SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2009-2010 Đề chính thức Môn thi:Toán (chuyên) Ngày thi:19/06/2009 Thời gian:150 phút Bài 1(1.5điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng: 1 2 a b c b c c a a b        Bài 2(2điểm) Cho 3 số phân biệt m,n,p.Chứng minh rằng phương trình 1 1 1 0 x m x n x p       có hai nghiệm phân biệt. Bài 3(2điểm) Với số tự nhiên n, 3 n  .Đặt         1 1 1 3 1 2 5 2 3 2 1 1 n S n n n          Chúng minhS n < 1 2 Bài 4(3điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp tròn tâm O có độ dài các cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D. a.Chúng minh:AD 2 = AB.AC – DB.DC b.Tính độ dài AD theo a,b,c Bài 5(1.5điểm) Chứng minh rằng :   2 1 2 3 2 m n n    Với mọi số nguyên m,n. ********************************************** www.VNMATH.com www.VNMATH.com 1 c b a D O C E B A ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI VÀO 10 TRƯỜNG CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM 2009 Bài 1: Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b Nên ta có 2a a a a b c a b c a b c         Mặt khác a a b c a b c     Vậy ta có 2 (1) a a a a b c c b a b c        Tương tự 2 (2); b b b a b c c a a b c        2 (3) c c a a b c b a a b c        Cộng (1) (2) và (3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh. Bài 2: ĐK: , , x m n p  PT đã cho  (x-n)(x-p)+(x-m)(x-p)+(x-m)(x-n) = 0  3x 2 -2(m+n+p)x +mn+mp+np = 0(1) Ta có Δ ' 2 ( ) 3( ) m n p mn mp np       = m 2 +n 2 +p 2 +2mn+2mp+2np -3mn-3mp-3np = m 2 +n 2 +p 2 –mn-mp-np = 1 2 [(m-n) 2 +(n-p) 2 +(m-p) 2 ] >0 Đặt f(x) = 3x 2 -2(m+n+p)x + mn+ mp +np Ta có f(m) = 3m 2 – 2m 2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m 2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p)  0 = >m,n,p không phải là nghiệm của pt(1) Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt Bài 3     2 2 1 1 1 Ta cã : 2 1 2 1 1 4 4 1 1 n +1 - n 1 1 1 2 2 1. 1 4 4 n n n n n n n n n n n n n n n n n n                                  Do đó 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 1 1 n S n n n                                     Bài 3: Ta có   BAD CAE  ( Do cung EB = cung EC) Và   AEC DBA  ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên Δ BAD Δ EAC . . (1) BA AE AB AC AE AD AD AC     Ta có     (§èi ®Ønh) vµ CAD ADC BDC DBE   (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CE) nên Δ ACD Δ BDE . . AD DB AD DE DB DChay DC DE     AD(AE-AD) = DB.DC Hay AD 2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1)) 4b)Theo tính chất đường phân giác ta có DC hay b DC DB DB DC DB a AC AB c b c b c        www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2 vậy   2 2 . . . DC DB a a a bc DB DC b c b c b c b c       theo câu a ta có AD 2 = AB.AC – DB.DC =     2 2 2 2 1 a bc a bc bc b c b c                      2 2 1 a AD bc b c                    Bài 5: Vì m lµ sè h÷u tØ vµ 2lµ sè v« tØ nªn 2 n m n  Ta xet hai trường hợp: a) 2 2 2 2 2 2 Khi ®ã m 2 2 1 hay m 2n 1 m n m n n        Từ đó suy ra :   2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 2 2 2 2 2 m n n n n n n n n n                              b) 2 2 2 2 2 2 Khi ®ã m 2 2 1 hay m 2n 1 m n m n n        Từ đó suy ra :   2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 3 2 2 2 m m n n n n n n n n n n                                 ************************************************ www.VNMATH.com www.VNMATH.com 3 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ————————— (Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm) a) Giải hệ phương trình: 1 1 9 2 1 5 2 x y x y xy xy              b) Giải và biện luận phương trình: | 3| | 2 | 5 x p x     (p là tham số có giá trị thực). Câu 2: (1,5 điểm) Cho ba số thực , , a b c đôi một phân biệt. Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c b c c a a b       Câu 3: (1,5 điểm) Cho 2 1 4 4 1 A x x    và 2 2 2 2 1 x B x x     Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho 2 3 A B C   là một số nguyên. Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD, AC. Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q. Chứng minh: a) KM // AB. b) QD = QC. Câu 5: (1,0 điểm). Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1. Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh SBD ĐỀ CHÍNH THỨC www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009- 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Dành cho lớp chuyên Toán. ————————— Câu 1 (3,0 điểm). a) 1,75 điểm: Nội dung trình bày Điểm Điều kiện 0 xy  0,25 Hệ đã cho 2 2[ ( ) ( )] 9 (1) 2( ) 5 2 0 (2) xy x y x y xy xy xy           0,25 Giải PT(2) ta được: 2 (3) 1 (4) 2 xy xy       0,50 Từ (1)&(3) có: 1 2 3 2 2 1 x y x y xy x y                         0,25 Từ (1)&(4) có: 1 1 3 2 2 1 1 2 2 1 x y x y xy x y                                   0,25 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là: ( ; ) (1; 2), (2; 1), (1;1/ 2), (1/ 2; 1) x y  0,25 b) 1,25 điểm: Nội dung trình bày Điểm Xét 3 trường hợp: TH1. Nếu 2 x  thì PT trở thành: ( 1) 2( 1) p x p    (1) TH2. Nếu 3 2 x    thì PT trở thành: (1 ) 2(1 ) p x p    (2) TH3. Nếu 3 x   thì PT trở thành: ( 1) 2( 4) p x p    (3) 0,25 Nếu 1 p   thì (1) có nghiệm 2 x  ; (2) vô nghiệm; (3) có nghiệm x nếu thoả mãn: 2( 4) 3 1 1 1 p x p p          . 0,25 Nếu 1 p   thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 2 x  ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm. 0,25 Nếu 1 p  thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 3 2 x    ; (1) có nghiệm x=2; (3)VN 0,25 Kết luận: + Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và 2( 4) 1 p x p    + Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 2 x    + Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm 3 2 x    + Nếu 1 1 p p       thì phương trình có nghiệm x = 2. 0,25 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5 Câu 2 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm + Phát hiện và chứng minh 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) bc ca ab a b a c b a b c c a c b          1,0 + Từ đó, vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh bằng: 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c bc ca ab b c c a a b a b a c b c b a c a c b                            0,5 Câu 3 (1,5 điểm): Nội dung trình bày Điểm Điều kiện xác định: x  1 (do x nguyên). 0,25 Dễ thấy 1 2( 1) ; | 2 1| | 1| x A B x x      , suy ra: 2 1 1 3 | 2 1| | 1| x C x x            0,25 Nếu 1 x  . Khi đó 2 1 4( 1) 4( 1) 1 2 1 0 1 1 0 3 2 1 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1) x x x C C x x x x                        Suy ra 0 1 C   , hay C không thể là số nguyên với 1 x  . 0,5 Nếu 1 1 2 x    . Khi đó: 0 x  (vì x nguyên) và 0 C  . Vậy 0 x  là một giá trị cần tìm. 0,25 Nếu 1 2 x   . Khi đó 1 x   (do x nguyên). Ta có: 2 1 4( 1) 1 0 3 2 1 3(2 1) x C x x                và 4( 1) 2 1 1 1 0 3(2 1) 3(2 1) x x C x x           , suy ra 1 0 C    hay 0 C  và 1 x   . Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: 0, 1 x x    . 0,25 Câu 4 (3,0 điểm): a) 2,0 điểm: Nội dung trình bày Điểm Gọi I là trung điểm AB, , E IK CD R IM CD     . Xét hai tam giác KIB và KED có:   ABD BDC  0,25 KB = KD (K là trung điểm BD) 0,25   IKB EKD  0,25 Suy ra KIB KED IK KE      . 0,25 Chứng minh tương tự có: MIA MRC    0,25 Suy ra: MI = MR 0,25 Trong tam giác IER có IK = KE và MI = MR nên KM là đường trung bình  KM // CD 0,25 Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm) 0,25 b) 1,0 điểm: Nội dung trình bày Điểm Ta có: IA=IB, KB=KD (gt)  IK là đường trung bình của  ABD  IK//AD hay IE//AD chứng minh tương tự trong  ABC có IM//BC hay IR//BC 0,25 Có: QK AD  (gt), IE//AD (CM trên) QK IE   . Tương tự có QM IR  0,25 Từ trên có: IK=KE, QK IE QK   là trung trực ứng với cạnh IE của IER  . Tương tự QM là trung trực thứ hai của IER  0,25 Hạ QH CD  suy ra QH là trung trực thứ ba của IER  hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD 0,25 A I B K M D E H R C Q www.VNMATH.com www.VNMATH.com 6  Q cách đều C và D hay QD=QC (đpcm). Câu 5 (1,0 điểm): Nội dung trình bày Điểm A' B' C' A B C P P' Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S). Khi đó 1 S  . 0.25 Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác ' ' ' A B C (hình vẽ). Khi đó ' ' ' 4 4 A B C ABC S S   . Ta sẽ chứng minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác ' ' ' A B C . 0.25 Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác ' ' ', A B C chẳng hạn như trên hình vẽ . Khi đó     ; ; d P AB d C AB  , suy ra PAB CAB S S  , mâu thuẫn với giả thiết tam giác ABC có diện tích lớn nhất. 0.25 Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' ' A B C có diện tích không lớn hơn 4. 0.25 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2009-2010 Bài 1 : ( 1 điểm ) Cho   3 4 2 3 3 5 2 17 5 38 2 x       tính   2009 2 1P x x   Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x 2 + b.x + c = 0 ( 1 ) và x 2 - b 2 x + bc = 0 (2 ) biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x 1 ; x 2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm 3 4 ; x x thoả mãn điều kiện 3 1 4 2 1 x x x x     . xác định b và c Bài 3 : ( 2 điểm ) 1. Cho các số dương a; b; c . Chứng minh rằng   1 1 1 9 a b c a b c            2. Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3  . Chứng ming rằng 2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca       Bài 4 : ( 3, 5 điểm ) Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) . Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC . Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q . Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC www.VNMATH.com www.VNMATH.com 7 1. Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp 2. Chứng minh Q; E; F thẳng hàng 3. Chứng minh MP NQ PQ OM a b c OC      Bài 5 : ( 2 điểm ) 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 3 x - y 3 = 1 2. Cho bảng ô vuông kích thước 2009 . 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi . Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) . Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không Lời giải Bài 1 :        3 3 3 3 4 2 3 3 3 1 3 5 2 17 5 38 2 5 2 (17 5 38) 2 1 1 1 1 2 17 5 38 17 5 38 2 x                     vậy P = 1 Bài 2 : vì 3 1 4 2 1 x x x x     => 3 1 4 2 1; 1 x x x x     Theo hệ thức Vi ét ta có         1 2 1 2 2 1 2 1 2 (1) . (2) 1 1 (3) 1 . 1 (4) x x b x x c x x b x x bc                   Từ (1 ) và ( 3 ) => b 2 + b - 2 = 0  b = 1 ; b = -2 từ ( 4 ) => 1 2 1 2 . 1 x x x x bc     => c - b + 1 = bc ( 5 ) +) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x 2 + +b x + c = 0 trở thành X 2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu 1 1 4 0 4 c c       +) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x 2 + b x + c = 0 trở thành x 2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 1 2  vậy b= 1; c 1 4 c  ; b = -2 ; c = -1 Bài 3 : 1. Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương 3 a b c abc    3 1 1 1 1 3 a b c abc    =>   1 1 1 9 a b c a b c            dấu “=” sảy ra  a = b = c 2. ta có   2 2 2 2 3 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca             2007 669 ab bc ca     www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8 Áp dụng câu 1 ta có   2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 9 a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca                     =>   2 2 2 2 1 1 9 1 a b c ab bc ca a b c          vậy 2 2 2 1 2009 670 a b c ab bc ca       . dấu “=” sảy ra  a = b = c = 1 Bài 4 : a) ta có                0 1 2 180 1 2 2 BOP BAO ABO A B C PNC A B BOP PNC           => tứ giác BOPN nội tiếp +) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp +) do tứ giác AOQM nội tiếp=>   0 90 AQO AMO  tứ giác BOPN nội tiếp =>   0 90 BPO BNO  =>   0 90 AQB APB  => tứ giác AQPB nội tiếp b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA =>     1 2 EQB EBQ B QBC    => QE //BC Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC  Q; E; F thẳng hàng c) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) MP OM OP MOP COB g g a OC OB NQ ON OM NOQ COA g g b OC OC PQ OP OM POQ BOA g g c OB OC OM MP NQ PQ MP NQ PQ OC a b c A B C                            Bài 5 : 1) 3 x - y 3 = 1     2 3 1 1 x y y y      => tồn tại m; n sao cho 2 1 3 3 1 1 3 9 3.3 3 3 m m n m m n y y y y m b x m b x                          +) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0 +) nếu m > 0 thì 9 3.3 3 3 3 3 1 9 3.3 3 9 3 9 m m n m m n n                      =>   9 3.3 3 3 3 3 3 0 m m m m       => m = 1 => y = 2 ; x = 2 vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 ) 2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 . 2009 là một số lẻ sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ www.VNMATH.com www.VNMATH.com 9 vy khụng th chuyn tt c viờn si trờn bng ụ vuụng v cựng mt ụ sau mt s hu hn cỏc phộp thc hin thao tỏc T Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hà nam Năm học 2009-2010 Môn thi : toán(đề chuyên) đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề) Bài 1.(2,5 điểm) 1) Giải phơng trình: 2 1 1 2 3 2 2 x x x 2) Giải hệ phơng trình: 1 7 12 x x y x x y Bài 2.(2,0 điểm) Cho phơng trình: 6 3 2 0 x x m a) Tìm m để x = 7 48 là nghiệm của phơng trình. b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x=x 1 ; x=x 2 thoả mãn: 1 2 1 2 24 3 x x x x Bài 3.(2,0 điểm) 1) Cho phơng trình: 2 2 2 2 6 6 52 0 x m x m ( với m là tham số, x là ẩn số). Tìm giá trị của m là số nguyên để phwowng trình có nghiệm là số hữu tỷ. 2) Tìm số abc thoả mãn: 2 4 abc a b c . Bài 4.(3,5 điểm) Cho ABC nhọn có C A. Đờng tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lợt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE. a) Chứng minh: 0 AIB 90 2 C . b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đờng tròn. c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 10 [...]... c2 + d2 + ac + bd , trong đó ad – bc = 1 Chứng minh rằng: P  3 Hết Họ và tên thí sinh: ………………………………… Số báo danh: …………………… së gi¸o dơc - ®µo t¹o hµ nam ®Ị chÝnh thøc kú thi tun sinh vµo líp 10 thpt chuyªn N¨m häc 2009 - 2010 M«n thi : to¸n(§Ị chung) Thêi gian lµm bµi: 120 phót (Kh«ng kĨ thêi gian giao ®Ị) Bµi 1 (2 ®iĨm) x Cho biĨu thøc P =  1 x... T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = 16 x 4 y z -hÕt - Hä vµ tªn thÝ sinh:……………………………………… Sè b¸o danh:……………… Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 1: ……………………………………Ch÷ ký gi¸m thÞ sè 2:……… së gi¸o dơc ®µo t¹o hµ nam Kú thi tun sinh vµo líp 10 thpt chuyªn N¨m häc 2009 – 2010 h­íng dÉn chÊm thi m«n to¸n : ®Ị chung Bµi 1 (2 ®iĨm) a) (0,5 ®iĨm) §iỊu kiƯn x¸c ®Þnh cđa P lµ x  0 vµ x ≠ 1 x b) (1 ®iĨm)   x 1 1 . tỏc T Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hà nam Năm học 2009-2010 Môn thi : toán(đề chuyên) đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không