SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (4,0 điểm). Cho hàm số 3 2 2 ( 1) (4 ) 1 2 y x m x m x m        ( m là tham số thực), có đồ thị là ( ). m C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với 1. m   2) Tìm các giá trị của m để đồ thị ( ) m C có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: cos2 cos3 sin cos4 sin6 . x x x x x     2) Giải bất phương trình: 2 4 2 6( 3 1) 1 0 x x x x       ( ). x   3) Tìm số thực a để phương trình: 9 9 3 cos( ) x x a x    , chỉ có duy nhất một nghiệm thực .Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân:   2 3 0 sin . sin 3cos x I dx x x     Câu IV. (6,0 điểm). 1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt , AM x  AN y  . Tìm , x y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2) Trên mặt phẳng toạ độ , Oxy cho đường thẳng : 5 0 x y     và hai elíp 2 2 1 ( ) : 1 25 16 x y E   , 2 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0) x y E a b a b     có cùng tiêu điểm. Biết rằng 2 ( ) E đi qua điểm M thuộc đường thẳng .  Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp 2 ( ) E có độ dài trục lớn nhỏ nhất. 3) Trong không gian , Oxyz cho điểm (0;2;0) M và hai đường thẳng 1 2 1 2 3 2 : 2 2 ( ); : 1 2 ( ) 1 , , x t x s y t t y s s z t z s                              . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục O x , sao cho (P) cắt hai đường thẳng 1 2 ,   lần lượt tại A, B thoả mãn 1 AB  . Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực , , a b c thoả mãn: 2 2 2 6 3. a b c ab bc ca           Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 6 6 6 . P a b c    HẾT Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điêm Với 1, m   ta được hàm số 3 3 1. y x x    Tập xác định: .  Giới hạn tại vô cực: lim , lim . x x y y       Sự biến thiên: 2 ' 3 3 0 1. y x x       0,5 ' 0 ( ; 1) (1; ). y x        Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1)   và (1; )  . ' 0 ( 1;1). y x     Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1).  Điểm cực đại của đồ thị ( 1;3),  điểm cực tiểu của đồ thị (1; 1).  0,5 Bảng biến thiên: 0,5 1) 2,0đ Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3). Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng 0,5 Ta có 2 2 ' 3 2( 1) 4 , y x m x m      là tam thức bậc hai của x. y' có biệt số 2 ' 2 2 13. m m      Nếu ' 0   thì ' 0, y x   , suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn. 0,5 Nếu 1 3 3 1 3 3 ' 0 ; 2 2 m             , thì ' 0 y  có hai nghiện 1 2 1 2 , ( ). x x x x  Dấu của y': 0,5 Câu I 4,0 đ 2) 2,0đ Chọn 0 1 2 0 ( ; ) '( ) 0. x x x y x    Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao cho 0 '( ). '( ) 1 y x y x    pt: 2 2 0 1 3 2( 1) 4 0 '( ) x m x m y x       (1) có 0,75 -2 -1 -1 1 1 3 2 x y O x y' y     1  1  1 3 0 0    x -  +  ' y 1 x 2 x 0 0    nghiệm . Pt (1) có: 2 1 0 3 1 3 3 1 3 3 ' 2 2 13 0, ; . '( ) 2 2 m m m y x                 Vậy giá trị cần tìm của m là 1 3 3 1 3 3 ; 2 2 m          . 0,25 PT 0)3cos.3sin23(cossin)4cos2(cos       xxxxxx 0)3cos3cos3sin2()sin3sinsin2(      xxxxxx 0,5 0)3cos)(sin13sin2(     xxx 0,5 1) 2,0đ                                      kx kx kx kx xx x 4 28 3 2 18 5 3 2 18 2 cos3cos 2 1 3sin ( ). k   0,5 0,5 Tập xác định:   . BPT   2 2 2 2 6 2( 1) ( 1) 6( 1)( 1) 0 x x x x x x x x             0,5 2 2 2 2 1 6( 1) 12. 6 0 1 1 x x x x x x x x             (vì 2 1 0, x x x     ) 0,5 Đặt: 2 2 6( 1) 1 x x t x x      (t > 0), ta được 2 2 6 0 t t    3 0 2 t    . 0,5 Câu II 6,0 đ 2) 2,0đ BPT đã cho tương đương với 2 2 2 6( 1) 9 11 21 11 21 5 11 5 0 ; . 1 4 10 10 x x x x x x x                    0,5 2 9 9 3 cos( ) 3 3 .cos( ) (2). x x x x a x a x         Nhận xét: Nếu 0 x là nghiệm của (2) thì 0 2 x  cũng là nghiệm của (2), 0,5 suy ra điều kiện cần để (2) có nghiệm duy nhất là 0 0 0 2 1. x x x     Với 0 1 x  , thì từ (2) suy ra 6. a   0,5 3) 2,0đ Với 6, a   thì phương trình (2) trở thành 2 3 3 6cos( ) (3). x x x      Ta có (3) 6, (3) 6. VT VP   Vậy 2 3 3 6 (3) 1. 6cos( ) 6 x x x x             Vậy 6. a   1,0 Ta có: 1 3 sin (sin 3cos ) (cos 3 sin ) 4 4 x x x x x     1 3 (sin 3cos ) (sin 3 cos )'. 4 4 x x x x     0,5 Câu III 2,0đ Suy ra 2 2 2 3 0 0 1 1 3 (sin 3 cos )' 4 4 (sin 3 cos ) (sin 3 cos ) x x I dx dx x x x x          0,25 2 2 2 2 0 0 1 1 3 16 8(sin 3 cos ) cos 6 dx x x x               0,75 2 0 1 3 tan 16 6 12 x            3 3 3 . 12 12 6    0,5 Kẻ DH  MN , do (DMN)  (ABC) suy ra DH  (ABC). Mà ABCD là tứ diện đều, nên suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. 0,5 Ta có: S AMN = 2 1 .AM.AN.sin60 0 = xy 4 3 ; S AMN = S AMH + S ANH = 2 1 .AM.AH.sin30 0 + 2 1 .AN.AH.sin30 0 = 3 3 . 4 1 (x+y). Suy ra xy 4 3 = 3 3 . 4 1 (x+y)  x+y= 3xy (0  x,y  1 ). 0,5 1) 2,0đ Diện tích toàn phần của tứ diện DAMN: S = S AMD + S AND + S DMN + S AMN = 2 1 AD.AM.sin60 0 + 2 1 AD.AN.sin60 0 + 2 1 DH.MN + 2 1 AM.AN.sin60 0. = 3 xy + )1xy3(xy3 6 6  . Từ 2 4 3 2 . 3 9 xy x y xy xy xy        Suy ra 3(4 2) min , 9 S   khi 2 . 3 x y   0,5 0,5 Hai elíp có các tiêu điểm 1 2 ( 3;0), (3;0). F F  0,5 Điểm 2 1 2 ( ) 2 M E MF MF a     . Vậy 2 ( ) E có độ dài trục lớn nhỏ nhất khi và chỉ khi 1 2 MF MF  nhỏ nhất. 0,5 Gọi ( ; ) N x y là điểm đối xứng với 1 F qua  , suy ra ( 5;2). N  Ta có: 1 2 2 2 MF MF NM MF NF     (không đổi). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 M NF    0,5 2) 2,0đ Toạ độ điểm 17 4 3 0 17 8 5 : ; . 5 0 8 5 5 5 x x y M M x y y                             0,5 Câu IV 6,0đ 3) 2,0đ Giả sử đã xác định được (P) thỏa mãn ycbt. 1 2 (1 2 ;2 2 ; 1 ); (3 2 ; 1 2 ; ). A A t t t B B s s s             Suy ra   2 2( ); 3 2( );1 ( ) AB s t s t s t          0,5 H A B C D M N GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. 2 2 1 9( ) 22( ) 14 1 13 . 9 s t AB s t s t s t                   0,5 Với 1 (0; 1;0) s t AB         (P) có một vtpt 1 ; (0;0;1) n AB i          , suy ra ( ) : 0 P z  (loại do (P) chứa trục O x ). 0,5 Với 13 8 1 4 ; ; 9 9 9 9 s t AB                , suy ra ( ) P có một vtpt 2 4 1 ; (0; ; ) 9 9 n AB i           , suy ra ( ): 4 8 0 P y z    (thỏa mãn bài toán). 0,5 Từ giả thiết suy ra : 0 a b c    0,25 Ta có: , , a b c là ba nghiệm thực của phương trình ( )( )( ) 0 x a x b x c     3 3 3 0 3 1 1 x x abc x x abc          (3) 0,5 Từ đồ thị hàm số 3 3 1, y x x    suy ra pt (3) có ba nghiệm thực , , a b c khi và chỉ khi 1 1 3 2 2. abc abc         2 abc  , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng -1 và một số bằng 2. 2 abc   , khi trong ba số a, b, c có hai số bằng 1 và một số bằng -2. 0,5 6 6 6 2 3( ) P a b c P abc      2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 ( )( ) a b c a b c a b b c c a         . 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3( )( ) 216 18.9 54 a b c a b c a b b c c a            . 0,5 Câu V 2,0đ 2 3( ) 54 max 66, P abc P    khi có hai số bằng -1 và một số bằng 2, hoặc hai số bằng 1 và một số bằng -2. 0,25 . THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: . coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 4 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT. cos ) cos 6 dx x x x               0,75 2 0 1 3 tan 16 6 12 x            3 3 3 . 12 12 6    0,5 Kẻ DH  MN , do (DMN)  (ABC) suy ra DH  (ABC). Mà