Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn Hỗ trợ học tốn Ơn thi đại học: Câu I / b 2x − có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai x +1 điểm A,B cho AB = Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: x + mx + m + = (x ≠ −1) (*) Bài 1/ Cho hàm số y = (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác –1 khi: m − 8m − 16 > Gọi A( x1 ; x1 + m ) B( x ; x + m ) với x1 x2 nghiệm (*) m   x1 + x = −  2 Ta có:  , AB = ⇔ ( x1 − x ) + 4( x1 − x ) = ⇔ ( x1 + x ) − x1 x = x x = m +   2 ⇔ m − 8m − 20 = ⇔ m = −2 ∨ m = 10 Bài 2/ Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + (m + 3)x + có đồ thị (Cm) Cho M(1 ; 3) d: x – y + = Tìm m để d cắt (Cm) A(0 ; 4), B, C cho tam giác MBC có diện tích S = Giải d: y = x + Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm ) d: x3 + 2mx2 + (m + 3)x + = x + x = ⇔ x3 + 2mx2 + (m + 3)x –x = 0⇔ x(x2 + 2mx + m + 2) = ⇔   x + 2mx + m + = (1) Yêu cầu toán: (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0.Khi : m ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ (2 ; + ∞ ) \ {− 2} Gọi B(b ; b +4), C(c ; c + 4) với b, c nghiệm phương trình (1) BC = (c − b )2 + (c − b )2 = 2(c − b ) = 2(c + b ) − 8bc = 8m − 8(m + ) 1 BC.d (M ; d ) = 8m − 8m + 16 = m2 − m + 2 2 S = ⇔ m – m – = ⇔ m = ∨ m = –2 3x + có đồ thị (C) M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M Bài 3/ Cho hàm số y = x+2 cắt hai tiệm cận (C) A B Tìm tọa độ điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ ( I giao điểm hai tiệm cận) Giải  3a +  Gọi M  a ;  ∈ (C ) a ≠ −2 Phương trình tiếp tuyến (C) M là:  a+2  y= (x − a ) + 3a + 2 a+2 (a + 2) Diện tích tam giác MBC, S = 3a −   Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng: A − ;  a+2   Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận ngang: B(2a + ; ) Giao điểm hai tiệm cận I(–2 ; 3) Tam giác IAB vng I nên có AB đường kính đường trịn ngoại tiếp AB π  64  S =π = 4(a + 2) + ≥ 8π 4 (a + 2)2   Bài 4/ Cho hàm số y = x3 –3x2 + có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d: y = mx + m cắt (C) ba điểm phân biệt A(–1 ; 0), B C cho tam giác OBC có diện tích Giải Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn  x = −1 có ba Phương trình hồnh độ giao điểm d (C): ( x + 1)( x − ) − m = ⇔  ( x − ) − m = m > nghiệm phân biệt khi:  m ≠ [ ( ) ] ( Các giao điểm A(− 1;0 ); B − m ; 3m − m m C + m ; 3m + m m BC = m + m , d (O ; BC ) = m + m2 ) Diện tích tam giác OBC: m S = m + m = m m.S=1⇒m=1 + m2 Bài 5/ Cho hàm số y = x + 2(m − )x + m − 5m + Có đồ thị (C) Xác định m để (C) có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân Giải y / = x + 4(m − )x x = y/ = ⇔  Hàm số có ba cực trị m < Gọi A(0 ; m − 5m + 5) , B − − m ;1 − m x = − m C − m ;1 − m ba điểm cực trị đồ thị Do tính đối xứng, ta có tam giác ABC cân A Gọi H (0 ;1 − m ) trung điểm BC Tam giác ABC vuông A AH = HC ⇔ ( ( (m ) ) − 4m + = − m ⇔ (2 – m)3 = ⇔ m = 2x − Bài 6/ Cho hàm số y = có đồ thị (C) M điểm (C) Tìm tọa độ điểm M x −1 cho tiếp tuyến (C) M vng góc IM ( I giao điểm hai tiệm cận) Giải Giao điểm hai tiệm cận I(1 ; 2)  2x −  −1  ∈ (C ) Hệ số góc tiếp tuyến thị M y' = , Gọi M  x0 ;  x0 −  (x − 1)      2x − 1   , pt IM =  x0 − 1; −  =  x0 − ;    x0 − x0 −  (x0 − 1)2       1 n IM =  −  x − ; x0 − 1 hệ số góc IM, k = ( x − 1)2    k.kM = –1 ⇔ (x0 –1) = ⇔ x0 = ∨ x0 = có điểm cần tìm: (0 ; 1) , ( ; 3) 2x + Bài 7/Cho hàm số y = có đồ thị (C) M điểm (C) Tìm tọa độ điểm M x +1 cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ Giải  2a +  a/ Gọi M  a ;  ∈ (C ) a ≠ −1 a +1   Phương trình tiệm cận đứng: x + = (d1) Phương trình tiệm cận ngang: y –2 = (d2) 1 S = d (M ; d ) + d (M ; d ) = a + + ≥ minS = khi: a + = ⇔ (a + 1)2 = a +1 a +1 k M = y ' ( x0 ) = −1 Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b ) Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn a + = a = ⇔  ⇔  a + = −1  a = −2 Bài 8/ Cho hàm số y = 2x3 + (m + 1)2 –2(m + 4)x + có đồ thị (C) Tìm giá trị m để hàm số có cực trị x1 , x x12 + x ≤ Giải Tập xác định D = R y / = x + 2(m + 1)x − 2(m + ) = Hàm số có cực trị khi: (m + 1)2 + 12(m + 1) > ⇔ (m + 7)2 > ⇔ m ≠ –7 m+4  m + 1 x + x ≤ ⇔ ( x1 + x ) − x1 x ≤ ⇔  −2 ≤ 0⇔  +2   m + 2m + + 6m + 24 − 18 ≤ ⇔ m + 8m + ≤ ⇔ − ≤ m ≤ −1 Vậy: m ∈ (− ;−1] Bài 9/ Cho hàm số y = x4 –2x2 –1 có đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B (C) cho AB song song trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến AB Giải Điểm cực đại (C): M(0 ; –1) Phương trình AB có dạng: y + c = ( c ≠ 0) c = d (M ; AB ) = c − = ⇔   c = −7 Với c = –7 Hoành độ giao điểm AB (C) nghiệm phương trình x4 –2x2 – = –7 (vn) Với c = Hoành độ giao điểm AB (C) nghiệm phương trình x4 –2x2 – = ⇔ x = ⇔ x = ± Vậy A( –2 ; 9), B(2 ; 9)   x = −2  3x + Bài 10/ Cho hàm số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng x+2 cách từ I(–2 ; 3) đến tiếp tuyến lớn Giải  3a +  Gọi M  a ;  ∈ (C ) a ≠ −2 Phương trình tiếp tuyến (C) M là:  a+2  (∆ ) : y = (x − a ) + 3a + hay x − (a + 2)2 y + 3a + 4a + = a+2 (a + 2) 2 2 d (I ; ∆ ) = − − 3a − 12a − 12 + 3a + 4a + 16 + (a + 2) 4 = − 8a − 16 16 + (a + 2) Vì: 16 + (a + 2) ≥ 16(a + 2) = 2.4(a + 2) = 4a + 16 + (a + 2) 4a + ≤ 2 a + = 2 a = d (I ; ∆ ) = ⇔ (a + ) = 16 ⇔  a = −4 2 Bài 11/ Cho hàm số y = x –2m x + có đồ thị (C).Xác định m để (C) có ba cực trị A,B,C diện tích tam giác ABC 32 Giải x = y / = x − 4m x , y / = ⇔  có ba cực trị m ≠ x = m Ba cực trị: A(0 ;1), B − m ;1 − m , C m ;1 − m Do tính đối xứng nên tam giác ABC cân A Gọi H ( ) ( ( ) ) trung điểm BC, suy H ;1 − m Diện tích tam giác ABC: S = AH HC = m S = 32 ⇔ m = 32 ⇔ m = ⇔ m = ±2 Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn Bài 12/ Cho hàm số y = x3 –3x + có đồ thị (C) M điểm (C), Tiếp tuyến (C) M cắt (C) N.Tìm tọa độ điểm M cho độ dài MN = y/ = 3x2 –3 Gọi M m ; m − 3m + Phương trình tiếp tuyến (C) M: y = 3m − ( x − m ) + m − 3m + hay y = 3m − x − 2m + ( ( ) ) ( ) ( ) Hoành độ (C) tiếp tuyến ngiệm phương trình: x − x + = 3m − x − 2m + x = m Hay x − 3m x + 2m = ⇔ ( x − m ) ( x + 2m ) = ⇔   x = −2 m M m ; m − 3m + , N − 2m;−8m + 6m + ( ) ( ( MN = 9m + 9m − 9m ) ) ( = 81m − 162m + 90m = Bài 13/ Cho a , b ∈ R Chứng minh: a+b 1+ a + b ≤ a 1+ a 9m 9m − 18m + 10 + ) b 1+ b Giải x có y / = > ∀x ∈ [0 ; + ∞ ) x +1 (x + 1)2 Vì : a + b ≤ a + b nên: y ( a + b ) ≤ y ( a + b ) hay Xét hàm số y = a+b 1+ a + b ≤ a+b 1+ a + b = a + b ≤ a + b 1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b 2x + Bài 14/ Cho ham số y = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến x +1 cách hai điểm A(2 ; 4) B(– ; –2) Giải  2a +  y/ = Gọi M  a ;  ∈ (C ) Phương trình tiếp tuyến (C) M (x + 1)  a +1  ∆: y = (x − a ) + 2a + hay: x –(a + 1)2y + 2a2 + 2a + = a +1 (a + 1) Theo giả thiết d( A ; ∆ ) = d( B ; ∆ )⇔ − a + a + + a + 2a + − + a + a + + 2a + a + = 4 + (a + 1) + (a + 1) ( ) ( )  − a − 6a − = 4a + 6a − 6a + 12a = ⇔ − a − 6a − = 4a + 6a − ⇔  ⇔ 2  − a − a − = −4 a − a + 2a − =   Bài 15/ Cho hàm số y = –2x + 6x + có đồ thị (C).Xác định m để d: y = mx + cắt (C) hai điểm A, B, C với A(0 ; 1) B trung điểm AC Giải Hoành độ giao điểm d (C) nghiệm phương trình: –2x3 + 6x2 + = mx + ⇔ x = x 2x − 6x + m = ⇔  Theo giả thiết g(x) = phải có hai nghiệm phân biệt  g (x ) = x − x + m = m ≠ m ≠  khác hay  ⇔  Gọi x1 , x hai nghiệm g(x) = B( x1 ; mx1 + 1) , 9 − 2m > m <  ( ) Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn   x = x1  C ( x ; mx + 1) B trung điểm AC nên: x = 2x1 Ta có  x1 + x = Tìm m =  m  x1 x =  2x − Bài 16/ Cho hàm số y = có đồ thị (C).Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh (C) x −1 có khoảng cách chúng nhỏ 1  1  Gọi A1 − a ; −  , B1 + b ; +  ( a, b > 0) hai điểm thuộc hai nhánh (C) a  b      b+ a  2  AB = (b + a ) +   = (a + b ) 1 +  (ab )2  ≥ 4ab 1 + (ab )2  = 4 ab + ab  ≥  ab        a = b  AB nhỏ AB = 2 Khí đó:  ⇒ a = b = Vậy A(0 ; 1) B(2 ; 3) ab = ab  Bài 17/ Cho hàm số y = x3 –3x2 + có đồ thị (C) Gọi (d) đường thẳng qua A(3 ; 4) hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) ba điểm A, B, C cho cho tiếp tuyến (C) B C vng góc Giải y / = 3x − x Phương trình (d): y = k(x –3) Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x − x − kx + 3k = ⇔ ( x − 3) x − k = ⇔ x = Có ba nghiệm phân biệt g(x) = có hai nghiệm khác hay k > 0và k ≠   g (x ) = x − k = Gọi x1 , x hai nghiệm g(x) = Theo giả thiết ta có: y / ( x1 ) y / ( x ) = −1 hay ( (3x )( ) ) − x1 x − x = −1 ⇔ 9( x1 x ) − 18 x1 x ( x1 + x ) + 36 x1 x + = ⇔ 9k2 –36k + = Bài 18/ Cho hàm số y = x4 –2(m + 1)x2 + 2m +1 có đồ thị (C) Xác định m để (C) cắt trục hồnh bốn điểm có hồnh độ a, b, c, d ( a < b < c < d) cho a, b, c, d lập thành cấp số cộng Giải Điều kiện để (C) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt phương trình: x4 –2(m + 1)x2 + 2m +1 = (1) Có bốn nghiệm phân biệt Đặt t = x2 ta có phương trình t2 –2(m + 1)t + 2m +1 = (2) có hai nghiệm m >  dương phân biêt 2m + > ⇔ m > − m ≠ 2 m + >  Gọi t1 t (0 < t1 < t ) hai nghiệm (2), bốn nghiệm (1) − t , − t1 , t1 , t lập thành cấp số cộng khi: t − t1 = t1 = − t1 + t hay t = 9t1  m +1 t1 = t = 9t1  m +1   tìm m = − m = t1 + t = 2(m + 1) hay t = 9 t t = 2m +  1  (m + 1) = 2m + 9 25  Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn 3x − có đồ thị (C) M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M x−2 cắt hai tiệm cận (C) A B Tìm tọa độ điểm M cho độ dài đoạn AB ngắn ĐS : M1( ; 1), M2(3 ; 3) ( tương tự 3) 3x + Bài 20/ Cho hàm số y = có đồ thị (C) M điểm (C).Viết phương trình tiếp x+2 tuyến (C) M biết tiếp tuyến cắt trục hoành A trục tung B cho OA = 4OB Giải y/ = ( x + )2  3a +  Gọi M  a ;  ∈ (C ) a ≠ −2 Phương trình tiếp tuyến (C) M là:  a+2  y= (x − a ) + 3a + 2 a+2 (a + 2) Bài 19/ Cho hàm số y =  3a + 4a +  Giao điểm tiếp tuyến với trục hoành: A − ; 0      3a + 4a +   Giao điểm tiếp tuyến vớitrục tung: B ;  (a + 2)2    2 3a + 4a + 3a + 4a + OA = OB = 3a2 + 4a + > , ∀a ∈ R (a + 2) a = 2 OA = 4OB ⇔ (a + ) = 16 ⇔   a = −6 1 Với a = ta có phương trình: y = (x − ) + hay y = x + 4 1 11 Với a = – ta có phương trình: y = ( x + 6) + hay y = x + 4 Bài 21/ Cho hàm số y = x3 –(m +1)x2 + (m –1)x + 1, có đồ thị (C).Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hoành A(1 ; 0), B, C phân biệt tiếp tuyến đồ thị B C song song Giải y / = 3x2 –2(m + 1)x + m –1 Hoành độ giao điểm (C) trục hồnh nghiệm phương trình: x3 –(m +1)x2 + (m –1)x + = x = ⇔ ( x − 1) x − mx − = ⇔   g ( x ) = x − mx − = (1) Theo giả thiết g(x) = có hai nghiệm khác hay m ≠ Gọi x1 x hai nghiệm (1) Theo giả thiết ta có: y / ( x1 ) = y / ( x ) hay 2 x12 − 2(m + 1)x1 + m − = x − 2(m + 1)x + m − ⇔ x12 − x − 2(m + 1)( x1 − x ) = ⇔ 3( x1 + x ) − 2(m + 1) = x1 − x ≠ ⇔ m = 2x − Bài 22/ Cho hàm số y = có đồ thị (C).Cho A(0 ; 1), B(3 ; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) x +1 cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Giải   Gọi M  m ; −  ∈ (C ) (m ≠ −1) m +1  ( ) ( Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b ) Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn AB = 10 , phương trình AB: x –3y + = 0, d (M ; AB ) = Diện tích tam giác MAB: S = m +1 m + 2m − Gọi g (m ) = m − + g / (m ) = 10 m+ −3 m +1 1 AB.d (M ; AB ) = m + −3 2 m +1 ( m ≠ –1) (m + 1)2 m = −4 g / (m ) = ⇔  m = g( –4) = –10 g(2) = Lập bảng biến thiên hàm g(m) suy bảng biến thiên hàm g (m ) S nhỏ m = , M(2 ; 1) x Bài 23/ Cho hàm số y = có đồ thị (C).Tìm tất cà giá trị m để đường thẳng d: x −1 y = –x + m –1 cắt (C) hai điểm A, B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có bán kính 2 Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: f ( x ) = x − (m − 1)x + m − = (*) (*) phải có hai nghiệm x1 x2 phân biệt khi: m < ∨ m >  x1 + x = m − abc  Ta có:  x1 x = m − Bán kính R = Gọi A( x1 ; − x1 + m − 1) B( x ; − x + m − 1) 4S  f (x ) = f (x ) =  [ ] ( AB = 2( x − x1 ) = ( x1 + x ) − x1 x = m − 6m + [ 2[x ] + m − 1] + m ) OA = x12 + ( x1 − m + 1) = x12 − (m − 1)x1 + m − + m − 4m + = 2 OB = x + (x − m + 1) = d (O; d ) = m −1 2 − (m − 1)x 2 − 4m + = m − 4m + m − 4m + OA.OA AB OA.OB AB OA.OB m − 4m + m − R= = = = = =2 4S AB.d (O, AB ) m − m −1 2 ⇔ m − = ⇔ m = ∨ m = −1 2x − có đồ thị (C) Tìm Hai điểm thuộc hai nhánh (C) x −1 cho khoảng cách chúng nhỏ Giải 2x −1 y= = 2+ x −1 x −1 Tập xác định: D = R \ { } Bài 24/ Cho hàm số y = 1  1  Gọi A1 − a ; −  , B1 + b ; +  ( a, b > 0) hai điểm thuộc hai nhánh (C) a  b  Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn 2  1 1 b+a 2 AB = (b + a ) +  +  = (b + a ) +   = (a + b ) 1 +  b a  ab   ab     ab   = ⇒ AB ≥ 2  = 4 + ab +  ≥ 4 + AB ≥ 4ab1 + +     ab (ab )  ab  ab       a = b  AB = 2  ⇔ a = b = Vậy A(0 ; 1) B(2 ; 3) ab = ab  2 2x − có đồ thị (C) M điểm (C), tiếp tuyến (C) M cắt hai x −1 tiệm cận (C) A B Chứng minh M trung điểm đoạn AB Giải Tập xác định: D = R \ { } 2x −1 y= = 2+ x −1 x −1 −1 y/ = (x − 1)2   Gọi M  m ; +  ∈ (C ) (m ≠ 1) m −1  −1 Phương trình tiếp tuyến (C) M y = (x − m) + + m −1 (m − 1) Tọa độ giao điểm (C) với tiệm cận đứng nghiệm hệ x =    suy A1; +  y = − (x − m ) + + m −1   m −1 (m − 1)  Tọa độ giao điểm (C) với tiệm cận ngang nghiệm hệ y =  y = − (x − m ) + + suy B(2m − 1; 2)  m −1 (m − 1)  Bài 25/ Cho hàm số y =  x A + x B = 2m = x M  Vì:  nên M trung điểm đoạn AB  y A + yB = + m − = yM  2x − Bài 26/ Cho hàm số y = có đồ thị (C).Chứng minh tích khoảng cách từ điểm bất x −1 kỳ (C) đến hai tiệm cận số Giải Tập xác định: D = R \ { } 2x −1 1   y= = 2+ Gọi M  m ; +  ∈ (C ) (m ≠ 1) x −1 x −1 m −1  Phương trình tiệm cận đứng (C): x –1 = Phương trình tiệm cận ngang (C): y –2 = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: d (M ; tcđ ) = m − Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: d (M ; tcn ) = Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b m −1 Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn d (M ; tcđ ).d (M ; tcn ) = m − 1 =1 m −1 2x − có đồ thị (C) Tìm điểm (C) có tổng khoảng cách từ đến x −1 hai tiệm cận (C) nhỏ Giải Tập xác định: D = R \ { } 2x −1 1   y= = 2+ Gọi M  m ; +  ∈ (C ) (m ≠ 1) x −1 x −1 m −1  Phương trình tiệm cận đứng (C): x –1 = Phương trình tiệm cận ngang (C): y –2 = Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: d (M ; tcđ ) = m − Bài 27/ Cho hàm số y = m −1 Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: d (M ; tcn ) = S = d (M ; tcđ ) + d (M ; tcn ) = m − + 1 ≥ S nhỏ m − = hay m −1 m −1 m = =1⇔  có hai điểm cần tìm M1(0 ; 1) M2(2 ; 3) m = 2x − Bài 28/ Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M (C) cho khoảng cách từ x −1 I(1;2) đến tiếp tuyến (C) M lớn Giải Tập xác định: D = R \ { } 2x −1 y= = 2+ x −1 x −1 −1 y/ = (x − 1)2   Gọi M  m ; +  ∈ (C ) (m ≠ 1) m −1  −1 Phương trình tiếp tuyến (C) M y = (x − m) + + m −1 (m − 1) (m − 1)2 Hay : x + (m − 1) y − 2m + 2m − = d (I ; tt ) = + 2m − 4m + − 2m + 2m − 1 + (m − 1) 4 Vì : + (m − 1) ≥ m − nên d (I ; tt ) = d (I ; tt ) nhỏ Cách khác d (I ; tt ) = = m −1 + (m − 1) m −1 + (m − 1) 4 = (m − 1) ⇔ m − = ±1 m −1 + (m − 1) = (m − 1)2 + (m − 1) t (t > 0) với t = (m − 1)2 1+ t Lập bảng biến thiên hàm g(t) khoảng (0 ; + ∞ ) Gọi g (t ) = Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b ≤ Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn 2x − có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M (C) cho tiếp tuyến x −1 (C) M lớn vng góc đường thẳng qua IM với I(1 ; 2) Giải Tập xác định: D = R \ { } 2x −1 y= = 2+ x −1 x −1 −1 y/ = (x − 1)2   Gọi M  m ; +  ∈ (C ) (m ≠ 1) , I(1 ; 2) m −1  −1 (x − m) + + Phương trình tiếp tuyến (C) M y = m −1 (m − 1) (IM ) : x − = y − hay y = (x − 1) + m −1 (m − 1) m −1 1 Theo giả thiết : − = −1 ⇔ = (m − 1) ⇔ m − = ±1 2 (m − 1) (m − 1) Bài 30/ Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x –2 có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến (C) M, biết M với hai cực trị (C) tạo thành tam giác có diện tích S = Giải Hai điểm cực trị A(1 ; 2), B(3 ; –2), AB = Phương trình AB: 2x + y –4 = Goi M m ; m − 6m + 9m − ∈ (C ) Bài 29/ Cho hàm số y = ( d (M ; AB ) = ) 2 m + m − m + 9m − − = m − 6m + 11m − AB.d (M ; AB ) = m − 6m + 11m − m − 6m + 11m − = S =6⇔ m − 6m + 11m − = −6  3x − Bài 31/ Cho hàm số y = có đồ thị (C).Tìm m để đường thẳng d: y = mx –11 cắt (C) hai x+2 điểm phân biệt A, B cho dt (OAB ) = 2dt (OMB ) với M(0 ; –11) Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d: mx2 + 2(m –7)x –21 = (1) (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2 ⇔ m ≠ Gọi A( x1 ; mx1 − 11) B( x ; mx − 11) với x1 x nghiệm phương trình (1) 14 − 2m − 21 Ta có: x1 + x = x1 x = Vì M∈ d nên M, A, B thẳng hàng m m dt (OAB ) = 2dt (OMB ) ⇔ d (O ; AB ) AB = d (O, BM ).BM hay AB = BM  x1 = 3x 2 2 ⇔ ( x − x1 ) + m = x + m ⇔ ( x − x1 ) = 4x ⇔   x1 + x = (loai ) Diện tích tam giác MAB: S = ( ) Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b ( ) Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn  7−m   x1 =  x1 = x 2m   14 − 2m 7−m   Ta có  x1 + x = ⇔  x2 = suy ra: m + 14m + 49 = ⇔ m = −7 (tm) 2m m   21   (7 − m )2 21 x1 x = − =−  3 m  m  4m Bài 32/ Cho hàm số y = (2 − m )x − 6mx + 9(2 − m )x − có đồ thị (Cm ).Tìm tất giá trị m để đường thẳng d: y = –2 cắt (Cm ) ba điểm phân biệt A(0 ; –2), B C cho diện tích tam giác OBC 13 Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm ) d: (2 − m )x − 6mx + 9(2 − m )x = (1) x = ⇔  (2 − m )x + 6mx + 9(2 − m ) = (2) 2 − m ≠  m ≠ 2 (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, khi: ∆/ = 9m − 9(2 − m ) > ⇔  m > 9(2 − m ) ≠  6m x B xC nghiệm phương trình (2), x B + x C = , x B x C = 2−m Gọi B( x B ; − 2) C ( xC ; − ) d (O ; BC ) = , BC = ( xC − x B ) = ( xC + x B ) − x B xC =  6m    − 36 2−m  6m 14  2 − m =  6m  m = 13 BC = 13 ⇔  ⇔  = 49 ⇔   2−m  6m = −7 m = 14 2 − m  2x + Bài 33/Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ M đến x +1 ∆: 3x + 4y –2 = Giải  2a +  Gọi M  a ;  ∈ (C ) a ≠ −1 a +1   2a + 3a + −2 a +1 d (M ; ∆ ) = ⇔ = ⇔ 3a + 9a + 10 = 10 a + 3a − a = ⇔  3a + 19a + 20 =  1  Bài 34/ Cho hàm số y = x − 18mx + x có đồ thị (C) I  ; −  Tìm m để (C) đạt cực đại , 2  cực tiểu A B cho A, B, I thẳng hàng Giải Điều kiện có cực trị  x 2m  / y= −  y + − 8m x + 2m Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị:   ( Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b ) Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn ( ) y = − 8m x + 2m qua I nên Bài 35/ Cho hàm số y = x − x + 3mx + m + có đồ thị (Cm ) Tìm m để đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số tạo với hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích Giải Tập xác định: D = R y/ = 3x2 –6x + 3m Hàm số có cực trị khi: m <  x 1 y =  +  y / + 2(m − 1)x + 2m + Ta có (d): y = 2(m − 1)x + 2m + phương trình đường  3 thẳng qua hai điểm cực trị  m +1  (d): cắt Ox, Oy A ;  B(0 ; 2m + 2) 1− m  m +1 m +1 Diện tích tam giác OAB: S = 2m + = m +1 1− m m −1 (m + 1)2 = m − m = −3 S = ⇔ (m + 1) = m − ⇔  ⇔ m = (m + 1) = − m  Bài 36/Cho hàm số y = x − x + 3(1 − m )x + + 3m có đồ thị (Cm ).Tìm m để (Cm ) có cực đại cực tiểu hai điểm tạo với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Giải Tập xác định: D = R y / = x − x + 3(1 − m ) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi: x − x + − m = (1) có ∆ > ⇔ m >  x 1 Ta có: y =  −  y / − 2mx + 2m +  3 Gọi x1 x hai nghiệm (1) x1 + x = , x1 x = − m d : 2mx + y − 2m − = đường thẳng qua hai điểm cực trị Hai điểm cực trị (Cm ) A( x1 ; − 2mx1 + 2m + 2) B( x ; − 2mx + 2m + 2) AB = x − x1 4m + , d (O ; d ) = Diện tích tam giác OAB S = 2m + + 4m AB.d (O ; d ) = x − x1 m + S = nên: x − x1 m + = ⇔ m m + = ⇔ m = Bài 37/ Cho hàm số y = 2x3 –3x2 + có đồ thị (C).Tìm tọa độ điểm M (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt trục tung điểm có tung độ y = Giải Tập xác định D = R y/ = 6x2 –6x Gọi M m ; 2m − 3m + ∈ (C ) ( ) ( ) Phương trình tiếp tuyến (C) M là: y = 6m − 6m ( x − m ) + 2m − 3m + qua (0 ; 8) 3 nên: = −6m + 6m + 2m − 3m + ⇔ 4m − 3m + = ⇔ m = −1 Vậy : M(–1 ; 0) Bài 38/ Cho hàm số y = x3 –3x2 + có đồ thị (C) Tìm tọa độ hai điểm AB thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song AB = Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn Giải y/ = 3x2 –6x Gọi A(a ; a3 –3a2 +2) B(b ; b3 –3b2 +2) thuộc (C) Theo giả thiết y/(a) = y/(b) ⇔ 3a2 –6a = 3b2 –6b ⇔ b = –a ( a ≠ b) [ ] AB = ⇔ (b − a ) + b − a − 3(b − a ) = 32 2 [ ( ⇔ (b − a ) + (b − a ) [(b ] ) ⇔ (b − a ) + (b − a ) b + ab + a − 3(b − a )(b + a ) = 32 2 2 [ ] ) + ab + a − 3(b + a ) = 32 ] 2 ⇔ (b − a ) + (b − a ) (a + b ) − ab − 3(b + a ) = 32 ⇔ (2 − 2a ) + (2 − 2a ) [4 − a (2 − a ) − 6] = 32 2 [ ] 2 [ ] ⇔ 4(1 − a ) a − 2a − = 32 ⇔ (a − 1) (a − 1) − = Đặt: t = (a –1)2 ≥ 0, được: t( t –3)2 –8 = ⇔ t3 –12t2 +9t –8 = ⇔ t = Vậy: a = a = –1 Với a = suy : A(3 ; 2) , B(–1 ; –2) Với a = suy : A(–1 ; –2), B(3 ; 2) 2x − Bài 39/ Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến x +1 (C) M cắt hai tiệm cận A, B thỏa IA + IB = 40 ( I giao điểm hai tiệm cận) Giải 2m −   Giao điểm hai tiệm cận I(–1 ; 2), gọi M  m ;  ∈ (C ) ( m ≠ –1) m +1   ( x − m ) + 2m − Phương trình tiếp tuyến (C) M: y = m +1 (m + 1) 2m −   Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng A − ;  m +1   Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng B(2m +1 ; 2) 36 IA2 + IB2 = 40 ⇔ + 4(m + 1) = 40 ⇔ (m + 1) − 10(m + 1) + = (m + 1) (m + 1)2 = ⇔  (m + 1) =  Bài 40/ Cho hàm số y = –x3 + 3mx2 –3m –1 có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu (Cm) có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng d: x + 8y –74 = Giải Tập xác định: D = R y/ = –3x2 + 6mx y/ = ⇔ x = ∨ x = 2m, hàm số có cực đại, cực tiểu m ≠ Hai điểm cực trị đồ thị: A(0 ; –3m –1), B(2m ; 4m3 –3m –1), I( m ; 2m3 –3m –1) trung điểm AB I ∈ d AB = 2m ; 4m , vtcp d: u = (8 ; 1) A, B đối xứng qua d khi:   AB ⊥ d ( ) ( )  m + 2m − 3m − − 74 = ⇔  ⇔m=2 16m + 4m =  Bài 41/ Cho hàm số y = x3 –3mx2 + 3(m2 –1)x + m –m3 Xác định m để hàm số có cực trị khoảng cách từ O đến điểm cực đại lần khoảng cách từ O đến điểm cực tiểu đồ thị Giải Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn Tập xác định D = R y/ = 3x2 –6mx + 3(m2 –1) y/ = ⇔ x2 –2mx + (m2 –1) = có ∆/ = > ∀ m∈ R hàm số ln có cực trị lập bảng xét dấu tìm điểm cực đại: A(m –1 ; –2m), điểm cực tiểu B(m +1 ;–2 –m) OA = m − , OB = m + m = −3 m − = m + OA = 2OB ⇔ m − = m + ⇔  ⇔  m = − m − = −2 m −   x −1 Bài 42/ Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm tọa độ điểm M (C), cho tiếp 2x + tuyến (C) M tao6 với hai trục tọa độ thành tam giác có trọng tâm thuộc đường thẳng 4x + y = Giải m −1   G ọi M  m ; (x − m ) + m −  Phương trình tiếp tuyến (C) M,d: y = 2m + (2m + )  2m +   m − 2m −   − m + 2m +   Tọa độ trọng tâm tam ;  , d cắt Oy B ; d cắt Ox A    2(m + 1)      2  − m + m + m − 2m −  − m + m + m − 2m −  G∈d ⇔ giác OAB nên: G ; + =0 2  6 6(m + 1)  6(m + 1)   ⇔ =4 ( m2 –2m –1 ≠ 0) (m + 1) ⇔ m=− ∨m=− 2 Bài 43/ Cho hàm số y = x3 –3x2 –3(m2 –1)x + 3m2 + Xác định m để hàm số có cực trị hai điểm cực trị đồ thị đối cách gốc tọa độ ĐS: 4m2 –1 = Giải y/ = 3x2 –6x –3(m2 –1) y/ = ⇔ x2 –2x + –m2 = có ∆/ > ⇔ m2 > ⇔ m ≠ x −1 / y= y − 2m x − 2m + Tọa độ hai điểm cực trị thỏa mãn: y = −2m x − 2m + Gọi A x1 ; − 2m x1 − 2m + B x ; − 2m x − 2m + hai điểm cực trị đồ thị ( ) ( [ ] ) + 4[m ( x ] 2 Theo giả thiết: OA = OB ⇔ x12 + m ( x1 + 1) + = x 2 + 1) + Bài 44/ Cho hàm số y = x + 3x –mx + Tìm giá trị m để khoảng cách từ trung điểm đoạn nối hai cực trị hàm số đến tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x = nhỏ Giải Txđ y/ = 3x2 + 6x – m Hàm số có cực trị m > –3 , M trung điểm hai cực trị Suy ra: M(–1 ; m + 4) Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x = ∆ : (m –9)x + y + = 16 Khoảng cách từ M đến ∆: d = d (M ; ∆ ) = (m − 9)2 + Bài 45/ Cho hàm số y = x3 –3x2 + có đồ thị (C) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song độ dài đoạn thẳng AB Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn Giải Txđ: D = R y/ = 3x2 –6x Gọi A(a ; a3 –3a2 + 2) B(b ; b3 –3b2 + 2) ( a ≠ b) Hệ số góc tiếp tuyến (C) A kA = y/(a) = 3a2 –6a Hệ số góc tiếp tuyến (C) B kB = y/(b) = 3b2 –6b Theo giả thiết : 3a2 –6a = 3b2 –6b ⇔ (a –b)(a + b –2) = ⇔ b = –a AB = (b − a )2 + [b − a − 3(b − a )]2 [ = ] (b − a )2 + (b − a )2 [b + ab + a − 3(b + a )]2 AB = (2 − 2a ) + (2 − 2a ) (1 − a ) − Đặt t = (1 –a)2 AB2 = 32 nên: 4t + 4t(t –3)2 = 32 ⇔ t + t(t –3)2 = ⇔ t = Tìm a = a = –1 Với a = ⇒ b = –1 ⇒ A(3 ; 2) B(–1 ; –2) Với a = –1 ⇒ b = ⇒ A(–1 ; –2) B(3 ; 2) Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b 2 ... ôn thi Đại học câu I-b ) Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn a + = a = ⇔  ⇔  a + = −1  a = −2 Bài 8/ Cho hàm số y = 2x3 + (m + 1)2 –2(m + 4)x + có đồ thị (C) Tìm giá trị m để hàm. .. = AH HC = m S = 32 ⇔ m = 32 ⇔ m = ⇔ m = ±2 Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn Bài 12/ Cho hàm số y = x3 –3x + có đồ thị (C) M điểm (C), Tiếp tuyến (C)... 24/ Cho hàm số y = 1  1  Gọi A1 − a ; −  , B1 + b ; +  ( a, b > 0) hai điểm thuộc hai nhánh (C) a  b  Tài luyện ôn thi Đại học câu I-b Nguyễn Quốc Quận – Trường THPT chuyên Nguyễn