BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1. Bài 1: Cho hàm   1 1 , n ii i x y x y     với     1 2 1 2 , , , ; , , , n nn x x x x y y y y R   CMR a/. 1  là một khoảng cách trên n R b/. Tồn tại các hằng số dương ,AB sao cho       1 , , , , n A x y x y B x y x y R        trong đó   ,xy  là một khoảng cách Euclid trên n R c/.     1 lim , 0 lim , 0 kk kk x x x x       Giải: +/.   2 22 ii i i i i i i x y x y n               Tức là     11 ,,x y B x y B n     +/ 12 , , , n     có 1 2 1 2 nn              (1) Từ 2 (1) i i i i x y x y     Tức     1 , , 1A x y x y A     2. Bài 2: Tìm các giới hạn a/. 0 0 0 0 lim limlim 1 1 1 1 x x y y xy xy xy xy          b/. 0 0 0 0 sin sin lim limlim x x y y xy xy yy      3. Bài 3: Xét tính liên tục tại   0,0 của các hàm số sau: a/.       22 22 22 22 11 0 , 00 xy xy xy f x y xy             b/.         22 22 22 22 1 0 , 00 cos x y xy xy f x y xy             Giải: a/.       0 0 0, 1 lim 0, 1 0,0 0 y x f y f y f y               Hàm   ,f x y không liên tục tại   0,0 b/. Ta có     22 2 22 2 2 2 2 2sin 1 2 , xy cos x y f x y x y x y     Nên       2 22 22 2 22 2 22 0 0 0 0 22 0 0 0 0 sin 2 1 2 lim , 2lim lim lim 0 0,0 2 2 x x x x y y y y xy xy f x y x y f xy xy                        Vậy:   ,f x y liên tục tại   0,0 4. Bài 4: CMR hàm số   , xy f x y xy    không có giới hạn tại   0,0 - Chọn   1 lim , 0 1 n nn n n x n f x y y n            - Chọn   ' '' ' 2 lim , 3 1 n nn n n x n f x y y n            Vậy: Hàm số   , xy f x y xy    không có giới hạn tại   0,0 5. Bài 5: CMR các hàm số sau không có giới hạn tại   0,0 a/.   2 2 , 2 yx f x y yx    b/.   1 , sinf x y xy  Giải: a/. - Chọn     1 , 0 lim , 0 1 n n n n n n n x n n f x y n f x y y n                 (1) - Chọn     ' ' ' ' ' ' 0 , 1 lim , 1 1 n n n n n n n x n f x y n f x y y n               (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. b/. ( Phương pháp làm giống như ý a/. ) - Chọn         1 1,2, , 0,0 lim , 0 1 n n n n n n n n x n n x y f x y y n                  (1) - Chọn     ' ' ' ' ' ' 1 2 2 , 1, 1,2, lim , 1 1 2 2 n n n n n n n x n f x y n f x y y n                         (2) Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 6. Bài 6: Xét sự tồn tại giới hạn lặp của các hàm số sau: a/.   , xy f x y xy    tại   0,0 b/.     1 , 1 cosxy f x y xy    tại   0,1 Giải: a/.     00 lim , lim , 1 xy f x y f x y   Do đó 0 0 0 0 limlim 1 limlim y x x y x y x y x y x y        b/.         ' ' 0 0 0 0 cos 1 cos 1 sin 1:lim , lim lim lim 0 11 1 x x x x x x xy xy y xy y f x y x y y xy                 Vậy:   10 limlim , 0 yx f x y   Mỗi 0x  có:     1 1 1 cos 1 sin lim , lim lim sin 1 y y y xy x xy f x y x x y x            0 1 0 limlim , limsin 0 x y x f x y x        Vậy:   01 limlim , 0 xy f x y   7. Bài 7: a/. Cho   32 ,2f x y x xy y   Ta có:     22 , 3 2 1,0 3 ff x y x y xx           , 4 1 1,0 1 ff x y xy yx        b/.   ,f x y x Ta có   0, 0fy nên   0,0 0 f y    và   ,0f x x Hàm một biến này không có đạo hàm tại 0x  nên không tồn tại   0,0 f x   c/.       00 , 10 xy f x y xy         Hàm gián đoạn tại   0,0 vì   11 , 0,0 nn     nhưng 11 ,1f nn     không dần đến   0,0 0f  khi n Tuy nhiên hàm có các đạo hàm riêng tại   0,0 , thật vậy       00 0 ,0 0,0 00 0,0 lim lim 0 xx f x f f x x x               và   0,0 0 f y    8. Bài 8: Dùng định nghĩa, tính a/.   1,1 f x   với     2 , ln 1f x y x y   b/.     0,0 ; 0,0 ff xy   với       22 22 22 1 sin 0 , 00 xy x y xy f x y xy          Giải: a/.         1 1 1 2 ln ,1 1,1 ln 2 ln3 3 1,1 lim lim lim 1 1 1 x x x x f x f x f x x x x                 1 1 ln 1 11 3 lim 1 33 3 x x x         b/.       00 ,0 0,0 0 0,0 lim lim 0 0 xx f x f f x x x        9. Bài 9: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: a/.   , ln 2 y f x y x x     b/.   , x f x y arctg y  c/.   22 , xy f x y x y e Giải: a/. 22 21 ln ; ln 2 2 2 2 y x y y xx x x x y y x x y                        b/.   ' 2 2 2 22 2 1 , 1 x x y f x y x x y arctg xy x x y x y x y y                   ' 2 2 2 22 2 , 1 y x x y f x x y x y arctg xy y y y x y x y y                   c/.   22 2 2 2 2 2 2 2 2 xy xy xy xy x y x y fx x y e e x y ye e xx x y x y                 22 22 , xy y x x y f x y e y xy        10. Bài 10: Cho hàm số         2 2 2 2 22 22 0 , 00 xy x y x y xy f x y xy            CMR:     22 0,0 0,0 ff x y y x       Giải Tại các điểm     , 0,0xy  , dùng các quy tắc quen thuộc, ta có: và     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 4 , f x y x y x y x y xy y y x x y x y xy                      Nói riêng     0, 0 f y y y x      ;     ,0 0 f x x x x    Các đạo hàm riêng tại   0,0 được tính bằng định nghĩa:       0 ,0 0,0 0,0 lim 0 0 x f x f f xx      ;       0 0, 0,0 0,0 lim 0 0 y f y f f yy      Theo định nghĩa của đạo hàm riêng cấp hai thì:       2 00 ,0 0,0 0,0 lim lim 0 0 xx ff x fx yy x y x x                  2 00 0, 0,0 0,0 lim lim 1 0 yx ff y fy xx y x y y             Vậy     22 0,0 0,0 ff x y y x       . BÀI TẬP PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1. Bài 1: Cho hàm   1 1 , n ii i x y x y     với     1 2 1 2 , , ,. 0 f y    và   ,0f x x Hàm một biến này không có đạo hàm tại 0x  nên không tồn tại   0,0 f x   c/.       00 , 10 xy f x y xy         Hàm gián đoạn tại   0,0 vì.       00 ,0 0,0 0 0,0 lim lim 0 0 xx f x f f x x x        9. Bài 9: Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau: a/.   , ln 2 y f x y x x     b/.   , x f x y arctg y 