Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 Thanh Mỹ, ngày 15/7/2011 Chuyên đề TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN I Mục tiêu Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cđa sè nguyªn dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số d tìm điều kiƯn chia hÕt Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Toán nâng cao chuyên đề đại số - Bồi dưỡng toán - Nâng cao phát triển toán -… III Nội dung Kiến thức cần nhớ Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biĨu thøc phơ thc vµo n (n ∈ N n Z) a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m + Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số ®ã + Trong k sè liªn tiÕp bao giê cịng tồn số bội k b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n * VÝ dô1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do ®ã A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cđa số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: Tồn bội số (nên A M5 ) Tồn bội (nên A M7 ) Tồn hai bội (nên A M9 ) Tồn bội cã béi cđa (nªn A M 16) VËy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố ⇒ A M 5.7.9.16= 5040 VÝ dô 2: Chng minh với số nguyên a : a/ a3 –a chia hÕt cho b/ a5-a chia hÕt cho Giải: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1) ã Cách 1: Ta xÕt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia a cho NÕu a= k (k ∈ Z) th× A M (1) NÕu a= 5k ± th× a2-1 = (5k2 ± 1) -1 = 25k2 ± 10k M ⇒ A M (2) 5 2+1 = (5k 2)2 + = 25 k2 20k +5 ⇒ A (3) NÕu a= 5k ± th× a ± ± M Tõ (1),(2),(3) ⇒ A M ∀ n ∈ Z 5, Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm hc : 2011-2012 Cách 2: Phân tích A thành tỉng cđa hai sè h¹ng chia hÕt cho : + Một số hạng tích số nguyên liên tiếp + Một số hạng chứa thừa số Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) M (tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a -1) M 5-a Do a M * Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a 5-a tÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a M 5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) ⇒ a M ⇒ a5-a M Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) M 5(TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét hiƯu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cđa luỹ thừa ta sử dụng đẳng thøc: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 9) Sử dụng tam giác Paxcan: 1 1 1 3 1 Mỗi dòng bắt đầu kết thúc Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền Do ®ã: Víi ∀ a, b ∈ Z, n ∈ N: an – bn chia hÕt cho a – b( a ≠ b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a ≠ -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16 n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n số chẵn Giải: + Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k N thì: A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 – = 255 M VËy AM 17 17 n – = 16n + – mµ n lẻ 16 n + 16+1=17 (HĐT 9) - Nếu n lẻ : A = 16 M A không chia hết cho 17 +Cách 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n (theo công thức Niu Tơn) Nếu n chẵn A = BS17 + = BS17 chia hÕt cho 17 NÕu n lỴ th× A = BS17 – – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biĨu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n số chẵn, n N d/ Ngoài dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết ã VD 4: CMR tån t¹i mét béi cđa 2003 cã d¹ng: 2004 2004….2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……………………… a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d chia cho 2003 Gọi hai số am an ( ≤ n nên 3n > Ta lại có: 3n < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 5n 25 số ngyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n = ⇒ n = Khi ®ã, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 lµ sè nguyên tố Vậy với n = giá trị cđa biĨu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n 1)(4n + 3) Biến đổi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 sè nguyªn tè 3 c/ A = n + 3n Do A số tự nhiên nên n(n + 3) M 4 Hai sè n vµ n + chẵn Vậy n , hc n + chia hÕt cho - NÕu n = A = 0, không số nguyên tố - Nếu n = A = 7, số nguyên tố -Nếu n = 4k với k ∈ Z, k > th× A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số - Nếu n + = A = 1, không số nguyªn tè Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 - NÕu n + = 4k víi k ∈ Z, k > th× A = k(4k - 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số Vậy với n = n + 3n số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn Một ngµy cđa thËp kû ci cïng cđa thÕ kû XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngêi kh¸ch hái: Cã lÏ hai em b»ng ti nhau? Bạn Mai trả lời: Không, em bạn em tuổi Nhng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Ngời khách đà suy luận nào? Giải: Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trờng hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn Gọi năm sinh Mai 19a9 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a {1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980 Chuyờn 2: TNH CHẤT CHIA HẾT TRONG N Tiết 10-12: Một số dấu hiệu chia hết – Ví dụ I.Một số dấu hiệu chia hết Chia hÕt cho 2, 5, 4, 25 vµ 8; 125 an an −1 a1a0 M ⇔ a0 M ⇔ a0 = 0; 2; 4;6;8 2 an an −1 a1a0 M ⇔ a0 = 0;5 an an −1 a1a0 M ( hc 25) ⇔ a1a0 M ( hc 25) an an −1 a1a0 M ( hc 125) ⇔ a2 a1a0 M ( hc 125) 8 Chia hÕt cho 3; an an −1 a1a0 M (hc 9) ⇔ a0 + a1 + + an M ( hc 9) NhËn xÐt: D phÐp chia N cho ( hc 9) d phép chia tổng chữ số N cho ( 9) DÊu hiÖu chia hÕt cho 11: Cho A = a5 a4 a3a2 a1a0 AM ⇔ ( a0 + a2 + a4 + ) − ( a1 + a3 + a5 + )  M 11   11 4.DÊu hiÖu chia hÕt cho 101 101  A = a5 a4 a3 a2 a1a0 AM ⇔ ( a1a0 + a5a4 + ) − ( a3a2 + a7 a6 + )  M 101 II.Vớ d Ví dụ 1: Tìm chữ số x, y để: a) 134 x yM 45 b) 1234 xyM 72 Giải: a) Để 134 x yM ta ph¶i cã 134 x y chia hết cho y = y = 45 Víi y = th× tõ 134 x 40M ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 M ⇒ x + 4M ⇒ x = 9 ®ã ta cã sè 13554 víi x = th× tõ : 134 x yM ta ph¶i cã 1+3+5+x+4 +5 M 9 ⇒ x M ⇒ x = 0; x = lóc ®ãta cã sè: 135045; 135945 b) Ta cã 1234 xy = 123400 + xy = 72.1713 + 64 + xy M ⇒ 64 + xy M 72 72 V× 64 ≤ 64 + xy 163 nên 64 + xy 72 144 + Víi 64 + xy =72 th× xy =08, ta cã sè: 123408 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 + Víi 64 + xy =14 th× xy =80, ta có số 123480 Ví dụ Tìm chữ số x, y để N = x36 y5M 1375 Gi¶i: Ta cã: 1375 = 11.125 N M ⇔ y 5M ⇔ y = 125 125 N = x3625M ⇔ ( + + x ) − ( + + ) = 12 − x M ⇔ x = 11 11 Vậy số cần tìm 713625 42 43 Ví dô a) Hái sè A1991 = 1991 1991 cã chia hết cho 101 không? 1991so1991 b) Tìm n để An M 101 Giải: a) Ghép chữ số liên tiếp A1991 có cặp số 91;19 Ta cã: 1991.91-1991.19 = 1991 72 M101 nªn A1991 M 101 b) An M ⇔ n.91 − n.19 = 72nM ⇔ nM 101 101 101 A.Tãm t¾t lý thuyÕt TIẾT 13– 14: II MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ PHÉP CHIA HT Định lý phép chia hết: a) Định lý Cho a, b số nguyên tuỳ ý, b , có số nguyên q, r nhÊt cho : a = bq + r víi ≤ r ≤ b , a só bị chia, b số chia, q thơng số r số d Đặc biệt với r = a = b.q Khi ta nãi a chia hÕt cho b hay b lµ íc cđa a, ký hiƯu aM b VËy a M ⇔ cã sè nguyªn q cho a = b.q b b) TÝnh chÊt a) NÕu a M vµ b M th× a M M b c c b) NÕu a M b M a = b b a c) NÕu a M , a M vµ (b,c) = th× a M b c bc d) NÕu ab M (c,b) = a M c c TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiÖu, mét tÝch - NÕu a  m  → a + b m b m  - NÕu a  m  b  m - NÕu a m m  → a b  b  m → a − b m - NÕu am → a n m (n số tự nhiên) 3.Mt s tớnh chất khác: • Trong n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n • Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n! a b a.b • A M A M (a;b) = ⇒ AM B.Ví dụ: ( ) Chứng minh với số nguyên dương n ta có: n + n − − 1 24 Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Giải: ( ) Năm học : 2011-2012 A = n + n − − =  n ( n + 1)  ( n − 1) ( n + )  M = 24    4! Bài tập tự luyện: Chứng minh a n + 6n + 8n  với n chẳn 48 b n − 10n +  384 với n lẻ Chứng minh : n + n − 2n  với n nguyên 72 CMR với số nguyên a biểu thức sau: a) a(a – 1) – (a +3)(a + 2) chia hết cho b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho c) (a2 + a + 1)2 – chia hết cho 24 d) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn) CMR với số tự nhiên n biểu thức: a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho Tiết 15– 16: §ång d thøc I.Lí thuyết đồng dư: a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > NÕu sè nguyªn a, b cho cïng sè d chia cho m ta nói a đồng d với b theo môđun m Kí hiệu : a ≡ b(mod m) b) TÝnh chÊt a) a ≡ b(mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± c(mod m) b) a M(mod m) ⇒ na M (mod m) b nb n c) a ≡ b(mod m) ⇒ a ≡ b n (mod m) d) a ≡ b(mod m) ⇒ ac ≡ bc(mod m) c) Một số đẳng thức: a m − bm M − b a • n n a + b M + b (n lẻ) a • n ( a + b ) = B (a ) + b • II.Ví dụ: Chứng minh: 29 + 299 M 200 Giải: + = = 512 ≡ 112(mod 200) (1) ⇒ = ≡ 112 (mod 200) 112 = 12544 ≡ 12 (mod 200) ⇒ 112 ≡ 12 (mod 200) 12 = 61917364224 ≡ 24(mod 200) 112 ≡ 24.112(mod 200) ≡ 2688(mod 200) ≡ 88(mod 200) ⇒ ≡ 88(mod 200) (2) Từ (1) (2) ⇒ + = 200(mod 200) hay 29 + 299 M 200 III,Bài tập tự luyện: Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 Sử dụng đẳng thức đồng dư + 19651966 + )  (1961 + 1963 ( 24 + 14 ) 19 ( + ) 200 (13 − 1)  183 (1979 − 1981 + 1982) 1980 (3 + + + + ) 120 ( 2222 + 5555 ) 7 1962 1964 1917 1917 99 123456789 1979 1981 5555 100 2222 Tiết 17– 18: QUY NẠP TOÁN HỌC I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH B1: Kiểm tra mệnh đề với n = 1? B2: Giả sử Mệnh đề với n = k ≥ Chứng minh mệnh đề với n = k + II.VÍ DỤ: Chứng minh với số nguyên dương n thì: n + + 82 n +1 M 57 Giải: -Với n = 1:A1 = + = 855 + 57 - Giả sử Ak + 57 nghĩa n + + 82 n +1 M 57 ⇒ Ak+1 = + =7 + 64.8 = 7(7 + ) + 57.8 Vì + ( giả thiết qui nạp) 57.8 M 57 ⇒ Ak+1 M 57 Vậy theo nguyên lí qui nạp A = + M 57 *Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n số nguyên n ≥ n0 Thì ta kiểm tra mệnh đề n = n0? III.BÀI TẬP: Chứng minh : Với n số tự nhiên thì: (5 2n+1 + n+4 + n+1 ) 23 11 + 12 M 133 n+2 n (5 + 26.5 + 2n+1 ) 59 ( 2n+1 + 33n+1 ) 5 ( 2n+2 + 24n + 14) 18 - Tiêt 19-20 LUYỆN TẬP A = 1ab 2c  1025 B = abca = ( 5c + 1) E = ab cho ab = ( a + b ) Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán A = ab = ( a + b ) Năm học : 2011-2012 2 HD: ab = ( a + b ) ⇔ ( a + b )( a + b − 1) = 9a ≤ ⇒ (a + b) ≤ (a + b) = 9k + b = ⇒ 9a = 9.8 = 72 ⇒ a = b = B = abcd = ( ab + cd ) HD: Đặt x = ab ; y = cd ⇒ ⇒ k=1 99x = (x + y)(x + y - 1) ≤ 992  x = 99(1)  x < 99(2) Xét khả :  (1) ⇒ B = 9801  x + y = 9k   x + y − = 11l (2) ⇒   x + y = 11k   x + y − = 9l  (  B = 2025 ⇒   B = 3025 C = abcdef = abc + def ) ĐS: B = 9801;2025;3025   H = abcd cho aa abb bcc c + =  dd d + 1         n n n  n  Tìm xyy1 + z = z Tính giá trị biểu thức: 1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x3 + y3 + 3xy 3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x3 – y3 – 3xy 4/ Cho x + y = m x.y = n.Tính giá trị biểu thức sau theo m,n a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 5/ Cho x + y = m x2 + y2 = n.Tính giá trị biểu thức x3 + y3 theo m n 6/ a) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4 b) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 1.Tính giá trị bt: a4 + b4 + c4 Gv: Nguyễn Văn Tú 10 Trường THCS Thanh Mỹ ⇒ a Giáo án BDHSG Toán Năm hc : 2011-2012 Cho tam giác ABC cân A, đờng cao AH Trên đoạn thẳng CH HB lần lợt lấy hai điểm M N cho CM = HN Đờng thẳng qua M vuông góc với BC cắt AC E Qua N vẽ đờng thẳng d ⊥ NE Chøng minh r»ng M di ®éng đoạn thẳng CH đờng thẳng d luôn ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh @ Bg A DÔ thÊy CH = MN = BC E HF HN CM (1) = = ∆ HFN ~ ∆ MNE (g.g) ⇒ MN ME ME AH CH CH CM (2) = ⇒ = ∆ AHC ~ ∆ EMC (g.g) ⇒ H M B N C EM CM AH EM 1 HF CH BC BC Tõ (1) vµ (2) ⇒ Do ®ã HF = MN CH ®ỉi) BC (kh«ng F = = = MN AH AH AH AH Vì H cố định nên F cố định Bài : Cho tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF Gäi M, N, I, K lÇn lợt hình chiếu D AB, AC, BE, CF Chøng minh r»ng ®iĨm M, N, I, K thẳng hàng @ Bg BM BD BI = = MI // FE BF BC BE CN CD CK V× DN // BE DK // AB nên = = ⇒ NK // FE CE CB CF AM AD = ∆ AMD ~ ∆ ADB ⇒ AD AB V× DM // CF DI // CA nên AND ~ ∆ ADC ⇒ AN AD = AD AC (1) A (2) E (3) F (4) M K I N D B C AM AC Chia tõng vÕ cña (3) cho (4) ta đợc = AN AB AF AC AM AF ®ã (5) ⇒ MN // FE = = ∆ ACF ~ ∆ ABE ⇒ AE AB AN AE Tõ (1) ; (2) ; (5) suy ®iĨm M, I, N, K thẳng hàng Bài : Lấy cạnh AB, AC BC ABC làm cạnh đáy, dựng tam giác vuông cân ABD, ACE, BCF, hai tam giác đầu dựng phía ABC tam giác thứ dựng nửa mặt phẳng bờ BC với ABC Chứng minh tứ giác AEFD hình bình hành (hoặc A, E, F, D thẳng hàng) @ Bg à ã Nếu BAC ≠ 900 ; ∆ BAD ~ ∆ BCF(2 tam gi¸c vuông cân) A E BD BA BD BF F o + ) à à Mặt khác DBF = ABC ( = 45 ⇒ = ⇒ = B1 D BF BC BA BC · · ⇒ ∆ BDF ~ ∆ BAC (c.g.c) ⇒ BDF = BAC · · Chứng minh tơng tợ có FEC ~ BAC ⇒ FEC = BAC B C · · · Ta cã DAE + · = (90o + BAC ) + (900 - BDF ) = 1800 ⇒ AE // DF ADF Chứng minh tơng tự ta đợc AD // EF Vậy AEFD hình bình hành à ã Trờng hợp BAC = 900 điểm A, E, F, D thẳng hàng Bài : Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AB, AD Gọi E F lần lợt giao ®iĨm A M cđa BN víi MC vµ AC Cho biÕt AB = 30 cm, tÝnh diƯn tÝch c¸c tam giác BEM AFN B @ Bg E µ ∆ ABN = ∆ BCM (c.g.c) ⇒ B1 = C1 BN CM F ABN vuông A, AB = 30; AN = 15 ⇒ BN2 = 1125 N Gv: Nguyễn Văn Tú 65 Trường THCS Thanh Mỹ D C Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 S BEM  BM  225 = = ÷ = S BAN  BN  1125 1 SBAN = 30.15 = 225 ⇒ SBEM = 225 = 45 (cm2) FN AN 1 = = ⇒ FN = BF = BN ∆ AFN ~ ∆ CFB ⇒ FB BC 2 1 ®ã SAFN = SABN = 225 = 75 cm2 3 Bµi : Qua điểm O nằm tam giác ABC ta vẽ đờng thẳng song song với cạnh Các đờng thẳng chia tam giác ABC thành hình bình hành tam giác nhỏ Biết diện tích tam giác a2 , b2 , c2 TÝnh SABC a) Chøng minh S ≤ a2 + b2 + c2 b) A @ Bg E F a) DÔ thấy tam giác ODH, EON, FMO đồng dạng với ABC 2 c O b N M Đặt SABC = d2 Ta cã a =  DH  ⇒ a = DH (1)  ÷ d d BC  BC  ∆ BEM ~ ∆ BAN ⇒ 2 a2 b  ON   HC  b HC = ÷ = ÷ ⇒ = d d BC  BC   BC  2 (2) B D H C c  MO   BD  c BD (3) = ÷ = ÷ ⇒ = d d BC  BC   BC  a + b + c DH + HC + BD Céng tõng vÕ c¸c đẳng thức (1) , (2) , (3) ta đợc = =1 d BC ⇒ a + b + c = d VËy S = d2 = (a + b + c)2 b) S = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≤ a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (b2 + c2) + (c2 + a2) = 3(a2 + b2 + c2) DÊu “=” xÈy ⇔ a = b = c ⇔ O trïng víi träng tâm G ABC ã Vớ d 8: a Rút gọn Biếu thức B = b Thực phép tính: 4a + 12a + Với a ≠ − 2 2a − a − 0,5a + a + a − : + (a ≠ ± 2.) + 0,5a a + a( − a ) Giải: ( 2a + 3) = 2a + 4a + 12a + = ( 2a + 3)( a − 2) a − 2a − a − 0,5a + a + a − a + 2a + a + 2 : + = ⋅ + b + 0,5a a + a( − a ) a+2 a − a( − a ) a + 2a + a−2 = − = = ( a − ) ( a + 2a + ) a ( a − ) a ( a − ) a a B = • 2 Ví dụ 9: Thực phép tính: A = x + y − xy x3 + y3 : ( Với x ≠ ± y) x2 − y2 x + y − xy Giải: Gv: Nguyễn Văn Tú 66 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán A= = 3 2 x4 + x3 + x + Ví dụ 10: Cho biểu thức : A = x − x + 2x − x + Rút gọn biểu thức A Chứng minh A không âm với giá trị x Giải: a b A= = ( x + y) • = Năm học : 2011-2012 x + y − xy x +y x + y − xy ( x − y) : = ⋅ 2 x −y x + y − xy ( x − y )( x + y ) ( x + y ) ( x + y − xy ) x− y x4 + x3 + x +1 x4 + x3 + x +1 = x − x3 + 2x − x +1 x − x3 + x + x − x + ( ) ( x + 1) x + x ( x + 1) + ( x + 1) = x2 x2 − x +1 + x2 − x +1 x − x +1 x2 +1 ( ( x + 1) ( (x ) ( ) ( ) ) ( − x + ( x + 1) = x − x +1 x2 +1 x +1 2 )( )( ) ) ( x + 1) ; ( x + 1) ≥ 0; x + > ⇒ A ≥ b A = x2 +1 a5 + a6 + a + a8 • Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức : −5 a + a − + a − + a −8 với a = 2007 Giải: 8 a +a +a +a a +a +a +a B = −5 = −6 −7 −8 1 1 a +a +a +a + 6+ + a a a a 8 a +a +a +a a a +a +a +a = = a + a + a +1 a3 + a + a +1 a8 a 13 + a + a + a = = a13 ⇒ B = 200713 a + a + a +1 ( ( • ) ) Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức : x − 25 y−2 : x − 10 x + 25 x y − y − Biết x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x − Giải: x2 + 9y2 - 4xy = 2xy - x − ⇔ ( x − y ) + x − = x = y x = ⇔ ⇔ x = y = ( x − 5)( x + 5) ⋅ ( y − 2)( y + 1) x − 25 y−2 C= : = 2 y−2 x − 10 x + 25 x y − y − x ( x − 5) = ( x + 5)( y + 1) = 8.2 = − x( x − 5) 3.( − ) Bài tập: 13 Chứng minh Biếu thức Gv: Nguyễn Văn Tú 67 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán P= (x (x 2 ) ) + a (1 + a ) + a x + − a (1 − a ) + a x + Năm học : 2011-2012 không phụ thuộc vào x 14 a b c 15 x − x + x − x − 3x + Cho biểu thức M = x + 2x − Tìm tập xác định M Tính giá trị x để M = Rút gọn M Cho a,b,c số đôi khác Chứng minh : b−c c−a a−b 2 + + = + + ( a − b )( a − c ) ( b − a )( b − c ) ( c − a )( c − b ) a − b b − c c − a x + 10 16 Cho biểu thức : B = x + x − x + x − 10 a b Rút gọn B Chứng minh : n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4  16 với n ∈ Z a Rút gọn biểu thức : A = 3; y ≠ -2 2x + 3y − xy x2 + − − với x xy + x − y − xy + x + y + x − ≠ -3; x ≠ 2+ x 4x 2 − x  x − 3x  − −  − x x − + x  : 2x − x3    b Cho Biếu thức : A = a b c Tìm điều kiện có nghĩa Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị x để A > Tìm giá trị A trường hợp x − = 19 a.Thực phép tính: 1 16 + + + + + 1− x 1+ x 1+ x 1+ x 1+ x + x 16 1 − 2 a −9 a +9 − a +9 b Rút gọn C = a2 + a2 − a2 + a.A = Cho a,b,c số ≠ đơi ab bc ac + + Tính S = ( b − c )( c − a ) ( a − b )( c − a ) ( b − c )( a − b ) 2a − b 5b − a + −3 21 Tính giá trị biểu thức : 3a − b 3a + b 20 biết: 10a − 3b − 5ab = & 9a − b ≠ 22 Cho a + b + c = a + b + c = a Nếu x y z = = Chứng minh xy + yz + zx = a b c b.Nếu a3 + b3 + c3 = Tính giá trị a,b,c 23 a b 24 Bài 11: Cho Biếu thức : A = 2a − − a + 3a − 3a + Tính giá trị A a = -0,5 Tính giá trị A : 10a2 + 5a = 1 + + = Chứng minh xyz = thì: + x + xy + y + yz + z + zx Gv: Nguyễn Văn Tú 68 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 a + 3ab 2a − 5ab − 3b a − an + bn + ab + = a − 9b 6ab − a − 9b 3bn − a − an + 3ab       Thực phép tính: 1 − 1 − 1 −  1 −       2008  25 Chứng minh đẳng thức sau: 26 1 + + + ( 3n − 1)( 3n + 2) 2.5 5.8 27 Tính tổng : S(n) = 28 Rút gọn tính giá trị biểu thức : 2a − 12a + 17 a − a−2 A= Biết a nghiệm Phương trình : a − 3a + =   b  a  c  b  a c Gọi a,b,c độ dài cạnh tam giác biết rằng: 1 + 1 + 1 +  = 29 Chứng minh tam giác tam giác 30 Chứng minh a,b số dương thỏa điều kiện: a + b = : a b 2( b − a ) − = 2 b −1 a −1 a b + 3 31 Thực phép tính: x − yz y − xz z − xy + + A= ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( y + z )( x + z ) 32 33 (1 − x ) a + b + c − 3abc Rút gọn biểu thức : A = a+b+c Chứng minh biểu thức sau dương TXĐ: 2 B= 34 1+ x2  − x  + x  :  + x  − x    + x     − x Rút gọn Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007 A= 35 x( x + 5) + y ( y + 5) + 2( xy − 3) x( x + 6) + y ( y + 6) + xy Cho số a,b,c ≠ thỏa mãn đẳng thức: Tính giá trị biểu thức P = 36 ( a + b )( b + c )( c + a ) Cho biểu thức : A = abc a+b−c a+c−b b+c−a = = c b a xy − z yz − x zx − y Chứng minh : xy + z yz + x xz + y x + y + z = A = 13 14 HƯỚNG DẪN: x + a (1 + a ) + a x + 1 + a + a = P= x − a (1 − a ) + a x + 1 − a + a ( ( ) ) 2 x − x + x − x − 3x + x + 2x − ( x + 3) ( x − 1) = x+4 M= Gv: Nguyễn Văn Tú 69 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán 15 a−b Năm học : 2011-2012 b−c 1 c−a 1 = + = + = ( a − b )( a − c ) a − b c − a ( b − a )( b − c ) b − c a − b 1 = ( c − a )( c − b ) = b − c + c − a 16 x + 10 x + 10 = a.Rút gọn B = x + x − x + x − 10 ( x − 1)( x + 10) ( x + 1)   ( x − 1) ( x + 1) ; ( x > −10lx ≠ 1) = − ( x + 10)   ( x − 1)( x + 10 ) ( x + 1) ; ( x < −10 )  b n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 = [ n( n + 1) ] A= 17 = 2x + 3y − xy x2 + − − xy + x − y − xy + x + y + x − 2x + 3y − xy x2 + − − = xy + x − y − xy + x + y + x − ( x − 3)( x + 3)( y + 2) 18 2+ x 4x 2 − x  x − 3x 4x  : − − =  − x x − + x  2x − x3 x −   4x b.A > ⇔ >0⇔ x>3 x−3 a.A =  x = 11 x = c x − = ⇒  x = 11 ⇒ A =  x = ⇒ A không xác định  19 a.A = 121 1 16 32 + + + + + = − x + x + x + x + x + x16 − x 32 1 − a2 + − + b Rút gọn C = a a − = −1 a + 2 a −9 a +9 ab bc ac + + ( b − c )( c − a ) ( a − b )( c − a ) ( b − c )( a − b ) ab( a − b ) + bc( b − c ) + ac( c − a ) − ( a − b )( b − c )( c − a ) = = = −1 ( a − b )( b − c )( c − a ) ( a − b )( b − c )( c − a ) 21 Từ: 10a − 3b − 5ab = & 9a − b ≠ ⇒ 5ab = 3b − 10a (1) 2a − b 5b − a 3a − 15ab − 6b Biến đổi A = (2) + −3= 3a − b 3a + b 9a − b Thế (1) vào (2) ; A = - 22 Từ a + b + c = a + b + c = suy ra: ab + bc + ca = (1) 20 S= Gv: Nguyễn Văn Tú 70 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán a Nếu Năm học : 2011-2012 x y z = = a b c x y z x+ y+z = = = = x+ y+z a b c a+b+c = x + y + z Suy xy + yz + zx = suy : ⇒ ( x + y + z) b Áp dụng ( a + b + c ) − ( a + b + c ) = 3( a + b )( b + c )( c + a ) Từ a3 + b3 + c3 = Suy ra: 3( a + b )( b + c )( c + a ) = Từ tính a , b , c 23 Xem 21 24 Từ xyz = Biến đổi 1 + + + x + xy + y + yz + z + zx y yz = + + + y + yz + y + yz + y + yz 25 Chứng minh : a + 3ab 2a − 5ab − 3b a − an + bn + ab a+b + = = 2 2 a − 9b 6ab − a − 9b 3bn − a − an + 3ab 3b − a      1 − 1 − 1 −  1 −      2008 26 =    1.2.3 1997 3.4.5 1999 1999 1999 = = 2.3.4 1998 2.3.4 1998 1998 3996 27 1 + + + 2.5 5.8 ( 3n − 1)( 3n + 2) 11 1 1  n =  − + − + − = 32 5 3n − 3n +  2( 3n + ) 2a − 12a + 17a − 28 A= = 2a − 8a + a−2 a = 0; a = ⇒ A = 1; A = −5 a − 3a + = ⇔  a = 1; a = ⇒ A = −5  ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) =  b  c  a  + 1 + 1 +  = ⇔ 29  ab bc ca  a  b  c  30 Rút gọn ( ) a b 2( b − a ) ( a − b) a + b −1 − = 2 = b − a − a b + ab b + b + a + a + ( 31 )( ) y − xz y z x − yz x y = − = − = ( x + y )( x + z ) x + z x + y ( x + y )( y + z ) x + y y + z 2 z − xy z x = − Cộng vế A = ( x + z )( y + z ) y + z x + z 32 A= a + b + c − 3abc a+b+c Gv: Nguyễn Văn Tú 71 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 3 2 a + b + c − 3abc = ( a + b + c ) a + b + c − ab − bc − ca ( 33 TXĐ: 34 A= x ≠ ±1 ;B = ) 1 + x2 x( x + 5) + y ( y + 5) + 2( xy − 3) ( x + y + 6)( x + y − 1) = ( x + y + 6)( x + y ) x( x + 6) + y ( y + 6) + xy a +b−c a +c−b b+c−a = = c b a a+b−c a +c −b b+c−a +2= +2= +2 Suy ra: c b a a+b+c a+c+b b+c+a = = Suy ra: c b a Suy ra: a + b + c = a = b = c P = -1 P = 36 Từ: x + y + z = suy ra: x + y + z = 3xyz 35 Từ: A= M N ( ) ( M = 63 x y z − 16 xyz x + y + z + x y + y z + z x ( ) ( ) ) N = x y z + xyz x + y + z + x y + y z + z x =========o0o========= KIẾM TIỀN QUA MẠNG VIỆT NAM Quý thầy cô bạn dành thêm chút thời gian để đọc giới thiệu sau tri ân người đăng tài liệu cách dùng Email mã số người giới thiệu theo hướng dẫn sau Nó mang lại lợi ích cho thầy cô bạn, đồng thời tri ân với người giới thiệu mình: Kính chào q thầy bạn Lời cho phép gửi tới quý thầy cô bạn lời chúc tốt đẹp Khi thầy cô bạn đọc viết nghĩa thầy cô bạn có thiên hướng làm kinh doanh Nghề giáo nghề cao quý, xã hội coi trọng tơn vinh Tuy nhiên, có lẽ tơi thấy đồng lương q hạn hẹp Nếu khơng phải mơn học chính, khơng có dạy thêm, liệu tiền lương có đủ cho nhu cầu thầy Cịn bạn sinh viên…với thứ phải trang trải, tiền gia đình gửi, hay gia sư kiếm tiền thêm liệu có đủ? Bản thân tơi giáo viên dạy mơn TỐN thầy cô hiểu tiền lương tháng thu Vậy làm cách để kiếm thêm cho 4, triệu tháng ngồi tiền lương Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ 72 Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 Thực tế thấy thời gian thầy cô bạn lướt web ngày tương đối nhiều Ngồi mục đích kiếm tìm thơng tin phục vụ chun mơn, thầy bạn cịn sưu tầm, tìm hiểu thêm nhiều lĩnh vực khác Vậy không bỏ ngày đến 10 phút lướt web để kiếm cho 4, triệu tháng Điều có thể? Thầy bạn tin vào điều Tất nhiên thứ có giá Để quý thầy cô bạn nhận 4, triệu tháng, cần địi hỏi thầy bạn kiên trì, chịu khó biết sử dụng máy tính chút Vậy thực chất việc việc làm nào? Quý thầy cô bạn đọc viết tôi, có hứng thú bắt tay vào công việc Thầy cô nghe nghiều đến việc kiếm tiền qua mạng Chắc chắn có Tuy nhiên internet có nhiều trang Web kiếm tiền khơng uy tín ( trang web nước ngoài, trang web trả thù lao cao ) Nếu web nước ngồi gặp nhiều khó khăn mặt ngơn ngữ, web trả thù lao cao không uy tín, nhận tương xứng với cơng lao chúng ta, thật Ở Việt Nam trang web thật uy tín : http://satavina.com Lúc đầu thân thấy không chắn cách kiếm tiền Nhưng tơi hồn tồn tin tưởng, đơn giản tơi nhận tiền từ công ty.( thầy cô bạn tích lũy 50.000 thơi u cầu satavina toán cách nạp thẻ điện thoại tin ngay).Tất nhiên thời gian đầu số tiền kiếm chẳng bao nhiêu, sau số tiền kiếm tăng lên Có thể thầy bạn nói: vớ vẩn, chẳng tự nhiên mang tiền cho Đúng chẳng cho không thầy cô bạn tiền đâu, phải làm việc, phải mang lợi nhuận cho họ Khi đọc quảng cáo, xem video quảng cáo nghĩa mang doanh thu cho Satavina, đương nhiên họ ăn cơm phải có cháo mà ăn chứ, khơng dại mà làm việc cho họ Vậy làm Thầy cô bạn làm nhé: 1/ Satavina.com công ty nào: Đó cơng ty cổ phần hoạt động nhiều lĩnh vực, trụ sở tòa nhà Femixco, Tầng 6, 231-233 Lê Thánh Tôn, P.Bến Thành, Q.1, TP Hồ Chí Minh GPKD số 0310332710 - Sở Kế Hoạch Đầu Tư TP.HCM cấp Giấy phép ICP số 13/GP-STTTT Sở Thông Tin & Truyền Thông TP.HCM cấp.quận Thành Phố HCM Khi thầy cô thành viên công ty, thầy cô hưởng tiền hoa hồng từ việc đọc quảng cáo xem video quảng cáo( tiền trích từ tiền thuê quảng cáo công ty quảng cáo thuê satavina) 2/ Các bước đăng kí thành viên cách kiếm tiền: Để đăng kí làm thành viên satavina thầy làm sau: Bước 1: Nhập địa web: http://satavina.com vào trình duyệt web( Dùng trình duyệt firefox, khơng nên dùng trình duyệt explorer) Giao diện sau: Gv: Nguyễn Văn Tú 73 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Tốn Năm học : 2011-2012 Để nhanh chóng q thầy bạn coppy đường linh sau: http://satavina.com/Register.aspx? hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 ( Thầy cô bạn điền thơng tin Tuy nhiên, chức đăng kí thành viên mở vài lần ngày Mục đích để thầy bạn tìm hiểu kĩ cơng ty trước giới thiệu bạn bè ) Bước 2: Click chuột vào mục Đăng kí, góc bên phải( khơng có giao diện bước thời gian đăng kí khơng liên tục ngày, thầy bạn phải thật kiên trì) Bước 3: Nếu có giao diện thầy khai báo thông tin: Gv: Nguyễn Văn Tú 74 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 Thầy cô khai báo cụ thể mục sau: + Mail người giới thiệu( mail tôi, thành viên thức): hoangngocc2tmy@gmail.com + Mã số người giới thiệu( Nhập xác) : 66309 Hoặc quý thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx? hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 + Địa mail: địa mail thầy cô bạn Khai báo địa thật để cịn vào kích hoạt tài khoản sai thầy cô bạn khơng thể thành viên thức + Nhập lại địa mail: + Mật đăng nhập: nhập mật đăng nhập trang web satavina.com Gv: Nguyễn Văn Tú 75 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Tốn Năm học : 2011-2012 + Các thơng tin mục: Thông tin chủ tài khoản: thầy cô bạn phải nhập xác tuyệt đối, thơng tin nhập lần nhất, không sửa Thông tin liên quan đến việc giao dịch sau Sai không giao dịch + Nhập mã xác nhận: nhập chữ, số có bên cạnh vào ô trống + Click vào mục: đọc kĩ hướng dẫn + Click vào: ĐĂNG KÍ Sau đăng kí web thơng báo thành cơng hay không Nếu thành công thầy cô bạn vào hịm thư khai báo để kích hoạt tài khoản Khi thành công quý thầy cô bạn vào web có đầy đủ thơng tin cơng ty satavina cách thức kiếm tiền Hãy tin vào lợi nhuận mà satavina mang lại cho thầy cô Hãy bắt tay vào việc đăng kí, khơng gì, chút thời gian ngày mà thơi Kính chúc q thầy bạn thành cơng Nếu q thầy có thắc mắc q trình tích lũy tiền gọi trực tiếp mail cho tôi: Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thiệu: 66309 Q thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 2/ Cách thức satavina tính điểm quy tiền cho thầy bạn: + Điểm thầy cô bạn tích lũy nhờ vào đọc quảng cáo xem video quảng cáo Nếu tích lũy điểm từ thầy bạn tháng khoảng 1tr.Nhưng để tăng điểm thầy cô cần phát triển mạng lưới bạn bè thầy cô bạn 3/ Cách thức phát triển mạng lưới: - Xem quảng cáo video: 10 điểm/giây (có 10 video quảng cáo, video trung bình phút) - Đọc tin quảng cáo: 10 điểm/giây (hơn tin quảng cáo) _Trả lời phiếu khảo sát.:100,000 điểm / _Viết Trong ngày bạn cần dành phút xem quảng cáo, bạn kiếm được: 10x60x5= 3000 điểm, bạn kiếm 300đồng - Bạn giới thiệu 10 người bạn xem quảng cáo (gọi Mức bạn), 10 người dành phút xem quảng cáo ngày, công ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Cũng tương tự 10 Mức bạn giới thiệu người 10 người bạn có 100 người (gọi mức bạn), cơng ty chi trả cho bạn 300đồng/người.ngày - Tương tự vậy, công ty chi trả đến Mức bạn theo sơ đồ sau : - Nếu bạn xây dựng đến Mức 1, bạn 3.000đồng/ngày → 90.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 2, bạn 30.000đồng/ngày → 900.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 3, bạn 300.000đồng/ngày Gv: Nguyễn Văn Tú 76 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Năm học : 2011-2012 → 9.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 4, bạn 3.000.000đồng/ngày → 90.000.000 đồng/tháng - Nếu bạn xây dựng đến Mức 5, bạn 30.000.000đồng/ngày → 900.000.000 đồng/tháng Tuy nhiên thầy cô bạn không nên mơ đạt đến mức Chỉ cần cố gắng để 1tháng 1=>10 triệu ổn Như thầy cô bạn thấy satavina không cho không thầy cô bạn tiền khơng Vậy đăng kí giới thiệu mạng lưới Lưu ý: Chỉ thầy bạn thành viên thức thầy cô bạn phép giới thiệu người khác Hãy giới thiệu đến người khác bạn bè thầy cô bạn giới thiệu quan tâm đến người mà bạn giới thiệu chăm sóc họ( thành viên thầy bạn có mã số riêng).Khi giới thiệu bạn bè thay nội dung mục thông tin người giới thiệu thông tin thầy cô bạn Chúc quý thầy cô bạn thành cơng kiếm khoản tiền cho riêng Người giới thiệu: Nguyễn Văn Tú Email người giới thiệu: hoangngocc2tmy@gmail.com Mã số người giới thiệu: 66309 Q thầy bạn coppy Link giới thiệu trực tiếp: http://satavina.com/Register.aspx?hrYmail=hoangngocc2tmy@gmail.com&hrID=66309 Website: http://violet.vn/nguyentuc2thanhmy HÃY KIÊN NHẪN BẠN SẼ THÀNH CƠNG Chúc bạn thành cơng! Gv: Nguyễn Văn Tú 77 Trường THCS Thanh Mỹ Giáo án BDHSG Toán Gv: Nguyễn Văn Tú Năm học : 2011-2012 78 Trường THCS Thanh Mỹ ... ph ương Bài 4: Cho dãy số 49; 4 489 ; 44 488 9; 444 488 89; … Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương Ta có 44… 488 ? ?89 = 44… 488 + = 44…4 10n + 11…1 + n chữ... 2007 chữ số − 1)(10  10 20 08 +        = 20 08 + 5) +1= (10 20 08 chữ số ) + 4.10 20 08 20 08  10 20 08 +  −5+9  =     10 20 08 + 10 20 08 + + = 100…02  nên ∈ N hay ab + số tự nhiên 2007... 12 = 61917364224 ≡ 24(mod 200) 112 ≡ 24.112(mod 200) ≡ 2 688 (mod 200) ≡ 88 (mod 200) ⇒ ≡ 88 (mod 200) (2) Từ (1) (2) ⇒ + = 200(mod 200) hay 29 + 299 M 200 III,Bài tập tự luyện: Gv: Nguyễn Văn Tú