truyền nhiệt trong thanh dài. Vì vậy, trên cơ sở đã nắm được các điều kiện ban đầu, các điều kiện biên và phương pháp giải phương trình parabolic, tôi muốn tìm hiểu ứng dụng của phương trình parabolic trong việc giải các bài toán vật lý. Từ đó thấy được mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học và vật lý nói riêng và với mối 2 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang liện hệ với các ngành khoa học khác nói chung. Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý” cho khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục tiêu khóa luận Mục tiêu của khóa luận là nghiên cứu các kiến thức cơ bản về phương trình parabolic. Ngoài ra, khóa luận còn trình bày về ứng dụng của phương trình parabolic trong vật lý, cụ thể là các quá trình truyền nhiệt trong thanh dài và phương trình khuếch tán. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu các kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nói chung và phương trình parabolic nói riêng. • Nghiên cứu các ứng dụng của phương trình parabolic trong vật lí. • Tổng hợp nghiên cứu và đưa ra các ví dụ minh hoạ để làm rõ từng ứng dụng của phương trình parabolic trong vật lí. 4. Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến phương trình parabolic và các phương trình toán lý • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, làm bài tập để tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về các vấn đề nghiên cứu một các khoa học, đầy đủ và chính xác. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức chung về phương trình parabolic, một số bài toán vật lý, các khái niệm về phương pháp giải các bài toán. • Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức về phương trình parabolic và ứng dụng trong thực tế. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn • Ý nghĩa khoa học: Nội dung của khoá luận là tổng hợp các kiến thức có liên quan đến phương trình parabolic, hệ thống, phân tích làm rõ các ứng dụng của nó trong vật lí. 3 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang • Ý nghĩa thực tiễn: Khoá luận góp thêm một tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành toán, sinh viên kỹ thuật, vật lí và cả các giáo viên có nhu cầu tìm hiểu thêm về phương trình đạo hàm riêng nói chung và phương trình parabolic nói riêng. 4 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1. ([2]) Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x 1 , x 2 , , x n ), các biến độc lập x i và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình ( vi phân) đạo hàm riêng. Nó có dạng: F  x, u(x), ∂u ∂x 1 , , ∂u ∂x n , , ∂ k u ∂x 1 k 1 ∂x n k n  = 0. (1.1.1) trong đó: F là hàm nhiều biến; x = (x 1 , x 2 , , x n ) là vectơ trong không gian Euclide n chiều R n ; u(x) = u(x 1 , x 2 , , x n ) Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với hàm ẩn và các đạo hàm riêng của nó. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với tất cả các đạo hàm riêng cấp cao nhất của hàm ẩn. Ví dụ 1.1. Phương trình: a(x, y) ∂ 2 u ∂x 2 +2b(x, y) ∂ 2 u ∂x∂y +c(x, y) ∂ 2 u ∂y 2 +d(x, y) ∂u ∂x +e(x, y) ∂u ∂y +f(x, y)u = g(x, y). là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. 5 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Ví dụ 1.2. Phương trình: a(x, y, u, u x , u y ) ∂ 2 u ∂x 2 + 2b(x, y, u, u x , u y ) ∂ 2 u ∂x∂y + c(x, y, u, u x , u y ) ∂ 2 u ∂y 2 + d(x, y, u, u x , u y ) = 0 là phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính. Một số kí hiệu - Cho Ω là một miền trong không gian R n và cho 0 ≤ k ≤ +∞. Tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω kí hiệu là C k (Ω). - D α u(x) = ∂ |α| u ∂x α 1 1 ∂x α 2 2 ∂x α n n , ở đó α = (α 1 , α 2 , , α n ), |α| = α 1 + α 2 + + α n . 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai 1.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai Xét phương trình a(x, y) ∂ 2 u ∂x 2 + 2b(x, y) ∂ 2 u ∂x∂y + c(x, y) ∂ 2 u ∂y 2 + F  x, y, u, ∂u ∂x , ∂u ∂y  = 0. (1.2.1) trong đó a, b, c là các hàm không đồng thời bằng không trong một lân cận U ⊂ R 2 nào đó. Xét phương trình     a − λ b b c − λ     = λ 2 − (a + c)λ + ac − b 2 = 0 - Nếu b 2 −ac > 0 thì phương trình (1.2.1) là phương trình hyperbolic. - Nếu b 2 − ac = 0 thì phương trình (1.2.1) là phương trình parabolic. - Nếu b 2 − ac < 0 thì phương trình (1.2.1) là phương trình elliptic. Nhờ phép đổi biến ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) với a  ∂ξ ∂x  2 + 2b ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y + c  ∂ξ ∂y  2 = 0, 6 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang a  ∂η ∂x  2 + 2b ∂η ∂x ∂η ∂y + c  ∂η ∂y  2 = 0 ta đưa phương trình (1.2.1) về dạng chính tắc. Phương trình a(y  ) 2 − 2by  + c = 0, a = 0 (1.2.2) được gọi là phương trình vi phân đặc trưng đối với phương trình (1.2.1). 1.2.2 Đưa về dạng chính tắc phương trình đạo hàm riêng cấp hai Bổ đề 1.2. ([2]) Nếu z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình az 2 x + 2bz x z y + cz 2 y = 0 (1.2.3) thì hệ thức ϕ(x, y) = C, C ∈ R xác định nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường ady 2 − 2bdxdy + cdx 2 = 0 (1.2.4) Ngược lại, nếu ϕ(x, y) = C là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.4) thì hàm z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình (1.2.3) Đường cong tích phân ϕ(x, y) = C được gọi là đường cong đặc trưng của phương trình (1.2.1). *Trường hợp b 2 − ac > 0 trong lân cận U - Nếu a = 0. Khi đó, phương trình (1.2.2) có hai nghiệm thực đối với y  , hay viết dưới dạng tích phân tổng quát: ϕ 1 (x, y) = C 1 , ϕ 2 (x, y) = C 2 Đặt: ξ = ϕ 1 (x, y), η = ϕ 2 (x, y) thay vào phương trình: a 1 (ξ, η)u ξξ + 2b 1 (ξ, η)u ξη + c 1 (ξ, η)u ηη + F 1 (ξ, η, u, u ξ , u η ) = 0 thì a 1 = c 1 = 0 và b 1 = 0 nên phương trình ban đầu sẽ có dạng chính tắc u ξη = F ∗ 1 (ξ, η, u, u ξ , u η ) (1.2.5) 7 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang với: a 1 = aξ 2 x + 2bξ x ξ y + cξ 2 y b 1 = aξ x η x + b(ξ x η y + ξ y η x ) + cξ y η y c 1 = aη 2 x + 2bη x η y + cη 2 y - Nếu a = 0 thì ta có ngay u xy = F ∗ (x, y, u, u x , u y ). Thực hiện phép đổi biến ξ = α − β, η = α + β thì dạng chính tắc của phương trình (1.2.5) có dạng: u αα − u ββ = Φ(α, β, u, u α , u β ) (1.2.6) *Trường hợp b 2 − ac < 0 trong lân cận U Khi đó, phương trình (1.2.2) có hai nghiệm phức liên hợp đối với y  , hay viết dưới dạng tích phân tổng quát: ϕ 1 (x, y) = C 1 , ϕ 2 (x, y) = C 2 Đặt: ξ = ϕ 1 (x, y), η = ϕ 2 (x, y) thay vào phương trình: a 1 (ξ, η)u ξξ + 2b 1 (ξ, η)u ξη + c 1 (ξ, η)u ηη + F 1 (ξ, η, u, u ξ , u η ) = 0 với: a 1 = aξ 2 x + 2bξ x ξ y + cξ 2 y c 1 = aη 2 x + 2bη x η y + cη 2 y Giả sử ϕ 1 (x, y) = α(x, y) + iβ(x, y), với α, β là số thực. Đặt: α = 1 2 (ϕ 1 (x, y) + ϕ 2 (x, y)), β = 1 2i (ϕ 1 (x, y) − ϕ 2 (x, y)) ta được phương trình sẽ có dạng: a 2 u αα + 2b 2 u αβ + c 2 u ββ + F 2 (α, β, u, u α , u β ) (1.2.7) với a 2 = c 2 , b 2 = 0 và a 2 c 2 − b 2 2 > 0 thì dạng chính tắc của phương trình ban đầu có dạng u αα + u ββ = Φ(α, β, u, u α , u β ) (1.2.8) *Trường hợp b 2 − ac = 0 trong lân cận U 8 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang - Nếu b = 0 thì a = 0 hoặc c = 0 nên phương trình có dạng u αα = Φ(α, β, u, u α , u β ) - Nếu b = 0. Khi đó, phương trình (1.1.3) có nghiệm kép đối với y  , hay viết dưới dạng tích phân tổng quát: ϕ(x, y) = C Đặt: ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y) Với ψ(x, y) tùy ý thỏa mãn D(ϕ, ψ) D(x, y) = 0 thay vào phương trình a 1 (ξ, η)u ξξ + 2b 1 (ξ, η)u ξη + c 1 (ξ, η)u ηη + F 1 (ξ, η, u, u ξ , u η ) = 0 thì a 1 = b 1 = 0 và c 1 = 0 nên phương trình ban đầu sẽ có dạng chính tắc u ηη = Φ(ξ, η, u, u ξ , u η ) (1.2.9) 1.3 Giải phương trình vi phân cấp hai 1.3.1 Phương trình vi phân Xét phương trình vi phân tuyến tính: L(y) = a 0 (x) d n y dx n +a 1 (x) d n−1 (y) dx n−1 + +a n−1 (x) dy dx +a n (x)y = F (x) (1.3.1) trong đó a 0 (x), a 1 (x), , a n (x) là các hàm liên tục trong khoảng a ≤ x ≤ b và a 0 (x) = 0 trong khoảng a ≤ x ≤ b. * Phương pháp giải - Giải phương trình thuần nhất cấp n : L(y) = 0 Giả sử nghiệm thuần nhất của phương trình (1.3.1) có dạng: y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) (1.3.2) trong đó C 1 , C 2 , , C n là các hằng số tùy ý 9 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang - Giải phương trình vi phân không thuần nhất L(y) = F (x) Để giải phương trình này ta có thể dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.3.1) có dạng: y = y c + y p (1.3.3) 1.3.2 Phương trình vi phân cấp hai Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng: a 0 (x) d 2 y dx 2 + a 1 (x) dy dx + a 2 (x) = 0, a ≤ x ≤ b (1.3.4) Giả sử y 1 (x), y 2 (x) là tập nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai (1.3.4) Suy ra nghiệm của phương trình có dạng: y c = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) (1.3.5) trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý. Dùng phương pháp biến thiên hằng số tìm một nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất. L(y) = a 0 (x) d 2 y dx 2 + a 1 (x) dy dx + a 2 (x) = F (x) (1.3.6) có dạng: y p = u(x)y 1 (x) + v(x)y 2 (x) (1.3.7) trong đó: u(x), v(x) là các hàm thay thế hằng số C 1 , C 2 trong (1.3.5) Hàm u, v cần tìm thỏa mãn hệ phương trình:    u  (x)y 1 (x) + v  (x)y 2 (x) = 0 u  (x)y  1 (x) + v  (x)y  2 (x) = F (x) a 0 (x) a 0 (x) = 0. (1.3.8) Giải hệ (1.3.8) ta có: u = u(x) = − x  α y 2 (ξ)F (ξ) a 0 (ξ)W (ξ) d(ξ); 10 [...]... tìm các hàm số đó, đảm bảo nghiệm thỏa mãn các điều kiện của phương trình đạo hàm riêng đã cho 23 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Phương pháp này sẽ được áp dụng cụ thể trong việc giải bài toán Cauchy với phương trình parabolic và các bài toán hỗn hợp ở phần sau 2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình parabolic Xét bài toán Cauchy thuần nhất: ut − a2 uxx = 0, u(x, 0)... hòa cơ bản trong đó: Cn = 1.4.3 Hàm chẵn, hàm lẻ Cho hàm f (x) có tập xác định trên D Hàm f (x) được gọi là hàm chẵn nếu với ∀x ∈ D, thì −x ∈ D và f (−x) = f (x) Hàm chẵn đối xứng theo trục Oy Hàm f (x) được gọi là hàm lẻ nếu với ∀x ∈ D, thì −x ∈ D và f (−x) = −f (x) Hàm lẻ đối xứng theo trục Ox 14 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Một số tính chất của hàm chẵn và hàm lẻ:... (3.3.3) Thay (3.3.3) vào phương trình (3.3.1) ta có: T (t)X(x) = a2 T (t)X (x) X (x) T (t) = = −λ2 2 T (t) a X(x) (3.3.4) Suy ra T (t) + λ2 a2 T (t) = 0 X (x) + λ2 X(x) = 0 Suy ra: 2 2 T (t) = e−λ a t X(x) = Acosλx + Bsinλx 35 (3.3.5) Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Các hằng số A và B có thể phụ thuộc vào λ, có thể coi A = A(λ) và B = B(λ) Nghiệm của phương trình (3.3.1) có... trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn Bài toán Xét bài toán: 2  L(u) = ∂u − a2 ∂ u = 0, 0 < x < L   ∂t ∂x2 u(0, t) = u(L, t) = 0   u(x, 0) = f (x) 31 (3.2.1) Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Ta sử dụng phương pháp tách biến (Fourier) để giải Giả sử nghiệm của phương trình đã cho tìm được dưới dạng: u = u(x, t) = X(x)T (t) (3.2.2) Thay vào phương trình ta được:... 1 d2 y + 2 2 x dt Phương trình (1.3.11) có dạng: d2 y dy a0 2 + (a1 − a0 ) + a2 y = 0 dt dt 11 (1.3.12) Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Giả sử phương trình (1.3.11) có nghiệm dưới dạng mũ y = emt , ta có phương trình đặc trưng: a0 m2 + (a1 − a0 )m + a2 = 0 (1.3.13) * Trường hợp 1 Nếu phương trình (1.3.13) có hai nghiệm thực phân biệt m = α và m = β thì nghiệm tổng quát... đối với môi trường chất rắn, chất lỏng hay chất khí có môi trường đẳng hướng Hệ số khuếch tán D phụ thuộc vào các quá trình được xét Phương trình khuếch tán là phi tuyến tính nếu D là hàm nồng độ 30 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Điều kiện biên Dirichlet phương trình khuếch tán đòi hỏi nồng độ của chất khuếch tán xác định trên biên Điều kiện Neumann đòi hỏi dòng chất... biểu diễn chuỗi Fourier Các hàm này không có xác định ở một hoặc vài điểm trong khoảng (−L; L) * Hàm f (x) được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm x0 nếu: f (x− ) = lim f (x0 − ) = f (x+ ) = lim f (x0 + ) 0 0 →0, >0 →0, >0 13 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Nếu f (x) và f (x) là liên tục từng khúc trong khoảng (−L; L) thì biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f (x) thỏa... Suy ra C = D = 0, hay X(x) ≡ 0 - Nếu λ = 0, nghiệm của phương trình có dạng: X(x) = Cx + D Thay vào điều kiện X(0) = X(L) = 0 ta có C = D = 0, hay X(x) ≡ 0 - Nếu λ < 0, nghiệm của phương trình có dạng: √ √ X(x) = Ccos −λx + Dsin −λx Thay vào điều kiện X(0) = X(L) = 0 ta có: C=0 √ Dsin −λL = 0 32 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang √ Do nghiệm cần tìm là nghiệm không tầm thường... vào phương trình (2.4.1) ta được: X(x)T (t) = a2 X (x)T (t) ⇒ X (x) T (t) = =λ a2 T (t) X(x) Ta có hệ phương trình: X (x) − λX(x) = 0 T (t) − λa2 T (t) = 0 Giải phương trình X (x) − λX(x) = 0 - Nếu λ > 0, nghiệm của phương trình có dạng: √ X(x) = Ce λx + De √ − λx Từ điều kiện (2.4.2) ta có X(0) = X(l) = 0 nên ta có C +D =0 √ Ce λl √ + De− 26 λl =0 (2.4.4) Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật. .. vào phương trình: l T (t) − λa2 T (t) = 0 ta được: (2.4.5) n 2 a2 π 2 T (t) + T (t) = 0 l2 T (nπa)2 ⇒ =− 2 , n = 1, 2, T l (nπa)2 ⇒ ln|T | = − 2 t + A1 , n = 1, 2, l ⇒ T = Ae− (nπa)2 t l2 , n = 1, 2, nπa x, l ∞ 2 nπa − (nπa) t l2 ⇒ u(x, t) = an e sin x, l n=1 ⇒ u(x, t) = Ae− (nπa)2 t l2 sin 27 n = 1, 2, n = 1, 2, Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang Thay vào . phương trình parabolic trong việc giải các bài toán vật lý. Từ đó thấy được mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học và vật lý nói riêng và với mối 2 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù. bản về phương trình parabolic. Ngoài ra, khóa luận còn trình bày về ứng dụng của phương trình parabolic trong vật lý, cụ thể là các quá trình truyền nhiệt trong thanh dài và phương trình khuếch. đến phương trình parabolic, hệ thống, phân tích làm rõ các ứng dụng của nó trong vật lí. 3 Phương trình parabolic và ứng dụng trong vật lý Cù Thị Thu Trang • Ý nghĩa thực tiễn: Khoá luận góp thêm