PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGA TRUNG NĂM HỌC : 2011-2012 MÔN : TOÁN (Bài thi Thực hành năng lực giáo dục và nghiệp vụ sư ph ạm) Thời gian làm bài :150 Phút Ngày thi: Ngày tháng 11 năm 2011 (Thí sinh không phải chép ñề vào tờ giấy thi) SỐ BÁO DANH (Đề thi này gồm có 01 trang) Yêu cầu: Đồng chí hãy trình bày lời giải (Hoặc bài làm) và xây dựng hướng dẫn chấm chi tiết một ñề thi môn Toán sau với thang ñiểm 20, ñiểm thành phần cho tới 0, 25 ñiểm? Đề bài: Bài 1:(4 ñiểm) Cho biểu thức: A = ( ) 1 122 1 2 − − + + − ++ − a a a aa aa aa a) Tìm ñiều kiện xác ñịnh. b) Rút gọn A. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. d) Tìm a ∈ Z ñể 2 2 5 Q a a A − + = ∈ Z. Bài 2:(4 ñiểm) Cho phương trình: x 2 - 7x + m = 0 (1) (m là tham số) a) Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm. b) Giải phương trình (1) khi m = 6. c) Với m = 3; x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình (1). Tính 1221 22 xxxxA −+−= d) Với m = 3; x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình (1). Hãy lập phương trình bậc 2 có hai nghiệm là 21 2 xx − và 12 2 xx − . Bài 3:(4 ñiểm) Giải phương trình: ( ) 01 1 3 1 2 3 3 3 =− − + − + x x x x x Bài 4:(4 ñiểm) Cho ñường tròn (O;R) và ñường thẳng d cố ñịnh cắt (O) tại C và D. Điểm M di ñộng trên d sao cho D nằm giữa M và C. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A và B là các tiếp ñiểm). Gọi H là trung ñiểm của CD và ñường thẳng AB cắt OM, OH lần lượt tại E và F. a) Chứng minh ñường tròn ngoại tiếp ∆ MAB luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh. b) Chứng minh OE.OM = R 2 . c) Chứng minh bốn ñiểm M, E, H, F cùng thuộc một ñường tròn. d) Chứng minh ñươờngthẳng AB luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh. Bài 5:(2 ñiểm) Cho ∆ ABC vuông tại A, biết ñường cao AH = 12cm và 16 9 HC BH = . Tính các cạnh của ∆ ABC. Bài 6:(2 ñiểm) Cho các số tự nhiên x, y thoả mãn x + y = 2011. Hãy tìm giá trị lớn nhất của tích xy. Hết Đ Ề CHÍNH THỨC 1 PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIỎI GVG CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGA TRUNG NĂM HỌC : 2011-2012 MÔN : NGỮ VĂN (Bài thi Thực hành năng lực giáo dục và nghiệp vụ sư phạm) Bài Giải tóm tắt Điểm Bài 1 4 ñiểm Bài 1: A = ( ) 1 122 1 2 − − + + − ++ − a a a aa aa aa a) Điều kiện xác ñịnh a ≥ 0 và a ≠ 1. b) Rút gọn ta có: A= ( ) 1 122 1 2 − − + + − ++ − a a a aa aa aa A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11212 1 11 − +− + + − ++ ++− = a aa a aa aa aaaa A 2212 ++−−−= aaaa A = a- a + 1 c) Ta có: A = a- a + 1 = a- a + 4 3 4 1 + = 4 3 2 1 2 +       −a Luôn có: 0 2 1 2 ≥       −a với mọi a ⇒ A ≥ 4 3 . Dấu “=” xảy ra khi a = 4 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4 3 khi a = 4 1 d) Ta có: ( ) 2 1 2 2 5 2 2 5 3 3 Q 2 1 1 1 1 a a a a a a A a a a a a a a a − + − + − + = = = + = + − + − + − + − + Để Q ∈ Z thì 1 +− aa là ước của 3. + Nếu 1 +− aa = 1 ⇔ ( ) 0 1 0a a a a  − = ⇔ − = ⇔   a = 0(lo¹i) a = 1(lo¹i) + Nếu 1 +− aa = -1 ⇔ 02 =+− aa (vô nghiệm) + Nếu 1 +− aa = -3 ⇔ 4 0 a a − + = (vô nghiệm) + Nếu 1 +− aa = 3 ⇔ ( ) ( ) 2 0 1 2 0 a a a a − − = ⇔ + − =  ⇔    a = -1(lo¹i) a = 2 4 a ⇔ = (thoả mãn) Vậy a = 4 thì Q ∈ Z . 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Bài 2 4 ñiểm Bài 2: x 2 - 7x + m = 0 (1) a) Ta có: ∆ = (-7) 2 - 4m = 49- 4m Để phương trình (1) có nghiệm thì ∆ ≥ 0 ⇔ 49- 4m ≥ 0 ⇔ m 4 49 ≤ 0,5 2 Vậy m 4 49 ≤ thì phương trình (1) có nghiệm b) Với m = 6 ta có x 2 - 7x + 6 = 0 Ta có: a + b + c = 1- 7 + 6 = 0 Vậy phương trình có nghiệm x 1 = 1; x 2 = 6 c) Với m = 3 ta có x 2 - 7x + 3 = 0 Ta có: ∆ = (-7) 2 - 4.3 = 49- 12 = 37 ⇒ 37=∆ phương trình có nghiệm x 1 = 2 377 + ; x 2 = 2 377 − ⇒ y 1 = 2 3737 2 377 2 37214 2 21 + = − − + =− xx ⇒ y 2 = 2 1 14 2 37 7 37 3 37 7 2 2 2 2 x x − + − − = − = ⇒ A = y 1 + y 2 = 3 37 Vậy A = 3 37 d) Theo câu c ta có: y 1 = 1 2 7 3 37 2 2 x x + − = ; y 2 = 2 1 3 37 7 2 2 x x − − = y 1 + y 2 = 3 37 y 1 . y 2 = 7 3 37 2 + . 3 37 7 2 − = 71 Theo vi-et ñảo y 1 , y 2 là nghiệm của phương trình: y 2 - 3 37 y + 71 = 0 Vậy phương trình cần tìm là: y 2 - 3 37 y + 71 = 0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 4 ñiểm Bài 3: ( ) 01 1 3 1 2 3 3 3 =− − + − + x x x x x Điều kiện: x ≠ 1 Ta có a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = 0 ⇔ (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab- ac- bc) = 0 0 a b c a b c + + =  ⇔  = =  Áp dụng với a = x; b = 1 x x − ; c = -1 ta có: ( ) 3 2 3 3 3 1 0 1 1 x x x x x + + − = − − ( ) 2 2 2 2 1 1 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x     ⇔ + − + + − + + =     − − −   −     1 0 (1) 1 1 (2) 1 x x x x x x  + − =  − ⇔   = = −  −  0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 Giải (1) ta có: 1 0 1 x x x + − = ⇔ − x 2 - x + x- x + 1 = 0 ⇔ x 2 - x + 1 = 0 (vô nghiệm) Giải (2) ta có: 1 1 x x x = = − − (vô lý). Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm 0,5 0,5 Bài 4 4 ñiểm Bài 4: a) Ta có: OA ⊥ MA(t/c tiếp tuyến) OB ⊥ MB(t/c tiếp tuyến) OH ⊥ CD (HC = HD) ⇒ 5 ñiểm M, A, O, H, B cùng thuộc một ñường tròn. Vậy ñường tròn ngoại tiếp ∆ MAB luôn ñi qua hai ñiểm O, H cố ñịnh b) Áp dụng hệ thức b 2 = a.b ’ vào ∆ OAM có: ∠ OAM = 90 0 ; AE ⊥ OM ⇒ OA 2 = OM.OE hay OE.OM = R 2 . c) Ta có: ∠ MEF = 90 0 (OM là trung trực của AB) ∠ MHF = 90 0 (C/M trên) ⇒ E, H cùng nhìn MF dưới một góc 90 0 ⇒ 4 ñiểm M, E, H, F cùng thuộc một ñường tròn d) Xét ∆ HMO và ∆ EFO có: ∠ MOF chung ∠ MHO = ∠ FEO = 90 0 ⇒ ∆ HMO ñồng dạng ∆ EFO (g.g) OM OH = OF OE ⇒ ⇒ OE. OM = OF. OH = R 2 (không ñổi) Mà O, H cố ñịnh ⇒ F cố ñịnh Vậy AB luôn ñi qua F cố ñịnh 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 5 2 ñiểm Bài 5: Áp dụng h 2 = b ’ .c ’ ta có: AH2 = BH. CH (1) Mà BH 9 = CH 16 (gt) ⇒ BH = 9 16 CH (2) Từ (1) và (2) ⇒ 12 2 = 9 16 CH 2 ⇒ CH 2 = 2 12 .16 9 =16 2 ⇒ CH = 16 (cm) Tương tự BH = 12 (cm) ⇒ BC = 28 (cm) Áp dụng hệ thức b 2 = a.b ’ ⇒ AB 2 = 28.12 ⇒ AB = 4 21 (cm) AC 2 = 28.16 ⇒ AC = 2 112 (cm) 0,5 0,5 0,5 0,5 C A B H O B H C d M D E A F 4 Bài 6 2 ñiểm Bài 6: Áp dụng BĐT côsi ta có: x.y 2 2 x y +   ≤     (x, y > 0) Ta có: x.y 2 2011 2   ≤     = (1005,5) 2 = 1011030,25 Dấu “=” xảy ra khi x, y ∈ N và x + y = 2011 nghĩa là 1011030 2011 xy x y =   + =  Giải hệ ta ñược 1005 1006 x y =   =  hoặc 1006 1005 x y =   =  Vậy giá trị lớn nhất của tích x.y bằng 1011030 khi 1005 1006 x y =   =  hoặc 1006 1005 x y =   =  0,5 0,5 0,5 0,5 . ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGA TRUNG NĂM HỌC : 2011-2012 MÔN : TOÁN (Bài thi Thực hành năng lực giáo dục và nghiệp vụ sư ph ạm) Thời gian làm bài :150 Phút Ngày thi: . chép ñề vào tờ giấy thi) SỐ BÁO DANH (Đề thi này gồm có 01 trang) Yêu cầu: Đồng chí hãy trình bày lời giải (Hoặc bài làm) và xây dựng hướng dẫn chấm chi tiết một ñề thi môn Toán sau với. THỨC 1 PHÒNG GD&ĐT NGA SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIỎI GVG CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS NGA TRUNG NĂM HỌC : 2011-2012 MÔN : NGỮ VĂN (Bài thi Thực hành năng lực giáo dục và nghiệp vụ sư phạm)