Chương TỐI ƯU HÓA RỜI RẠC 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc NỘI DUNG Bài tốn tối ưu hóa rời rạc (tối ưu tổ hợp) Bài tốn ba lơ (bài toán túi) Bài toán Quy hoạch (QH) nguyên tuyến tính Thuật tốn Gomory Phương pháp nhánh cận Land – Doig 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA RỜI RẠC Định nghĩa Bài tốn tối ưu hóa rời rạc xác định tập hữu hạn S, f : S → ℝ * s * ∈ S : f (s ) = min{f (s )} s∈S 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA RỜI RẠC Tối ưu hóa rời rạc dựa vào: • Quy hoạch tuyến tính • Lý thuyết đồ thị • Lý thuyết độ phức tạp tính tốn 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA RỜI RẠC Một số ví dụ tốn tối ưu rời rạc: • Bài tốn tìm đường ngắn • Bài tốn ba lơ • Bài tốn người du lịch 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN BA LƠ(Knapsack problem) Bài tốn: Có tập hợp gồm n loại đồ vật khác có trọng lượng giá trị sử dụng tương ứng aj cj , j = 1,…,n Bài toán đặt cần lựa chọn tập hợp đồ vật vào ba lô cho tổng giá trị sử dụng chúng lớn tổng trọng lượng không vượt tải trọng b cho trước ba lô 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN BA LƠ(Knapsack problem) Xét tốn ba lơ – Một đồ vật j chọn để bỏ vào ba lơ không Gọi x j := đồ vật j chọn, x j := đồ vật j không chọn, 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN BA LƠ(Knapsack problem) Mơ hình tốn ba lơ – : n max f ( x ) = ∑ c j x j j =1 n ∑ a j x j ≤ b  j =1  x ∈ {0,1}, j = 1, , n  j 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TOÁN QH NGUYÊN (Integer Programming – IP ) Là tốn quy hoạch tất phần biến nhận giá trị nguyên + QH nguyên hoàn toàn (Pure Integer Programming) + QH nguyên phận (Mixed Integer Programming) 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN QH NGUN Mơ hình tốn QH ngun tuyến tính f (x) = n ∑c x j =1 (IP ) 10/6/2012 j j →  n  ∑ aij x j = bi , i = 1, m  j =1   x j ≥ 0, j = 1, n   x j nguyê n, j = 1, n   MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 10 THUẬT TOÁN GOMORY Nếu bi ′ , i = 1, m số nguyên xi , i = 1, m nghiệm (IP) Ngược lại, giả sử có bi ′ chưa nguyên Ta xét ptr ràng buộc tương ứng: ′ xi + ai′( m +1) xm +1 + + ain xn = bi′ 10/6/2012 MaMH: C02012 (1) Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 13 THUẬT TOÁN GOMORY ′  ′ Đặt aij = [aij ] + α ij , j = m + 1, , n  bi′ = [bi′] + β i  (α ij ≥ 0, < β i < 1) (1) ⇒ xi + xi − [bi′ ] + 10/6/2012 n ∑ ([a′ ] + α ij j = m +1 n ∑ [a′ ]x j =m+1 ij j )x j = [bi ′ ] + βi , i = m , ij = βi − MaMH: C02012 n ∑ α x ,i = 1,m j =m+1 ij j Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc (2) 14 THUẬT TOÁN GOMORY x * PA cnđ Vế trái (2) số nguyên (IP), vế phải (2) phải số nguyên, tức là: n nguyên (3) β i − ∑ α ij x j j = m +1 Mặt khác nên 10/6/2012 βi −  x j ≥ 0,   ′ ′ α ij = aij − [aij ] ≥ 0, j = m + 1, , n  n ∑α j = m +1 ij x j ≤ βi MaMH: C02012 (3′) Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 15 THUẬT TOÁN GOMORY (3),(3′) ⇒ β i − Hay n − ∑α j = m +1 ij n ∑α j = m +1 − ∑α j = m +1 10/6/2012 ij x j ≤ (0 < β i < 1) x j ≤ −βi Thêm biến bù xn +1 n ij (4) vào (4), x j + x n +1 = − β i MaMH: C02012 (5) Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 16 THUẬT TỐN GOMORY Bổ sung RB (5) vào bảng đơn hình Khi dó, bảng vừa không đảm bảo RB dấu biến, vừa chưa nguyên Tiếp theo, áp dụng thuật toán đơn hình đối ngẫu để nhận PATƯ 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 17 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG Xét toán QH nguyên có dạng f (x) = n ∑c j =1 j x j → m ax  n  ∑ a j x j ≤ b i , i = 1, , m  j =1  ( IP0 )  x j ≥ 0, j = 1, , n   x j nguy ê n , j = 1, , n   với a j , bi , c j số nguyên cho trước i = 1m; j = 1n , , 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 18 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG Đặt n    n D0 := x ∈ ℝ : ∑ aj x j ≤ bi , i = m, x j ≥ 0, nguyên, j = n  , , , j =1    Các bước giải toán Bước 1: giải toán nới lỏng (LP0), với n     nl x ∈ ℝ n : D0 :=  a j x j ≤ bi , i = m, x j ≥ 0, j = n , , ,  ∑   j =1     10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 19 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG 0 Giả sử (LP0) có PATƯ x giá trị tối ưu f (x ) 0 Nếu x ngun dừng lại Lúc đó, x PATƯ (IP0) Ngược lại, chuyển sang Bước 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 20 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG Bước 2: Đặt β(D ):= f (x ) (cận toán (IP ) ) 0 Nếu biết x ∈D f(x) cận tốn Ngược lại, đặt α := −∞ (cận toán (IP ) ) (α giá trị kỷ lục, x đgl kỷ lục (nếu có)) ℘:={D0} danh sách tập D0 cần xem xét 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 21 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG Bước 3: Chọn tập Dk tập có cận β (Dk ) lớn k tập ℘ cần xem xét Gọi x PATƯ toán (LPk ) Dk thành hai tập với biến chia nhánh xk Chia tập j xk thành phần không nguyên xk ) ( j Dk1 := { x ∈ D0 : x j ≤ [ x k ]}, j Dk2 := {x ∈ D0 : x j ≥ [ xk ] + 1}, j [ xk ] phần nguyên xk với j j 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 22 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG Đặt ℘:= (℘ \ {D0 }) ∪ {Dk1 , Dk2 } Giải toán nới lỏng(LP1 ), (LPk2 ) tương k nl nl ứng với tập nới lỏng Dk1 , Dk2 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 23 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG Khi giải toán nới lỏng (LP ), i = xảy ,2 ki trường hợp sau đây: i Bài tốn khơng chấp nhận (Dki =∅ ), ta loại Dki khỏi tập ℘ , tức ℘=℘\ {Dk } : i 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 24 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG ki ii Tìm PATƯ x ngun Khi đó, tính lại giá k trị kỷ lục α = max{α , f ( x i )} (giá trị kỷ lục tại) Gọi x kỷ lục tương ứng với giá trị kỷ lục α =f(x) : Loại Dki khỏi tập ℘ , tức ℘=℘\ {D i } k 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 25 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG ki iii Tìm PATƯ x khơng nguyên ki Đặt β(Dki ):= f (x ) cận toán (IPki ) * Loại bỏ tập có cận nhỏ giá trị kỷ lục (nếu có) 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 26 PP NHÁNH CẬN LAND – DOIG Bước 4: Kiểm tra điều kiện dừng Nếu ℘=∅ dừng thuật tốn Kết luận PATƯ x , Giá trị tối ưu α =f(x) Ngược lại, trở Bước 10/6/2012 MaMH: C02012 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc 27 ... hóa rời rạc BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA RỜI RẠC Một số ví dụ tốn tối ưu rời rạc: • Bài tốn tìm đường ngắn • Bài tốn ba lơ • Bài tốn người du lịch 10/6 /20 12 MaMH: C 020 12 Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI... 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA RỜI RẠC Tối ưu hóa rời rạc dựa vào: • Quy hoạch tuyến tính • Lý thuyết đồ thị • Lý thuyết độ phức tạp tính tốn 10/6 /20 12 MaMH: C 020 12 Chương 2: Tối ưu hóa. .. Chương 2: Tối ưu hóa rời rạc BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA RỜI RẠC Định nghĩa Bài tốn tối ưu hóa rời rạc xác định tập hữu hạn S, f : S → ℝ * s * ∈ S : f (s ) = min{f (s )} s∈S 10/6 /20 12 MaMH: C 020 12 Chương 2: