http://mathblog.org Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết : 1. Để có hai đường thẳng d và d ′ vuông góc, có thể chứng minh : • −→ u . −→ v = 0, ở đó −→ u và −→ v lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d ′ . • Góc giữa chúng bằng 90 ◦ . • d song song với đường thẳng ∆, còn d ′ vuông góc với ∆ (∆ là đường thẳng nào đó). • d⊥(α) mà (α) chứa d ′ , hoặc d ′ ⊥(β) mà (β) chứa d. • Khi d và d ′ cắt nhau, có thể sử dụng các phương pháp trong hình học phẳng như trung tuyến của tam giác cân, định lí đảo của định lí Pytago, . 2. Để có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α), có thể chứng minh : • d v uông góc với hai đường thẳng cắt nha u trong (α). • d ∥ d ′ mà d ′ ⊥(α). • d⊥(β) mà (β) ∥ (α). • d là trục của tam giác ABC nằm trên mặt phẳng (α) (nghĩa là chứng minh d chứa hai điểm cá ch đều A, B, C). • d là giao tuyến của hai mặt phẳ ng cùng vuông góc với (α). • Sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc : nếu (α)⊥(β) mà d n ằm trong (β) và d vuông góc với giao tuyến của (β) và (α) thì d⊥(α). 3. Để có hai mặt phẳng vuông góc, có thể chứng minh : • Góc giữa chúng bằng 90 ◦ . • Mặt phẳng này chứa đường thẳng vuôn g góc với mặt phẳng kia. • Mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng kia. 4. Ngoài ra, chúng ta cần biết xác định góc, xác định khoảng cách giữa các yếu tố. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông tại A, AH, AM tương ứng là đường cao, trung tuyến xuất phát từ A. A B C H M 201 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • AB 2 + AC 2 = BC 2 (Định lí Pytago); • 1 AH 2 = 1 AB 2 + 1 AC 2 ; AH = AB.AC BC ; • AB 2 = BH.BC; AC 2 = CH.BC; • AM = BC 2 , nếu C = 30 ◦ thì AB = BC 2 . Nhắc lại một số hệ thức lượng trong tam giác. Cho tam g iá c ABC có AB = c, BC = a, CA = b; h a , h b , h c và m a , m b , m c lần lượt là độ các đường ca o và các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; S là d iệ n tích tam g iác ABC; và p = a + b + c 2 là nửa chu vi tam giác. 1. Định lí hàm số cosin : a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A; cos A = b 2 + c 2 − a 2 2bc . 2. Định lí hàm số sin : a sin A = b sin B = c sinC = 2R ⇒ a = 2R sin A. 3. Công thức trung tuyến : m 2 a = 2(b 2 + c 2 ) −a 2 4 . 4. Công thức diện tích tam giác: (a) Tam giác thường S = 1 2 a.h a = 1 2 b.c. sin A = abc 4R = pr = p(p −a)(p −b)(p −c) ⇒ h a = 2S a , R = abc 4S , r = S p . (b) Tam giác ABC vuô ng tại A thì S = 1 2 AB.AC và nếu là tam giác vuông cân cạnh a thì S = a 2 2 . (c) Tam giác ABC đều cạnh a thì S = a 2 √ 3 4 và đường cao bằng a √ 3 2 ; 5. Diện tích hình vuông cạnh a là S = a 2 . 6. Diện tích hình chữ nhật cạnh a, b là S = ab. 7. Diện tích hình bình hành ABCD là S = đáy.cao = AB.AD. sin BAD = 1 2 AC.BD. sin(AC, BD). 8. Diện tích hình thoi ABCD là S = đáy.cao = AB. AD. sin BAD = 1 2 AC.BD. 9. Diện tích hình thang là S = ( đáy lớn + đáy nhỏ ) ×cao 2 . 10. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc là S = 1 2 tích hai đường chéo. 11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng  Nếu ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c k hông đồng phẳng thì vectơ −→ d bất kì biểu thị được một cách duy nhất qua ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c ; nghĩa là tồn tại duy nhất bộ ba số m, n, p sao cho −→ d = m −→ a + n −→ b + p −→ c . Bài 11.1 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Đặt −−→ AA ′ = −→ a , −−→ AB = −→ b , −−→ AD = −→ c . Gọi I là tâm hình bình hành CDD ′ C ′ , J là điểm tr ê n cạnh B ′ C ′ sao cho JB ′ = k.JC ′ (k ∈ R cho trước). Hãy biểu thị các vectơ −−→ CB ′ , −→ AI, −→ IJ theo ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c . Bài 11.2 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A ′ B ′ C ′ . Đặt −→ a = −−→ AC ′ , −→ b = −−→ BA ′ , −→ c = −−→ CB ′ . Gọi M là trung điểm AA ′ và G là trong tâm tam giác ABC. Hãy biểu diễn các vectơ −−→ AA ′ , −−−→ B ′ G, −−−→ MN theo ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c . T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 202 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Vấn đề 2 : Chứng minh các đẳng thức vectơ  1. Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để b iế n đổi vế này thành vế kia và ngược lại. 2. Sử dụng các tính chất của các phé p toán vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho. Bài 11.3 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Chứng minh rằng −−→ AB + −−→ AD + −−→ AE = −−→ AG. Bài 11.4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Ch ứng minh rằng −−→ S A + −−→ SC = −−→ S B + −−→ S D. Bài 11.5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng −−→ S A 2 + −−→ SC 2 = −−→ S B 2 + −−→ S D 2 . Bài 11.6 : Cho đoạn thẳng AB. Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho CA CB = m n , với m, n > 0. Chứng minh rằng với S bất kì ta luôn có −−→ SC = n m + n −−→ S A + m m + n −−→ S B. Bài 11.7 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ cạnh a. Gọi O và O ′ theo thứ tự là tâm của h ai hình vuông ABCD và A ′ B ′ C ′ D ′ . 1. Hãy biểu diễn các vectơ −−→ AO, −−−→ AO ′ theo các vectơ −−→ AA ′ , −−→ AB, −−→ AD. 2. Chứng minh rằng −−→ AD + −−−→ D ′ C ′ + −−−→ D ′ A ′ = −−→ AB. Bài 11.8 : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D phân biệt và khôn g thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình bình hành là : −−→ OA + −−→ OC = −−→ OB + −−→ OD. Vấn đ ề 3 : Chứng minh các điểm thẳng hàng và quan hệ song song  1. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta có thể • Chứng minh vectơ hai −−→ AB và −−→ AC cùng phương, tức là −−→ AB = k −−→ AC. • Chọn một điểm I nào đó và chứng m inh −→ IC = m −−→ OA + n −−→ OB với m + n = 1. 2. Hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song với nhau khi và chỉ khi hai vectơ −−→ AB và −−→ CD cùng phương. 3. Đường thẳng AB không nằm trên (P) và AB ∥ (P) khi và chỉ khi có một đường thẳng CD ⊂ (P) sao cho AB ∥ CD hoặc −−→ AB = x −→ u + y −→ v trong đó các vectơ −→ u và −→ v có giá song song hoặc nằm trên (P). Bài 11.9 : Cho hình h ộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Xét các điểm M, N lần lượt trên các đ ường thẳng A ′ C và C ′ D sao cho −−−→ MA ′ = k −−→ MC, −−−→ NC ′ = l −−→ ND (k và l đều khác 1). Đặt −−→ BA = −→ a , −−→ BB ′ = −→ b, −−→ BC = −→ c . 1. Hãy biểu thị các vectơ −−→ BM và BN qua các vectơ −→ a, −→ b , −→ c . 2. Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đườn g thẳng BD ′ . Bài 11.10 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . M là một điểm trên đường thẳng AB sao cho −−→ MA = m −−→ AB. Tìm điểm N trên đường thẳn g B ′ C và điểm P trên đường thẳng A ′ C ′ sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng (m  0). Bài 11.11 : Cho tứ diện ABCD, M và N là các đ iể m lần lượt thuộc AB và CD sao cho −−→ MA = −2 −−→ MB, −−→ ND = −2 −−→ NC. Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho −→ IA = k −→ ID, −−→ JM = k −−→ JN, −−→ KB = k −−→ KC. Chứng minh rằng các điểm I, J, K thẳng hàn g. Bài 11.12 : Cho hai đường thẳng ∆, ∆ 1 cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượ t tại A, B, C và A 1 , B 1 , C 1 . Với điể m O bất kì trong không gian, đặt −→ OI = −−−→ AA 1 , −−→ OJ = −−−→ BB 1 , −−→ OK = −−−→ CC 1 . Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 203 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.13 : Cho tứ diện ABCD. Gọi B 0 , C 0 , D 0 lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD, ADB và ABC. Gọi G và G 0 là trọng tâm tam giác BCD và B 0 C 0 D 0 . Chứng minh rằng ba điểm A, G 0 , G thẳng hàng. Bài 11.14 : Cho hình hộ p ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . M là điểm trê n cạnh AD sao cho −−→ AM = 1 3 −−→ AD. N là điểm tr ên đường thẳng BD 1 , P là điểm trên đường thẳng CC 1 sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng. Tính −−−→ MN −−→ NP . Bài 11.15 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA ′ , BC, C ′ D ′ lân lượt tại M, N, P sao cho −−−→ NM = 2 −−→ NP. Tính MA MA ′ . Bài 11.16 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . 1. Chứng minh rằng đỉnh A, trọng tâm G của tam giác BDA 1 và đỉnh C 1 thuộc một đường thẳng. 2. Tính tỉ số GA GC 1 . Bài 11.17 : Cho hìn h hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của mặt phẳng ABB ′ A ′ . M là một điểm trên OB ′ . Mặt phẳng (MD ′ C) cắt BC ′ ở I và DA ′ ở J. Chứng minh rằng ba điểm I, M, J thẳng hàng . Bài 11.18 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A ′ B ′ C ′ . Gọi G và G ′ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và A ′ B ′ C ′ , gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB ′ và A ′ B. Chứng minh rằng hai đường thẳng GI và GG ′ song song với nhau. Bài 11.19 : Cho hìn h lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 , gọi E, F là những điểm lần lượt nằm trên các đường chéo CA 1 , AB 1 của các mặt bên sao cho EF ∥ BC 1 . Tìm tỉ số EF BC 1 , xác định vị trí của E, F. Bài 11.20 : Cho hình lăng trụ tam giá c ABC.A 1 B 1 C 1 , điểm M là trung điểm cạnh bên AA 1 . Trên đường chéo AB 1 , BC 1 của các mặt bên lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF ∥ CM. Tìm tỉ số EF CM , xác định vị trí của E, F. Bài 11.21 : Cho hìn h lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh bên AA 1 , CC 1 . Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, AB 1 sao cho EF ∥ BN. Tìm tỉ số EF BN , xác định vị trí của E, F. Bài 11.22 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A 1 B 1 C 1 . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm tr ê n các cạnh bên AA 1 , BB 1 , CC 1 sao cho AM AA 1 = B 1 N BB 1 = C 1 P CC 1 = 3 4 . Hai điểm E, F lần lượt trên các đường thẳng CM, A 1 N sao cho EF ∥ B 1 P. Tìm tỉ số EF B 1 P . Bài 11.23 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Chứng minh rằng tồn tại điểm M duy nhất thuộc đường thẳng AC và điểm N duy nhất thuộc DC 1 sao cho MN ∥ BD 1 . Tính tỉ số MN BD 1 . Bài 11.24 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD ′ và DB sao cho −−→ MA = k −−−→ MD ′ , −−→ ND = k −−→ NB (k  0, k  1). 1. Chứng minh rằng MN ∥ (A ′ BC) ; 2. Khi đường thẳng MN ∥ A ′ C, chứng minh rằng MN vuông góc với AD ′ và DB. Bài 11.25 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm CD và DD ′ ; G, G ′ lần lượt là tr ọng tâm của các tứ d iện A ′ D ′ MN và BCC ′ D ′ . Chứng minh rằ ng đường thẳng GG ′ và mặt phẳng (ABB ′ A ′ ) song song với nhau. Vấn đề 4 : Chứng minh các vectơ đồng phẳng  Muốn chứng minh các vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng chúng ta có thể : 1. Dựa vào định nghĩa : Chứng tỏ các vectơ −→ a, −→ b , −→ c có giá cùng song song với một mặt phẳng. 2. Ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n duy nhất sao cho −→ c = m −→ a + n −→ b , trong đó −→ a , −→ b là hai vectơ không cùng ph ương. Bài 11.26 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Hãy xét sự đồng phẳng của các vectơ : T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 204 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1. −−→ AB, −−−→ A ′ C ′ , −−−→ B ′ D ′ ; 2. −−→ AB, −−→ BB ′ , −−−→ B ′ C ′ ; 3. −−→ AB, −−−→ B ′ D, −−−→ C ′ D ′ . Bài 11.27 : Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho −−→ AM = 3 −−−→ MD và trên cạnh BC lấy điểm N sao cho −−→ NB = −3 −−→ NC. Chứng minh rằng ba vectơ −−→ AB, −−→ DC, −−−→ MN đồng phẳng. Bài 11.28 : Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABFE và K là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành BCGF. Chứng minh rằng ba vectơ −−→ BD, −→ IK, −−→ GF đồng phẳng. Bài 11.29 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM AC = BN BD = k (k > 0). Chứng minh rằng ba vectơ −−→ PQ, −−→ PM, −−→ PN đồng phẳng. Bài 11.30 : Cho hai hình bình hàn h ABCD và AB ′ C ′ D ′ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng các vectơ −−→ BB ′ , −−−→ CC ′ , −−−→ DD ′ đồng phẳn g. Bài 11.31 : Cho hai ngũ giác đều OABCD và OA ′ B ′ C ′ D ′ có chung đỉnh O và nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Chứng minh rằng các vectơ −−→ AA ′ , −−→ BB ′ , −−−→ CC ′ , −−−→ DD ′ đồng phẳn g. Bài 11.32 : Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AD và BB 1 sao cho AM = BN. Chứn g minh rằng ba vectơ −−−→ MN, −−→ AB, −−−→ B 1 D đồng phẳng. Bài 11.33 : Cho tứ diện OABC. Gọi M, N, P là ba điểm trong không gian được xác định từ các hệ thức vectơ sau : −−→ OM = −−→ OA + α −−→ OB −2 −−→ OC; −−→ ON = (α + 1) −−→ OA + 2 −−→ OB + −−→ OC; −−→ OP = (α − 2) −−→ OB + 2 −−→ OC với α là số thực. Tìm α để ba vectơ −−→ OM, −−→ ON, −−→ OP đồng phẳng. Bài 11.34 : Cho góc tam diện Oxyz. Chứng minh rằng các phân giác tron g của các góc yOz, zOx và phân giác ngoài của xOy thu ộc một mặt phẳng. Bài 11.35 : Cho hình hộp ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Gọi α là mặt phẳng đi qua đỉnh D 1 song song với DA 1 và AB 1 . Mặt phẳng này cắt đường thẳng BC 1 tại M, và giả sử −−→ BM = k −−−→ BC 1 . Hãy tính k ? Bài 11.36 : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q là trung điểm cá c cạnh AB và CD. R, S là hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC và BD sao cho AR AC = BS BD . Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S thuộc một mặt phẳng. Bài 11.37 : Cho lăng trụ ABC.A ′ B ′ C ′ . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB ′ và A ′ C ′ . Điểm K thuộc B ′ C ′ sao cho −−−→ KC ′ = −2 −−−→ KB ′ . Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K c ùng thuộc một mặt phẳng. Bài 11.38 : Cho tứ diện ABCD ; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD ; M là điểm thuộc AC sao cho −−→ MA = k 1 −−→ MC ; N là điểm thuộc BD sao cho −−→ NB = k 2 −−→ ND. Chứn g minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi k 1 = k 2 . Bài 11.39 : Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho −−→ AM = 1 3 −−→ AB, −−→ BN = 2 3 −−→ BC, −−→ AQ = 1 2 −−→ AD, −−→ DP = k −−→ DC. Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên một mặt phẳng . 11.2 Hai đường thẳng vuông góc Vấn đề 1 : Tính góc giữa hai vectơ  1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Nếu −−→ OA = −→ a , −−→ OB = −→ b thì ( −→ a , −→ b ) = ( −−→ OA, −−→ OB) = AOB. Đặc biệt • Góc giữa hai vectơ chung gốc hoặc chung ngọn tính bởi công thức ( −−→ OA, −−→ OB) = ( −−→ AO, −−→ BO) = AOB. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 205 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC • Góc giữa hai vectơ có gốc của vectơ này là ngọn của vectơ kia tính bởi công thức ( −−→ AO, −−→ OB) = ( −−→ OA, −−→ BO) = 180 ◦ − ( −−→ OA, −−→ OB) = 180 ◦ − AOB. 2. Dùng hệ quả của tích vô hướng : cos( −→ u , −→ v ) = −→ u . −→ v | −→ u |.| −→ v | . Bài 11.40 : Cho tứ diện đều ABCD, gọi H là trung điểm AB. Tính góc giữa các cặp vectơ sau: 1. −−→ AC và −−→ CD; 2. −−→ CH và −−→ CD. Bài 11.41 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Tính góc giữa các cặp vectơ sau: 1. −−−→ A ′ C ′ và −−→ AB; 2. −−−→ A ′ C ′ và −−→ AB ′ ; 3. −−→ A ′ B và −−−→ B ′ D ′ . Bài 11.42 : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ −−→ OM và −−→ BC. Bài 11.43 : Cho hình chóp tam giác S.ABC có S A = S B = SC = AB = AC = a và BC = a √ 2. Tính góc giữa hai vectơ −−→ AB và −−→ SC. Vấn đề 2 : Tính góc giữa hai đường thẳng a và b  1. Dùng trực tiếp định nghĩa : Lấy hai đường thẳng a ′ và b ′ cùng đi qua một điểm lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc giữa a và b bằng góc giữa a ′ và b ′ . 2. Tính qua góc giữa hai vectơ, cụ thể • Nếu ( −−→ AB, −−→ CD) ≤ 90 ◦ thì ( AB, CD) = ( −−→ AB, −−→ CD). • Nếu ( −−→ AB, −−→ CD) > 90 ◦ thì ( AB, CD) = 180 ◦ − ( −−→ AB, −−→ CD). Nếu tính theo phương pháp vectơ thì cos(AB, CD) = cos( −−→ AB, −−→ CD) . Bài 11.44 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: 1. AC và DA ′ ; 2. BD và AC ′ . Bài 11.45 : Cho tứ diện OABC, có OA = OB = OC = a và OA⊥OB, OB⊥OC, OC⊥OA. Gọi M là trung điểm của OB. Tính côsin góc giữa các cặp đườ ng thẳng : 1. AM và BC ; 2. AM và OP, với P là trung điểm BC. Bài 11.46 : Cho hình chóp S.ABCD c ó đáy ABCD là hình thoi, cạnh bên S A = AB và S A⊥BC. 1. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và BC. 2. Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc S B và S D sao cho IJ ∥ BD. Chứng minh rằng góc giữa hai đường thẳng AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí củ a I và J. Bài 11.47 : Cho tứ diện ABCD có tất cả cá c c ạnh bằng a, gọi M là trung điểm của BC. Tính côsin góc g iữa hai đườn g thẳng AB và DM. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 206 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.48 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC, AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a √ 3. Bài 11.49 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm trên cạnh AB (M không trùng với A và B). Tìm vị trí của M để mặt phẳng qua M và vuông góc với AC, BD cắt tứ diện theo thiết d iện có diện tích lớn nhất. Vấn đ ề 3 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc  Muốn chứng minh AB⊥CD ta thường chứng minh góc giữa AB và CD bằng 90 ◦ hoặc chứng minh −−→ AB. −−→ CD = 0. Bài 11.50 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi M, N lần lượ t là trung điểm của AD và BB ′ . Chứng minh rằng MN⊥A ′ C. Bài 11.51 : Cho tứ diện ABCD có ABD là tam giác đều cạnh a, BCD là tam giác cân có CB = b, AC = c. 1. Chứng minh rằng AC⊥BD ; 2. Tính cosin góc giữa hai vectơ −−→ AB, −−→ CD. Bài 11.52 : Trên các đường chéo D 1 A, A 1 B, B 1 C, C 1 D của các mặt của hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 lấy các điểm M, N, P, Q sao cho : −−−−→ D 1 M = k −−−→ D 1 A; −−→ BN = k −−−→ BA 1 ; −−−→ B 1 P = k −−−→ B 1 C; −−→ DQ = k −−−→ DC 1 . Tìm số thực k để MN⊥PQ. Bài 11.53 : Cho tứ diện đều ABCD cạ nh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh rằng OA⊥CD. Bài 11.54 : Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có cạnh bằng a. Trên c á c cạnh DC và BB ′ ta lần lượt lấy các điểm M, N không trùng với đầu mút sao cho DM = BN. Chứng minh rằng AC ′ ⊥MN. Bài 11.55 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, BC, AD và có MN = PQ. Chứng minh rằng AB⊥CD. Bài 11.56 : Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC⊥B ′ D ′ . Chứng minh rằng nếu ABC = B ′ BA = B ′ BC = 60 ◦ thì A ′ B ′ CD là hình vuông. Bài 11.57 : Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M, N lần lượt thuộc các đườn g thẳng BC, AD sao cho −−→ MB = k −−→ MC và −−→ NA = k −−→ ND, với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt α = ( −−−→ MN, −−→ BA), β = ( −−−→ MN, −−→ CD). Tìm mối liên hệ giữa AB và CD để α = β = 45 ◦ . Bài 11.58 : Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. 1. Chứng minh rằng AD⊥BC. 2. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB, DB sao cho −−→ MA = k −−→ MB, −−→ ND = k −−→ NB. Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC. Bài 11.59 : Cho tứ diện ABCD có CD = 4 3 AB. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD. Biết JK = 5 6 AB, tính góc giữa các đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB. Bài 11.60 : Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α, β, γ là góc giữa BC và AD, AC và BD, AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng a 2 cosα, b 2 cosβ, c 2 cosγ có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại. 11.3 Đường thẳng vuông góc với m ặt phẳng Vấn đ ề 1 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)  1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng phân biệt cắt nh au và nằm trong (P). T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 207 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2. Chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b mà b vuông góc với (P). 3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với (Q) mà (Q) song song với (P). Bài 11.61 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên S A vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm BC. 1. Kẻ đườn g thẳng qua A vuông góc với S I tại H. Chứng minh rằng AH⊥(S BC). 2. Gọi G 1 , G 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và S BC. Chứng minh rằng G 1 G 2 ⊥(ABC). Bài 11.62 : Cho hình chóp S.ABCD c ó đáy là hình thoi và S A = SC. 1. Chứng minh rằng AC⊥(S BD). 2. Kẻ đườn g thẳng qua S vuông góc với (ABCD) tại I. Chứng minh rằng I cách đều A và C. Bài 11.63 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a, AS B = 90 ◦ , BSC = 60 ◦ , ASC = 120 ◦ . Gọi O là trung điểm cạnh AC. Chứng minh rằng S O⊥(ABC). Bài 11.64 : Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều, g ọi I là trung điểm cạnh BC. 1. Chứng minh rằng BC⊥(AID). 2. Vẽ đường cao AH củ a tam giác AID. Chứng minh rằng AH⊥(BCD). Bài 11.65 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a √ 3, mặt bên S BC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D và có S D = a √ 5. 1. Chứng minh rằng S A⊥(ABCD) và tính S A. 2. Mặt phẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đườn g thẳng CB, CD tại I, J. gọi H là hình chiếu vuông góc củ a A tr ên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của S B, S D với (HIJ). Chứng minh rằng AK⊥(S BC), AL⊥(SCD). 3. Tính diện tích tứ giác AKHL. Bài 11.66 : Cho tam giác ABC. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau và giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bài 11.67 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy ABC. Chứng minh rằng S O⊥(ABC). Hãy tổng quát hóa bài toán. Bài 11.68 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, có AB = AC = a và BAC = 120 ◦ , đồng thời S A = S B = SC = 2a. Gọi D là điểm đối xứng của A qua trung điểm của BC. 1. Chứng minh rằng BC⊥(S AD); 2. Tính góc giữa S B và (ABC). Bài 11.69 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là h ình thang vuôn g ( A = 90 ◦ ), đáy lớn AD = 2a và AB = BC = a, đồng thời S A = SC = S D. Gọi M là trung điểm AD. Chứng minh rằng S M⊥(ABCD) và AC⊥(S BM). Vấn đề 2 : Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau  1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia. 2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằ m trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a ′ của a trên (P). 3. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng song song với đường thẳng kia. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 208 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.70 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh S A⊥(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc c ủa điểm A trên các cạnh S B, SC, S D. 1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB), CD⊥(S AD), BD⊥(S AC). 2. Chứng minh rằng SC⊥(AHK) và điểm I ∈ (AHK). 3. Chứng minh rằng HK⊥(S AC), từ đó suy ra HK⊥AI. Bài 11.71 : Hình chóp S.ABCD có đ áy là hình thoi ABCD tâm O và có S A = SC, S B = S D. 1. Chứng minh rằng S O⊥(ABCD). 2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng IK⊥(S BD) và IK⊥S D. Bài 11.72 : Cho tứ diện ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một. Bài 11.73 (Bài toán cơ bản) : Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nh a u. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh rằng: 1. OA⊥BC, OB⊥CA, OC⊥AB. 2. H là trực tâm của tam giác ABC. 3. 1 OH 2 = 1 OA 2 + 1 OB 2 + 1 OC 2 . 4. Tam giác ABC nhọn 5. sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1, trong đó α, β, γ là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). 6. S 2 ∆ABC = S 2 ∆OAB + S 2 ∆OBC + S 2 ∆OCA . Bài 11.74 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông. Bài 11.75 : Cho chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, S A⊥(ABC). 1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB). 2. Gọi AH là đường cao của tam giác S AB. Chứng minh rằng AH⊥SC. Bài 11.76 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạn h a. Mặt bên S AB là tam giác đều, S CD là tam giác vuông cân đỉnh S . Gọi I, J lần lượt là tru ng điểm AB, CD. 1. Tính các cạnh của tam giác S IJ và chứng minh rằng S I⊥(SCD), S J⊥(S AB). 2. Gọi H là hìn h chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng S H⊥AC. 3. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM⊥S A. Tính AM theo a. Bài 11.77 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên S AB là tam g iác đều và SC = a √ 2. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. 1. Chứng minh rằng S H⊥(ABCD) ; 2. Chứng minh rằng AC⊥S K, CK⊥S D. Bài 11.78 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ′ B ′ C ′ . Gọi H là trực tâm tam giác ABC và biết rằng A ′ H⊥(ABC). Chứng minh rằng 1. AA ′ ⊥BC và AA ′ ⊥B ′ C ′ . 2. Gọi MM ′ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA ′ ) với mặt bên BCC ′ B ′ , trong đó M ∈ BC và M ′ ∈ B ′ C ′ . Chứng minh rằng tứ giác BCC ′ B ′ là hình chữ nhật và MM ′ là đường cao của hình chữ nhật đó. T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 209 http://mathblog.org CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 11.79 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên S A vuô ng góc với mặt đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của B qua trung điểm O của cạnh AC. Chứng minh rằng CD⊥CA, CD⊥(SCA). Bài 11.80 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và S A = a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trun g điểm M của cạnh AB; gọi N là trun g điểm AD. 1. Chứng minh rằng BC⊥(S AB) và CN⊥(S D). 2. Tính góc giữa hai đường thẳng S D và AC. Bài 11.81 : Cho hìn h chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và S A = S B. Chứng minh rằng CD⊥(S IJ), trong đó I, J tương ứng là trung điểm của AB và CD. Bài 11.82 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam g iá c vuông tại A; S A⊥(ABC) và H thuộc cạnh AC và thỏa mãn S H 2 = HA.HC. Chứng minh rằng SC⊥(S AB). Bài 11.83 : Cho hình chóp S.ABC có BSC = 120 ◦ ; CS A = 60 ◦ ; AS B = 90 ◦ và S A = S B = SC. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông và S I⊥(ABC), trong đó I là trung điểm của BC. Vấn đề 3 : Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)  1. Sử dụng định nghĩa : Nếu a không v uông góc với (P) thì góc giữa a và (P) bằng góc giữa a và hình chiếu vuông góc a ′ của a trên mặt phẳng (P). 2. Nếu a ∥ (P) hoặc a ⊂ (P) thì góc giữa a và (P) bằng 0 ◦ . 3. Nếu a⊥(P) thì góc giữa a và (P) bằng 90 ◦ . 4. Nếu a không vuông góc với (P) và cắt (P) tại A, ta chọn một điểm B trên a (B không trùng với A) và xác định hình chiếu vuông góc H củ a B lên (P). Khi đó góc giữa a và (P) bằng BAH. (P) A B H ϕ a a ′ Bài 11.84 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuô ng góc với đáy và S A = a. Tính góc giữa nỗi cạnh bên của hình chóp với mặt đáy. Bài 11.85 : Cho hình chóp tứ g iá c S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy và S A = a √ 6. Tính góc giữa 1. SC và (ABCD); 2. SC và (S AB); 3. S B và (S AC); 4. AC và (S BC). Bài 11.86 : Cho lăng trụ đều ABC.A ′ B ′ C ′ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA = a √ 2. 1. Tính góc giữa đư ờng thẳng BC ′ và (ABB ′ A ′ ). T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 210 [...]... ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ABC = 600 Cạnh S C = a và vuông góc với (ABC) Xác định thi t diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua M ∈ S A và vuông góc với S A Đặt AM = x Tính diện tích thi t diện và xác định vị trí của M để thi t diện có diện tích lớn nhất TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 212 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 11.4 Hai mặt phẳng vuông góc Vấn... ABCD là hình vuông thì hai đường chéo của tứ giác AEFG vuông góc với nhau Bài 11.354 : Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, cạnh bên S A vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa S C và (S AB) bằng 30◦ Gọi E, F, G, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên S B, S C, S D, S O TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 235 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 1 Tính góc giữa (a)... = a Tìm thi t diện của tứ diện S ABC với mặt phẳng (α) và tính diện tích thi t diện trong các trường hợp sau: :// m at hb lo g or g 1 (α) qua S và vuông góc với BC 2 (α) qua A và vuông góc với trung tuyến S I của tam giác S BC 3 (α) qua trung điểm M của S C và vuông góc với BC Bài 11.99 : Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S AB là tam giác đều nằm trên mặt phẳng vuông góc với... lo g or g Vấn đề 3 : Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) 1 Lấy mặt phẳng (Q) chứa a mà (Q)⊥(P), (P) ∩ (Q) = c rồi chứng minh a⊥c 2 Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với (P) Bài 11.127 : Cho tam giác ABC vuông tại B Một đoạn AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ AH vuông góc với BD, chứng minh AH⊥(BCD) Bài 11.128 : Cho... tích thi t diện của hình lập phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của MN Bài 11.103 : Cho hình chóp S ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với AB = a, ABC = 600 Cạnh S C = a và vuông góc với (ABC) Giả sử M là một điểm trên đoạn S A sao cho AM = x (M không trùng với A và S ) Xác định và tính diện tích thi t diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và vuông góc với S A Tìm vị trí của M để thi t... , A′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của O, A trên (S BC) Tính độ dài các đoạn thẳng OO′ , AA′ 3 Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và vuông góc với (S BC) Xác định thi t diện cắt bởi (P) và tính diện tích thi t diện đó Tính góc ht tp giữa (P) và (ABCD) Bài 11.137 : Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, S A⊥(ABCD) và S A = a Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt (S CD) 1 Dựng mặt... D Tính thể tích tứ diện AMNP theo V Bài 11.261 : Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông ở B Cạnh S A vuông góc với đáy Từ A kẻ đường AD vuông góc với S B và AE vuông góc với S C Biết AB = a, BC = b, S A = c Hãy tính thể tích hình chóp S ADE Bài 11.262 : Cho hình chóp đều S ABCD Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với S C cắt S B, S C, S D lần lượt tại B′ , C ′ , D′ Biết rằng S B′ 2 = AB = a, SB... Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên S AD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng tứ diện CMNP ht tp vuông góc với đáy Gọi M, N, P lân lượt là trung điểm các cạnh S B, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích khối √ Bài 11.319 (B08) : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, S A = a, S B = a 3 và mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N lần lượt... Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, S A = AB = a, mặt phẳng (S AB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), tam giác S AB vuông Tính bán kính mặt cầu ngọai tiếp hình chóp S ABD Bài 11.323 : Đáy của một hình chóp là một tam giác vuông có cạnh huyền bằng a và một góc nhọn bằng 60◦ Mặt bên chứa cạnh huyền vuông góc với đáy, các mặt còn lại cùng hợp với đáy một góc α 1 Tính thể tích khối chóp này... ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên S AB là tam giác đều và vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB và M là một điểm di động trên đường thẳng BC 1 Chứng minh rằng : S H⊥(ABCD) Tính thể tích hình chóp S ABCD 2 Tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của S lên DM 3 Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và x = CM 11.7.4 Hình chóp có hai mặt vuông góc với đáy Nếu hai mặt vuông góc với đáy thì giao tuyến . http://mathblog.org Chương 11 Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Sau khi học xong chương này, học sinh cần biết : 1. Để có hai đường thẳng d và d ′ vuông góc, có thể chứng minh : • −→ u. đường chéo vuông góc là S = 1 2 tích hai đường chéo. 11.1 Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ Vấn đề 1 : Biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng  Nếu ba vectơ −→ a , −→ b. đường thẳng vuông góc với nhau  1. Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia. 2. Dùng định lí ba đường vuông góc : Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt