Trang 1 Chương 1 : GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1.1 GIỚI HẠN : 1.1.1 Hàm số : 1. Định nghĩa : Cho X ⊂ R, ánh xạ f : X Æ R được gọi là hàm số một biến số thực. f : X Æ R x a y = f(x) • X : miền xác định • f(X) ⊂ Y : miền giá trị • x : biến số hay đối số • y = f(x) giá trị của hàm số f tại x Ví dụ : • Cho hàm số : f: X Æ R x a y = 2 4 2 − − x x Miền xác định : X = R \ {2 } • Cho hàm số f(x) = | x | . Miền xác định : X = R .Hàm số có thể viết thành : f(x) = ⎩ ⎨ ⎧ <− ≥ 0 0 xkhix xkhix 2. Đồ thị của hàm số : Đồ thị của hàm số f : X Æ R là tập hợp : C = {M(x,f(x)) / x ∈ X } trong mặt phẳng Oxy 1.1.2 Giới hạn của hàm số : Bổ sung : • Khoảng : (a,b) = {x ∈ R/ a < x < b} • Đoạn : [a,b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} • Nửa khoảng ( hay nửa đoạn ) • (a,b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} • Lân cận : Cho x o ∈ R và α > 0, khoảng ( x o - α , x o + α ) được gọi là một lân cận của x o (lân cận tâm x o , bán kính α ) Vậy x thuộc lân cận của x o ⇔ x o - α < x < x o + α ⇔ - α < x –x o < α ⇔ ⎟ x-x o ⎥ < α Trang 2 1. Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của x o . Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến x o nếu với mọi ε > 0 cho trước nhỏ tuỳ ý, luôn luôn tồn tại số δ >0 sao cho : 0< ⎥ x-x o ⎟ < δ ⇒ ⎟ f(x) -L⎥ < ε Ký hiệu Lxf xx = → )(lim 0 2. Ví dụ : Vd 1 : Dùng định nghĩa để chứng minh 7)34(lim 1 = + → x x Vd 2 : Hàm số f : X Æ R x a y = 2 4 2 − − x x Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng 4)(lim 2 = → xf x 3. Các tính chất của giới hạn : • Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x Æ x o thì tổng, hiệu , tích, thương của chúng cũng có giới hạn khi x Æ x o và : lim o x x→ [ f(x) ± g(x) ] = lim o x x→ f(x) ± lim o x x→ g(x) lim o x x→ [ f(x) .g(x) ] = lim o x x→ f(x) . lim o x x→ g(x) lim o x x→ )( )( xg xf = lim ( ) lim ( ) o o xx xx f x gx → → ( lim o x x→ g(x) ≠ 0) • Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x thuộc lân cận của x o thì lim o x x→ f(x) ≤ lim o x x→ g(x) • Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x thuộc lân cận của x o và lim o x x→ f(x) = lim o x x→ h(x) = L thì lim o x x→ g(x) = L 4. Công thức : Dùng định nghĩa và tính chất , ta chứng minh được một số kết quả : * 0 lim xx→ C = C * lim o x x→ x = x 0 * 0 lim →x 1 sin = x x * 0 lim xx→ 1 )( )(sin = x x α α với lim o x x→ 0)( = x α * 0 lim →x sin x = 0 * 0 lim →x cosx = 1 * lim α →∞ 1 (1 ) e α α + = hoặc 0 lim α → 1 (1 ) e α α + = 1.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn : 1. Giới hạn một bên : Bổ sung : Ký hiệu x Æ x o + hiểu là x Æ x o và x > x o x Æ x o - hiểu là x Æ x o và x < x o Trang 3 a.Định nghĩa : • Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến x o từ bên trái (x Æ x o - ) nếu với mọi ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại δ > 0sao cho: 0< x o – x < δ ⇒ | f(x) – L | < ε Ký hiệu Lxf o xx = − → )(lim • Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x tiến đến x o từ bên phải (x Æ x o , x > x o ) nếu với mọi ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại δ > 0 sao cho 0< x – x o < δ ⇒ | f(x) – L | < ε Ký hiệu Lxf o xx = + → )(lim b.Định Lý : lim o x x→ f(x) tồn tại ⇔ )(lim 0 xf xx − → = )(lim 0 xf xx + → Ví dụ : Tìm giới hạn của hàm số f(x) = x x khi x Æ 0 Hàm số không xác định tại x = 0 , ta thấy : f(x) = ⎩ ⎨ ⎧ −1 1 Vậy = − → )(lim xf Ox 1)1(lim − = − − →Ox = + → )(lim xf Ox + → = Ox )1lim( 1 Do đó )(lim xf Ox→ không tồn tại, chỉ có giới hạn một bên 2.Giới hạn ở vô cực : a.Định nghĩa : Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến vô cực (x Æ ∞) nếu với mọi ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi x mà ⎢x⎥ > M ta có ⎢f(x) - L⎥ < ε . Ký hiệu Lxf x = ∞→ )(lim b.Ví du Vd 1: Chứng minh rằng x x 1 lim ∞→ = 0 nếu x >0 nếu x <0 Trang 4 Vd 2 :Tìm 243 12 lim 2 2 + + ++ ∞→ x x xx x 3. Giới hạn vô cực : a.Định nghĩa : Hàm Số f(x) được gọi là tiến đến vô cực khi x tiến tới x o nếu với mọi M >0 tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x mà ⎢x-x o ⎥ <δ thì ⎢f(x) ⎥>M. Ký hiệu : ∞ = ∞→ )(lim xf x b.Ví dụ : Chứng minh rằng ∞= − → 2 5 lim 2 x x 1.1.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn – Khử dạng vô định : 1. Vô cùng bé – vô cùng lớn : a. Định nghĩa : • Hàm f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x Æ x o nếu o xx→ lim f(x)= 0 • Hàm f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x Æ x o nếu o xx→ lim f(x)= +∞ Ví dụ : f(x) = 1 x là VCB khi x > ∞ f(x) = sin x la VCB khi x > 0 f(x) = 2 5 −x là VCL khi x Æ 2 b.Định Lý : f(x) VCB VCL xf )( 1 ⇔ g(x) VCL VCB xg )( 1 ⇔ • Một số kết quả về VCB,VCL tương đương: sinx ~ x tgx ~x arcsinx ~ x arctgx ~ x 1-cosx ~ 2 2 x ln(1+x) ~ x e x - 1 ~ x (1 ) x α + ~ 1+ α x α ±β γ ± ~ α ( α VCB bậc thấp nhất ) A ± B ±C ~ A (A : VCL bậc cao nhất ) VD 1 : Tìm 23 0 ln(1 ) lim sin x tgx x xx → + ++ VD 2 : Tìm 12 35 lim 2 2 + + +− ∞→ x x xx x Trang 5 VD 3 : Tìm xx xtgx x sin 2cos1 lim 2 0 +− → 2. Dạng vô định : VD 1 : 1 1 lim 1 − − → n m x x x ( dạng 0 0 ) VD 2 : xxx x x ++ +∞→ lim (dạng ∞ ∞ ) V D 3 : 2 )1(lim 1 x tgx x π − → (dạng 0.∞) VD 4 : lim ( ( 1)( 2) ) x x xx →+∞ ++−(dạng ∞ - ∞ ) 1.2 Hàm số liên tục : 1.2.1 Định nghĩa : 1) Liên tục tại 1 điểm : f(x) liên tục tại x o Ù )()(lim o xx xfxf o = → 2)Liên tục một bên : • f(x) liên tục bên phải tại x o Ù )()(lim o xx xfxf o = + → • f(x) liên tục bên trái tại x o Ù )()(lim 0 o xx xfxf = − → 3)Liên tục trên khoảng , đoạn : • f(x) liên tục trên khoảng (a,b) Ù f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a,b) f(x) liên tục trên khoảng (a,b) • f(x) liên tục trên đoạn [a,b] ⇔ f(x) liên tục bên phải tại a f(x) liên tục bên trái tại b VD : Xét tính liên tục : a) f(x) = x x tại x = 0 b) f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 2 sin x kx tại x = 0 Khi x ≠ 0 Khi x = 0 Trang 6 c) f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 1 x x tại x = 0 d) f(x) = ⎩ ⎨ ⎧ + 72 2 x x tại x = 2 4) Điểm gián đoạn : Định nghĩa : x o gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên tục tại x o . Ví Dụ : Tìm điểm gián đoạn : a) f(x) = x xsin b) f(x) = 1+ x x c) f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 2 1 x x e) Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đồ thị của nó là một đường liền nối từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b)) 1.2.2 Định Lý : a) Nếu f(x) và g(x) liên tục tại x o thì các hàm f(x) ± g(x) , f(x).g(x), )( )( xg xf (g(x)≠0) cũng liên tục tại x o . b) Nếu f(x) liên tục tại x o và g(y) liên tục tại y o = f(x o ) thì hàm số hợp g[f(x)] liên tục tại x o . Một số kết quả : a) Đa thức P(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a o liên tục trên R B O A Khi x > 2 Khi x ≠ 0 Khi x = 0 Khi x ≤ 2 Khi x > 0 Khi x ≤ 0 Trang 7 b) Hàm hữu tỉ f(x) = )( )( xQ xP liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x). c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định. d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó. Ghi chú : Tự nghiên cứu Hàm số sơ cấp cơ bản và Hàm sơ cấp . VD 1 : Xét tính liên tục của hàm số sau đây trên R : f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − π π 2 sin x x VD 2 : Xác định a để hàm số f(x) sau đây liên tục trên R : ⎩ ⎨ ⎧ ++ + = axx x xf 2 12 )( VD 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += x e x x xf 1 2 cos )( π 1.2.3 Tính chất của hàm số liên tục : Định Lý : (giá trị trung gian) : Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì tồn tại c thuộc khoảng (a,b) sao cho f(c) = 0 . Cách khác : Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b) . VD : Chứng minh rằng phương trình x 5 -3x-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1,2) . Khi x ≠ 2 Khi x =2 Khi x <=1 Khi x>1 Khi -1 <=x <=1 Khi x <-1 Khi x >1 . Chứng minh rằng phương trình x 5 -3 x-1=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1,2) . Khi x ≠ 2 Khi x =2 Khi x <=1 Khi x>1 Khi -1 <=x <=1 Khi x < ;-1 Khi x >1 . 0, khoảng ( x o - α , x o + α ) được gọi là một lân cận của x o (lân cận tâm x o , bán kính α ) Vậy x thuộc lân cận của x o ⇔ x o - α < x < x o + α ⇔ - α < x –x o . > x o x Æ x o - hiểu là x Æ x o và x < x o Trang 3 a.Định nghĩa : • Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến x o từ bên trái (x Æ x o - ) nếu với mọi ε