MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN THI CĐ ĐH HSG MÔN TOÁN Đề 1 Câu 1 a) Giải phương trình sau trên tập số thực: ( ) 2 2 2x 3x 7 x 5 2x 1+ + = + + b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 x x 4 y y 1 2 6y 5y 1 x 1  + + + + =    − + = +  Câu 2 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x y 1 0 − + = , đường tròn (C) có phương trình ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 9 − + + = và điểm ( ) P 1;1− . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ P đến đường thẳng AB lớn nhất. b) Cho tam giác không vuông ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt BC tại N. Chứng minh rằng: 2 2 NB AB NC AC = . Câu 3 Cho dãy số (u n ) được xác định như sau: 1 2 n 1 n n u 2 u u u , n ∗ + =   = + ∀ ∈  ¥ a) Chứng minh rằng (u n ) là dãy số tăng và không bị chặn trên. b) Đặt 1 2 n n 2 3 n 1 u u u x , n u u u ∗ + = + + + ∀ ∈¥ . Tìm limx n . Câu 4 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1= . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 + + ≤ + + + + + + Câu 5 Tìm m để đồ thị (C m ) của hàm số: ( ) 4 2 2 y x 2 m 1 x 2m m 1= − − + − + có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất. Đề 2 Câu 1 a) Giải phương trình sau trên tập số thực: 2 x x 9 2x 4 x 1+ + = − + + . b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: ( ) ( )  − + =   + + + = + + +   3 2 3 2 y x 1 5 3x x x 1 y 2y y y 1 x 2xy Câu 2 a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ( ) M 8;1 và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B đều khác O) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. b) Cho tam giác không cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt cắt (O) tại D, E và F. Biết DE DF = , chứng minh rằng 2 2 2 AB AC 2BC + = . Câu 3 Cho dãy số (u n ) được xác định như sau: 1 2 n n n 1 u 2 u 2014u u , n 2015 ∗ + =    + = ∀ ∈   ¥ a) Chứng minh rằng (u n ) là dãy số tăng và không bị chặn trên. b) Đặt 1 2 n n 2 3 n 1 u u u x , n u 1 u 1 u 1 ∗ + = + + + ∀ ∈ − − − ¥ . Tìm n limx . Câu 4 Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn ab bc cd da 1+ + + = . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d 1 a b b c c d d a + + + ≥ + + + + . Câu 5 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 3 3 2 2 2 2 x y 3y 3x 2 0 x 3 1 x 2 2y y m 0  − + − − =   + − − − + =   Đáp án đề 1 Câu Tóm tắt lời giải 1a Giải phương trình sau trên tập số thực: ( ) 2 2 2x 3x 7 x 5 2x 1 (1)+ + = + + Phương trình (1) ( ) 2 2 2x 1 x 5 2x 1 3x 6 0⇔ + − + + + + = Đặt 2 t 2x 1= + . Ta có phương trình: ( ) 2 t x 5 t 3x 6 0− + + + = (*) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 5 4 3x 6 x 1∆ = − + − + = −    Phương trình (*) t 3 t x 2 =  ⇔  = +  2 t 3 2x 1 3 x 2= ⇔ + = ⇔ = ± 2 t x 2 2x 1 x 2= + ⇔ + = + 2 x 2 0 x 4x 3 0 + >  ⇔  − − =  x 2 x 2 7 x 2 7 > −   ⇔ ⇔ = ±  = ±   . Vậy ( ) S 2;2 7= ± ± 1b Giải hệ pt sau trên tập số thực: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 x x 4 y y 1 2 (2) 6y 5y 1 x 1 (3)  + + + + =    − + = +  ( ) ( ) 2 2 pt 2 x x 4 2y 2y 4⇔ + + = − + − + ( ) ( ) f x f 2y⇔ = − với ( ) 2 f t t t 4,t= + + ∈¡ ( ) 2 2 t t 4 f t 0, t t 4 + + ′ = > ∀ ∈ + ¡ Suy ra f(t) đồng biến trên ¡ Do đó: ( ) ( ) x f x f 2y x 2y y 2 = − ⇔ = − ⇔ = − Thế x y 2 = − vào phương trình (3) ta được: 3 2 3 3x +5x +2 = 2 x +1 ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 x +1 + 2 x +1 = x +1 + 2 x +1⇔ Đặt 3 3 u = x +1,v = x +1 Phương trình trở thành: ( ) ( ) 3 3 2 2 u 2u v 2v u v u uv v 2 0+ = + ⇔ − + + + = 3 3 x = 0 u = v x +1= x +1 x = 1  ⇔ ⇔ ⇔  −  Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: ( ) 1 0;0 , 1; 2    ÷   − 2a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình x y 1 0 − + = ,đường tròn (C) có phương trình ( ) ( ) 2 2 x 1 y 2 9 − + + = và điểm ( ) P 1;1− . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là tiếp điểm) đồng thời khoảng cách từ P đến đường thẳng AB lớn nhất. Đường tròn (C) có tâm I(1;−2), bán kính R = 3, ( ) ( ) M d M a;a 1∈ ⇒ + . Giả sử ( ) o o A x ;y , ta có: ( ) ( ) o o o o AI 1 x ; 2 y ,AM a x ;a 1 y= − − − = − + − uur uuuur ( ) A C∈ và AI.AM 0= uur uuuur ( ) ( ) 2 2 0 o o o 2 2 0 o o o x y 2x 4y 4 0 x y 1 a x 1 a y a 2 0 + − + − =   ⇔  + − + + − − − =   ( ) ( ) o o a 1 x a 3 y a 2 0⇒ − + + + − = ⇒ phương trình đường thẳng AB: ( ) ( ) a 1 x a 3 y a 2 0− + + + − = Đường thẳng AB đi qua điểm 5 1 K ; 4 4   −  ÷   với a ∀ ∈ ¡ Gọi H là hình chiếu của P trên đường thẳng AB. Ta có: ( ) 10 d P;AB PH PK 4 = ≤ = Do đó ( ) d P;AB lớn nhất AB H K PK.u 0⇔ ≡ ⇔ = uuur uuur a 3⇔ = . Vậy ( ) M 3;4 2b Cho tam giác không vuông ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các tiếp tuyến của (O) tại B, C cắt nhau tại M. Đường thẳng AM cắt BC tại N. CMR: 2 2 NB AB = NC AC . K H N O M C A B Dựng BH, CK vuông góc AM ( ) H,K AM∈ Ta có: ( ) ( ) dtΔABM NB BH = = NC CK dtΔACM · ( ) · ( ) AB.sin ABM = AC.sin ACM · ( ) · ( ) ( ) 2dtΔABC sin ABM = sin ACB = BC.CA Tương tự: · ( ) ( ) 2dtΔABC sin ACM = BC.AB · ( ) · ( ) sin ABM AB = AC sin ACM ⇒ Suy ra: 2 2 NB AB = NC AC 3a Cho dãy số (u n ) được xác định: 1 2 n 1 n n u 2 * u u u , n + =    = + ∀ ∈   ¥ Chứng minh rằng (u n ) là dãy số tăng và không bị chặn trên. Ta có: n * u > 0, n∀ ∈¥ 2 n 1 n n * n ,u u u 0 + ∀ ∈ − = > ¥ Suy ra (u n ) là dãy số tăng. Giả sử (u n ) bị chặn trên. Suy ra (u n ) có giới hạn hữu hạn Đặt ( ) n a limu , a 2= > Khi đó ta có : ( ) 2 a a a a 0 l= + ⇔ = Suy ra (u n ) không bị chặn trên . 3b Đặt 1 2 n n 2 3 n 1 u u u * x , n u u u + = + + + ∀ ∈¥ . Tìm n limx . Ta có: 2 n n 1 n n n 1 n n 1 u 1 1 u u u u u u + + + − = ⇒ = − Do đó: n 1 n+1 n+1 1 1 1 1 x u u 2 u = − = − Do n limu = +∞ nên n n 1 1 1 1 limx lim 2 u 2 +   = − =  ÷   Vậy n 1 limx 2 = 4 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 + + 1 a + b +1 b +c +1 c +a +1 ≤ Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 a +b = a + b a ab + b ab a +b− ≥ ⇒ ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 c a +b +1 ab a +b +1 = a +b +1 a + b +c ab a +b +1 ≥ ⇒ ≤ , do abc=1 Tương tự: 3 3 3 3 1 a 1 b , b +c +1 a +b +c c +a +1 a +b +c ≤ ≤ Suy ra 3 3 3 3 3 3 1 1 1 a b c a + b +c + + + + = =1 a +b +1 b +c +1 c + a +1 a +b +c a + b +c a + b +c a + b +c ≤ Vậy 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 + + ≤ + + + + + + Dấu “=” xảy ra a b c 1⇔ = = = . 5 Tìm m để đồ thị (C m ) của hàm số: ( ) 4 2 2 y x 2 m 1 x 2m m 1 = − − + − + có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất. Ta có: ( ) 3 y' 4x 4 m 1 x= − − ( ) 3 2 x 0 y' 0 4x 4 m 1 x 0 x m 1 =  = ⇔ − − = ⇔  = −  (C m ) có ba điểm cực trị y' 0⇔ = có ba nghiệm phân biệt m 1 0 m 1⇔ − > ⇔ > Tọa độ ba điểm cực trị: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A 0;2m m 1 ,B m 1;m m ,C m 1;m m− + − − + − + Do A thuộc Oy và B, C đối xứng qua Oy nên ∆ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó: ( ) 2 H 0;m m+ Ta có : 1 AB.AC.BC AH.BC S 2 4R = = ( ) ( ) 4 2 2 m 1 m 1 AB R 2AH 2 m 1 − + − ⇒ = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 1 1 3 2R m 1 m 1 m 1 2 m 1 2 m 1 4 ⇔ = + − = + + − ≥ − − − Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 3 m 1 1 m 1 1 m 1 2 2 m 1 >   ⇔ = +  = −  −  3 3 3 1 minR m 1 2 4 2 = ⇔ = + Thí sinh làm bài theo cách khác thì giám khảo chấm điểm tương đương. Đáp án đề 2 Câu Tóm tắt lời giải 1a Giải phương trình trên tập số thực: 2 x + x +9 = 2x 4 x +1− + (1) Điều kiện: x 1≥ − ( ) ( ) ( ) 2 2 x x 9 2x 4 x 1 x 2 5 x 1 2 x 2 x 1⇔+ + = − + + − + + = − + + x 1 = − g không là nghiệm của phương trình. 2 x 2 x 2 x 1:pt(1) 5 2 1 x 1 x 1    ÷   − − > − ⇔ + = + + + g Đặt x 2 t = x 1 − + Phương trình trở thành: 2 t +5 = 2t +1 2 t = 3 ⇔ Khi đó ta có: 2 x +1 = 3x 6− 20+ 4 7 x = 9 ⇔ . Vậy 20 4 7 S 9   +   =       1b Giải hệ phương trình: ( ) ( )      − + = + + + = + + + 3 2 3 2 y x 1 5 3x (2) x x 1 y 2y y y 1 x 2xy (3) Điều kiện: x 1 ≥ Phương trình (3) ( ) ( ) ⇔ − − − + = 2 2 x y 1 y 2y x 0    = − ⇔ − + = 2 2 y x 1 y 2y x 0 ( )     = − ⇔ − + − = 2 2 y x 1 y 1 x 1 0         = − ⇔ = ≥ = y x 1 x 1 (vì x 1) y 1 ⇔ = − y x 1 (vì (1;1) không thỏa phương trình(2)) Thay vào phương trình (2), ta được : ( ) ( )     − = − − − + = ⇔ − = − 3 x 1 1 x 1 3 x 1 2 0 2 x 1 x 3     = ⇔ = + x 2 (n) x 5 2 3 Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) = = + + x,y 2;1 ; x,y 5 2 3;4 2 3 2a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua ( ) M 8;1 và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B (A, B đều khác O) sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất. Ta có: ( ) ( ) A a;0 ,B 0;b ( ) a,b 0> Phương trình đường thẳng d: x y 1 a b + = 8 1 M d 1 a b ∈ ⇒ + = Suy ra: a 8> , b 1> và a b a 8 = − 2 2 2 2 2 a AB a b a a 8   = + = +  ÷ −   Xét hàm số 2 2 x f (x) x x 8   = +  ÷ −   , với x 8> . ( ) 3 16x f '(x) 2x x 8 = − − , f '(x) 0 x 10= ⇔ = (n) Bảng biến thiên: 125 - + 0 10 - ∞ + ∞ 8 f(x) f'(x) x AB nhỏ nhất bằng 5 3 khi a 10,b 5= = Vậy phương trình đường thẳng d: x 2y 10 0 + − = 2b Cho tam giác không cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Các trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt cắt (O) tại D, E và F. Biết DE DF = , chứng minh rằng 2 2 2 AB AC 2BC + = . M N G D C B F E A O Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC; M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. DEG∆ đồng dạng BAG∆ suy ra DE BA DG BG = DFG∆ đồng dạng CAG∆ suy ra DF CA DG CG = Do DE DF = nên suy ra: BA CA AB BG BG CG AC CG = ⇔ = 2 2 2 2 2 2 4 BN AB BG 9 4 AC CG CM 9 ⇔ = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 AB BC AC 2 AB BC AC AB 4 1 AC 2 AC BC AB 2 AC BC AB 4   + − + −   ⇔ = = + −   + −   ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 AB 2 AC BC AB AC 2 AB BC AC     ⇔ + − = + −     ( ) 4 4 2 2 2 AB AC 2BC AB AC⇔ − = − 2 2 2 AB AC 2BC⇔ + = (đpcm) 3a Cho dãy số (u n ) được xác định: 1 2 n n n 1 u = 2 u + 2014u * u = , n 2015 +      ∀ ∈¥ Chứng minh rằng (u n ) là dãy số tăng và không bị chặn trên . Ta có: n * u > 0, n∀ ∈¥ ( ) n 1 n n n 1 * n ,u u u u 1 2015 + − −∀ ∈ =¥ Ta chứng minh: n * u 1> 0, n− ∀ ∈¥ bằng phương pháp quy nạp toán học. 1 1 n =1:u = 2 u 1> 0−⇒ (đúng). Giả sử: k u 1> 0, k 1− ∀ ≥ Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 k 1 k k k k 1 1 u 1 u 2014u 2015 u 2015 u 1 0 2015 2015 + − − −= + = + > Vậy n * u 1 0, n− > ∀ ∈¥ . ( ) n 1 n n * u u 0, n u + −⇔ > ∀ ∈ ⇔¥ là dãy tăng . Giả sử (u n ) bị chặn trên. Suy ra (u n ) có giới hạn hữu hạn. Đặt ( ) n a limu , a 2= > Khi đó ta có: ( ) ( ) 2 a = 0 a + 2014a a = 2015 a =1     ⇔ l l Suy ra (u n ) không bị chặn trên. 3b Đặt 1 2 n n 2 3 n 1 u u u * x , n u 1 u 1 u 1 + = + + + ∀ ∈ − − − ¥ . Tìm limx n . Ta có: ( ) ( ) 2 n 1 n n n 1 n n n 2015u u 2014u 2015 u u u u 1 + + ⇔ − −= + = n n 1 n n 1 u 1 1 2015 u 1 u 1 u 1 + +   −  ÷ − − −   ⇔ = Do đó: n 1 n 1 n 1 1 1 1 * x 2015 2015 1 , n u 1 u 1 u 1 + +     −  ÷  ÷ − − −     = = − ∀ ∈¥ Mà n limu = +∞ nên n limx 2015= 4 Cho bốn số thực dương a,b,c,d thỏa ab+bc+cd+da = 1. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d + + + 1 a + b b +c c +d d +a ≥ . Ta có: 3 2 2 2 2 2 2 a ab ab b a a a a b a b 2ab 2 ≥= − − = − + + Tương tự: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 b c c d d a b ; c ; d b c 2 c d 2 d a 2 ≥ ≥ ≥− − − + + + Suy ra: 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d a + b + c +d + + + a + b b +c c +d d +a 2 ≥ Mà ( ) ( ) 2 a + b +c+d 4 ab+ bc+ cd +da 4 ≥ = a + b + c +d 2⇒ ≥ Nên 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d + + + 1 a + b b +c c +d d +a ≥ Dấu “=” xảy ra 1 a = b = c = d = 2 ⇔ 5 Tìm m để hpt sau có nghiệm thực: 3 3 2 2 2 2 x y 3y 3x 2 0 (4) x 3 1 x 2 2y y m 0 (5)      − + − − = + − − − + = Điều kiện: 1 x 1 0 y 2 − ≤ ≤   ≤ ≤  Phương trình (4) ( ) ( ) 3 3 x 3x y 1 3 y 1⇔ − = − − − Xét hàm số 3 f (t) t 3t= − , với [ ] t 1;1∈ − [ ] 2 f '(t) 3t 3 0, t 1;1= − ≤ ∀ ∈ − ⇒ f(t) là hàm số nghịch biến trên [ ] 1;1− (vì nó liên tục trên đoạn này) Suy ra: x y 1= − Thay vào phương trình (5) ta được: 2 2 x 1 x m 0+ − + = Đặt 2 u 1 x= − , [ ] u 0;1∈ . Ta có phương trình: g(u) = 2 u u 1 m− − = [ ] [ ] 0;1 0;1 5 ming(u) ;maxg(u) 1 4 = − = − Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm 5 m 1 4 ⇔ − ≤ ≤ − . BA CA AB BG BG CG AC CG = ⇔ = 2 2 2 2 2 2 4 BN AB BG 9 4 AC CG CM 9 ⇔ = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 AB BC AC 2 AB BC AC AB 4 1 AC 2 AC BC AB 2 AC BC AB 4   + − + −   ⇔. ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 AB 2 AC BC AB AC 2 AB BC AC     ⇔ + − = + −     ( ) 4 4 2 2 2 AB AC 2BC AB AC⇔ − = − 2 2 2 AB AC 2BC⇔ + = (đpcm) 3a Cho dãy số (u n ) được xác định: 1 2 n n n. 2ab 2 ≥= − − = − + + Tương tự: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 b c c d d a b ; c ; d b c 2 c d 2 d a 2 ≥ ≥ ≥− − − + + + Suy ra: 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c d a + b + c +d + + + a + b b +c c +d d +a 2 ≥ Mà