TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 14, 2002 SỬ DỤNG NHỮNG HỆ THỐNG ĐẠI SỐ MÁY TÍNH TRONG VIỆC DẠY VÀ HỌC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ở ĐẠI HỌC Trần Vui Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Nhiều nhà giáo dục toán học thừa nhận đại số tuyến tính mơn học khó nhận thức lẫn khái niệm ([4] Jean-Luc Dorier, 2001) Có nhiều quan điểm tiếp cận đổi cách dạy học môn tùy thuộc vào kinh nghiệm, kiến thức công cụ làm việc riêng giảng viên Bài báo đề cập đến quan điểm sử dụng hệ thống đại số máy tính (HTĐSMT: Computer Algebra System) việc dạy học đại số tuyến tính sở Hai ví dụ dạng hoạt động toán học đưa minh họa với mục đích sư phạm khác Những ví dụ mơ tả theo quan sát sinh viên q trình làm việc mơi trường HTĐSMT Việc đánh giá HTĐSMT ([3] Hillel J., 2001) công cụ dạy học hiệu môn nêu vấn đề cần nghiên cứu đối tượng sinh viên hoàn cảnh cụ thể để có câu trả lời xác đáng Mối quan hệ HTĐSMT với Đại số tuyến tính: Cách năm mươi năm HTĐSMT sử dụng việc tính tốn biểu thức chữ đơn giản, chẳng hạn tính tốn vài đạo hàm ([2] Hillel J., 2000) Nhưng đến năm cuối thập niên 70, HTĐSMT sử dụng cho máy tính cá nhân u cầu việc sử dụng HTĐSMT công cụ để dạy học đặt Ngày nay, số loại máy tính bỏ túi có chức HTĐSMT Những phần mềm tốn học đại Mathematica, Maple lập trình với tính HTĐSMT phong phú Càng ngày người ta chấp nhận HTĐSMT dùng dạy học nhằm mục đích khác nhau, cách khác tùy thuộc vào phong cách giảng dạy giảng viên Cơng mà nói, dạy học tốn nhiều nước HTĐSMT xem 13 phần “hệ thống công cụ” bao gồm giảng, sách giáo khoa, tốn giấy-bút truyền thống Khơng có ngạc nhiên phần lớn ví dụ minh hoạ ứng dụng sư phạm với hỗ trợ HTĐSMT khai thác việc dạy khái niệm phép tính vi tích phân phương trình vi phân Vì ví dụ tính đồ thị, tính tốn chữ, ký hiệu, tính tốn số HTĐSMT tận dụng triệt để cách dễ dàng Nhưng đại số tuyến tính, việc ứng dụng HTĐSMT khác nhiều Sinh viên thường gặp khó khăn cách tiếp cận có tính cấu trúc mơn, với đa số sinh viên mơn học đối tượng toán học xây dựng theo định nghĩa cách hệ thống Sinh viên thường bị nhầm lẫn hợp ba loại ngôn ngữ dùng để mơ tả mơn (trừu tượng, hình học đại số) Để hiểu ngôn ngữ liên quan với tình cụ thể cho thường làm cho sinh viên lúng túng ([4] Jean-Luc Dorier, 2001) Trong HTĐSMT hỗ trợ cơng cụ tốt để tính tốn ma trận giải hệ phương trình, lại khơng đưa phương tiện rõ ràng để giúp sinh viên hiểu cấu trúc trừu tượng lý thuyết tổng quát không gian vector Nhưng dùng cho trường hợp cụ thể không gian R n hoạt động HTĐSMT sử dụng theo nhiều cách khác để giúp sinh viên hiểu đánh giá cao tầm quan trọng môn học Việc sử dụng phương tiện công nghệ thơng tin có chức HTĐSMT giúp sinh viên quan sát tượng tốn học từ dự đoán giả thuyết phù hợp cho toán tìm cách chứng minh Mơ hình sau minh hoạ vai trị HTĐSMT dạy học tốn ([5] Tran Vui, 2001) Công Nghệ Thông Tin HTĐSMT Quan Sát (Trực quan) Giả Thuyết (Dự đoán) Tư Qui nạp 14 Định Lý (Chứng minh) Tư Suy diễn Những hoạt động minh họa sư phạm: M Artigue ([1], 1999) cách tiếp cận có tính kiến tạo dạy học tốn cho phép sinh viên có cách nhìn việc học, khơng phải việc truyền thụ đơn kiến thức toán học Những điều mà sinh viên học thường bị hạn chế nặng nề khái niệm có ban đầu, tình đặt cho sinh viên công cụ mà sinh viên sử dụng tình Hai hoạt động mẫu sau minh họa tình sư phạm sinh viên học tốn mơi trường HTĐSMT Hoạt động 1: Đem lại ngạc nhiên Cho ma trận A tuỳ ý, khảo sát ảnh hưởng việc tính toán liên tiếp lũy thừa A Khi hỏi sinh viên năm thứ bắt đầu học giáo trình đại số tuyến tính ma trận thoả A2 = 0, câu trả lời sinh viên thường A = ([3] Hillel J., 2001) Dĩ nhiên điều khơng có đáng phải ngạc nhiên sinh viên giữ hiểu biết quen thuộc học tính chất phép nhân số thực Tuy nhiên học xong giáo trình nhập mơn đại số tuyến tính, hy vọng sinh viên hiểu sâu sắc khái niệm nhận cịn có ma trận khác khơng thỏa mãn phương trình Nhưng hiểu biết ma trận sinh viên phần thiếu xác khơng đầy đủ Hầu hết sinh viên thường tin tưởng ma trận phải 0  hiếm, ma trận có dạng   xem ma trận tiêu 0  biểu để minh họa Hoạt động ví dụ việc sử dụng khoa học cơng nghệ trước hết nhằm mục đích tạo ngạc nhiên Trong trường hợp cụ thể này, yêu cầu sinh viên dùng phần mềm Mathematica Maple để tính liên tiếp lũy thừa ma trận “lớn” A, chọn cách thận trọng sau: 13 -17 -24  12   -44 -12 32 36     A := -20 -22 26 50 -12    46 -26 -10 44      60 40 -13 -7 -16   Việc khám phá A = đầu làm cho sinh viên hồi nghi Đơi khi, sinh viên rà sốt lại tính tốn lần để bảo đảm sinh viên khơng phạm sai 15 lầm tính tốn Nhiều ví dụ khác dạng nhanh chóng thuyết phục sinh viên tượng tốn học có lơgic Trên nhiều toán liên quan đến việc lấy lũy thừa liên tiếp ma trận đặc biệt chọn trước Mục tiêu hoạt động rõ ràng khơng phải để tính tốn mà quan trọng để quan sát thấy ma trận trơng phức tạp có tính chất thú vị Những tính chất đặt tên sau (như lũy linh, giải ) Nếu giới thiệu sớm lớp mở đầu đại số tuyến tính, hoạt động cung cấp cho học sinh nhìn khác tính chất phong phú ma trận Đương nhiên sinh viên thấy việc giáo viên chọn trước ma trận A thiếu tự nhiên Sinh viên tự đặt nhiều câu hỏi, chẳng hạn xây dựng ma trận lũy linh cấp 4× với hệ số khác khơng Khi hoạt động ban đầu liên hệ với hướng quan trọng lý thuyết, ví dụ tính đồng dạng tính chất ma trận mà bất biến qua đồng dạng Theo kinh nghiệm, sinh viên thường có suy nghĩ biến đổi ma trận theo hướng xi, biến đổi ma trận phức tạp ma trận có dạng đơn giản cách dùng phép đồng dạng tương đương hàng Nhưng người ta làm “phức tạp” ma trận đơn giản cách thực biến đổi mà cịn giữ tính chất yếu ma trận, chẳng hạn tính lũy linh Đó kỹ thuật mà giảng viên thường dùng để tạo ví dụ ma trận khơng tầm thường với tính chất đặc biệt cách tính toán ngược lại từ kết Hoạt động 2: Những khảo sát thăm dò Cho ma trận A vector v, khảo sát ảnh hưởng việc lập lại tác động A lên v Trong giáo trình đại số tuyến tính nâng cao, trình bày dạng tắc Jordan, sinh viên phải làm việc với không gian vector riêng tổng quát, tức vector bị quy vector không lũy thừa phép biến đổi dạng ma trận (A-λI) Khái niệm vector riêng tổng quát ý tưởng tác động lập lại ma trận lên vector Một lần nữa, sinh viên thường có kinh nghiệm việc thao tác tác động lập lại Vì sinh viên khó nhận rằng, có số vector có tính chất “đặc quyền” ma trận (chẳng hạn Akv = v Akv = 0, với k ≥ đó) Sinh viên có khả nhận nắm bắt kiến thức thông qua khảo sát toán học Để chuẩn bị cho hoạt động 2, trước hết cho phép sinh viên sử dụng Mathematica Maple để khảo sát vài khái niệm chưa trình bày lớp 16 Tuổi thọ v tác động A Bắt đầu với ma trận A, vector khác khơng v khơng “sống sót” tác động A theo nghĩa Av = Nó sống sót tác động A, lại khơng sống sót tác động thứ hai, tức Av ≠ 0, A2v = 0, tiếp tục Đặt vk = Ak v, v0 = v Nếu v0 ≠ 0, v1 = ta nói v có tuổi thọ A Nếu v1 ≠ 0, v2 = v có tuổi thọ A, tiếp tục Vector zero xem có tuổi thọ A Ta nói v có tuổi thọ hữu hạn A tồn k cho vk = Trong trường hợp khác ta nói v có tuổi thọ vơ hạn Để tiến hành hoạt động 2, giảng viên cố gắng đưa nhiều ma trận vector khác yêu cầu sinh viên kiểm tra tuổi thọ Ví dụ xét ma trận:  −  N =   − −  −5 −3 − 2 −5 −3 −2  3 −6 − 4  − − − − − 6 − − − − 11 −   Tìm tuổi thọ N vector cột [1, 2, 1, 2, -1, 1], [-3, 0, -3, 2, -1, 1] [1, 1, 1, 1, 1, 1] Yêu cầu sinh viên tự chọn vector riêng tìm tuổi thọ chúng Hoạt động có khả đưa đến nhiều câu hỏi có tính lý thuyết sinh viên cố gắng tìm mối liên hệ khái niệm với khái niệm học, ví dụ vector riêng, không gian không (nullspace) ma trận lũy linh Nó dẫn đến việc nghiên cứu khái niệm đa thức tối tiểu vector v ma trận A ([3] Hillel J., 2001) Đánh giá HTĐSMT công cụ giáo dục: Người ta thường thách thức giảng viên sử dụng HTĐSMT công cụ giáo dục phải đưa chứng cụ thể để thuyết phục họ thực cải thiện chất lượng dạy học hay không Nhưng người ta lại thường khơng xét đến hồn cảnh cụ thể nào, chẳng hạn dùng cho ai, với mục đích gì, cách đánh giá hiệu việc sử dụng lại không hoàn toàn rõ ràng Ngay giảng viên có sẵn đầu mục đích giáo dục rõ ràng định, việc thành cơng hay thất bại khơng thể phụ thuộc hồn tồn vào việc sử dụng HTĐSMT dạy học Sự thành công hay thất bại việc dùng HTĐSMT tùy thuộc vào nhiều yếu tố thực tế Khi kết học tập sinh viên cải thiện theo chiều hướng tốt qua 17 việc sử dụng HTĐSMT, nên xem xét yếu tố quan trọng khác tác động đến thành cơng Cịn gặp thất bại, nên xét xem liệu dùng HTĐSMT với tình cụ thể chưa Chúng ta nên thừa nhận là, thực tế lý hạn chế thời gian lên lớp, trang thiết bị cần thiết chưa đủ, có người sử dụng HTĐSMT phải chịu “lãng phí” thời gian để làm việc khơng có ý nghĩa khảo sát tốn học Khi đánh giá tính hiệu HTĐSMT dạy học, cần lưu ý đến hai yếu tố quan trọng sau đây: mơ tả tình dạy học cụ thể lựa chọn sư phạm kèm với hoạt động HTĐSMT Kết luận: Chắc chắn bắt đầu làm quen với HTĐSMT, người sử dụng gặp nhiều lỗi cú pháp máy tính khó khăn kỹ thuật khác Nhưng với suy nghĩ thận trọng, kinh nghiệm giảng dạy, tìm nhiều hoạt động có khả thu hút hầu hết sinh viên theo đuổi tìm tịi ý tưởng tốn học Trong q trình tìm tịi, sinh viên trở nên tị mị cách tốn học để tổng qt hóa ý tưởng tốn học điều khẳng định vai trị HTĐSMT dạy học đại số tuyến tính Cịn việc đánh giá tính hiệu việc sử dụng HTĐSMT tình giáo dục cụ thể cần phải nghiên cứu để có kết luận thỏa đáng TÀI LIỆU THAM KHẢO Artigue M The Teaching and Learning of Mathematics at the University Level Notices of the AMS, 1377-1385 (1999) Hillel J Computer Algebra Systems in the Learning and Teaching of Linear Algebra: Some Examples In Derek Holton (Ed.), The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers, 371-380 (2001) Hillel J Modes of Description and the Problem of Representation in Linear Algebra In J-L Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra,Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 191-207 (2000) Jean-Luc Dorier and Anna Sierpinski Research into The Teaching and Learning of Linear Algebra In Derek Holton (Ed.), The Teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study, Kluwer Academic Publishers, 255-273 (2001) Tran Vui Investigating Geometry with the Geometer’s Sketchpad – A Conjecturing Approach SEAMEO RECSAM, Penang, Malaysia (2001) 18 USING COMPUTER ALGEBRA SYSTEMS IN TEACHING AND LEARNING OF LINEAR ALGEBRA AT UNIVERSITY LEVEL Tran Vui College of Pedagogy, Hue University SUMMARY At the university level the introduction of technologies were seen as a means to renew pedagogical practices This article discusses one point of view of the use of Computer Algebra Systems (CAS) in the teaching and learning of linear algebra Two activities are given, each with a different pedagogical purpose With thought, care, and experience, there are activities that can engage most students in a mathematical idea or confront them with unexpected results 19 ... tính đồ thị, tính tốn chữ, ký hiệu, tính tốn số HTĐSMT tận dụng triệt để cách dễ dàng Nhưng đại số tuyến tính, việc ứng dụng HTĐSMT khác nhiều Sinh viên thường gặp khó khăn cách tiếp cận có tính. .. học để tổng qt hóa ý tưởng tốn học điều khẳng định vai trị HTĐSMT dạy học đại số tuyến tính Cịn việc đánh giá tính hiệu việc sử dụng HTĐSMT tình giáo dục cụ thể cần phải nghiên cứu để có kết luận... với tính chất đặc biệt cách tính tốn ngược lại từ kết Hoạt động 2: Những khảo sát thăm dò Cho ma trận A vector v, khảo sát ảnh hưởng việc lập lại tác động A lên v Trong giáo trình đại số tuyến tính