ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 ' Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số: y  1 x 3  mx 2  2 x  2 m  1 ( cm ) 3 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Tìm m  (0; 5 ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ 6 thị (Cm), và các đườ ng thẳng: x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4. Bài 2: (4 điểm). 1. Giải các phương trình: 3 x)=5(sin x +3cos x). tgx  1 (sin x + 2cos 2. giải phương trình: log 2 2 x + x.log 7 (x + 3)= log 2 x [ x + 2.log 7 (x + 3)] 2 Bài 3: ( 4 điểm). 3 2 1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm. a  a  sin x = sin x 2. Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. x  1  2( a  1) x  1  4(1  a ). x  1  4 a  6  0 x x x x Bài 4( 4 điểm). 1. Cho  ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R 1 , R 2 , R 3 lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA, AOB. Cho biết: R 1 +R 2 +R 3 = 3R. Tính 3 góc của  ABC 2. Cho (E): x 2 + 4y 2 = 4 . M là điểm thay đổi trên đường thẳng y=2. Từ M kẻ đến (E) hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T 1 , T 2 . Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T 1 , T 2 có bán kính nhỏ nhất. Bài 5:( 4 điểm). 1. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên R thỏa mãn:  f '2 ( x )  4 f ' ( x ). f ( x )  f 2 ( x )  0    f (0)  1 Tìm hàm số f(x). 2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm là G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ở A 1 , B 1 , C 1 , D 1 CMR : GA 1  GB 1  GC 1  GD 1  GA  GB  GC  GD -NKL-THPT B¶n Ngµ . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180 ' Bài 1:(4 điểm). Cho hàm