BoxMath TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRÊN BOXMATH Bài 1. Tìm nguyên hàm I =  6x 3 + 8x + 1 (3x 2 + 4) √ x 2 + 1 dx Lời giải Ta có 6x 3 + 8x + 1 3x 2 + 4 = 2x + 1 3x 2 + 4 ⇒ I =   2x + 1 3x 2 + 4  1 √ x 2 + 1 dx =  2x √ x 2 + 1 dx +  1 (3x 2 + 4) √ x 2 + 1 dx Tính I 1 =  2x √ x 2 + 1 dx Đặt √ x 2 + 1 = t, x 2 + 1 = t 2 , 2 dt = 2x dx ⇒ I 1 = 2  dt t = 2 ln |t| = 2 ln √ x 2 + 1 Tính I 2 =  1 (3x 2 + 4) √ x 2 + 1 . dx Đặt t = √ x 2 + 1 x , xt = √ x 2 + 1, x 2 t 2 = x 2 + 1, x 2 = 1 t 2 − 1 , 3x 2 + 4 = 4t 2 − 1 t 2 − 1 x dx = − t dt (t 2 − 1) 2 , dx xt = − t dt (t 2 − 1) 2 x 2 t , dx √ x 2 + 1 = dt 1 − t 2 I 2 =  t 2 − 1 4t 2 − 1 dt 1 − t 2 =  dt 1 − 4t 2 = 1 2   1 2t + 1 − 1 2t − 1  dt = 1 4 ln 2t + 1 2t − 1 = 1 4 ln 2 √ x 2 + 1 + x 2 √ x 2 + 1 − x Vậy I = 2 ln √ x 2 + 1 + 1 4 ln 2 √ x 2 + 1 + x 2 √ x 2 + 1 − x + C Bài 2. Tìm nguyên hàm I =  cos 2 x sin x + √ 3 cos x dx Lời giải Dùng pp hệ số bất định cos 2 x = (a sin x + b cos x)(sin x + √ 3 cos x) + c(sin 2 x + cos 2 x) cos 2 x =  −1 4 sin x + √ 3 4 cos x  (sin x + √ 3 cos x) + 1 4 = −1 4 (sin x − √ 3 cos x)(sin x + √ 3 cos x) + 1 4 I =  −1 4 (sin x − √ 3 cos x)(sin x + √ 3 cos x) + 1 4 sin x + √ 3 cos x dx I = −1 4  (sin x − √ 3 cos x) dx + 1 4  1 sin x + √ 3 cos x dx I = 1 4 (cos x + √ 3 sin x) + 1 4  1 sin x + √ 3 cos x dx Ta tính J = 1 4  dx sin x + √ 3 cos x = 1 8  dx cos(x − π 6 ) = 1 8  cos(x − π 6 ) 1 − sin 2 (x − π 6 ) dx Đặt t = sin(x − π 6 ) ⇒ dt = cos(x − π 6 ) dx ⇒ J = 1 8  dt 1 − t 2 = 1 16   1 t + 1 − 1 t − 1  dt = 1 16 ln t + 1 t − 1 = 1 16 ln sin(x − π 6 ) + 1 sin(x − π 6 ) − 1 Vậy I = 1 4 (cos x + √ 3 sin x) + 1 16 ln sin(x − π 6 ) + 1 sin(x − π 6 ) − 1 + C Bài 3. Tìm nguyên hàm I =  x 3 + x 2 4 √ 4x + 5 dx Lời giải 1 BoxMath I =  x 3 + x 2 4 √ 4x + 5 dx =  x 4 + x 3 4 √ 4x 5 + 5x 4 dx = 1 20   4x 5 + 5x 4  − 1 4 d(4x 5 +5x 4 ) = 1 15 4  (4x 5 + 5x 4 ) 3 +C Bài 4. Tìm nguyên hàm I =   cos 2x + √ 2 cos  x + π 4  e sin x+cos x+1 dx Lời giải Ta có cos 2x + √ 2 cos  x + π 4  = (cos x − sin x)(sin x + cos x + 1) I =  (cos x − sin x)(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 dx I =  (sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 d (sin x + cos x + 1) I =  (sin x + cos x + 1) d  e sin x+cos x+1  I =(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 −  e sin x+cos x+1 d (sin x + cos x + 1) I =(sin x + cos x + 1)e sin x+cos x+1 − e sin x+cos x+1 + C I =(sin x + cos x)e sin x+cos x+1 + C Bài 5. Tìm nguyên hàm I =  3 √ 3x − x 3 dx Lời giải Đặt t = 3 √ 3x − x 3 x ⇒ x 2 = 3 t 3 + 1 ⇒ 2x dx = −9t 2 dt (t 3 + 1) 2 I = 1 2  3 √ 3x − x 3 x 2x dx = −9 2  t 3 dt (t 3 + 1) 2 = 3 2  t d  1 t 3 + 1  = 3t 2(t 3 + 1) − 3 2  dt t 3 + 1 Tính J =  dt t 3 + 1 =  d(t + 1) (t + 1)[(t + 1) 2 − 3(t + 1) + 3] = 1 2 (ln 3(1 − t) − 2 ln 3t + ln(1 + t)) Vậy I = 1 2 x 3 √ 3x − x 3 − 3 4  ln 3  1 − 3 √ 3x − x 3 x  − 2 ln 3 3 √ 3x − x 3 x + ln  1 + 3 √ 3x − x 3 x  + C Bài 6. Tìm nguyên hàm I =  1 x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 7x + 4 dx Lời giải Tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ nên đa thức ở mẫu nhận x = −1 làm nghiệm I =  dx (x + 1)[(x + 1) 3 + 3] I = 1 3  (x + 1) 3 + 3 − (x + 1) 3 (x + 1)[(x + 1) 3 + 3] dx I = 1 3   dx x + 1 −  (x + 1) 2 (x + 1) 3 + 3 dx  I = 1 3  ln |x + 1| − 1 3  d((x + 1) 3 ) (x + 1) 3 + 3  I = 1 3 ln |x + 1| − 1 9 ln |(x + 1) 3 + 3| + C Bài 7. Tính tích phân I =  1 0 x ln  x + √ 1 + x 2  x + √ 1 + x 2 dx 2 BoxMath Lời giải Đặt u = ln(x + √ x 2 + 1), dv = x dx x + √ x 2 + 1 = x( √ x 2 + 1 − x) dx Suy ra du = 1 + x √ x 2 + 1 x + √ x 2 + 1 dx = dx √ x 2 + 1 , v = 1 2  (1 + x 2 ) 1 2 d(1 + x 2 ) −  x 2 dx = 1 3 [(1 + x 2 ) 3 2 −x 3 ] I = 1 3 [(1 + x 2 ) 3 2 − x 3 ] ln(x + √ 1 + x 2 )     1 0 − 1 3  1 0 [(1 + x 2 ) 3 2 − x 3 ] dx √ 1 + x 2 Mà J =  [(1 + x 2 ) 3 2 − x 3 ] dx √ 1 + x 2 =  dx 1 + x 2 −  x 3 dx √ 1 + x 2 = arctan x − 1 3 (x 2 − 2) √ x 2 + 1 Nên I = 1 3 [(1 + x 2 ) 3 2 − x 3 ] ln(x + √ 1 + x 2 )     1 0 − 1 3 arctan x     1 0 + 1 9 (x 2 − 2) √ x 2 + 1     1 0 Vậy I = 1 3 ( √ 8 − 1) ln(1 + √ 2) − π 12 + 1 9 (2 + √ 2) Bài 8. Tính tích phân I =  1 2 0 x ln 1 + x 1 − x dx Lời giải Với u = ln 1 + x 1 − x , dv = x dx nên du = 2 1 − x 2 dx, v = 1 2 x 2 I = 1 2 x 2 ln 1 + x 1 − x     1 2 0 −  1 2 0 x 2 1 − x 2 dx I = 1 8 ln 3 +  1 2 0 1 − x 2 − 1 1 − x 2 dx I = 1 8 ln 3 + 1 2 − 1 2  1 2 0  1 1 + x + 1 1 − x  dx I = 1 8 ln 3 + 1 2 − 1 2 ln 1 + x 1 − x     1 2 0 I = 1 2 − 3 8 ln 3 Bài 9. Tính tích phân I =  π 0 e −x cos 2x dx Lời giải I =  π 0 e −x cos 2x dx I = −  π 0 cos 2x d(e −x ) I = − e −x cos 2x     π 0 − 2  π 0 e −x sin 2x dx I = e −π + 1 + 2  π 0 sin 2x d(e −x ) I = e −π + 1 + 2e −x sin 2x     π 0 − 4  π 0 e −x cos 2x dx I = 1 5 (e −π + 1) 3 BoxMath Bài 10. Tính tích phân I =  √ 3 0 x 5 + 2x 3 √ x 2 + 1 dx Lời giải I =  √ 3 0 x(x 4 + 2x 2 ) √ x 2 + 1 dx =  √ 3 0 (x 4 + 2x 2 ) d( √ x 2 + 1) I = (x 4 + 2x 2 ) √ x 2 + 1     √ 3 0 −  √ 3 0 √ x 2 + 1 d(x 4 + 2x 2 ) Tính J =  √ x 2 + 1 d(x 4 + 2x 2 ) =  4x(x 2 + 1) √ x 2 + 1 dx = 4  x(x 2 + 1) 2 √ x 2 + 1 dx = 4  ( √ x 2 + 1) 4 d( √ x 2 + 1) = 4 5 (x 2 + 1) 2 √ x 2 + 1 Nên I = (x 4 + 2x 2 ) √ x 2 + 1     √ 3 0 − 4 5 (x 2 + 1) 2 √ x 2 + 1     √ 3 0 Bài 11. Tính tích phân I =  e 1 1 + x 2 ln x x + x 2 ln x dx Lời giải I =  e 1 1 + x 2 ln x x + x 2 ln x dx =  e 1 1 x 2 + ln x 1 x + ln x dx =  e 1 1 x + ln x 1 x + ln x dx +  e 1 1 x 2 − 1 x 1 x + ln x dx =  e 1 dx −  e 1 d  1 x + ln x  1 x + ln x = x     e 1 − ln  1 x + ln x      e 1 = e − 1 − ln  1 e + 1  Bài 12. Tính nguyên hàm I =  2(1 + ln x) + x ln x(1 + ln x) 1 + x ln x dx Lời giải Đặt u = 1 + x ln x ⇒ du = (1 + ln x) dx I =  (2 + x ln x)(1 + ln x) 1 + x ln x dx =  u + 1 u du = u + ln |u| + C = 1 + x ln x + ln |1 + x ln x| + C Bài 13. Tính tích phân I =  π 4 0 x 2 (x 2 sin 2x + 1) − (x − 1) sin 2x cos x(x 2 sin x + cos x) dx Lời giải 4 BoxMath I =  x 4 sin 2x + x 2 − (x − 1) sin 2x x 2 sin x cos x + cos 2 x dx =  π 4 0 2x 4 sin 2x + 2x 2 − 2x sin x + 2 sin 2x x 2 sin 2x + cos 2x + 1 dx =  π 4 0 2x 2 (x 2 sin 2x + cos 2x + 1) − (x 2 sin 2x + cos 2x + 1)  x 2 sin 2x + cos 2x + 1 dx =  π 4 0 2x 2 dx −  π 4 0 d(x 2 sin 2x + cos 2x + 1) x 2 sin 2x + cos 2x + 1 = 2 3 x 3     π 4 0 − ln |x 2 sin 2x + cos 2x + 1|     π 4 0 = π 3 96 + ln 2 − ln  π 2 16 + 1  Bài 14. Tính nguyên hàm I =  (x 2 + 1) + (x 3 + x ln x + 2) ln x 1 + x ln x dx Lời giải I =  (x 2 + ln x) + x ln x(x 2 + ln x) + (1 + ln x) 1 + x ln x dx I =  (x 2 + ln x)(1 + x ln x) + (1 + ln x) 1 + x ln x dx I =  (x 2 + ln x) dx +  d(1 + x ln x) 1 + x ln x I = 1 3 .x 3 + x ln x − x + ln |1 + x ln x| + C Bài 15. Tính nguyên hàm I =  x 2 (x 2 sin 2 x + sin 2x + cos x) + sin x(2x − 1 − sin x) + 1 x 2 sin x + cos x dx Lời giải Vì x 2 (x 2 sin 2 x + sin 2x + cos x) + sin x(2x − 1 − sin x) + 1 = (x 2 sin x + cos x) 2 + (x 2 sin x + cos x)  I =  (x 2 sin x + cos x) dx +  d(x 2 sin x + cos x) x 2 sin x + cos x =  x 2 sin x dx + sin x + ln |x 2 sin x + cos x| Tính J =  x 2 sin x dx = −  x 2 d(cos x) = −x 2 cos x + 2  x cos x dx = −x 2 cos x + 2  x d(sin x) J = −x 2 cos x + 2x sin x − 2  sin x dx = −x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x Vậy I = −x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + sin x + ln |x 2 sin x + cos x| + C Bài 16. Tìm nguyên hàm I =   x(x + 2)(3 sin x − 4 sin 3 x) + 2 cos x(cos x − 2 sin x) + 3x 2 cos 3x − 1  e x dx Lời giải  x(x + 2)(3 sin x − 4 sin 3 x) + 2 cos x(cos x − 2 sin x) + 3x 2 cos 3x − 1  e x =  x 2 sin 3x + (x 2 sin 3x)  + cos 2x + (cos 2x)   e x ⇒ I = (x 2 sin 3x + cos 2x)e x Bài 17. Tìm nguyên hàm I =  2x 4 ln 2 x + x ln x(x 3 + 1) + x − 1 x 2 1 + x 3 ln x dx 5 BoxMath Lời giải 2x 6 ln 2 x + x 6 ln x + x 3 ln x + x 3 − 1 x 2 + x 5 ln x = 2[(x 3 ln x) 2 − 1] + x 3 (x 3 ln x + 1) + (x 3 ln x + 1) x 2 (1 + x 3 ln x) = (x 3 ln x + 1)(2x 3 ln x + x 3 − 1) x 2 (1 + x 3 ln x) = 2x ln x + x − 1 x 2 Nên I =   2x ln x + x − 1 x 2  dx = 1 2 x 2 + 1 x +  2x ln x dx = 1 2 x 2 + 1 x +  ln x d(x 2 ) I = 1 2 x 2 + 1 x + x 2 ln x −  x dx = 1 x + x 2 ln x + C Bài 18. Tìm nguyên hàm I =  x 2 sin(ln x) dx Lời giải Đặt x = e t , ln x = t, dx = e t dt ⇒ I =  e 3t sin t dt = −e 3t cos t +  3e 3t cos t dt = −e 3t cos t + 3e 3t sin t −  9e 3t sin t dt ⇒ 10I = 3e 3t sin t − e 3t cos t ⇒ I = 1 10  3.e 3 ln x sin(ln x) − e 3 ln x cos(ln x)  + C Bài 19. Tìm nguyên hàm I =  e x (x − 1) + 2x 3 + x 3 (e x + x(x 2 + 1)) e x .x + x 2 (x 2 + 1) dx Lời giải e x (x − 1) + 2x 3 + x 3 (e x + x(x 2 + 1)) e x .x + x 2 (x 2 + 1) = x 3 − 1 x + 3x 2 + e x + 1 x 3 + x + e x = x 2 − 1 x + (x 3 + x + e x )  x 3 + x + e x Do đó I = x 3 3 − ln |x| + ln |x 3 + x + e x | + C Bài 20. Tính tích phân I =  π 3 π 6 ln(tan x) dx Lời giải I =  π 3 π 6 ln(tan x) dx= đổi biến (x= π 2 −x)  π 3 π 6 ln(cot x) dx ⇒ 2I =  π 3 π 6 ln(tan x. cot x) dx = 0 ⇒ I = 0 Bài 21. Tìm nguyên hàm I =  dx sin 3 x + cos 3 x Lời giải Ta có 1 sin 3 x + cos 3 x = (sin x + cos x) (sin x + cos x) 2 (1 − sin x cos x) = (sin x + cos x) (1 + sin 2x)(1 − sin x cos x) Đặt t = sin x − cos x, sin x cos x = 1 − t 2 2 , dt = (cos x + sin x) dx 6 BoxMath I =  dt (2 − t 2 )  1 − 1 − t 2 2  = 2  dt (2 − t 2 )(1 + t 2 ) = 2 3   1 2 − t 2 + 1 1 + t 2  dt I = 2 3  dt 2 − t 2 + 2 3  dt 1 + t 2 Bài 22. Tính Tích Phân I =  0 −π 4 sin 4x (1 + sin x)(1 + cos x) dx Lời giải 2(1 + sin x)(1 + cos x) = (sin x + cos x + 1) 2 = 4 sin 2x(cos x + sin x)(cos x − sin x) (sin x + cos x + 1) 2 Đặt t = cos x + sin x, sin 2x = t 2 − 1, dt = (cos x − sin x) dx, x = −π 4 , t = 0, x = 0, t = 1 I =  1 0 4(t 2 − 1)t (t + 1) 2 dt = 4  1 0 t 2 − t t + 1 dt = 4  1 0  t − 2 + 2 t + 1  dt I = (2t 2 − 8t + 8 ln(t + 1))     1 0 = 2(4 ln 2 − 3) Bài 23. Tính Tích Phân I =  √ 3 1 √ 3 dx 1 + x 2 + x 98 + x 100 Lời giải I =  √ 3 1 √ 3 dx (1 + x 2 )(1 + x 98 ) = x= 1 x  √ 3 1 √ 3 dx x 2  1 + 1 x 2  1 + 1 x 98  =  √ 3 1 √ 3 x 98 dx (x 2 + 1)(x 98 + 1) ⇒ I = 1 2  √ 3 1 √ 3 dx 1 + x 2 Bài 24. Tìm nguyên hàm I =  x 2 − 3x + 5 4 7  (2x + 1) 4 dx Lời giải I = 1 4  4x 2 − 12x + 5 (2x + 1) 4 7 dx I = 1 8   (2x + 1) 2 − 8(2x + 1) + 12  (2x + 1) −4 7 d(2x + 1) I = 1 8   (2x + 1) 10 7 − 8(2x + 1) 3 7 + 12(2x + 1) −4 7  d(2x + 1) I = 7 136 (2x + 1) 17 7 − 7 10 (2x + 1) 10 7 + 9 14 (2x + 1) 3 7 + C Bài 25. Tìm nguyên hàm I =  2x 3 + 5x 2 − 11x + 4 (x + 1) 30 dx Lời giải 7 BoxMath I =  2x 3 + 5x 2 − 11x + 4 (x + 1) 30 dx =  2(x + 1) 3 − (x + 1) 2 − 15(x + 1) + 18 (x + 1) 30 dx =   2(x + 1) −27 − (x + 1) −28 − 15(x + 1) −29 + 18(x + 1) −30  dx = − 1 13(x + 1) 26 + 1 27(x + 1) 27 + 15 28(x + 1) 28 − 18 29(x + 1) 29 + C Bài 26. Tìm nguyên hàm I =  x 3 − 3x 2 + 4x − 9 (x − 2) 15 dx Lời giải I =  x 3 − 3x 2 + 4x − 9 (x − 2) 15 dx =  (x − 2) 3 + 3(x − 2) 2 + 4(x − 2) + 3 (x − 2) 15 dx =   (x − 2) −12 + 3(x − 2) −13 + 4(x − 2) −14 + 3(x − 2) −15  dx = − 1 11(x − 2) 11 − 1 4(x − 2) 12 − 4 13(x − 2) 13 − 3 14(x + 1) 14 + C Bài 27. Tìm nguyên hàm I =  (x − 1) 2 (5x + 2) 15 dx Lời giải Ta có 25(x − 1) 2 = 25x 2 − 50x + 25 = 25x 2 + 20x + 4 − 70x − 28 + 49 = (5x + 2) 2 − 14(5x + 2) + 49 Nên I = 1 25  (5x + 2) 17 − 14(5x + 2) 16 + 49(5x + 2) 15 dx I = 1 25  (5x + 2) 18 90 − 14(5x + 2) 17 85 + 49(5x + 2) 16 80  + C Bài 28. Tính tích phân I =  8 4 √ x 2 − 16 x dx Lời giải Đặt x = 4 sin t , dx = −4 cos t sin 2 t dt,   4 sin t  2 − 16 = 4 cot t x = 4, t = π 2 ; x = 8, t = π 6 Ta được I =  π 6 π 2 4 cot t 4 sin t −4 cos t sin 2 t dt = 4  π 2 π 6 cot 2 t dt = 4  π 2 π 6 (1 + cot 2 t − 1) dt = 4(−cot t − t)     π 2 π 6 = 4 √ 3 + 4π 3 Bài 29. Tính tích phân I =  1 1 √ 3  (1 + x 2 ) 5 x 8 dx Lời giải 8 BoxMath Đặt x = tan t, dx = dt cos 2 t ,  (1 + x 2 ) 5 =  1 cos 10 t , x = 1 √ 3 , t = π 6 , x = 1, t = π 4 Ta được I =  π 4 π 6  1 cos 10 t tan 8 t dt cos 2 t =  π 4 π 6 d(sin t) sin 8 t dt = 1 7 sin 7 t     π 4 π 6 = 128 − 8 √ 2 7 Bài 30. Tính tích phân I =  2 1 x − √ x 2 − 2x + 2 x + √ x 2 − 2x + 2 dx x 2 − 2x + 2 Lời giải Đặt x = u + 1, dx = du, x = 1, u = 0, x = 2, u = 1 Ta được I =  1 0 u + 1 − √ u 2 + 1 x + 1 √ x 2 + 1 du u 2 + 1 =  1 0 du u 2 + 1 −  1 0 2 du √ u 2 + 1(u + √ u 2 + 1 + 1) =  1 0 du u 2 + 1 −  1+ √ 2 1 2 dt t(t + 1) ( với t = u + √ u 2 + 1, dt = √ u 2 + 1 + u √ u 2 + 1 du) = arctan u     1 0 − 2 ln t t + 1     1+ √ 2 1 = π 4 − ln 2 9 . BoxMath T NG HỢP CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRÊN BOXMATH Bài 1. Tìm nguyên hàm I =  6x 3 + 8x + 1 (3x 2 + 4) √ x 2 + 1 dx Lời giải Ta. + 3 √ 3x − x 3 x  + C Bài 6. Tìm nguyên hàm I =  1 x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 7x + 4 dx Lời giải T ng các hệ số bậc chẵn b ng t ng các hệ số bậc lẻ nên đa thức ở mẫu nhận x = −1 làm nghiệm I =  dx (x. 1) 3 7 + C Bài 25. Tìm nguyên hàm I =  2x 3 + 5x 2 − 11x + 4 (x + 1) 30 dx Lời giải 7 BoxMath I =  2x 3 + 5x 2 − 11x + 4 (x + 1) 30 dx =  2(x + 1) 3 − (x + 1) 2 − 15(x + 1) + 18 (x + 1) 30 dx =   2(x