Đ Ề THI H ỌC SINH GI ỎI HUY ỆN NĂM H ỌC 2011-2012 MÔN: GI ẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH C ẦM TAY CASIO-LỚP 9 Thời gian làm bài: 120 phút Quy đ ị nh: - Thí sinh chỉ đư ợ c sử dụng các loại máy tính CASIO f x -500MS, f x -500ES, f x -570MS, f x - 570ES, ViNaCal -Nếu không có yêu cầu cụ thể, các kết quả cuối cùng là số gần đúng thì lấy đ ế n 5 chữ số sau dấu phẩy Câu 1:.Tính giá trị của biểu thức A = 3 9 6 1 2 4 4 3 5 4 7 5) 9 3 1 1 4 2 3 7 4 6 9 5) ( ) ( ):( ( ): ( )(               Câu 2 : Tính t ổng : S= 1 1.2.3 + 1 2.3.4 + 1 3.4.5 + + 1 98.99.100 Câu 3: Tìm các s ố nguy ên không âm x, y sao cho : x 2 +2xy+2x+2y=307 Câu 4: Cho A= 999993 1999 - 555557 1997 . Ch ứng minh rằng A chia hết cho 5 . Câu 5: Tính giá tr ị biểu thức A=[Sin 2 x +Sin 2 (x+1 0 )+ Sin 2 (x+50 0 )+Sin 2 y+Sin 2 (y-1 0 )+ +Sin 2 (y-50 0 )].[Sinx-Cosx] v ới x=32 0 20 ’ 32 ’’ và y=57 0 39 ’ 28 ’ Câu 6 : Tìm các s ố nguyên x, y sao cho : x + y = 2783 Câu 7: Cho tam giác ABC bi ết rằng AB =5,125cm, AC=6,5652cm, BC=8,435cm.Trên AB, AC l ần l ượt lấy các điểm M, N sao cho AM=2,123cm, CN=1,885cm, đường thẳng MN c ắt đường thẳng BC tại P. Hãy tính độ dài đoạn thẳng BP . Câu 8: Cho tam giác ABC có  A =90 0 , AB=4,692cm, BC=5,851cm a/Tính đ ộ lớn góc B ra độ v à phút. b/G ọi CI là phân giác của góc C(I  AB).Tính đ ộ dài CI c/Tính di ện tích tam giác CIA và diện tích tam giác BIC Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. H ọ v à tên: S ố báo danh: HƯ ỚNG D ẪN CH ẤM THI H ỌC SINH GI Ỏ I HUY ỆN L ỚP 9 NĂM H ỌC 2011-2012 MÔN: GI ẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH C ẦM TAY CASIO Câu 1:.Tính giá trị của biểu thức A = 3 9 6 1 2 4 4 3 5 4 7 5 9 3 1 1 4 2 3 7 4 6 9 5 ( ) ( ):( ) ( ): ( )( )               Ấn máy tính đ ược A  1,15044 (3 đi ểm) Câu 2 : S= 1 1.2.3 + 1 2.3.4 + 1 3.4.5 + + 1 98.99.100 Ta có : 2.S= 1 1.2 - 1 2.3 + 1 2.3 - 1 3.4 + 1 3.4 - 1 4.5 + + 1 97.98 - 1 98.99 + 1 98.99 - 1 99.100 = 1 1.2 - 1 99.100  S=( 1 1.2 - 1 99.100 ) : 2=( 1 2 - 1 9900 ) :2 (1,5 đi ểm) Ấn máy tính đ ư ợc S  0,24995 (0,5 đi ểm) Câu 3: Tìm các s ố nguyên không âm x, y sao cho : x 2 +2xy+2x+2y=307  (x 2 +x)+(2xy+2y)+(x+1)=308  (x+1)(x+2y+1)=308=2 2 .7.11 (2 điểm) Vì x, y đều là số không âm nên x+1 và x+2y+1 đều là các số dương nên ta có bảng sau : x+1 1 2 4 7 11 14 22 28 44 x 0 1 3 6 10 13 21 27 43 x+2y+1 308 154 77 44 28 22 14 11 7 y 153,5(lo ại) 76 36,5(lo ại) 18,5(lo ại) 9,5(lo ại) 4 -4(lo ại) -8,5(lo ại) -18,5(lo ại) x+1 77 154 308 x 76 153 307 x+2y+1 4 2 1 y -36,5(lo ại) -76(lo ại) -153,5(lo ại) V ậy các cặp số (x, y) cần tìm là : (1; 76) ; (13 ; 4) (1 đi ểm) Câu 4:Cho A= 999993 1999 - 555557 1997 . Ch ứng minh rằng A chia hết c ho 5. Ta có 3 4 =81  999993 4 có ch ữ số tận c ùng bằng 1  (999993 4 ) 499 có ch ữ số tận c ùng b ằng 1 mà 999993 1999 = 999993 4.499+3 = (999993 4 ) 499 .999993 3 Ta l ại có 3 3 =27  999993 3 có ch ữ số tận cùng là 7.Do đó 999993 1999 có ch ữ số tận cùng b ằng 7. (1 đi ểm) L ập luận tương tự ta có 555557 1997 có ch ữ số tận cùng bằng 7 (0,5 đi ểm) V ậy A có chữ số tận c ùng bằng 7 -7=0 nên A  5 (0,5 đi ểm) Câu 5: Tính giá tr ị biểu t h ức A=[Sin 2 x +Sin 2 (x+1 0 )+ Sin 2 (x+50 0 )+Sin 2 y+Sin 2 (y-1 0 )+ +Sin 2 (y-50 0 )].[Sinx-Cosx] v ới x=32 0 20 ’ 32 ’’ và y=57 0 39 ’ 28 ’ A=[Sin 2 x +Sin 2 (x+1 0 )+ Sin 2 (x+50 0 )+Sin 2 y+Sin 2 (y-1 0 )+ +Sin 2 (y-50 0 )].[Sinx-Cosx] =[(Sin 2 x+ Sin 2 y)+{Sin 2 (x+1 0 )+ Sin 2 (y-1 0 )}+ +{ Sin 2 (x+50 0 )+ Sin 2 (y-50 0 )}].[ Sinx- Cosx] Ta nhận thấy x+y=32 0 20 ’ 32 ’’ +57 0 39 ’ 28 ’ =90 0  x+1 0 +y-1 0 = = x+50 0 + y-50 0 =x+y=90 0 Do đó Siny=Cosx, Sin(y-1 0 )= Cos(x+1 0 ), , Sin(y-50 0 )= Cos(x+50 0 )  Sin 2 y= Cos 2 x , Sin 2 (y-1 0 )=Cos 2 (x+1 0 ), , Sin 2 (y-50 0 )=Cos 2 (x+50 0 )  A=[(Sin 2 x+ Sin 2 y)+{Sin 2 (x+1 0 )+ Sin 2 (y-1 0 )}+ +{ Sin 2 (x+50 0 )+ Sin 2 (y-50 0 )}].[ Sinx-Cosx]=[( Sin 2 x+ Cos 2 x)+{ Sin 2 (x+1 0 )+ Cos 2 (x+1 0 )}+ +{Sin 2 (x+50 0 )+ Cos 2 (x+50 0 )].[ Sinx-Cosx]=[1+1+ +1].[Sinx-Cosx]=51(Sinx-Cosx) (1,5 đi ểm) 51 s ố 1 Ấn máy tính đ ược A  -15,80453 (0,5 đi ểm) Câu 6 :Tìm các s ố nguyên x, y sao cho : x + y = 2783 (*) (ĐK : x  0 , y  0) 2783 = 121.23 =11 23 nên x và y đ ều phải chứa 23 do đó ta đ ặt x =a 23 và y =b 23 v ới a, b  N khi đó PT (*) tr ở thành: a 23 + b 23 =11 23  (a+b) 23 =11 23  a+b=11 (1 đi ểm) Ta có b ảng sau : a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 b 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x=a 2 .23 0 23 92 207 368 575 828 1127 1472 1863 2300 2783 y=b 2 .23 2783 2300 1863 1472 1127 828 575 368 207 92 23 0 V ậy (x ;y)=(0 ;2783) ; (23 ;2300) ; (1 đi ểm) Câu 7: Cho tam giác ABC bi ết rằng AB=5,125cm, AC=6,5652cm, BC=8,435cm.Tr ên AB, AC l ần lượt l ấy các điểm M, N sao cho AM=2,123cm, CN=1,885cm, đường thẳng MN c ắt đường thẳng BC tại P. Hãy tính độ dài đoạn thẳng BP T ừ C kẻ CK//MN(K  AB) theo đ ịnh lý ta lét ta có : MK MB = CP PB (I) và MA MK = NA NC (II) T ừ (I) và (II) ta có : MK MB . MA MK = CP PB . NA NC  MA MB = CP PB . NA NC  CP PB = MA MB : NA NC K P N M C B A  CP PB = MA MB . NC NA  CP PB = MA AB MA . NC AC NC  PB BC PB  = MA AB MA . NC AC NC  1- BC PB = MA AB MA . NC AC NC  BC PB =1- MA AB MA . NC AC NC  PB=BC:(1- MA AB MA . NC AC NC ) (2,5 đi ểm) Thay s ố vào ấn máy tính được : PB  11,79440 cm (0,5 đi ểm) Câu 8: Cho tam giác ABC có  A =90 0 , AB=4,692cm, BC=5,851cm a/Tính đ ộ lớ n góc B ra đ ộ và phút. CosB= AB BC : Ấn máy tính SHIF Cos -1 ( 4 . 692 a b/c 5 . 851) SHIF STo A 0’’ ( Kq :  B  36 0 41 ’ ) ( 1 đi ểm) b/Tính CI : AC =BC.SinB . Ấn máy tính lưu vào ô nhớ B (HS có th ể áp d ụng định lý Pitago để tính AC) CI= C os 2 AC C = 0 90 os 2 AC B C  . Ấn máy tính được CI  3,91135 cm (1 đi ểm) I C B A c/Tính di ện tích tam giác CIA và diện tích tam giác BIC : S ABC = 1 2 .AB.AC Theo t/c phân giác AI IB = AC BC mà AI IB = AIC BIC S S  AIC BIC S S = AC BC  AIC S AC = BIC S BC = AIC BIC S S BC AC   = ABC S BC AC = . 2( ) AB AC BC AC  S AIC = . 2( ) AB AC BC AC .AC ; S BIC = S ABC -S AIC .(0,75 đi ểm) Ấn máy tính với AC l ấy kết quả từ ô nhớ B lưu vào ô nh ớ C ta đư ợc S AIC  3,06705 cm 2 Ấn máy tính 1 2 .AB.AC - S AIC v ới S AIC l ấy kết quả từ ô nhớ C ta được : S BIC  5,13366 cm 2 (0,25 đi ểm) . A= 99 999 3 199 9 - 555557 199 7 . Ch ứng minh rằng A chia hết c ho 5. Ta có 3 4 =81  99 999 3 4 có ch ữ số tận c ùng bằng 1  (99 999 3 4 ) 499 có ch ữ số tận c ùng b ằng 1 mà 99 999 3 199 9 = 99 999 3 4. 499 +3 . 99 999 3 4. 499 +3 = (99 999 3 4 ) 499 .99 999 3 3 Ta l ại có 3 3 =27  99 999 3 3 có ch ữ số tận cùng là 7.Do đó 99 999 3 199 9 có ch ữ số tận cùng b ằng 7. (1 đi ểm) L ập luận tương tự ta có 555557 199 7 . 2.S= 1 1.2 - 1 2.3 + 1 2.3 - 1 3.4 + 1 3.4 - 1 4.5 + + 1 97 .98 - 1 98 .99 + 1 98 .99 - 1 99 .100 = 1 1.2 - 1 99 .100  S=( 1 1.2 - 1 99 .100 ) : 2=( 1 2 - 1 99 00 ) :2 (1,5 đi ểm) Ấn máy tính đ ư ợc S  0,2 499 5 (0,5 đi ểm) Câu 3: Tìm