Đang tải... (xem toàn văn)
Để giải các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp. Bởi thế, có thể nói, các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS còn có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phương trình và hệ phương trình, trong chừng mực nào đó đến giới hạn ‘tuy còn ẩn tàng’ và nhiều lỉnh vực khác về tập hợp, về kiến thức hàm số và đồ thị, v.v…
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Một số phơng pháp giải BàI TOáN CựC TRị TRONG ĐạI Số ở trờng thcs A - lời nói đầu C ác bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học này. ở cấp 3 (THPT), để giải quyết các bài toán về cực trị đại số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biẻu thức đại số, ngời ta thờng phải dùng đến công cụ cao cấp của toán học: đạo hàm của hàm số. ở cấp THCS, vì không có (hay nói chính xác hơn là không đợc phép dùng ) công cụ cao cấp của toán học nói trên, nên ngời ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở cấp THCS để giải quyết bài toán loại này. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS góp phần không nhỏ vào việc rèn luỵên trí thông minh cho học sinh ở cấp học này. Để giải các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức đáng nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp. Bởi thế, có thể nói, các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất " các biểu thức đại số. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS còn có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình và hệ phơng trình, trong chừng mực nào đó đến giới hạn tuy còn ẩn tàng và nhiều lỉnh vực khác về tập hợp, về kiến thức hàm số và đồ thị, v.v Về mặt t tởng các bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống xã hội, rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt đợc hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Tóm lại, các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS là các bài toán tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, kỹ năng t duy ở cấp học này, nó rất cần thiết cho việc bồi d- GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 1 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S ỡng học sinh giỏi toán ở cấp THCS và cũng là tài liệu tự bồi dỡng của đội ngũ giáo viên ở cấp THCS . Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong Đại số còn gọi là bài toán cực trị Đại số. Các em không thờng gặp bài toán dạng này trong các sách giáo khoa môn Toán, bởi chúng là các bài toán khó. Các bài toán cực trị thờng yêu cầu các em vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năng phán đoán. Nó lại thờng có nhiều con đờng đi đến đích bằng cách vận dụng nhiều kiến thức khác nhau. Trong đó có những cách giải ngắn gọn hợp lí. Viêc giải toán cực trị giúp học sinh có thói quen đi tìm phơng án tối u khi giải quyết các công việc trong đời sống, kỷ thuật. Trong phần trình bày tôi giới thiệu môt số phơng pháp thờng dùng khi giải bài toán cực trị và một số bài bài tập áp dụng các kiến thức đó. Tôi hy vọng với phần trình bày này sẽ giúp các em bớt khó khăn, tiến tới tự mình giải đợc các bài toán dạng này và khi đó chắc chắn các em sẽ thấy là những bài toán thú vị. B - Nội dung nghiên cứu I- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 1. Định nghĩa giá trị lớn nhất Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, kí hiệu : M = maxf(x), nếu hai điều kiện sau đợc thoã mãn : - Với mọi x thuộc D thì f(x) M, với M là hằng số . - Tồn tại x 0 thuộc D sao cho f(x 0 ) = M. 2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu : m = minf(x), nếu hai điều kiện sau đợc thoã mãn : - Với mọi x thuộc D thì f(x) m, với m là hằng số. - Tồn tại x 0 thuộc D sao cho f(x 0 ) = m. GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 2 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ); giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x,y, ) bằng cách tơng tự. II. Các phơng pháp Ph ơng pháp 1 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng A(x) 0 ( hoặc A(x) 0 ) a) Cơ sở lí luận - Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không dơng thì số 0 có giá trị lớn nhất. - Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất. Từ đó, có thể suy ra rằng trong tập hợp M ={A(x) A(x) 0 } thì A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) = 0, và trong tập hợp N = {B(x) B(x) 0 } thì B(x) đạt giá trị lớn nhất khi B(x) = 0 . b) Các thí dụ Thí dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A(x) = 2x 2 - 8x + 1, trong đó x là biến số lấy các giá trị thực bất kì. Giải : A(x) = 2x 2 - 8x + 1 = 2x 2 - 2.4x + 1 = 2( x 2 - 2.2x + 4 - 4 ) + 1 = 2 ( x - 2 ) 2 - 7 Với mọi gí trị của x, ( x-2) 2 0 nên ta có A(x) = 2( x - 2) 2 - 7 -7 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7, khi đó x = 2 Đáp số : A(x) (nhỏ nhất) = -7, với x = 2. Thí dụ 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M(x) = -5x 2 - 4x + 1, trong đó x là biến số lấy giá trị thực bất kì . Giải: Ta có : M(x) = -5x 2 - 4x + 1 = -5( x 2 + 5 4 x ) +1 = -5( x 2 + 2. 5 2 x + 25 4 - 25 4 ) + 1 = -5( x + 5 2 ) 2 + 5 9 GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 3 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Ta thấy ( x+ 5 2 ) 2 0, với mọi giá trị x nên -5(x + 5 2 ) 2 0. Từ đó suy ra rằng M(x) = -5( x + 5 2 ) 2 + 5 9 5 9 Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) = 5 9 , lúc đó x = 5 2 . Đáp số : M(x) (lớn nhất ) = 5 9 , khi x = 5 2 . Ph ơng pháp 2 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng 2 )( k xA 0 ( hoặc 2 )( k xA 0 ). Thí dụ 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số sau: A(x) = x xx 3 1615 2 ++ , với x thuộc miền số thực dơng. Giải : Ta có : A(x) = x xx 3 1615 2 ++ = x xxx 3 23168 2 ++ = x xx 3 23)4( 2 + Vì x > 0, nên ta có : A(x) = 3 23 3 )4( 2 + x x Với x > 0, thì ( x - 4 ) 2 0, do đó A(x) = 3 23 3 )4( 2 + x x 3 23 Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) = 3 23 , lúc đó x = 4. Đáp số : A(x) (nhỏ nhất ) = 3 23 với x = 4. Thí dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số M(x) = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx với x R. Giải: Ta có: M(x) = 32 1063 2 2 ++ ++ xx xx = 2)1( 1 3 32 1 3 32 1)32(3 32 1963 222 2 2 2 ++ += ++ += ++ +++ = ++ +++ xxxxx xx xx xx (vì x 2 + 2x + 3 = ( x + 1 ) 2 + 2 > 0) GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 4 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Mặt khác, vì ( x + 1 ) 2 0, x R nên ( x+1 ) 2 + 2 2, x R, và do đó 2 1 2)1( 1 2 ++x . Từ đó ta có M(x) = 3 + =+ ++ 2 1 3 2)1( 1 2 x 3 2 1 Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) = 3 2 1 , lúc đó (x+1) 2 = 0, hay x=-1. Đáp số : M(x) (lớn nhất ) = 3 2 1 , với x=-1. Thí dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : F(x,y) = 22 1)( 2442 222 +++ ++ xyyx xyyxy , với x,y R. Giải : Ta có F(x) = 22 1)( 2442 222 +++ ++ xyyx xyyxy = 2 1 )2)(1( 1 2)2( 1 224 4 224 242 + = ++ + = +++ ++ xxy y xxy xyyxy ( vì y 4 + 1 0, y R ) Mặt khác x 2 0, x R nên x 2 + 2 2, x R do đó F(x,y) = 2 1 2 1 2 +x . Vậy F(x,y) đạt giá trị lớn nhất khi F(x,y) = 2 1 , lúc đó x = 0. Đáp số : F(x,y) ( lớn nhất ) = 2 1 ; với x = 0, y R. Ph ơng pháp 3 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi. a) Cơ sở lí luận : Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới các dạng khác nhau dới đây ( chỉ áp dụng với các số không âm ). 1. Dới dạng căn thức : 1) ba ba . 2 + 2) 3 3 cba cba ++ 3) Một cách tổng quát: n n n aaaa n aaaa 321 321 ++++ 2. Dới dạng luỹ thừa : GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 5 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S 1) ba ba . 2 2 + 2) cba cba 3 3 ++ 3) n n n aaaa n aaaa 321 321 ++++ Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất Chứng minh rằng nếu hai đại lợng dơng x và y có tích luôn luôn không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng bằng nhau. Giải . Từ bài toán trên, ta phải chứng minh rằng với x > 0, y > 0, và xy = k 2 (không đổi) thì x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y. Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có : xy yx + 2 2 hay ( x+y) 2 4xy hay x+y 4 xy Theo giả thiết : Ta có xy = k 2 (không đổi), nên ta có : x + y kk 2.2 2 = (*) Vậy tổng M = x + y lấy giá trị nhỏ nhất khi x + y = 2k. Theo bất đẳng thức Côsi, x + y = 2k = 2 xy khi và chỉ khi x = y. Vậy x + y = 2k khi và chỉ khi x = y. Tóm lại : Bài toán tìm giá trị lớn nhất Chứng minh rằng, nếu hai đại lợng dơng có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng bằng nhau. GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh Với x > 0, y > 0 và xy = k 2 (không đổi ), thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y 6 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Giải : (áp dụng bất đẳng thức Côsi và chứng minh tơng tự ở trên) Tóm lại Với x > 0, y > 0 và x + y = k 2 (không đổi ) thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y Chúng ta sẽ sử dụng kết quả của hai bài toán trên để giải các bài toán về cực trị đại số. Thí dụ 6 Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức đại số sau: A(x) = x x 28 2 + , với x > 0. Giải : Ta có : A(x) = x x 28 2 + = 8x + x 2 Ta thấy 8x và x 2 là hai đại lợng lấy giá trị dơng không đổi, nhng tích của chúng 8x. x 2 = 16 luôn luôn không thay đổi. Vậy A(x) = 8x + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 8x = x 2 hay 8x 2 = 2 Từ đây, ta tính đợc x 2 = 4 1 , suy ra x = 2 1 hoặc x = 2 1 . Kết hợp với điều kiện x > 0, ta chỉ lấy giá trị x = 2 1 . Với x = 2 1 ; A(x) ( nhỏ nhất ) = 8. 2 1 + 2 1 1 = 4 + 4 = 8. Đáp số : A(x) ( nhỏ nhất ) = 8; với x = 2 1 . Thí dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số B(x) =16x 3 - x 6 , với x thuộc tập hợp số thực d- ơng. Giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc các bài toán áp dụng bất đẳng thức Côsi. Từ B(x) = 16x 3 - x 6 , ta có : B(x) = x 3 (16 -x 3 ). Rõ ràng x 3 > 0; còn 16 - x 3 > 0 khi 16 > x 3 hay x < 3 16 (*) GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 7 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Đến đây ta nhận thấy rằng x 3 và 16 - x 3 là hai đại lợng biến đổi nhng tổng của chúng x 3 + (16-x 3 ) = 16 luôn luôn không thay đổi, vậy tích của chúng B(x) = x 3 (16-x 3 ) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x 3 = 16 - x 3 . Từ đây ta có : 2x 3 = 16 hay x 3 = 8. Ta tính đợc x = 2. Giá trị x = 2 thoả mãn điều kiện (*). Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất tại giá trị x = 2. B(x) ( lớn nhất ) = 16 . 2 3 -2 6 =(16-2 3 ).2 3 = 8 . 8 = 64. Đáp số: B(x) ( lớn nhất ) = 64, với x = 2 Ph ơng pháp 4 - Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ. Thí dụ 8. Với giá trị nào của x thì biểu thức P(x) = 52 3568056164 2 234 ++ ++++ xx xxxx , đạt giá trị nhỏ nhất. G iải Đây là một bài toán rất khó giải đối với học sinh. Bởi vì trong bài toán còn ẩn tàng cả phép giải phơng trình, xét các dấu hiệu có thể áp dụng đợc bất đảng thức Côsi hay không, ngoài ra việc biến đổi đồng nhất để rút gọn đợc biểu thức không phải không có khó khăn 1)Trớc hết ta biến đổi biểu thức về dạng để có thể áp dụng đợc các bài toán về bất đẳng thức Côsi. Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta cũng có thể biến đổi tử thức thành tích các nhân tử và sau đó rút gọn. Cách này khá dài dòng và gặp không ít khó khăn Để đơn giản hơn, ta dùng phơng pháp chia đa thức cho đa thức 4x 4 + 16x 3 + 56x 2 + 80x + 356 4x 4 + 8x 3 + 20x 2 Kết quả ta đợc : P(x) = 4x 2 + 8x + 20 + 52 256 2 ++ xx GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 8 x 2 + 2x +5 4x 2 + 8x + 20 0 + 8x 3 + 36x 2 + 80x +356 8x 3 + 16x 2 + 40x 0 + 20x 2 + 40x + 356 20x 2 + 40x + 100 0 + 0 + 256 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Vì x 2 + 2x + 5 = x 2 + 2x + 1 + 4 = (x+1) 2 + 4 > 0 (*), nên P(x) luôn luôn xác đinh với mọi giá trị x. 2) Đặt ẩn phụ để đa về xét biểu thúc có dạng đơn giản hơn Từ P(x) = 4x 2 + 8x + 20 + 52 256 2 ++ xx , ta có : P(x) = 4 ( x 2 + 2x + 5 ) + 52 256 2 ++ xx Đặt y = x 2 + 2x + 5, ta có : P(x) = 4y + y 256 , và y = x 2 + 2x + 5 > 0 với mọi x. 4y và y 256 là các đại lợng luôn lấy giá trị dơng và có tích bằng 1024 ( không đổi ). Vậy tổng 4y + y 256 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 4y = y 256 . Từ đây ta đợc y 2 = 64. Giải phơng trình y 2 = 64, ta đợc y = 8 hoặc y = -8. Từ trên , vì y > 0 nên ta chỉ lấy giá trị y = 8. Với y = x 2 + 2x + 5 = 8, giải phơng trình bậc hai này ta đợc x = -3 , x = 1. Vậy P(x) lấy giá trị nhỏ nhất khi x = -3 hoặc x = 1 ( ứng với y = 8 ), ta tính đợc : P(x) = 4.8 + 8 256 = 64. Đáp số : P(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 64 khi x = -3 hay x = 1. Thí dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số sau : Q(x) = ( x 2 - 2x + 2 ) ( 4x - 2x 2 + 2 ), với x R . Giải: Nhận xét về các hệ số của ẩn x, ta thấy rằng 4x - 2x 2 = 2 ( 2x - x 2 ) = -2( x 2 - 2x). Do đó đặt x 2 - 2x + 2 = y thì ta có : 4x - 2x 2 + 2 = -2( x 2 - 2x + 2) + 6 = -2y + 6 Vậy Q(x) = ( x 2 - 2x + 2 ) ( 4x - 2x 2 + 2 ) = y ( 6 - 2y ) Ta liên tởng đến vấn đề tích 2 số lớn nhất khi tổng của chúng không đổi. ở đây y và 6 - 2y thoả mãn điều kiện trên vì thế để tìm giá trị lớn nhất của Q(x) ta chuyển sang tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2.Q(x) Ta có P(x) = 2.Q(x) = 2.y( 6 - 2y) Ta thấy y = x 2 - 2x + 2 = ( x - 1 ) 2 + 1 > 0, 6 - 2y > 0 khi 6 > 2y hay y < 3 Ta lại có 2y + ( 6 - 2y ) = 6 không đổi . GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 9 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Vậy P(x) = 2.Q(x) đạt giá trị lớn nhất khi 2y = 6 - 2y, lúc đó y = 2 3 ( thoả mãn ĐK ). Vậy P(x) Lớn nhất = 2. 2 3 ( 6 - 2. 2 3 ) = 3.3 = 9. Q(x) Lớn nhất = 2 9 = 4,5. Lúc đó y = 2 3 , hay x 2 - 2x + 2 = 2 3 . Giải phơng trình bậc hai ta đợc : x = 1 2 2 . Đáp số : Q(x) Lớn nhất = 4,5 ; với x = 1 2 2 . Ph ơng pháp 5 - Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các biểu thức chứa nhiều đại lợng. Thí dụ 10 . Tìm giá trị của m và p sao cho : A = m 2 - 4mp + 5p 2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Giải : Ta có A = ( m 2 - 4mp + 4p 2 ) + ( p 2 - 2p + 1 ) + 27 + 10m - 20p = ( m - 2p ) 2 + ( p - 1 ) 2 + 27 + 10( m - 2p ) Đặt X = m - 2p, ta có : A = X 2 + 10X + ( p - 1 ) 2 + 27 = ( X + 5 ) 2 + ( p - 1 ) 2 + 2. Đến đây, ta thấy rằng ( X + 5 ) 2 0, m, p R; ( p -1 ) 2 0 , p R, do đó A đạt giá trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p - 1 = 0. Lúc đó , = = 1 5 p X , hay = = 1 52 p pm = = 1 3 p m . Vậy A ( Nhỏ nhất ) = 2 ; với p = 1; m = -3. Thí dụ 11. Với giá trị nào của x và y, biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất ? F(x,y) = x 2 + 26y 2 - 10xy + 14x - 76y + 59. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Giải: Ta có F(x,y) = x 2 + 26y 2 - 10xy + 14x - 76y + 59 = ( x 2 - 10xy + 25y 2 ) + ( y 2 - 6y + 9 ) + ( 14x - 70y ) + 50 = ( x - 5y ) 2 + ( y - 3 ) 2 + 14( x - 5y ) + 50. Đặt Z = x - 5y, ta có : F(x,y) = Z 2 + ( y - 3 ) 2 + 14Z + 50 = ( Z + 7 ) 2 + ( y - 3 ) 2 + 1. Vì ( Z + 7 ) 2 0 và ( y - 3 ) 2 0 với mọi giá trị x, y nên F(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất khi GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 10 [...]... 10x - 14y + 18 = 0 Hãy tìm các nghiệm số của phơng trình để sao cho biểu thức A = x + y a) Đạt giá trị lớn nhất ? b) Đạt giá trị nhỏ nhất ? c- Kết luận chung Trong phần trình bày trên tôi đã cố gắng su tầm, phân dạng các bài toán cực trị Đại số theo các kiến thức thờng dùng khi giải Tuy nhiên một bài toán cực trị thờng có nhiều cách giải trong đó có nhiều cách giải ngắn gọn hợp lí đôi khi có cả những... BI TON CC TR TRONG I S x 5 y = 7 x = 8 y = 3 y = 3 ( Z + 7 )2 = 0 và ( y - 3 )2 = 0 Từ đó suy ra Z = -7, y = 3 hay Đáp số : F(x,y) nhỏ nhất = 1, với x = 8, y = 3 Phơng pháp 6- Phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số có hệ ràng buộc ( thoả mãn một hệ các điều kiện nào đó ) Thí dụ 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x,y) = 6x + 4y thoả mản điều kiện : xy = 216 x > 0 y > 0 Giải: Vấn đề... phơng án độc đáo và sáng tạo Tôi đã áp dụng đề tài này trong một thời gian tơng đối dài để bồi dỡng học sinh khá, giỏi tôi thấy lúc đầu học sinh còn mơ hồ về bài toán dạng này nhng sau khi học thì học sinh đã tích cực học và đạt hiệu quả tơng đối cao ở trên tôi chỉ trình bày cách giải cho một bài toán; chắc chắn còn rất nhiều phơng pháp, cách giải bài toán hay và khó tôi cha su tầm, tìm tòi đợc Tôi hy... P = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 đạt giá trị lớn nhất bằng 1 4 khi và chỉ khi x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 4 + x 4 x 5 = ( x1 + x 3 + x 5 )( x 2 + x 4 ) 1 x1 + x 3 + x 5 = x 2 + x 4 = 2 Từ trên ta suy ra x1 = x2 = x5 = 0, x3 = x4 = Đáp số : P ( lớn nhất ) = 1 2 1 1 , với x1 = x2 = x5 = 0 và x3 = x4 = 4 2 Phơng pháp 7 - Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski... cập đến một phơng pháp tìm GTNN, GTLN khá hiệu quả cho một lớp bài toán GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 17 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Giả sử tồn tại m là GTNN của hàm số f(x) trên miền D khi đó f(x) m với mọi x D Với môt số D thì m sẽ đat tại các giá trị x thoả mãn điều kiện f(x) f( ) Từ đó xác định đợc x K, trong đó K D đợc gọi là phạm vi tìm kiếm Để tìm giá trị m... = 65 Đáp số : Q(x,y,z) ( lớn nhất ) = 65 ứng với các bộ số ( x = 26 52 13 5 ;y= ;z= ) 5 5 5 Phơng pháp 8 - Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị Thí dụ17 : Tìm giá trị lớn nhất của A = x2 ( 3 - x ), với x 0 GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh 15 MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S x x 2 2 Giải : a) Xét 0 x 3 Ta có : A = 4 ( 3 - x ) x x áp dụng bất đằng thức Côsi cho 3 số không... TON CC TR TRONG I S x 2 y 2 + t 2 = 21 Biết rằng : 2 x + 3 y 2 + 4 z 2 = 101 20 Cho hàm số : y = x 2 + 1 + 2 x 2 4 + 21 3x 2 Tìm khoảng xác định của hàm số y Tính giá trị lớn nhất của hàm số trong khoảng xác định đó và các giá trị tơng ứng của x 21 Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau : a) y = x + 1 + 2 x 1 + 2 x + 1 ; x2 1 b) y = x + 2 + 2 ; 3x 22 Cho phơng trình bậc hai ẩn số x và y... thì Q = - nên Q đạt GTNN là - 5 15 14 14 Phơng pháp 10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Cơ sở lý luận : Khi tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta thờng xét các trờng hợp để khử dấu giá trị tuyệt đối để vẽ đồ thị hoặc sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối nh : a + b a + b a + b , sau đó... PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S 2 Cho biểu thức Q(x) = 3 Với giá trị nào của x thì Q(x) đạt giá 4x 4x + 5 2 trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó 3 Cho biểu thức A(x) = x2 + x +1 , với x -1 x 2 + 2x + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A(x) và giá trị tơng ứng của x 4 Cho biểu thức F(x) = x 2 6 x + 14 x 2 6 x + 12 Tìm giá trị của x để F(x) đạt giá trị lớn nhất 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức... giá trị lớn nhất 13 Cho biểu thức F(x,y,z,t) = 2x + y + z + t Hãy tìm giá trị lớn nhất của F(x, y, z, t) biết rằng: x + 7 y = 50 x + z = 60 y + t = 15 và x, y, z, t là các số không âm 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau : F (x) = x ( x +1 )( x + 2 )( x + 3 ) 15 Tìm giá trị của các đại lợng x, y để sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất : Q(x,y) = x3 + y3 +xy Biết rằng : x + y = 1 16 Tìm giá trị . PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S Một số phơng pháp giải BàI TOáN CựC TRị TRONG ĐạI Số ở trờng thcs A - lời nói đầu C ác bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS có một ý nghĩa rất quan trọng. (THPT), để giải quyết các bài toán về cực trị đại số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biẻu thức đại số, ngời ta thờng phải dùng đến công cụ cao cấp của toán học:. các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất " các biểu thức đại số. Các bài toán về cực trị đại số