SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH Phần 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tính đơn điệu của hàm số Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến ( tăng) trong khoảng (a ; b) nếu với 1 2 x ;x (a;b)   mà 1 2 x x  thì 1 2 f(x ) f(x )  . Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến ( giảm) trong khoảng (a ; b) nếu với 1 2 x ;x (a;b)   mà 1 2 x x  thì 1 2 f(x ) f(x )  . Hàm số y = f(x) đồng biến hoặc nghịch biến trên (a;b) , ta nói hàm số y = f(x) đơn điệu trên (a ; b) . 2 . Định lí Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a ; b) . +Hàm số y = f(x) đồng biến trong khoảng (a ; b) ' f (x) 0   với x (a;b)   và ' f (x) 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trong khoảng (a ; b) . + Hàm số y = f(x) nghịch biến trong khoảng (a ; b) ' f (x) 0   với x (a;b)   và ' f (x) 0  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trong khoảng (a ; b) . + Nếu ' f (x) 0  với x (a;b)   và   f x liên tục trên   a;b thì hàm số   y f x  đồng biến trên   a;b + Nếu ' f (x) 0  với x (a;b)   và   f x liên tục trên   a;b thì hàm số   y f x  nghịch biến trên   a;b Phần 2. CÁC TÍNH CHẤT a)Tính chất Nếu f(x) liên tục và đơn điệu trên (a ; b ) thì ta có : f(u) = f(v)  u = v với mọi u ,v  (a ; b ) b) Các bổ đề hỗ trợ: b.1. Nếu f(x) đơn điệu và liên tục trên (a ; b) thì phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm x 0  (a ; b) . b.2. Nếu f(x); g(x) liên tục và đơn điệu ngược chiều trên (a ; b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trên (a ; b). b.3. + f(x) đồng biến trên ( a ; b) thì f(u) < f( v) u v   + f(x) nghịch biến trên ( a ; b) thì f(u) < f( v) u v   www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH với  u , v  (a ; b) . Nhận xét : Các tính chất và bổ đề trên dễ dàng suy ra từ định nghĩa về hàm số đồng biến , nghịch biến Phần 3. VẬN DỤNG TÍNH CHẤT TRÊN VÀO VIỆC GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH . Trước hết ta sẽ vận dụng tính chất đó vào giải các phương trình,và hệ phương trình. Sau đó là các bài tập vận dụng . Bài 1. Giải phương trình sau trên tập số thực: 3 2 3 x 15x 78x 141 5 2x 9      (1) (Olimpic 30-4 năm 2011) Lời giải: ĐKXĐ: x   PT (1)       3 3 x 5 5 x 5 2x 9 5 2x 9         (*) Xét hàm số đặc trưng :   3 f t t 5t   với t   Ta có:   2 f ' t 3t 5 0 t       suy ra hàm số trên đồng biến trên  Mà phương trình (*) có dạng:     3 f x 5 f 2x 9      3 x 5 2x 9     3 2 x 15x 73x 116 0          2 x 4 x 11x 29 0      x 4 11 5 x 2          Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là 11 5 x 4;x 2    Bài 2. Giải phương trình: 3 2 3 2 2x 1 27x 27x 13x 2      (1) www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH (Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010) Lời giải: ĐKXĐ: x   PT (1)       3 3 2x 1 2 2x 1 3x 1 2 3x 1         (*) Xét hàm số đặc trưng :   3 f t t 2t   với t   Ta có:   2 f ' t 3t 2 0 t       suy ra hàm số trên đồng biến trên  Mà phương trình (*) có dạng:     3 f 3x 1 f 2x 1          3 3 2 3x 1 2x 1 3x 1 2x 1 x 27x 27x 7 0 x 0               Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x 0  Bài 3. Giải phương trình:   3 2 x 3x 4x 2 3x 2 3x 1       (1) (Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010) Lời giải: ĐKXĐ: 1 3x 1 0 x 3      PT (1)       3 x 1 x 1 3x 1 1 3x 1                   3 3 x 1 x 1 3x 1 3x 1         (*) Xét hàm số đặc trưng :   3 f t t t   với t 0  Ta có:   2 f ' t 3t 1 0 t 0      suy ra hàm số trên đồng biến trên   0;  Mà phương trình (*) có dạng:     f x 1 f 3x 1    2 x 1 3x 1 x 2x 1 3x 1          www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH 2 x 1 x x 0 x 0          (Thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x 0;x 1   Bài 4. Giải phương trình: 3 3 6x 1 8x 4x 1     (1) Lời giải: ĐKXĐ: x   PT (1)         3 3 6x 1 6x 1 2x 2x *       Xét hàm số đặc trưng :   3 f t t t   với t   Ta có:   2 f ' t 3t 1 0 t       suy ra hàm số trên đồng biến trên  Mà phương trình (*) có dạng:     3 f 6x 1 f 2x   3 3 1 8x 6x 1 4x 3x 2       (2) Nếu   x 1;1   Đặt   x cost, t 0; π   , phương trình (2) trở thành:     3 1 1 π 2π 4cos t 3cost cos3t t k k 2 2 9 3           Mà   t 0;π   π 5π 7π t ; t ;t 9 9 9    Suy ra: π 5π 7π x cos ;x cos ;x cos 9 9 9    Do phương trình (2) là phương trình bậc ba nên có không quá 3 nghiệm nên phương trình (2) chỉ có 3 nghiệm trên Vậy phương trình đã cho là : π 5π 7π x cos ;x cos ;x cos 9 9 9    Bài 5. Giải phương trình: 2 2 3x(2 9x 3) (4x 2)( 1 x x 1) 0         (1) (Olympic 30-4 ĐBSCL 2000) www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH Giải: Ta thấy phương trình chỉ có nghiệm trong 1 ( ;0) 2    2 2 2 2 PT(1) 3x (2 ( 3x) 3) (2x 1)(2 (2x 1) 3) u(2 u 3) v(2 v 3) (1)                 Với u=-3x, v=2x+1; u,v>0. Xét hàm số 4 2 f(t) 2t t 3t    với t>0 Ta có 3 4 2 2t 3t f '(t) 2 0 t 0 t 3t        Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên   0;  Mà phương trình (1)     f u f v    u=v  -3x=2x+1 1 x 5    Vậy nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là 1 x 5   Bài 6. Giải phương trình: 2 x 1 x x 2 2 2 (x 1)      (1) (ĐH Thủy Lợi 2001-2002) Lời giải: ĐKXĐ: x   Ta có: PT(1) 2 x 1 x x 2 2 (x 1) 2 (x x)         (*) Xét hàm số ttf t  2)( với t   Do ' t f (t) 2 ln2 1 0    với t R    f(t) đồng biến trên R Mà (*) trở thành: 2 f(x 1) f (x x)    2 x 1 x x     x 1   Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 . Bài 7. Giải phương trình: 2 2 2 1 x 1 2x x x 1 1 2 2 2 x      (1) www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH Lời giải: ĐKXĐ : x 0  ; Do 2 2 2 1 2x 1 x 1 1 2( ) x x 2 x      . Nên phương trình (1)  2 2 2 1 x 1 2x 2 x x 2 2 1 1 x 1 1 2x 2 . 2 . 2 x 2 x        (*) Xét hàm số ttf t  2)( với t   Ta có ' t f (t) 2 ln2 1 0    với t R    Hàm số f(t) đồng biến trên R . Mà phương trình (*) trở thành: 2 2 2 1 x 1 2x f( ) f ( ) x x    2 2 2 1 x 1 2x x x     2 x 0 (l) x 2x 0 x 2 (t / m)          . Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình Bài 8. Giải phương trình:   2 3 2 2x 1 log 3x 8x 5 (1) x 1             (Đề thi HSG tỉnh Thái Bình năm 2010-2011) Lời giải: ĐKXĐ: x 1 x 1 0 1 2x 1 0 x 2                PT(1)       2 3 2 2x 1 log 1 3 x 1 2x 1 x 1                                   2 3 2 2 2 3 3 2x 1 log 3 x 1 2x 1 3 x 1 log 2x 1 2x 1 log 3 x 1 3 x 1 *                        Xét hàm số đặc trưng :   3 f t log t t   với t 0  www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH Ta có:   1 f ' t 1 0 t 0 tln3      suy ra hàm số trên đồng biến trên   0;  Mà PT (*) có dạng :       2 f 2x 1 f 3 x 1      2 2 2x 1 3 x 1 3x 8x 4 0             x 2 t / m 2 x t / m 3         Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: 2 x 2;x 3   *Bình luận: Điểm mấu chốt trong bài toán trên là tách hệ số tự do và viết phương trình về dạng     f u f v  để xét được hàm số đặc trưng Bài 9. Giải phương trình: 2 sin 2x cosx 1 log sinx    (1) với π x 0; 2        Lời giải: Do π x 0; 2        suy ra: 0 sin x;cos x 1   Nên PT(1) 2 2 2 log cosx sin 2x cosx 1 log sinx log cosx       2 2 log cosx cos x log sin2x sin2x     (*) Xét hàm số đặc trưng:   2 f t log t t   với   t 0;1  Ta có     1 f ' t 1 0 t 0,1 tln 2      vì: 0 t 1 0 tln2 ln2 lne 1        1 1 1 1 0 tln2 tln2      Suy ra hàm số   f t đồng biến trên khoảng   0;1 , mà phương trình (*) có dạng: www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH     f cosx f sin 2x cosx sin 2x 1 sin x 2 π x 6        Bình luận: Để giải được bài toán trên ta cần phải có kỹ năng thêm bớt và khai thác triệt để giả thiết (điều kiện của biến) Bài 10. Giải phương trình :   2 log cot x tan x 1 cos2x sin 2x     (2) với π x 0; 4        Lời giải: Do π x 0; 4        nên cot x 1 cot x tan x 0 0 tan x 1          Và: cosx sinx 2cos2x cot x tan x sinx cosx sin 2x     nên PT(2) 2 2cos2x log 1 cos2x sin 2x sin 2x           2 2 2 2 π log cos2x log sin2x cos2x sin2x vì 0<sin2x;cos 2x 1 x 0; 4 log cos2x cos2x log sin2x sin2x                  Xét hàm số đặc trưng:   2 f t log t t   với   t 0;1  Ta có     1 f ' t 1 0 t 0,1 tln 2      vì: 0 t 1 0 tln2 ln2 lne 1        1 1 1 1 0 tln2 tln2      Suy ra hàm số   f t đồng biến trên khoảng   0;1 , mà phương trình (*) có dạng: www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH     f cos2x f sin2x cos2x sin 2x tan 2x 1 π x 8        Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là π x 8  Bài 11. Giải phương trình : x 3 3 1 x log (1 2x)     (1) Lời giải: ĐKXĐ: 1 x 2       x 3 x x 3 3 PT(1) 3 x 1 2x log (1 2x) 3 log 3 1 2x log (1 2x) *             Xét hàm số đặc trưng : 3 f(t) t log t   với t 0  Ta có   1 f ' t 1 0 t 0 tln3      suy ra   f t là hàm đồng biến trên   0;  Mà phương trình x x x (*) f (3 ) f(1 2x) 3 2x 1 3 2x 1 0 (2)           Xét hàm số: x x x 2 g(x) 3 2x 1 g'(x) 3 ln3 2 g"(x) 3 ln 3 0          PT g(x) 0   có nhiều nhất là hai nghiệm, mà g(0)=g(1)=0 nên phương trình (2) có hai nghiệm x=0 và x=1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=0 và x=1 Bài 12. Giải hệ phương trình :     3 3 8 4 x 5x y 5y 1 x y 1 2           Lời giải: Từ PT (2) ta có 8 4 x 1;y 1 x 1; y 1      Xét hàm số     3 f t t 5t;t 1;1     www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH Ta có     2 f ' t 3t 5 0; t 1;1       do đó f(t) nghịch biến trên khoảng (-1;1) Mà PT (1)     f x f y x y     thay vào PT (2) ta được PT : 8 4 x x 1 0    Đặt 4 a x  và giải phương trình ta được 4 1 5 1 5 a y x 2 2          Vậy hệ có 2 nghiêm phân biệt là: 4 4 4 4 1 5 1 5 1 5 1 5 ; và ; 2 2 2 2                           * Bình luận :Ngoài việc đưa một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , ta còn phải giới hạn x,y thuộc tập D( từ phương trình thứ hai) để trên để trên đó hàm f đơn điệu Bài 13. Giải hệ phương trình:     5 4 10 6 2 x xy y y 1 4x 5 y 8 6 2             Lời giải: ĐKXĐ 5 x 4   Ta thấy y 0  không thỏa mãn hệ, suy ra y  0. Chia cả hai vế của (1) cho y 5  0 khi đó hệ phương trình đã cho 5 5 2 x x y y (*) y y 4x 5 y 8 6 (2)                     Xét hàm số f(t) = t 5 + t. Ta có f’(t) = 5t 4 + 1 > 0  tR, nên hàm số y = f(t) đồng biến trên R. Mà phương trình (*)  2 x x f f(y) y x y y y            Thay x = y 2 vào (2) ta được phương trình: 4x 5 x 8 6     (3) Xét hàm số   g x 4x 5 x 8 6      với 5 x 4   www.VNMATH.com [...]...  g 1  2 [0;1] [0;1] Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 1  m 2 Bài 15 Giải hệ phương trình: 2 y 1   x  x  2x  2  3  1   y  y 2  2y  2  3x 1  1  GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT (THTT năm 2009) Lời giải: u  u 2  1  3v  Đặt u  x -1; v  y -1 ta được hệ   v  v 2  1  3u  1... hai nghiệm (3;-3) và (7;7) Bài 17 Giải hệ phương trình :  x 2  3x  ln  2x  1  y   2  y  3y  ln  2y  1  x  (Đề thi HSG quốc gia THPT, bảng B, năm 1994) 1 1 Lời giải: Điều kiện : x   ; y   2 2 Cộng vế với vế hai phương trình của hệ ta có: GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT x 2  4x  ln  2x  1  y... nghiệm thực: 2 2 2012 x  2mx  2  20122 x  4mx  m  2  x 2  2mx  m Bài 6 Giải các hệ phương trình sau: 3  x11  xy10  y 22  y12  3   x  3x  y  3y a)  6 b)  6 2 x  y  1  4x  5  y  3  5   GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT 1 1    x 1  y 1  x 1 y 1 c)   x 2  y  30  8x 3  y3  3y...www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT Ta có g '  x   2 1 5   0x   4 4x  5 2 x  8  5  Mà g  x  liên tục trên   ;   nên g  x  đồng biến trên  4   5     4 ;    Suy ra phương trình... 2010) Bài 2 Giải các phương trình: a) sin x  cos x - sin x.cos x  1  ln sin x  cos x  3 4  sin x.cos x GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH trên www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT  sin x  cos x  3  b) cos2x  2 cos x  log 2012    4  sin x.cos x   3x  1  c) log 3    2x 2  7x  4 2   x  1    d) 2x 2  6x  2  log 2 e) log 3 2x... x  y  2   1 3 2  (1) (2) (Đề thi HSG Tỉnh Đồng Tháp 2010) Lời giải: ĐKXĐ:  x  2y  6  0   x  2y  2  0 GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT Khi đó: (1)  y 2  x 2  ln  x 2  1  ln  y 2  1  ln  x 2  1  x 2  1  ln  y 2  1  y 2  1 (3) Xét hàm số đặc trưng : f  t   ln t  t với t  1 , phương... được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1 *Bình luận: Để giải được hệ phương trình trên ta phải nhận dạng hệ là hệ đối xứng loại hai để trừ hai phương trình cho nhau ta với xét được hàm số đặc trưng Bài 16 Giải hệ phương trình:  y2  x 2 x 2  1  2 e y 1  3log  x  2y  6   2log  x  y  2   1 3 2  (1) (2) (Đề thi HSG Tỉnh Đồng Tháp 2010) Lời giải: ĐKXĐ:  x  2y  6  0   x  2y  2  0 GV:... duy nhất  0;0  BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1 Giải các phương trình: a) 3 3x  5  x 3  3x 2  x  3 b) c) 3 6x  2  8x 3  4x  2 d) 8x 2  6x  1  2 e)  5x  6   3 3x  4  x 3  3x 2  x  2 | x |  3x  1 3x 2  x 1 1  x2  5x  7 x 1 f) 2x 3  x 2  3 2x 3  3x  1  3x  1  3 x 2  2 g) 2 x3  10 x 2  17 x  8  2 x 2 3 5 x  x 3 (HSG Tỉnh Bình Định 2010) Bài 2 Giải các phương trình: a) sin... 2   x  2  log 2  1    2 x  2 2 x  x (ĐH Vinh 2010) Bài 3.Chứng minh rằng với mọi m>0 phương trình sau luôn có nghiệm  x 2  mx  2  log 2    2x  x 2  mx  2  1   2x  1   Bài 4 Giải các phương trình: 2 a) 2x 1  4 x  x  1 3 d) e 2 x 5  e x 1  c) 16sin x  8sin x  sin 3x 5 e) cos x.  2 sin x 5  sin x.  2 2 b) 2011sin x  2011cos x  cos2x 1 1  2x  5 x ... trình đã cho có các nghiệm là (1;1) và (1;-1) Bài 14 Tìm m để hệ phương trình:  x 3  y3  3y 2  3x  2  0  có nghiệm thực  2 x  1  x 2  3 2y  y 2  m  0   (Đề ra kỳ này THTT 10/2011) Lời giải: 1  x 2  0 1  x  1  ĐKXĐ:   2  0  y  2 2y  y  0 Đặt t  x  1  t   0;2  , khi đó x 3  y3  3y 2  3x  2  0  t 3  3t 2  y3  3y 2 1 Xét hàm số f  u   u 3  3u 2 trên . SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH Phần 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1 .Tính đơn điệu của hàm số Hàm số. v   www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT LÝ TỰ TRỌNG –NAM ĐỊNH với  u , v  (a ; b) . Nhận xét : Các tính chất và bổ đề trên. là 11 5 x 4;x 2    Bài 2. Giải phương trình: 3 2 3 2 2x 1 27x 27x 13x 2      (1) www.VNMATH.com SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG GIẢI PT-HPT GV: NGUYỄN TRUNG SỸ_THPT