www.vnmath.com 1 PT-BPT MŨ LÔGARIT TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002-2011 *** 1. ĐH-D-2011 Giải phương trình     2 21 2 log 8 log 1 1 2 0( ) x xx xR   2. ĐH-B-2010. Giải hệ phương trình  2 2 log (3 1) , 423 xx yx x yR y         3. ĐH-D-2010 Giải phương trình   33 22 2 44 4242 xx x xx x x x R       4. ĐH-D-2010 Giải hệ phương trình 2 2 2 420 (, ) 2log ( 2) log 0 xxy x yR xy          5. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 22 22 22 log ( ) 1 log ( ) 381 xyxy x yxy        6. *CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT: 22 ln ln ln lnabba a b 7. ĐH-A-2008. Giải phương trình: 22 21 1 log (2 1) log (2 1) 4 xx xx x      8. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình: 2 0,7 6 log log 0 4 xx x       9. ĐH-B-08 Giải bất phương trình: 2 1 2 32 0 xx x   log 10. ĐH-A-07 Giải bất phương trình: 31 3 2log (4 3) log (2 3) 2xx   11. *ĐH-B-07 Giải phương trình:    21 21 22 0 xx   12. *ĐH-D-07 Giải phương trình: 22 1 log (4 15.2 27) log 0 4.2 3 xx x     13. *Tham khảo 2007. Giải BPT:  2 42 log 8 log log 2 0 x xx   14. *Tham khảo 2007. Giải PT: 42 21 11 log ( 1) log 2 log 4 2 x xx   . 15. Tham khảo 2007. Giải PT: 2 3 3 log ( 1) log (2 1) 2xx   16. *Tham khảo 2007. Giải PT: 39 3 4 (2 log )log 3 1 1log x x x   17. Tham khảo 2007. Giải BPT:  2 1 1log 2 1 132log 2 2 2 2 1  xxx 18. Tham khảo 2007. Giải BPT: 3x 1 2x x 2 7.2 7.2 2 0    19. *ĐH-A-2006 Giải phương trình3.8 4.12 18 2.27 0 xxxx    20. Tham khảo 2006 Giải PT 2 2 log 2 2log 4 log 8 xx x  21. ĐH-B-2006 Giải BPT    xx2 555 log 4 144 4log 2 1 log 2 1     22. Tham khảo 2006 3 18 2 2 log 1 log (3 ) log ( 1) 0xxx     23. *Tham khảo 2006 12 22 9 10.3 1 0 xx xx   www.vnmath.com 2 24. ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất ln(1 ) ln(1 ) xy ee x y yxa       25. ĐH-D-2006 Giải PT 22 2 24.2240 xx xx x  26. Tham khảo 2006 Giải PT    xx1 33 log 3 1 log 3 3 6    27. ***Tham khảo 2006 Giải HPT 22 ln(1 ) ln(1 ) 12 20 0. x yxy xxyy        28. Tham khảo 2006 Giải  242 1 2 log x 1 log x log 0 4  29. *ĐH-B-2005 Giải hệ xy log ( x ) log y . 23 93 12 1 39 3           30. ***ĐH-D-2005 CMR 12 15 20 345 543 xx x x xx      31. Tham khảo-2005 Giải xx xx       2 2 2 2 1 92 3 3 32. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR: xyz .24 24 24 33 33. ĐH-A-2004 Giải HPT: log (y x) log y xy 14 4 22 1 1 25         34. Tham khảo-2004 Giải BPT   log log x x x . 2 2 4 20 π      35. Tham khảo-2004 Giải BPT: 22 13 log log 22 2. 2 x x x  36. ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất  1 1( 0) x x xx x    37. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: ln x y x      2 3 x 1;e 38. ***Tham khảo 2004 Giải BPT: 4 2 1162 1     x x x 39. ***Tham khảo 2004 Cho hàm số 2 sin 2 x x ye x  Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm. 40. *Tham khảo 2004 Giải BPT 3x log x log 3 41. ***Tham khảo 2004 Giải HPT         .yx xyyx xyx 1 22 22 42. Tham khảo 2003 Giải BPT 11 15.2 1 2 1 2 x xx     43. Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1):   04 2 1 2 2  mxx loglog 44. ĐH-D-2003 Giải PT: 2 22 22 3 xx xx  www.vnmath.com 3 45. Tham khảo 2003 Giải PT:  x 5 log 5 4 1 x   46. ĐH-A-2002 Cho PT 0121 2 3 2 3  mxx loglog 1) Giải PT khi m=2 2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ] 47. Tham khảo 2002 Giải PT 2 2 3 27 16log 3log 0 x x xx   48. Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:         11 3 1 2 1 031 3 2 2 2 3 xx kxx loglog 49. ĐH-B-2002 Giải BPT   3 log log 9 72 1 x x   50. Tham khảo 2002 Giải HPT 42 430 log log 0 xy xy         51. Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm:  2 11 11 2 923210 xx aa     52. Tham khảo 2002 Giải PT:    8 42 2 11 log 3 log 1 log 4 24 x xx   53. ĐH-D-2002 Giải HPT 32 1 25 4 42 22 x xx x yy y           54. Tham khảo 2002 Giải PT :    32 32 log 2 3 5 3 log 2 3 5 3 x y xxxy yyyx            55. Tham khảo 2002 Giải BPT     .2.32log44log 212 2 1 2 1  xx PT-BPT MŨ LÔGARIT *** 1. 2. 3. ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình: 22 22 22 log ( ) 1 log ( ) 381 xyxy x yxy        HD: HPT tương đương 22 22 0 2 4 xy x yxy xyxy         22 0 4 xy xy xyxy         22 22 xx yy         4. *CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT: 22 ln ln ln lnabba a b HD: Đưa BĐT về dạng tương đương 22 (1 ) ln ln (1 )ab ab 22 ln ln 11 ab ab    www.vnmath.com 4 Xét hàm số 2 ln () 1 x fx x   với 0<x<1  2 2 2 1(12ln) () 0 1 xx fx xx      vì lnx<0 và 0<x<1 Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1) Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b). Bài toán được chứng minh. 5. ĐH-A-2008. Giải phương trình: 22 21 1 log (2 1) log (2 1) 4 xx xx x      HD: Với điều kiện 1 2 x  , PT tương đương: 21 1 log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4 xx xx x     21 1 log ( 1) 2 log (2 1) 3 xx xx     Đặt 21 log ( 1) x tx   ta được: 2 3t t  1 2 t t        Với t=1 ta có: 21 log ( 1) 1 1 2 1 2 x xxxx    thỏa ĐK 1 2 x   Với t=2 ta có: 2 21 log ( 1) 2 1 (2 1) x xxx    2 450xx   0 5 4 x x        Do ĐK ta chỉ nhận 5 4 x  . ĐS: x=2, 5 4 x  6. ĐH-B- 08 Giải bất phương trình: 2 0,7 6 log log 0 4 xx x       HD: 2 2 6 0,7 6 2 6 log 0 4 log log 0 4 log 1 4 xx xx x x xx x                    2 2 6 2 0 4 log 1 4 6 4 xx xx x x xx x                 2 6 4 xx x    438xx     7. ĐH-B-08 Giải bất phương trình: 2 1 2 32 0 xx x   log HD: 2 1 2 32 0 xx x   log 2 2 32 0 32 1 xx x xx x             2 012 42 0 xx xx x            2 012 42 0 xx xx x              012 022 22 xx xx              22 12 22xx  8. ĐH-A-07 Giải bất phương trình: 31 3 2log (4 3) log (2 3) 2xx   HD: BPT tương đương 2 33 3 4 log (4 3) log (2 3) 2 x xx         www.vnmath.com 5 2 3 3 4 (4 3) log 2 23 x x x             2 3 4 (4 3) 9 23 x x x             2 3 4 82190 x xx          3 4 3 3 8 x x            3 3 4 x 9. *ĐH-B-07 Giải phương trình:    21 21 22 0 xx   HD: Đặt  21 x t ta được PT: 1 22t t  2 22 1 0tt  21 21tt   11 x x     10. *ĐH-D-07 Giải phương trình: 22 1 log (4 15.2 27) log 0 4.2 3 xx x     HD: Đặt t=2 x , t>0 ta được: 2 22 1 log ( 15 27) log 0 43 tt t     2 4 3 15 27 4 3 t tt t          2 4 3 11 30 0 t tt          Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x 11. *Tham khảo 2007. Giải BPT:  2 42 log 8 log log 2 0 x xx   HD: ĐK: x>0, x≠1 Đưa về 22 11 3log 2 log log 22 x x x 2 6 21 (log)tt t x t    2 60tt 32tt   1 8 4 xt   12. *Tham khảo 2007. Giải PT: 42 21 11 log ( 1) log 2 log 4 2 x xx    . HD: ĐK: x>1 Đưa về 22 21 1111 log ( 1) log ( 2) 22log222 x xx     22 2 log( 1) log(2 1) 1 log( 2)xx x  22 log ( 1)(2 1) log 2( 2)xx x    2 2350xx 5 1 2 xx Do ĐK, chỉ nhận nghiệm 5 2 x  13. Tham khảo 2007. Giải PT: 2 3 3 log ( 1) log (2 1) 2xx   HD: ĐK x>1 Đưa về 33 2log ( 1) 2log (2 1) 2xx  3 log ( 1)(2 1) 1xx (1)(21)3 x x  2 2320 x x   1 2 2 xx   . Do ĐK chỉ nhận x=2 14. *Tham khảo 2007. Giải PT: 39 3 4 (2 log )log 3 1 1log x x x   HD: ĐK x>0, x≠ 1 9 www.vnmath.com 6 Đưa về 3 33 14 (2 log ) 1 log 9 1 log x x x   3 33 2log 4 1 2log 1log x x x     3 24 1( log ) 21 t tx tt    (2 )(1 ) 4(2 ) (2 )(1 )tt t tt    2 40tt 117 117 22 tt     Do ĐK chỉ nhận 117 2 t   15. Tham khảo 2007. Giải BPT:  2 1 1log 2 1 132log 2 2 2 2 1  xxx HD: ĐK 1 1 2 x x Đưa về  2 22 111 log ( 1)(2 1) log 1 222 xx x   2 2 1 log 1 (1)(21) x xx      2 1 2 (1)(21) x xx     2 341 0 (1)(21) xx xx    (1)(31) 0 (1)(21) xx xx    31 0 21 x x      11 32 x   Kết hợp ĐK: 1 1 2 11 32 x x x          11 32 x 16. Tham khảo 2007. Giải BPT: 3x 1 2x x 2 7.2 7.2 2 0   HD: 32 27720(2,0) x ttt t t   2 (1)(2 52)0ttt   1 12 2 tt t  01 1xxx   17. *ĐH-A-2006 Giải phương trình 3.8 4.12 18 2.27 0 xxxx    HD: 3223 3.2 4.3 2 3 2 2.3 0 xxxxx x  Chia 2 vế của PT cho 3 3x ta đươc: 32 222 3. 4 2 0 333 xxx            Đặt 2 3 x t     , t>0 ta có: 32 34 20ttt 2 1 3 tt     Do ĐK ta chỉ nhận 2 3 t   x=1 18. Tham khảo 2006 Giải PT: 2 2 log 2 2log 4 log 8 xx x  HD: ĐK x>0, x≠1, x≠ 1 2 . PT tương đương với: 24 8 12 1 log log 2 log 2 xx x  222 14 6 log 1 log 1 log x xx    22 12 log 1 log x x   22 1log 2log x x   2 2 x x   2 x  19. ĐH-B-2006 Giải BPT:    xx2 555 log 4 144 4log 2 1 log 2 1     HD: Biến đổi BPT www.vnmath.com 7  x x2 55 4 144 log log 5.2 5 16       x x2 4 144 5.2 5 16    xx 4 -20.2 64 0   2 t -20.t 64 0(t=2 0) x ( 4)( 16) 0tt   416t   24x   20. Tham khảo 2006: 3 18 2 2 log 1 log (3 ) log ( 1) 0xxx     HD: ĐK 1<x<3. Biến đổi PT 22 2 log ( 1) log (3 ) log ( 1) 0xxx    2 ( 1)(3 ) log 0 1 xx x      (1)(3) 1 1 xx x      2 40xx 117 117 22 xx    Do ĐK chỉ nhận 117 2 x   21. *Tham khảo 2006: 12 22 9 10.3 1 0 xx xx   HD: 22 110 9.310 99 xx xx . Đặt 2 3,0 xx tt   Ta được 2 10 9 0tt 19tt 22 020xx xx 2101 x xxx         22. ***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất: ln(1 ) ln(1 ) xy ee x y yxa       HD: Biến đổi ln(1 ) ln(1 ) 0 xa x ee xa x yxa         Xét hàm số () ln(1 ) ln(1 ), 1 xa x fx e e x a xx    () ( 1) 0 (1 )(1 ) xa a fx ee xxa     (vì a>0 và x>1)  1 lim ( ) , lim ( ) x t fx fx      , f(x) liên tục trên (1; )   . Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm x 0 trên (1; )  Do () 0, 1fx x   nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm  Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x 0 và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x 0 ;y=x 0 +a) 23. ĐH-D-2006 Giải PT: 22 2 24.2240 xx xx x  HD: Đặt 2 2 2 2 x x x x u v          Suy ra 2 .2 x uv (u>0,v>0) Phương trình thành: u4vuv40 u(1-v)+4(1-v)=0 (u+4)(1-v)=0 v=1  2 x0x   x0 1 x   24. Tham khảo 2006 Giải PT:    xx1 33 log 3 1 log 3 3 6   HD: Đưa về:   xx 33 log 3 1 log 3(3 1) 6    xx 33 log 3 1 1+log 3 1 6     www.vnmath.com 8   x 3 (1 ) 6 log 3 1tt t   2 60tt 23tt     33 log 3 1 2 log 3 1 3 xx  1 31931 27 xx  28 3103 27 xx  33 28 log 10 log 27 xx  25. ***Tham khảo 2006 Giải HPT: 22 ln(1 ) ln(1 ) 12 20 0. x yxy xxyy        HD:  Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)y Đặt f(t)=ln(1+t)t (t>1) 1 () 1 11 t ft tt     Nếu 1<t<0 thì f’(t)>0, Nếu t>0 thì f’(t)<0 PT thành f(x)=f(y)  Xét x 2 12xy+20y 2 =0  x=10y V x=2y Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0 Nếu 1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0 Vậy y>1 (y≠0) thì x,y cùng dấu và tính chất đơn điệu của hàm số trên các khoảng  1; 0 , (0; ) làm cho PT đầu thành f(x)=f(y)  x=y Hệ đã cho thành 1, 0 10 2 yy x yx y xy          vô nghiệm  Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0) 26. Tham khảo 2006 Giải:  242 1 2 log x 1 log x log 0 4  HD: Đưa về  22 log x 1 log x 2 0. Đặt t=log 2 x 2 t+t 2 0 t=1 t= 2 1 x=2 x= 4  27. *ĐH-B-2005 Giải hệ: xy log ( x ) log y . 23 93 12 1 39 3           HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương xy log ( x) log y          33 12 1 31 xy x log y              3 12 1 3 1 xy xy          12 1 yx xx           12 1 Xét xx  12 1 (1≤1≤2) ta có xxxx     12 2 12 1 xx 12 0 xx   12 Nghiệm của hệ là 12 12 xx yy       www.vnmath.com 9 28. ***ĐH-D-2005 CMR: 12 15 20 345 543 xx x x xx      HD: Dùng BĐT Côsi ta có: 12 15 12 15 22.3 54 54 xx xx x         12 20 12 20 22.4 53 53 xx xx x         15 20 15 20 22.5 43 43 xx xx x         Suy ra 12 15 20 345 543 xx x x xx      29. Tham khảo-2005 Giải: xx xx       2 2 2 2 1 92 3 3 HD: Đặt 2 2 3,0 xx tt   ta có t 2 2t3≤0  1≤t≤3 BPT thành 2 22 33 20 xx xx     02x 30. ***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR: xyz .24 24 24 33 HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4 x =1. 3 24 114 34 x xx  3 24 32 x x  Tương tự với y,z ta có: xyz xyz       333 24 24 24 32 2 2 xyz  3 3 332 33 (vì x+y+z=0) 31. ĐH-A-2004 Giải HPT: log (y x) log y xy 14 4 22 1 1 25         HD: log (y x) log y xy 14 4 22 1 1 25         log (y x) log y xy       44 22 1 25 y,yx y log yx xy             4 22 0 1 25 y,yx y yx xy            22 0 4 25 y,yx x y xy           22 0 4 3 25 y,yx x y x           2 0 4 3 9 y,yxy,yx yy xx           00 44 33 x y       3 4 www.vnmath.com 10 32. Tham khảo-2004 Giải BPT:   log log x x x . 2 2 4 20 π      HD:   log log x x x . 2 2 4 20 π         log x x x log x x x           2 2 2 2 20 21   log x x x   2 2 21 xxx xxx         2 2 20 22 xxx  2 22xx x   2 22 xx xx xxx x         222 2020 202 44 x x xx xx          2 2 2 02 340 x x xx         2 2 41     xx    41 33. Tham khảo-2004 Giải BPT: 22 13 log log 22 2. 2 x x x  HD: 22 13 log log 22 2. 2 x x x  22 13 log log 22 22 log 2. log 2 x x x     22 13 1log log 22 x x  2 1log x   02x 34. ***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất:  1 1( 0) x x xx x    HD:  1 1 x x xx    1 ln ln 1 x x xx     (1)ln ln 1xxxx   (1)ln ln(1)0xxxx   Đặt ( ) ( 1)ln ln( 1) fx x x x x   11 ( ) ln ln( 1) 1 fx x x x x    2 22 1 () 0 (1) xx fx xx      Suy ra f’(x) nghịch biến trên R + Mà: 11 lim ( ) lim ln 0 11 xx x fx xxx          f’(x)>0 với mọi x>0  f(x) đồng biến trên R + 0 lim ( ) x fx    f(e)=e+1eln(e+1)>0 Vậy có x 0 thuộc (0;e) để f(x 0 )=0 và x 0 là nghiệm duy nhất. 35. ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số: ln x y x      2 3 x 1;e HD: ln x yf(x) x     2 3 x 1;e ln x( ln x) f(x) x    2 2 f(x) x x e   2 01 f(1)=0; 2 2 4 () fe e  ; 3 3 9 () fe e  GTNN là f(1)=0; GTLN là 2 2 4 () fe e  36. ***Tham khảo 2004 Giải BPT: 4 2 1162 1     x x x HD: 1 223 0 2 x x x      x<1 thì 1 2230 20 x x x       suy ra x<1 thỏa BPT  x=1 không thỏa BPT [...]... 3 x 2  x  1 3  3x  k  0 Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:  1 1 3 2  log 2 x  log 2 x  1  1 2 3 HD: Xét BPT ta có 1 log 2 x 2  1 log 2  x  13  1 2 3  Giải xong được 1  x  2  Xét BPT x  1  3x  k  0  k  f ( x)  x  1  3 x  Xét 1  x  1 , k  f ( x)  1  x   3 x 3 3 3     46 ĐH-B-2002 Giải BPT : log x log 3 9 x  72  1 0  x  1 x  1     x... x  2 x1  0  2 x  x  1  x  1 (y=1)  Thay y=1x vào PT thứ hai 2 x 1  2 x  3  0 Hàm số f ( x)  2 x 1  2 x  3 đồng biến trên R và f(1)=0 nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)  Kết luận (x=1;y=1), (x=1;y=0) 15.2 x 1  1  2 x  1  2 x 1 40 Tham khảo 2003 Giải BPT HD: Đặt t=2x ta được 30t  1  t  1  2t  t=1 thỏa BPT  t  1 t  1 1 t  4  2 t  4t  0 30t  1  9t ... Giải BPT log 3 x  log x 3  HD: Đưa về    x  0, x  1  x  0, x  1  x  0, x  1    x  0, x  1 1     x  1 x  3  t  log 3 x  t  log 3 x  t  log 3 x 3 1  log 3 x  0  log 3 x  1 1  t  0  t  1  2  1 t 1   t  0  t  t  x 2  y  y 2  x   xy 2  2 x 1  x  y  39 ***Tham khảo 2004 Giải HPT HD: Xét PT thứ nhất: (xy)(x+y1)=0  Thay y=x vào PT thứ... x  2  0  x  1  x  2 t 2  3t  4  0    43 Tham khảo 2003 Giải PT: log 5 5x  4  1  x   HD: log 5 5x  4  1  x  5 x  4  51 x t  5 x t  5 x t  5 x    2   x 1  5 t  4t  5  0 t  5 t  4   t  2 2 44 ĐH-A-2002 Cho PT : log 3 x  log 3 x  1  2 m  1  0 1) Giải PT khi m=2 2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3 3 ] HD: 2 2   2 2 2 1) log 3 x  log 3 x  1 ...www.vnmath.com 2  2 x  3  0 1 . ***Tham khảo 2004 Giải BPT: 4 2 1162 1     x x x HD: 1 223 0 2 x x x      x<1 thì 1 2230 20 x x x       suy ra x<1 thỏa BPT  x=1 không thỏa BPT www.vnmath.com. Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:         11 3 1 2 1 031 3 2 2 2 3 xx kxx loglog HD: Xét BPT ta có  3 2 22 11 log log 1 1 23 xx  Giải xong được 12x   Xét BPT 3 13 0xxk 3 (). PT: 2 22 22 3 xx xx  www.vnmath.com 3 45. Tham khảo 2003 Giải PT:  x 5 log 5 4 1 x   46. ĐH-A-2002 Cho PT 0121 2 3 2 3  mxx loglog 1) Giải PT khi m=2 2) Tìm m để PT