1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có: 3 2 a b c b c c a a b       Giải: Xét các biểu thức sau a b c S b c c a a b     b c a A b c c a a b     c a b B c b c a a b     Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì: 3 a b b c c a SA b c c a a b            3 a b b c c a SA b c c a a b            Cộng theo vế ta có A + B +2S ≥3  S≥ 3 2 (Điều phải chứng minh) Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có: 2 a b c d b c c d d a a b         Giải : Đặt a b c d S b c c d d a a b         b c a a A b c c d d a a b         c d a b B b c c d d a a b         Theo bất đẳng thức Cauchy thì: http://kinhhoa.violet.vn 2 4 a b b c c d d a SB b c c d d a a b               a c b d c a d b SA b c c d d a a b              a c c a b d d b b c d a c d a b             4( )ac a b c d      4( ) 4 bd a b c d      Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng minh) Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng: 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 xyz y z z x x y          Ta có: 3 11 3 (1 )(1 ) 8 8 4 x y z x yz      Tương tự ta có: 3 11 3 (1 )(1 ) 8 8 4 y x z y zx      3 11 3 (1 )(1 ) 8 8 4 z x y z xy      Cộng theo vế rồi rút gọn ta có: 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 xyz y z z x x y           3 3 3 2 2 2 xyz x y z  vậy 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 xyz y z z x x y          http://kinhhoa.violet.vn 3 Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng: 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d c d a a b d a b c             Ta có (a + b + c + d) 2 = [(a + c)+(b + d)] 2 ≥4(a + c)(b + d) = 4(ab + bc + cd + da) = 4  a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0) 3 12 8 6 12 3 a b c d a a b c d       Tương tự ta có 3 12 8 6 12 3 b a c d b b c d a       3 12 8 6 12 3 c a b d c c a b d       3 12 8 6 12 3 d a b c d d abc       Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có: 3 3 3 3 1 2 1 1 3 3 3 3 3 a b c d a b c d b c d c d a a b d a b c                    vậy 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d c d a a b d a b c             Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng: 2 1 1 1 27 ( ) ( ) ( ) 2( )a a b b b c c a c a b c         (1) Giải: VT(1) ≥ 3 3 3 13 3 ( )( )( ) ( )( )( ) abc a b b c c a abc a b b c c a        http://kinhhoa.violet.vn 4 2 3 27 2( ) 2( ) * 33 a b c a b c abc       Dấu ‘=’ xảy ra  abc a b b c c a           a=b=c Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc a c abc abc          Giải  a, b, c >0 ta luôn có (a - b) 2 (a + b) ≥0  (a - b)(a 2 - b 2 ) ≥0  a 3 +b 3 -a 2 b-ab 2 ≥0  a 3 +b 3 ≥ a 2 b+ab 2  a 3 +b 3 ≥ab(a+b)  33 () abc abc c a b abc ab a b abc a b c        Tương tự ta có 33 () abc abc a b c abc bc b c abc a b c        33 () abc abc b a c abc ac a c abc a b c        Cộng theo vế ta có: 3 3 3 3 3 3 1 abc abc abc a b c a b abc b c abc a c abc a b c               3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc a c abc abc          Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 +z 2 =3. Chứng minh rằng: 3 xy yz zx z x y    (1) http://kinhhoa.violet.vn 5 Giải : Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y y z x y z x y z z x z x y z x z y x y                                   2 2 2 2 x y z    2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x z x y   2 2 2 x y z VT(1) bình phương ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x z x y    2 2 2 + 2 x y z   2 2 2 x y z   2 2 2 + 2 x y z  =   2 2 2 3 x y z =VP(1) bình phương Lấy căn bậc hai hai vế (hai vế đều dương) ta được điều phải chứng minh Bài 8:Cho các số dương x, y, z có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 5 5 5 5 5 5 1 xy yz xz x xy y y y z x xz z          Giải:  x, y, z dương ta luôn có: (x-y) 2 (x+y)(x 2 +xy+y 2 )  0  (x 2 -y 2 )(x 3 -y 3 )  0  x 5 -y 5  x 2 y 2 (x+y) 55 xy x xy y      22 x y x y xy xy  1 1 ( ) z xy x y x y z      Tương tự ta có   22 yy yz x zy z z x y z      ,   22 xz y zx z x z x x y z      cộng theo vế các bất đẳng thức ta có 5 5 5 5 5 5 1 xy yz xz x y z x xy y y y z x xz z x y z              http://kinhhoa.violet.vn 6 Bài 9: Cho các số thực dương x 1 , x 2 , , x n thoả mãn 12 1 1 1 1 1 1 1 n x x x        Chứng minh rằng: x 1 .x 2 x n  (n-1) n Giải:Ta có 1 1 1 1 2 23 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) (1 ) n n n x n x x x x x x x                   2 1 2 2 1 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) (1 ) n n n x n x x x x x x x                   1 11 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 )(1 ) (1 ) n n n n n n x n x x x x x x x                     Nhân hai vế của n bất đẳng thức trên ta có:          12 1 1 12 1 2 3 1 . 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) (1 ) n n n n n n n x x x x x x x x x x             x 1 .x 2 x n  (n-1) n Bài 10: Cho các số dương a, b, c, d thoã mãn điều kiện a+b+c+d=4. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d b c c d d a a b         Giải: Ta có: http://kinhhoa.violet.vn 7 22 22 . . ( ) 1 1 2 2 4 2 a ab c ab c ab c b a a c b a ac a a a a a b c b c bc             2 14 a ba abc a bc    Tương tự ta có: 2 14 b bc bcd b cd    , 2 14 c cd cda c cd    , 2 14 d da dab d da    Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ta có: 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d b c c d d a a b           1 4 a b c d ab bc cd da abc bcd cda dab           Mặt khác ta có: 4 2 = (a+b+c+d) 2  4(a+c)(b+d) = 4(ab+bc+cd+da) hay ab+bc+cd+da  a+b+c+d Tương tự abc+bcd+cda+dab  a+b+c+d vậy 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d b c c d d a a b           1 2 a b c d a b c d       = 11 ( ) .4 2 22 a b c d     (điều phải chứng minh) Bài 11:Cho các số dương a, b, c có tổng bằng 3, chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 a b c a b b c c a       Giải: http://kinhhoa.violet.vn 8     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 abc a b c a b b c c a a b c a b b c c a             Do đó ta chỉ cần chứng minh (a 2 +b 2 +c 2 ) 2  a 3 + b 3 + c 3 +2(a 2 b 2 + c 2 b 2 + a 2 c 2 )  a 4 + b 4 + c 4  a 3 + b 3 + c 3 Thật vậy 3(a 3 + b 3 + c 3 ) = (a 3 + b 3 + c 3 )(a+b+c)  (a 2 +b 2 +c 2 ) 2  (a 2 +b 2 +c 2 )(1+1+1)  (a+b+c) 2 =9 Do đó a 2 +b 2 +c 2  3, suy ra a 3 + b 3 + c 3  a 2 +b 2 +c 2 (a 4 + b 4 + c 4 )( a 2 +b 2 +c 2 )  (a 3 + b 3 + c 3 ) 2  a 4 + b 4 + c 4  a 3 + b 3 + c 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Bài 12: Giả sử x  y  z  0, chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y z z x y      Giải:Từ giả thiết ta có: 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x z y x z y z x y y z x           0 xy yz zx x y y z x z xyz       2 2 2 2 2 2 x y y z z x x z y x z y z x y y z x       2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y y z z x x z y x z y z x y z x y y z x                        Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x z y x z y x y z z x y y z x                 http://kinhhoa.violet.vn 9   2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y z z x y            2 2 2 2 2 2 , , 0 x y y z z x x y z x y z z x y       Bài 13:Giả sử x, y, z  1 và 1 1 1 2 x y z    , chứng minh rằng: 1 1 1x y z x y z        Giải: Ta có: 1 1 1 2 x y z    1 1 1 1 x y z x y z        Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwars ta có: x+y+z=( x+y+z) 1 1 1x y z x y z          2 1 1 1x y z       1 1 1x y z x y z        Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=3/2 Bài 14:Chứng minh rằng nếu a, b, c  1 và abc=1 ta luôn có: 1 1 1 1 2 2 2abc       Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2abc          1 2 2 2 abc abc        Luôn tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho a = x/y, b = y/z, c = z/x. Khi đó bất đẳng thức trên trở thành: http://kinhhoa.violet.vn 10 / / / 1 2 / 2 / 2 / 1 2 2 2 x y y z z x x y y z z x x y z x y y z z x              theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:   2 1 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) x y z x y z x y y z z x x x y y y z z z x              Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1 Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 2 2 2 a b c a b b c c a       Giải:Xét các biểu thức: S= 3 3 3 2 2 2 a b c a b b c c a     2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 1P a a a b b c c c a a b c          Theo bất đẳng thức Holder ta có: S 3 .P  (a +b +c) 4  S 3  (a +b +c) 2 = 1  S  1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3 Bài 16: Cho a 1 , a 2 , , a n dương và có tổng bằng 1, tìm GTNN của biếu thức: 12 12 1 1 1 n n a aa a a a       Giải: http://kinhhoa.violet.vn [...]...  1 Dễ thấy B =1-(a12+ a22+ + an2)≤ 1-  n n do đó A  n 1 1 i  1, n n Đẳng thức xáy ra khi ai = n Bài 17: Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 1 1 1 1 1    2 Chứng minh : x y yz zx 2 Giả sử x = max(x, y, z) và đặt a = y + z > 0 ta có ax = 1 – yz  1  x 1 a Xét hàm số sau f  x  1  x y 1 1   yz zx 1 2x  y  z  2 x2  1  x2  1 yz 1 2 x  a  2 x2  1   . 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có: 3 2 a b c b c c a a b    . z z z x              Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b = c= 1 Bài 15:Cho các số thực không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 2 2 2 a b. c abc       Dấu ‘=’ xảy ra  abc a b b c c a           a=b=c Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc a c abc abc 