Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Email: Loinguyen1310@gmail.com (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Vnmath.com Bỉm sơn 15.04.2011 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ - LÔGARIT CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ CHỦ ĐỀ I: PHƯƠNG TRÌNH MŨ BÀI TỐN 1: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I Phương pháp: Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: Dạng 1: Phương trình a f  x   a g  x  TH 1: Khi a số thỏa mãn  a  a f  x   a g  x   f  x   g  x  TH 2: Khi a hàm x a f  x a g x a  a        0  a   a  1  f  x   g  x        f  x   g  x     Dạng 2: Phương trình: 0  a  1, b   a f  x  b    f  x   log a b  Đặc biệt: Khi b  0, b  kết luận phương trình vơ nghiệm Khi b  ta viết b  a  a f  x   a  f  x   Khi b  mà b biếu diễn thành b  a c  a f  x   a c  f  x   c Chú ý: Trước biến đổi tương đương f  x  g  x  phải có nghĩa II Bài tập áp dụng: Loại 1: Cơ số số Bài 1: Giải phương trình sau x 1 a x 1 1 x  16 x 1 b   3 x 3 x 1 3 c x 1  x   36 Giải: a PT  x 1 x 2 33 x  24 x  x   x  x  www.VNMATH.com www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 1 b   3 x  x 1   3 ( x  x 1)  31   ( x  3x  1)  x   x  3x     x  2x 8.2 x  x  36   36 c   36  2.2  4  9.2 x  36.4  2x  16  24  x  Bài 2: Giải phương trình x 1 x 2 a 0,125.4 x 3 x  2       x b x 1 x 1  0, 25  2 7x c x  2.5 x  23 x.53 x Giải:  22  2         5   2  2    b Điều kiện x  1 x x x 3 Pt   22  3 2(2 x 3) PT  2 x 1 x 1 c Pt   2.5  2 x2 7x 2 5 x x  3  x   2  x   2  x   x x6  x 1 x 1 x 3    x  9x     x  x 1    2.5 3x  10 x   103 x  x   3x  x  Bài 2: Giải phương trình:  x  2  x     2  log3 x  x2 Giải: Phương trình cho tương đương:  x2 0 x   x     log3 x log3 x   1    1   ln  x     log3 x ln  x    0 1    x      2 2  2      x    x   x    x  x  x        log x   x   x           x2   ln  x     x    x      2 2       x   x  x     www.VNMATH.com www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bài 3: Giải phương trình: a  10   x 3 x 1   10   x 1 x 3  b  2     x 3  x    x 1 4 Giải: x  a Điều kiện:   x  3 Vì 10   10  3 x x 1 x 1 x 3  x x 1    x2  x   x   x 1 x  Vậy nghiệm phương trình cho x   x  b Điều kiện:  x  2 x  3 2 2 x  x 1 4 PT  x 1 x 3 x  x 1   x 1.2 PT   10     2  x 2   10       x 3    x 1 x x 1           4  x 3  x 2 x 1    x 3 x    2 x 1  x   x  10 x    x 3 x9 Vậy phương trình có nghiệm x  Loại 2: Khi số hàm x Bài 1: Giải phương trình   x  x  sin    x  x2   cos x Giải: Phương trình biến đổi dạng: 1  x  2(*) 2  x  x       x  x   0(1)    x  x  sin x   cos x      sin x  cos x  2(2)    1 thoả mãn điều kiện (*)      Giải (2): sin x  cos x   sin x  x     x    2k  x   2k , k  Z 2 3  Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có: Giải (1) ta x1,2  www.VNMATH.com www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498        2k    1    k      k  0, k  Z ta nhận x3  2  6 2  6  1 Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x1,2  ; x3  1  x 5 x  Bài 2: Giải phương trình:  x  3   x2  x   x2  x 4 Giải: x 5 x  Phương trình biến đổi dạng:  x  3   x  3    x2  x 4   x  3 2( x  x  4) x  1 x  x      0  x     x    x   3 x  x   x  x    x  x  10    Vậy phương trình có nghiệm phân biệt x = 4, x = Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Giải phương trình sau a 4.9 x 1  3.2 x 1 x  b 7.3x 1  x   3x 4  x 3 x x x 4   c  27   37     HD: x 3   a   1 x    2  b   x 1 5 x 1 3   5 d  x  1 x 1   x  1 x 1 x 1   x  1 c x  10 BÀI TỐN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LƠGARIT HỐ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta logarit theo số vế phương trình, ta có dạng: Dạng 1: Phương trình:  0  a  1, b  a f  x  b    f  x   log a b  Dạng 2: Phương trình: (cơ số khác số mũ khác nhau) f x a    b g ( x )  log a a f ( x )  log a b f ( x )  f ( x )  g ( x).log a b www.VNMATH.com www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 log b a f ( x )  logb b g ( x )  f ( x ).log b a  g ( x) Đặc biệt: (cơ số khác số mũ nhau) f  x a a f  x f (x) Khi f  x   g  x   a b        f  x   (vì b f ( x )  ) b b Chú ý: Phương pháp áp dụng phương trình có dạng tích – thương hàm mũ II Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình a (ĐH KTQD – 1998) x.8 x 1 x b 3x  2.4  500 c x  4.5x   d x 2 x x 3 x   18 Giải: a Cách 1: Viết lại phương trình dạng: x.8 x 1  500  5x.2 x 1 x  53.22  5x 3.2 x 3 x 1 Lấy logarit số vế, ta được:  x 3 x 3   x 3  x 3 x 3 x log     log    log  x     x  3 log  log 2  x     x  1     x    log     x   x  log   Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: x  3; x   log x  1   5.2 x    x 3 Cách 2: PT  5 x 3      2x     3( x 1) x   x 3 x 3 2 3 x x 5 x 3  1   2 x    x 3 x   x   1   x  x   log5 5.2   x2  2 xx3  b Ta có  18  log3    log 18   4x  3( x  2)  x2   log3   log   x    log  x x x     x    x  x  3log     x2  x  x  3log  (VN ) x2  2 x 3 x c PT  log 2 x 4  log 52  x  www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com  x    x   log    x   x   log 5  x  x     x   log   x  2  log d Lấy logarit số hai vế phương trình ta được: log 2 x  x  log  x  x  log   x  x   log  , Ta có     log  log  suy phương trình có nghiệm x =  log Chú ý: Đối với phương trình cần thiết rút gọn trước logarit hố Bài 2: Giải phương trình a c x x2 b x  3x    4.34  x log ,5 (sin x  sin x cos x  )  x  22 x 1 d x  x 1  x   3x  3x 3  3x 1 Giải: a Điều kiện x  2 PT  3x 2 x2  34  x    3x   (4  x ) log   x     log   x2  x2  x  4 x      log   x    log x2  b 1 x x x x x 1 x 2 PT    3   2 3 x x  3  x  0 x 0 2 c Điều kiện sin x  5sin x.cos x   * PT  log 21  sin x  5sin x.cos x    log 32   log  sin x  5sin x.cos x     log thỏa mãn (*) cos x   sin x  5sin x.cos x    cos x  5sin x  cos x     5sin x  cos x       x   k  x   k     tan x   tan   x    l   d PT www.VNMATH.com www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  x  5.5 x  25.5x  3x  27.3x  3.3x x 5  31.5 x  31.3x      x  3 Vậy nghiệm phương trình cho x  Bài 3: Giải phương trình a x lg x  1000 x b x log  x    32 x c 7log 25  x  1  x log Giải: a Điều kiện x  d 3x.8 x1  36  lg x.lg x  lg1000  lg x   lg x   lg x    lg x    x  / 10   lg x  1 lg x  3     lg x    x  1000 b Điều kiện x  PT  log x log2  x  4  log 32  log x   log x    log x  1  log x  5   x2 log x    x  log x   32  c Điều kiện x     log5 log25 5 x 1  log x log5   log 25  x   1 log5  log 7.log x   log5 x  1  log5  x   log x    log5 x  log x      log5 x   x    x  125  x  Vậy phương trình cho có nghiệm   x  125 d Điều kiện x  1 x x 1 3x   log x 1  x log    log 3 x   x  1   x  1 log x  log  log 36   2log  x.log  x   x log  1  log 3 x   2log     x  1  log x  Vậy phương trình có nghiệm là:   x  1  log Bài 4: Giải phương trình sau : a x.5 x 1  b 3x 91 x  27 x c x x  www.VNMATH.com d x x  10 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Giải: a Lấy logarit hai vế với số 8, ta 2 1 x.5 x 1   log8 x.5x 1  log8 8 x x 1 1  log8  log8  log8  x  x  log8  1      x   x  log8    x  1   x  1 x  1 log8  x 1    x  1 1   x  1 log8 5      1   x  1 log8   x  1  x  1    x.log8  log8   x   log5 Vậy phương trình có nghiệm: x  1, x   log b PT  3x 32  x 33 x   32 x    x   log 4  x  log   x  log  log  log  x  log  log c Lấy log hai vế phương trình theo số 2 Ta phương trình log 3x  log 2 x   x log  x  x   x ( log  x )     x   log 2 d PT  log (2 x.5x )  log (2.5)  log 2 x  log x  log 2  log  x  x log   log  (log 5) x  x   log  x   1  log x  log   Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: Giải phương trình sau a x.x1 x  100 HD: Điều kiện x   x ( x 1).23 x  52( x 1).22( x 1)  5x  x   22  x x   log 5.( x  x  2)   x    x  1  log 2(loai) b x 3  3x HD:  x 6  3x  x 5  2x www.VNMATH.com www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  x   3( x  2)( x  4)  x   ( x  2)( x  4) log x    x  log  Bài 2: Giải phương trình sau x2 x a  b 2 x x2 x x2 4 3 x2 c x x 5 x 6 2 x d g 53log5 x  25 x e  36.32 x k 9.x log9 x  x Đs: a 0;  log b 2;log  c 3;  log e 4; 2  log3 f log (log 7) g f 57  75 x 3 x 1 x  18 i x 53  5log x d 2;  log h ; 5 k BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - DẠNG I Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình với ẩn phụ Ta lưu ý phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Phương trình  k   k 1a ( k 1) x .1a x    Khi đặt t  a x điều kiện t > 0, ta được:  k t k   k 1t k 1 1t    Mở rộng: Nếu đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t  Khi đó: a f ( x )  t , a f ( x )  t , , a kf ( x )  t k Và a  f ( x )  t Dạng 2: Phương trình 1a x   a x    với a.b   Khi đặt t  a x , điều kiện t  suy b x  ta được: 1t      1t   3t    t t Mở rộng: Với a.b  đặt t  a f ( x ) , điều kiện hẹp t  , suy b f ( x )  t x 2x 2x Dạng 3: Phương trình 1a    ab    3b  chia vế phương trình cho b x  ( 2x x a a a ,  a.b  ), ta được: 1          b b 2x x x a Đặt t    , điều kiện t  , ta được: 1t   2t    b Mở rộng: f Với phương trình mũ có chưa nhân tử: a f , b f ,  a.b  , ta thực theo bước sau: f - Chia vế phương trình cho b f  (hoặc a f ,  a.b  ) www.VNMATH.com 10 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Bước 4: Kết luận nghiệm cho hệ ban đầu II Bài tập áp dụng: 2 log1 x ( xy  x  y  2)  log  y ( x  x  1)   Bài 1: Giải hệ phương trình :  , ( x, y  ) =1 log1 x ( y  5)  log  y ( x  4)  Giải:  xy  x  y   0, x  x   0, y   0, x   Điều kiện:  (I )   x  1,   y     2 log1 x [(1  x)( y  2)]  2log  y (1  x)  log1 x ( y  2)  log  y (1  x)   (1) (I )    =1 = (2) log1 x ( y  5)  log 2 y ( x  4) log1 x ( y  5)  log  y ( x  4)   Đặt log  y (1  x)  t (1) trở thành: t     (t  1)   t  t Với t  ta có:  x  y   y   x  (3) Thế vào (2) ta có: x  x  log1 x ( x  4)  log1 x ( x  4)=  log1 x 1   x  x2  2x  x4 x4  x0  y  1 Suy ra:    x  2  y 1 + Kiểm tra thấy có x  2, y  thoả mãn điều kiện Vậy hệ có nghiệm x  2, y  y  xx 4 y  32 Bài 2: Giải hệ phương trình   log  x  y    log3  x  y  Giải: x  y   Điều kiện:  x  y   x; y    x y   x y 2     2     (1) Biến đổi hệ phương trình dạng:   y x    y x log x  y   2 (2) x  y     x y   Khi (1) có dạng: y x t t  x  2y  1 2  t     2t  5t       t   t  y  2x  y 1 x  + Với x = 2y  (2)  y  y     y  1  x  2(1) Giải (1): Đặt t  www.VNMATH.com 166 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 + Với y = 2x  (2)  x  y  vô nghiệm Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm (2;1)  log x  x  y  log    y Bài 3: Giải hệ phương trình   2 log ( xy  x  y )  log x  2 Giải: x  Điều kiện   xy  x  y  Từ phương trình thứ hai hệ ta có  x  1 x  y    x  y vào phương trình đầu ta có: 2 x x log2 x  log    x  1  2 Đặt t  log x   xt Phương trình 1  2t 1  (t  1)  2t  2t 1  t   2 t  2t    Xét hàm số f  t   2t  t  f '  x   2t ln1   t  R nên f  t  hàm số đồng biến R nên (*) tương đương t   2t   t  1   t   x  Vậy hệ có nghiệm  x, y    2;  log x  y (3 x  y )  log x  y ( x  xy  y )   Bài 4: Giải hệ phương trình  ( x  R) x x y x y 4  2.4  20  Giải: 0  x  y  Điều kiện:  0  x  y  Phương trình (1)  log x  y (3 x  y )  log x  y ( x  y )   log x  y (3x  y )  log x  y ( x  y)  (3) Đặt t  log x  y (3 x  y ) t    t  3t     t t  - Với t  ta có log x  y (3 x  y )   3x  y  x  y  x  thay vào (2) ta Phương trình (3) trở thành t  y  2.40  20  y  18  y  log 18 (thỏa mãn) - Với t  ta có log x  y (3 x  y )   x  y  ( x  y )   thay vào (2) ta (2)  2( x  y ) 2 2x 1 x y  20  2( x  y ) + Thay (4) vào (5) ta 22( x  y )  Đặt u  2( x y ) 2 3x y x y ( x y) x y  20 (5)  20  22( x  y )  x  y  20 (6) u  5(loai ) phương trình (6) trở thành u  u  20    u  www.VNMATH.com 167 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Với u  ta có x  y   x  y   x  y  x  y  x  Ta có hệ   3 x  y  y 1 Vậy hệ có nghiệm  x; y   (0;log 18); (1;1) 2log y  x   Bài 5: Giải hệ phương trình:  x x 1 2 log y  log3 y   Giải: Điều kiện: y  ( x, y   ) Đặt a  log y; b  x (b  0)  a   b  a   2a  b   b  2    Hệ cho tương đương với   a  ab  2a  2b 2a  10a     b   log y  a   y  81 ta có  x Với   x  b  2  Vậy hệ có nghiệm ( x; y )  (2;81) 2.log3 y  log x   Bài 6: Giải hệ phương trình :   log y  (log x  1).log  Giải: x  Điều kiện  y  2.log y    log x 2  2.log y  log x    Hệ phương trình   log y   log x  log y  log x    log  2.b  a  a  log x Đặt  HPT trở thành:  b  log y b  a  2  a  2  a  1  a  a  2a      b  a  b  b  a   log x  x  (thỏa mãn)   y  log y  Vậy hệ có nghiệm nhất:  x; y    2;1 www.VNMATH.com 168 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Bài 7: (ĐHCT – 2001) Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt: (1) log ( x  1)  log ( x  1)  log   (2) log ( x  x  5)  m log x2 2 x 5   Giải: Ta có: 1  log ( x  1)  2log( x  1)  2log  log ( x  1)  log ( x  1)  x   2( x  1)  1 x  2( x  1)  Đặt t  log ( x  x  5) (2) trở thành: t  Ta có: t '  m   t  5t  m  t 2x   0, x  (1,3)  t  log ( x  x  5)  f ( x) đồng biến (1;3) ( x  x  5) ln 2 Lại do: t  f  x  đồng biến (1, 3) nên  x    t  2  t  Vậy hệ có nghiệm phân biệt   có nghiệm phân biệt t  5t  m  Xem hàn số: y  f (t )  t  5t (2, 3) Bảng biến thiên:  25  Dựa vào bảng biến thiên ta có đáp số m    ; 6     2 log 3 x (6  y  xy  x )  log  y ( x  x  9)  Bài 8: (ĐHTS – 2001) Giải hệ phương trình:  log 3 x (5  y )  log  y ( x  2)   Giải: 2 log 3 x   y  xy  x   log  y  x  x    (1)  Giải hệ phương trình:  (2) log 3 x   y   log  y ( x  2)   www.VNMATH.com 169 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 0   x  0   y   6  y  xy  x   Điều kiện:  x  6x   5  y    x   2  x   x   y  y 1  Ta có (1)  log 3 x   y )(3  x   log  y   x     log 3 x (2  y )  1  log 2 y   x   (vì  y  – x  )  log 3 x (2  y )  log 2 y 3  x   (*) Đặt t  log (2  y ) (*) trở thànht: t    t  2t   (vì t = không nghiệm) 3 x t (2  y )    x   y  y  x  Do phương trình (1)  log 3 x Thế y  x  vào (2) ta được: log (6  x)  log ( x  2)  3 x 3 x  log (6  x)  log ( x  2)  log (3  x)  log (6  x)  log ( x  2)(3  x) 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x x    x  ( x  2)(3  x )  x  x     y  1 x   loai   x  Vậy hệ phương trình có nghiệm   y  1 Bài tập tự giải có hướng dẫn: 4 y log x   Bài 1: Giải hệ phương trình sau :  2 y log x    HD: Đặt: u  22 y  0, v  log x uv  Hệ phương trình    u  v   x  4; y    u  v  BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ I Phương pháp Ta thực theo bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cho biểu thức hệ có nghĩa Bước 2: Từ hệ ban đầu xác định phương trình hệ theo ẩn theo ẩn, giải phương trình phương pháp hàm số biết www.VNMATH.com 170 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Bước 3: Giải hệ nhận II Bài tập áp dụng: log x    log y  Bài 1: Giải hệ phương trình  log y    log3 x  Giải: Điều kiện x; y  Biến đổi tương đương hệ dạng:   log  x  3  1  log y  log  x  3  1  log y   (I)  log  y  3  1  log x  1  log x   log  y  3      log  x  3  log x  log  y  3  log y (1) Xét hàm số: f  t   log  t  3  log t Miền xác định D   0;   Đạo hàm f  t     0, t  D  hàm số đồng biến  t  3 ln t.ln Vậy phương trình (1) viết dạng: f  x   f  y   x  y x  y  Khi hệ (I) trở thàmh:  log  x  3  1  log x  (2)  (II) Giải (2):  x   221 log3 x   x   4.2log3 x  x   4.2log3 2.log2 x    x   x log3 2  x   4.x log3  x1log3  x  log3  (3) Xét hàm số g  x   x1 log3  3.x  log3 Miền xác định D   0;   Đạo hàm: g '  x   1  log  x  log3  3log 4.x 1 log3  x  D  hàm số ln nghịch biến Vậy phương trình (3) có nghiệm nghiệm Nhận xét x = nghiệm phương trình bới đó: 11log3  3.11 log3    x  y Khi hệ (II) trở thành:   x  y 1 x  Vậy hệ cho có nghiệm (1;1)  x  x  ln(2 x  1)  y (1)  Bài 2: Giải hệ phương trình:   y  y  ln(2 y  1)  x (2)  Giải: 1 Điều kiện: x   ; y   2 www.VNMATH.com 171 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Lấy 1 –    f  x   f  y  Với f  t   t  4t  ln  2t  1 (t   )  f đồng biến  x = y 2  g  x   x  x  ln  x  1  ; g(x) đồng biến  x = nghiệm Thử lại thỏa mãn Vậy hệ có nghiệm x = y = Bài 3: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: (2 x  1)  ln( x  1)  ln x  = (2 y  1) ln( y  1)  ln y  (1)   (2)  y   ( y  1)( x  1)  m x    Giải: x  Điều kiện  y  x 1 Đặt f  x    x  1  ln  x  1 – ln x   (2 x  1) ln   x Gọi x1 ; x2  [0;+) với x1  x2 x1   x2     Ta có : x1  x2    f ( x1 )  f ( x2 ) : f(x) hàm số tăng ln  ln  0 x1 x2  Từ phương trình (1)  x = y x 1 x 1 (2)  x   ( x  1)( x  1)  m x     24 m0 x 1 x 1 x 1 Đặt X  0≤X1  x = y  2007   g ”  x   x2  kết hợp tính liên tục hàm số  đpcm BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I Phương pháp: II Bài tập áp dụng: www.VNMATH.com 174 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com e x  e y   log y  log x  xy  1 (1)  Bài 1: (ĐHTN – 1997) Giải hệ phương trình  2  x  y  1(2)  Giải: Điều kiện x; y  Giải (1) ta có nhận xét sau: VT1   - Nếu x  y  log x  log y , đó:   (1) vơ nghiệm VP1    VT1   - Nếu x  y  log x  log y , đó:   (1) vơ nghiệm VP1    - Vậy x  y nghiệm (1) x  y x  y x  y  Khi hệ có dạng:    x y 2  x  y  2 x   x    1  Vậy hệ có cặp nghiệm  ;   2 log  x  y   x  y   Bài 2: Giải hệ phương trình  log x  y   xy  1  x  y   Giải: x  y  x  y   Điều kiện:  xy    0  x  y    xy    Từ phương trình thứ hệ với viếc sử dụng ẩn phụ t  x  y  , ta được: log t  t  Đặt u  log t  t  2u phương trình có dạng: log t  u  x  y 1 Bernoulli 2u  u       u  x  y  log t   x  y   x  y   x  0; y  x  y  + Với x + y = hệ có dạng:       xy    xy   x  1; y  log  xy  1  x  y  x  y  x  y   + Với x + y = hệ có dạng:    log  xy  1   xy    xy   Khi x; y nghiệm phương trình: t  2t   vô nghiệm Vậy hệ có cặp nghiệm (0;1) (1;0) log y  log x   y  x  x  xy  y * 3  2 Bài 3: Giải hệ phương trình:  x2  y    www.VNMATH.com  175 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 Giải: Điều kiện: x > ; y > y  Ta có : x  xy  y   x    y  x, y >0 2   VT(*)   (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm Xét x > y  log x  log y    VP(*)  2 Xét x < y  log x  log VT(*)  y  (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm VP(*)  0  Khi x = y hệ cho ta   x = y = (do x, y > 0) 2 x  y  Vậy hệ có nghiệm  x; y   2;   Bài tập tự giải có hướng dẫn:  x   3x  k   Bài 1: (ĐHDB - 2002) Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm  1  log x  log  x  1  2 HD: Xét BPT ta có log x  log  x  13  - Giải xong 1  x  3 - Xét BPT x   3x  k   k  f ( x)  x   x - Xét 1  x  , k  f ( x)  1  x   x log (1   tan x   log (1  tan y )  Bài 2: Giải hệ phương trình:  log (1   tan y   log (1  tan x )  HD: Nếu ba số x, y, z Giả sử x = y –  y ln y  y   y – – y ln y f ’  y    ln y; f ’  y    y  f 1  Nếu  y  f ’  y   suy f  y   Nếu y  f ’  y   suy f  y   Xét f Vậy y = nghiệm Bài tập tổng hợp tự giải: Bài 1: Giải hệ phương trình sau www.VNMATH.com 176 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  x  x  log (6  y )  x   a  y  y  log (6  z )  y  z  z  log (6  x)  z   log  3sin x  log3 (3cos y )  c  log  3cos y  log (3sin x )  log x xy  log y x  e  log x y y  4y   Bài 2: Giải hệ phương trình sau y  x x y   32 a 4 log  x  y    log  x  y   log x  3x  y   log y  y  x    c  log x  3x  y  log y  y  x    www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com  x  3x   ln( x  x  1)  y  b  y  y   ln( y  y  1)  z  z  3z   ln( z  z  1)  x   x3  3x2  y3  y   d   x2  y 1  log y  y    log x  x     x  3      lg  x  y    3lg  f  lg  x  y   lg  x  y   lg   x log3 y  y log3 x  27 b  log y  log x  log  log x   log  log y   d  log  log x   log  log x   log  x  y   log  x    log  x  y  4log  xy     xy log3   e  f  x 2  x  y  x  y  12 log  xy  1  log  y  y  x    log   y   x  x   x   x   e (ĐHM – 1999)  với   tùy ý  Đs: a (2;1) b   y  x  y   y    f (1;3), (3;1) Bài 3: Giải hệ phương trình sau  lg x  lg y  lg xy  2.log1 x   xy  x  y    log 2 y  x  x  1   a  b  lg x  y   lg x lg y  log1 x  y    log 2 y  x      log x  log y   log  c  log  x  y     x log8 y  y log8 x  d  log x  log y  2 x  xy  y  14  e  log  x 1  y    log y   x  1   Đs: 5 log x  log y  8  f  5 log x  log y  9  www.VNMATH.com 177 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com  x  x    d.(TCKT – 2001)   y  x    Bài 4: Giải hệ phương trình sau log x 3x  y   a  log y 3 y  x    4x  x   y  b  x log x  y   1  log x  log y  c   x  y2  2y   2log y x  log x y   d   xy   x  y  log y  log x 2  xy  e  3  x  y  16 lg y  lg x 3  f  4 x lg  3 y lg    Đs: d  x; y    4;  ,  2;  a  x; y    5;5  Bài 5: Giải hệ phương trình sau  x  log y  a  x  y  y  12  81y   log x  log y  c  2 x  y   lg x  lg y  e  2  x  y  29 Bài 6: Giải hệ phương trình sau  y log y x   y  a  log x xy  log y x  log x  log y   log c   x  y  20  Đs: d x  y  Bài 7: Giải hệ phương trình sau log xy  log x y  a  y x y  2 3  log xy   b  x log y   log x  log y   log d  x  y  5  log y x  y.x  x2 f  log y log y  y 3 x     xy  b  2 lg x  lg y  log x y  log y x   d   3 x  y     x( y  1)  y ln y  b  y ( z  1)  z ln z  z ( x  1)  x ln x  www.VNMATH.com 178 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498     log   x  log 1  y    c  log   y  log 1  x    Đs: a x  y  log 2  x   6log y (1)  d  x x 1 (2) y  y    y ln y x  y    z ln z b Nếu x  theo y, z  hệ cho   y   hệ vô nghiệm ( z  1)   x ln x z  ( x  1)  d  x; y    –1;1   4;32  Bài 8: Giải hệ phương trình sau log x  log y   log log x  log y   b  a   x  y  16 log 27 ( x  y )   5 log x  log y  log 2  log ( x  y )  log ( x  y )   c  d  log y   log x  xy   3x  log x ( x  y )   x log  log y  y  log 2   e  f   x log 12  log x  y  log y log x  log x y     log x ( x  1)  lg 1,7  y  lg x    g  h  log (3   x  x )  0,5  y  lg x     xy  a lg ( x  y )  log x y    i  k  l  2 lg y  lg x  lg log x1 ( y  23)  lg x  lg y  (lg a )   Đs:  32  a  x; y    3;  ,  6;3 b 2; c  2;  2  3   3   29  d  3;1   ; e 1;  f  5;  g  ;     2  3     1  10 20  1   h 10; i  2;  k  10; 20    ;  l  ; a    a3 ;  a  3  a   Bài 9: Giải hệ bất phương trình sau     www.VNMATH.com 179 Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 www.VNMATH.com Email: Loinguyen1310@gmail.com log x  log x   a  x   3x  x   3  x  1 lg  lg(2 x 1  1)  lg(7.2 x  12)  c  log x  x     ln(1  x)  ln(1  y )  x  y e  2  x  12 xy  20 y   2 e (0;0) Đs: d   ;   5  x  1 log  log  x 1  1   log  7.2 x  12   b  log x  x     log1 x (1  y  y )  log1 y (1  x  x )   d  log1 x (1  y )  log1 y (1  x)   HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGA CÓ CHỨA THAM SỐ 1  log x  log y  Bài 1: Cho hệ  (a tham số)  x  y  ay   a Giải hệ a  b Tìm a để hệ có nghiệm Đs: a  log x (ax  by )  log y (ay  bx)   Bài 2: Cho hệ  log x (ax  by ) log y (ay  bx)   a Giải hệ a  3, b  b Giải biện luận a  0, b  log x ( x cos   y sin  )  log y ( y cos   x sin  )   Bài 3: Cho hệ  log x ( x cos   y sin  ) log y ( y cos   x sin  )    a Giải hệ     b Cho    0;  biện luận hệ  2 x  y  a Bài 3: Xác định a để hệ có nghiệm    a  1 log ( x  y )  log ( x  y )  Góp ý theo địa Email: Loinguyen1310@gmail.com địa chỉ: Nguyễn Thành Long Số nhà 15 – Khu phố – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố hóa “Vì ngày mai tươi sáng, em cố lên, chúc em học tốt đạt kết cao… chào thân ái” www.VNMATH.com 180 ... Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ - LƠGARIT CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ MŨ CHỦ ĐỀ... = x 3  x3   x 2  x 1 x 2 x 1  10 x 3x-1 + x 3x - 2x  = 2x -3 x-1  11 4sinx - 21 + sinx cos(xy) + 12  x +x  + 21-x -  x +x y  1-x 2 -1 = BÀI TOÁN 11: PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA... phương trình sau: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x → x = x = 12.3x + 3.15x - 5x + = 20 2x + 3x = + 6x - x.2x + 23 - x - x = 5 2x +1 + x +1 - 175 x - 35 = x2  x  21 x  2 x 3 x   4x x 1 6 x5 1  42