Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa GIAÛI TÍCH 11 www.saosangsong.com.vn Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 2 Chương 4 . GIỚI HẠN A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ §1. Dãy số có giới hạn 0 A. Tóm Tắt Giáo Khoa . 1. Dãy số (u n ) có giới hạn là 0 nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi . 2. a) lim 1 0 n = b) lim 1 0 n = c) lim 3 1 0 n = d) Dãy số không đổi (u n ) với u n = 0 có giới hạn 0 e) N ếu |q| <1 thi lim q n = 0 Đònh lí : Cho hai dãy số (u n ) và (v n ) . Nếu |u n | ≤ v n , n ∀ và limv n = 0 thì limu n = 0 B. Giải Toán Dạng toán : Tìm giới hạn 0 của dãy số Cách 1 : Sử dụng các tiêu chuẫn a, b, c, ,d ,e kết hợp với đònh lí . Cách 2 : Dùng định nghĩa Ví dụ 1 : Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0 . a) u n = 3 1 n b) u n = 2 cosn n c) u n = 3 4 3 2 nn 2n + d) u n = n 2n 2n 26 23+ Giải a) Ta có : Vì n 3 ≥ n , n∀ nên 0 < u n = 3 11 , nn ≤ n ∀ . Mà lim 1 0 n = , do đó theo đònh lí trên thì limu n = 0 b) Vì | cosn 2 | ≤ 1 , n∀ nên | u n | ≤ 1 n , n ∀ Mà lim 1 n = 0 , do đó theo đònh lí trên lim u n = 0 c) Ta có : 3333 4 nnnn2n+≤+= , suy ra : 0 < u n ≤ 3 3 3 2 2n 1 n 2n = Mà lim 3 1 0 n = , do đó theo đònh lí trên lim u n = 0 d) p dụng bất đẳng thức Cô si : 2 2n + 3 2n ≥ 2. 2n 2n 2n 2.3 26= => 0 < u n ≤ n n 2n 26 1 6 26 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ Mà lim () n 1 0 6 = , do đó theo đònh lí trên limu n = 0 Ví dụ 2 : Dùng định nghĩa, chứng minh 0 xx lim → 2 2(n 7) 0 n3 − = + Giải Với n > 7 , ta có : |u n | = 22 2(n 7) 2n 2 n3 n n − <= + Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 3 Với số ε > 0 cho trước , để có |u n | < ε , ta phải chọn n sao cho : n > 7 và 2 n < ε Ù n > 7 và n > 2 ε . Như vậy nếu gọi n 0 là số nguyên > 7 và > 2 ε , thế thì với mọi ε > 0 cho trước , ta có : | u n | < ε , ∀ n > n 0 . Theo đ ịnh nghĩa limu n = 0 Chẳng hạn v ới ε = 0, 001 thì n 0 > 7 và n 0 > 2 200 0,001 = vậy lấy n 0 = 201 ( hay một số nguyên bất kì > 200), C. Bài Tập Rèn Luyện Chứng minh các dãy số sau có giới hạn là 0 . 4.1. a) u n = 1 nn b) u n = 11 nn2 − + c) u n = n 4 π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ d) u n = 2 n1 n3 + + 4.2 . u n = nn 2n n(n 2) (2n 2) + + 4.3. u n = n nn n 15 2(9 16)+ 4.4. u n = sinn.cosn 5n 5 + 4.5. u n = 2 3 n3n6 n ++ 4.6. u n = nn n 23 2.5 + D. Hướng Dẫn – Đáp Số 4.1. a) Ta có : | u n | = 1 nn < 1 n . Mà lim 1 0 n = nên limu n = 0 b) |u n | = 11 2 21 nn2n(n2)2nn −= <= ++ . Mà lim 1 0 n = nên limu n = 0 c) Vì 0 < q = 1 4 π < nên limu n = 0 d) | u n | = 2 n1 n3 + + < 2 2n 2 nn = . V ới số ε > 0 cho trước , để có iu n | < ε , ta phải chọn n sao cho : 2 n <ε Ù n > 2 ε . Như vậy nếu gọi n 0 là số nguyên > 2 ε , thế thì với mọi ε > 0 cho trước , ta có : | u n | < ε , ∀ n > n 0 . Theo đ ịnh nghĩa limu n = 0 4.2 . | u n |= n nn 2n 2n 2n n 2n n 2n n(n 2) (n 2n) (n 1) 1 (2n 2) 2 (n 1) 2 (n 1) 2 + ++ ⎛⎞ =≤= ⎜⎟ +++ ⎝⎠ Mà lim n 1 0 2 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ nên limu n = 0 . 4.3. | u n | = 2n 2n n nnn nn n n2n 2n n2n 2n n1 35 15 3 .5 1 1 2 2(9 16) 2(3 5 ) 2(3 5 ) 2 2 + + ⎛⎞ =≤=≤ ⎜⎟ +++ ⎝⎠ ( bđt Côsi) Mà lim n 1 0 2 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ nên limu n = 0 . 4.4. | u n | = sinn.cosn 1 1 5n 5 5n 1 n ≤≤ ++ Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 4 Mà lim 1 0 n = nên limu n = 0 . 4.5. 22222 333 n3n6n3n6n10n 10 nnnn ++ + + ≤≤= Ta có v ới n > 100 thì 10 < n , suy ra u n n1 n n ≤=với n > 10 Mà lim 1 0 n = , do đó : limu n = 0 4.6. Ta có : 2 n + 3 n ≤ 3 n + 3 n = 2.3 n , suy ra : | u n | ≤ n n n 2.3 3 2.5 5 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ Mà lim n 3 0 5 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ vì 0 < 2 1 3 < , do đó theo đònh lí trên limu n = 0 . §2. Dãy số có giới hạn A. Tóm Tắt Giáo Khoa . 1. Định nghĩa : Dãy số (u n ) có giới hạn là số thực L nếu lim(u n – L) = 0 limu n = L ( hoặc u n → L) Ù lim(u n – L) = 0 2. Đònh lí 1 : Giả sử lim u n = L , khi đó : a) lim | u n | = | L | và lim 3 3 n uL= b) N ếu u n ≥ 0 với n∀ thì L ≥ 0 và lim n uL= Đònh lí 2 : Giả sử limu n = L , limv n = M và c là một hằng số . Khi đó : a) * lim(u n + v n ) = L + M * lim(u n – v n ) = L – M * lim(u n .v n ) = LM * lim(cu n ) = cL b) N ếu M ≠ 0 thì lim n n u L vM = Kết quả : • lim k c 0 n = ( c : hằng số ; k : s ố nguyên dương ) • lim m k c n = 0 ( c ; hằng số ; k , m : số nguyên dương 3, Cho (u n ) là cấp số nhân với |q| < 1 ( cấp số nhân lùi vô hạn) thì : S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + . . . = limS n = 1 u 1q − B. Giải Toán Dạng 1 : Tìm giới hạn bằng định nghĩa . limu n = L Ù lim(u n – L) = 0 Ví dụ 1 : Tìm giới hạn các dãy số sau : a) lim 2 1 7 n ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ b) lim 2n sinn n + ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Giải : a) Ta có : n 2 1 lim(u 7) lim 0 n − −= = => n lim u 7 = - b) Ta có : u n = 2 + sin n n => n sin n lim(u 2) lim n −= Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 5 Mà sin n 1 nn 1 lim 0 n ⎧ ≤ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ nên sin n lim 0 n = , suy ra limu n = 2 Dạng 2 : Tìm giới hạn của P(n) Q(n) trong đó P(n), Q(n) là hai đa thức theo n Chia tử và mẫu cho đơn thức có bậc cao nhất rồi sử dụng : lim k m k cc lim 0 n n = và các đònh lí về gi ới hạn . Ví dụ 2 : Tìm giới hạn các dãy số sau : a) 2 2 2n n 1 3n 5n 7 −+ +− b) 2 3 (2n 1)(3 n) (4n 5) −− − c) 2 2n 13 (n 5) − + Giải a) Ta có : 2 222 n 2 222 2n n 1 nnn u 3n 5n 1 nnn −+ = +− ( chia tử và mẫu cho n 2 ) = 2 2 11 2 nn 51 3 nn −+ +− Vì lim(2 - 22 11 1 1 ) lim2 lim lim 2 0 0 2 nn n n += − + =−+= Và 22 57 5 7 lim(3 ) lim3 lim lim 3 0 0 3 nn n n +− = + − =+−= Nên limu n = 2 3 b) Tử và mẫu là các đa thức bậc 3 nên chia tử và mẩu cho n 3 , ta được : u n = 22 33 2n 1 3 n 1 3 .21 nn nn 4n 5) 5 4 nn −− ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ = − ⎛⎞ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Vì lim 22 2 1133 2 lim2 lim 2 ;lim 1 lim lim1 (0 1) 1 nnnn ⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞ −= − = −= − =−= ⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠ Và lim 33 3 55 4lim4lim(40)64 nn ⎛⎞⎛ ⎞ −= − =−= ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ Nên limu n = 2.1 1 64 32 = c) limu n = lim 2 2 213 nn 5 1 n − ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ ( chia tử và mẫu cho n 2 ) = 2 0 0 1 = Dạng 3 : Dạng sử dụng công thức : lim q n = 0 nếu | q| < 1 Ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa a n với a lớn nhất . Nhớ các quy tắc : a n + m = a n . a m ; n nm m a a a − = ; (a n ) m = a nm ; n n n aa bb ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ Ví dụ 3 : Tìm giới hạn các dãy số sau : a) nn nn 5.2 6.3 3.2 2.3 − + b) 2n 1 n 2n 2 2n n 2n 1 3155 4.3 2.15 7.5 ++ − −+ ++ Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 6 Giải a) Ta có : limu n = n nn nn nn n nn 2 5.2 6.3 56 3 33 lim lim 3.2 2.3 2 3. 2 33 3 ⎛⎞ − − ⎜⎟ ⎝⎠ = ⎛⎞ + + ⎜⎟ ⎝⎠ ( Chia tử và mẫu cho 3 n ) = 5.0 6 3 3.0 2 − =− + ( vì lim n 2 0 3 ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ do 2 01 3 <<) b) Tr ước hết ta đưa về các lũy thừa dạng q n với | q| < 1 . Ta có : u n = nn n nn n 3.9 15 25.25 7 4.9 2.15 .25 5 −+ ++ Chia từ và mẫu cho 25 n : limu n = lim nn nn 915 3. 25 25 25 9157 4. 2. 25 25 5 ⎛⎞⎛⎞ −+ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ + + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ = 0025125 7 7 00 5 −+ = ++ ( vì lim nn 915 lim 0 25 25 ⎛⎞ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ do 0 < 915 1 25 25 < < ) Ví dụ 4 : Tính các tổng vô hạn các số hạng của cấp số nhân sau : a) S = 1 - 11 24 +− b) S = sin 2 x + sin 4 x + sin 6 x + . . . (x ≠ k 2 π + π ) Giải : a) p dụng công thức : S = 1 u 1q − với |q| < 1 . Ta có vì | q | = 1 2 < 1 nên S = 12 1 3 1 2 = + b) Vì x ≠ k 2 π +π nên |q| = sin 2 x ≠ 1 tức |q| < 1 , do đó S = 22 2 1 22 u sin x sin x tan x 1q 1sinx cosx === −− * Dạng 4 : Tìm giới hạn bằng cách thiết lập công thức u n theo n Ví dụ 5 : Tìm limu n biết u n = 22 2 2 111 1 112 233 n n ++++ +++ + Giải Ta rút gọn u n bằng cách nhận xét số hạng tổng quát 2 1111 kkk(k1)kk1 ==− ++ + ( 1 ≤ k ≤ n ) Suy ra : u n = 11 11 11 1 1 12 23 34 nn1 ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞ −+−+−++− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟ + ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎝ ⎠ = 1 - 1 n1 + => limu n = lim 1 11 n1 ⎛⎞ −= ⎜⎟ + ⎝⎠ Ví dụ 6 : Cho dãy số u n đònh bởi : 1 n n1 n u1 1 uu ;n1 2 + = ⎧ ⎪ ⎨ ⎛⎞ =+ ≥ ⎪ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎩ Chứng minh u n = 2 - 2 n 1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ , n∀ . Suy ra limu n . Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 7 Giải Ta chứng minh u n = 2 - 2 n 1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ (1) , n ∀ băng phưong pháp quy nạp . • Ta có : u 1 = 2 – 2. 1 1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = 1 : v ậy (1) đúng khi n = 1 • Giả sử u k = 2 – 2. k 1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ , th ế thì theo giả thiết quy nạp : u k+1 = u k + k 1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Ư u k+1 = 2 – 2. k 1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ + k 1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = 2 - kk1 11 22. 22 + ⎛⎞ ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ : (1) đúng khi n = k + 1 V ậy (1) đúng với n∀ . Suy ra : limu n = 2 – 2lim n 1 2 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = 2 – 0 = 2 Ghi chú : Ta có thê thiết lập trực tiếp công thức (1) bằng nhận xét u n – u n – 1 là một cấp số nhân công bội 1 2 C. Bài Tập Rèn Luyện 4.7. Chọn câu đúng : 3n sin(2n 4) lim 2n ++ a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 2 4.8. Chọn câu đúng : lim 2n 1 3n − − = a) 2 3 b) – 1 3 c) 1 d) – 2 4.9. Chọn câu đúng : lim 2 2 3(2n 1) n 4(n 7)(3n 1) − +− = a) ½ b) 1 3 c) 0 d) 3 4 4.10. Chọn câu đúng : lim 2 32 nn3n1 n2n1 ++ − ++ = a) 4 b)3 c) 0 d) - 1 4.11. Chọn câu đúng : lim n1 2n1 n4 n1 35 225 +− +− − + = a) – 5 b) – 1/5 c) 3/16 d) đáp số khác 4.12. Chọn câu đúng : Tổng vô hạn của cấp số nhân sau - 4 + 2 – 1+ . . .bằng : a) 16 b) 16 3 c) 6 d) đáp số khác 4.13. Tìm giới hạn các dãy số sau : a) sin(2n 1) lim 3 n + ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ b) 2 2n 3 cosn lim n1 ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ 4. 14. Tìm giới hạn các dãy số sau : a) 2 2 n2n 3n n 1 + ++ b) 32 42 2n n n3n6 + −+ c) 2 3 (2n 4)(3n 4)(3n 1) (2n 5) )(5n 2) +−+ +− d) 3 32 2 nnn n2n32n7 −+ −++− e) 3 2 nn7n1 (2n 1) − ++− + 4. 15. Tìm giới hạn các dãy số sau : Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 8 a) nn1 nn 4.3 7 2.5 7 + + + b) nn1 n1 n 23 5.2 4.3 + + + − c) 2n n 1 2n 1 n1 n 2 2.3 6 2 (2.3 3.2 ) +− − +− − 4. 16. Tính các tổng vô hạn của cấp số nhân sau : a) 1000 + 100 + 10 + . . . b) 1 + cos 2 x + cos 4 x + . . .(x ≠ k π ) c) 1 xx −+− d) 4.17. Trong mặt phẳng Oxy , một ốc sên bò từ gốc O theo phương Ox 1 m , rồi quẹo trái theo phương Oy rồi lại quẹo trái theo ph ương Ox và cứ thế , khoảng cách bò lần sau bằng nữ a khoảng cách trước đó . Hỏi bò mãi thì ốc sên sẽ đ ến vò trí nào ? 4. 18. Biểu diễn các số thập phân tuần hòan sau đây dưới dạng phân số , ví dụ : 38 1,151515 33 = . là số thập phân tuần hòan có chu kì là 15 a) 0, 123123123. . . b) 1, 272727 . . . 4.19. Cho một góc xOy = 30 0 . Từ điểm A trên Ox với OA = 1 , đựng AA 1 vuông góc Oy . Tiếp theo dựng A 1 A 2 vuông góc Ox , rồi A 2 A 3 vuông góc Oy và cứ thế mãi mãi . Tình đ ộ dài đường gấp khúc AA 1 A 2 . . . 4.20. Cho hình vuông ABCD có độ dài là 1. Ta nội tiếp trong hình vuông này một hình vuông thứ hai , có đỉnh là trung điểm c ủa các cạnh của nó. Và cứ thế . . . . Tính tổng chu vi c ủa các hình vuông . * 4. 21. Tìm giới hạn các dãy số sau : a) 14 (3n1) 16 (5n1) ++ + + ++ + + b) n2n n2n 3(1 2 2 2) 2(1 3 3 3) ++ + + ++ + + c) 22 2 11 1 2131 n1 +++ −− − d) 11 1 1 n1 2 2 3 n n1 ⎛⎞ +++ ⎜⎟ ++ ++ ⎝⎠ * 4. 22. Tìm giới hạn các dãy số sau : a) 11 1 21 12 32 23 (n 1)n nn 1 +++ ++ +++ b) 22 22 22 23 n (2 1) (3 1) (n 1) +++ −− − * 4. 23. Cho dãy số : 1 n n1 . n u2 2u 1 u(n1) u + = ⎧ ⎪ − ⎨ = ≥ ⎪ ⎩ . Tìm công thức tính u n theo n . Suy ra limu n . D. Hướng Dẫn – Đáp Số 4.7. (d) nn 3sin(2n4) 3 lim(u ) lim 0 lim u 22n 2 + −= ==> = 4.8. (d) lim 1 2 2n 1 2 n lim 2 3 3n 1 1 n − − ===− −− − Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 9 4.9. (b) lim 2 22 22 2 1 3(2 ) 3(2n 1) n 3.2 1 n lim 71 4(n 7)(3n 1) 4.1.3 3 4(1 )(3 ) nn − − === +− +− 4.10.(c) lim 2 32 nn3n1 n2n1 ++ − ++ = 2 3 3 11 3 1 nn n n lim 21 1 nn ++ − ++ ( chia T và M cho 3 n) = 0 0 1 = 4.11. (a) lim n1 2n1 n4 n1 35 225 +− +− − + = n nn n nn 31 1 3 3.3 .25 25 5 5 lim lim 1 21 16.2 .25 16. 25 25 25 ⎛⎞ − − ⎜⎟ ⎝⎠ = ⎛⎞ + + ⎜⎟ ⎝⎠ = - 5 4.12. (b) Ta có : 8 - 4 + 2 – 1+ . . .= 816 1 3 1( ) 2 = −− 4.13. a) Ta có : lim (u n – 3) = sin(2n 1) lim n −+ Mà sin(2n 1) 1 nn 1 lim 0 n ⎧ −+ ≤ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ nên lim(u n – 3) = 0 => limu n = 3 b) Ta có : 2 n 1cosn lim(u 2) lim n1 − −= + Mà 2 1cosn 2 n1 n 2 lim 0 n ⎧ − ≤ ⎪ ⎪ + ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ => nn lim(u 2) 0 lim u 2−==> = 4. 14. a) limu n = 1 3 (Chia tử và mẫu cho n 2 ) b) limu n = 0 ( Chia tử và mẫu cho n 4 ) c) limu n = 2 3 2.3.3 2 2.5 5 = ( Chia tử và mẫu cho n 4 ) d) limu n = 3 11 3 12 = + (Chia tử và mẫu cho n = 3 23 nn= ) e) limu n = 2 00 0 2 + = (Chia tử và mẫu cho n 2 = 4 n) 4. 15. a) limu n = lim n n 3 4. 7 07 7 7 01 5 2. 1 7 ⎛⎞ + ⎜⎟ + ⎝⎠ == + ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 10 b) limu n = lim n n 2 3 03 3 04 2 10. 4 3 ⎛⎞ + ⎜⎟ + ⎝⎠ = − ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ = - 3 4 c) limu n = nn 2 n 614 26. . 929 22 3. 33 ⎛⎞ ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ = 9 2 = 4. 16. a) S = 1 10000 1000. 1 9 1 10 = − b) S = 22 11 1. 1cosx sinx = − c) S = 1. 1 1x+ 4. 17. Các hoành độ lần lượt của ốc sên là : 1 , - 11 ;; 416 lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu 1 , công bội - 1 4 . Suy ra hoành đ ộ của ốc sẽ tiến đến vị trí 14 1. 1 5 1 4 = + (m) . Các tung độ c ủa ốc sên là : 111 ; ; ; 2816 − lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu 1 2 , công bội - 1 4 . Suy ra tung độ c ủa ốc sẽ tiến đến vị trí la : 11 2 . 1 25 1 4 = + V ậy ốc sên sẽ bò đến điểm 42 ; 55 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 4. 18. Ta viết số thập phân dưới dạng một tổng vô hạn : 0,123 + 0, 123123 + 0, 123123123 . . . . Đây là tổng vô hạn c ủa một cấp số nhân , số hạng đầu 0, 123 , công bội q = 1 1000 , suy ra số đó là : 123 1 123 41 . 1 1000 999 333 1 1000 == − b) Ta có : 1, 272727 . . . = 1 + 0, 27 + 0, 2727 + 0, 272727 + . . . = 1 + 27 1 27 3 14 .11 1 100 99 11 13 1 100 =+ =+ = − 4. 19. Các tam giác OAA 1 , OA 1 A 2 . . . là các tam giác nữ a đều , cho ta : 23 12 112 AA AA 3 AA AA 2 === , suy ra các đoạn AA 1 , A 1 A 2 , A 2 A 3 . . . lập thành một cấp số nhân , số hạng đầu AA 1 = 11 .OA 33 = , công bội 3 2 . V ậy độ dài đoạn gấp khúc là : 11 2 . 33233 1 2 = − − O A A 1 A 2 A 3 [...]... hai dãy số an + b và an + b’, hoặc an2 + bn + c và an2 + b’n + c’ ( tức các đa thức cùng bậc và hệ số của bậc cao nhất bằng nhau ) là hai dãy số “ đồng tài ngang sức “ 2+ C Bài Tập Rèn Luyện 4.24 Chọn câu đúng : Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến + ∞ ? (2n 2 − 3)2 (I) 2n + 7 − n + 4 (II) (3 − n)3 a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không dãy số nào 4.25 Chọn câu đúng : Trong các. .. trường hợp có dấu ? là các trường hợp ta không thể xác đònh được giới hạn : dạng ∞ - ∞ , 0 ∞ và ∞ ( đã xét một phần ở §2 .Dạng 2 ) , gọi là dạng vô đònh Ta thường phải sử dụng các thuật toán để khử ∞ các dạng này , được trình bày trong phần sau B Giải Toán www.saosangsong.com.vn Chương 4 Giới hạn Dạng 1 : (dạng 13 ∞ ) ∞ Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau : (2n − 1)(3n + 1)2 4n 2 − n − 1 a) b) (2n − 4)3 (2n... chứng minh : un = 3 2 n 3 2 n +1 =1 n §3 Dãy số dần đến vô cực A Tóm Tắt Giáo Khoa 1 Dãy số dần đến vô cục : • (un) có giới hạn là + ∞ nếu mọi số hạng đều lớn hơn một số dương lớn tùy ý cho trước kể từø một số hạng nào đó trở đi Kí hiệu : limun = + ∞ hoặc un → + ∞ • (un) có giới hạn là - ∞ nếu mọi số hạng đều nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi Kí hiệu : limun =... ≠ lim f(x) nên hàm số không có giới hạn tại x = 1 + − lim f(x) = lim − − x →1 x →1 www.saosangsong.com.vn Chương 4 Giới hạn 27 §6 Giới hạn vô cựïc §7 Các dạng vô đònh A Giải Toán 0 f ( x) trong đó f(x0) = g(x0) = 0 ) : Tìm lim x → x o g( x ) 0 Dạng 1 ( Dạng Phân tích tử và mẫu ra nhân tử để khử dạng vô đònh Có thể dùng lượng liên hiệp như đã gặp ở giới hạn dãy số Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau :.. .Chương 4 Giới hạn 11 1 4 20 Các cạnh hình vuông này bằng cạnh hình vuông 2 trước nó Do đó các chu vi hình vuông lập thành một cấp số nhân số hạng đâu là 4 ( chu vi hình vuông ABCD) , công bội là 1 1 4 2 = 4(2 + 2) (m ) 1 2 −1 1− 2 *4 21 a) Tử là tổng n + 1 số hạng của một cấp số cộng với u1 = 1 , d = 3 và mẫu là tổng của n + 1 số hạng của một cấp số cộng với v1 = 1 , d’ =... n+3 a) 0 b) – 1 c) + ∞ 4 29 Tìm giới hạn các dãy số sau : 2n − 4 a) b) 2n + 3 − n + 4 3 2 n + n +1 n 3 − n + 3 e) d) – ∞ c) 1 d) 2n – 3 - 2n + 3 − n + 1 b) n 2 − 2n n + 3 c) (1 + n 2 ) − n 4 + 3n 2 + 1 3 = n3 − 3 n4 4.30 Tìm giới hạn các dãy số sau : a) 2n + 4 − 2n + 1 e) n + 2 - d) – ∞ ∞ d) 4n 2 + n − 1 − 4n 2 − 3n + 6 n 3 + 2n + 1 4 31 Tìm giới hạn các dãy số sau : a) c) n − n2 + 5 b) 2n + 1 − 4n... →x0 n x →x0 x = n xo Nếu f(x) là hàm số đa thức , phân thức hay vô tỉ xác đònh tại x0 thì lim f(x) = f(x0) x →x0 Các đònh lí 1 và 2 trên vẫn đúng khi thay x0 bằng ± ∞ B Giải Toán Dạng 1 : Tìm lim f(x) biết hàm số f(x) là hàm số lập bởi các phép tóan như cộng , trừ , nhân x →x0 chia … các hàm số đa thức và xác đònh tại xo Khi đó giới hạn là f(x0) Ví dụ 1 : Tìm các giới hạn sau : a) f(x) = 2x − 1... hạn các dãy số sau : a) n3 + n − n + 8 b) n + 7 − 3n + 2 c) 5 4n − 1 − 3n + 2 Giải : ⎛ 1 1 + n3 ( ⎜ 1 + 2 − ⎜ n n ⎝ ⎛ 1 1 Vì lim n 3 = + ∞ và lim ⎜ 1 + 2 − + ⎜ n n ⎝ Do đó limun = + ∞ a) Ta có limun = lim 8 ⎞ ⎟ ⎟ n3 ⎠ 8 ⎞ ⎟= 1 ⎟ n3 ⎠ Ghi chú : Ở câu (a) , tuy là dạng vộ đònh ∞ - ∞ nhưng dãy số un = dãy số vn = n – 8 nên lim(un – vn) = + ∞ www.saosangsong.com.vn n 3 + n tiến đến vô cục “ nhanh hơn “ Chương. .. giới hạn các dãy số sau : a) n 2 + 3n − 1 − 2n + 3 2n + 1 c) (3n − 1) ( n2 + n + 7 − n2 + n + 2 n + 3 1 − n3 n4 + 1 − n2 n − 5 − 3 8n 3 + n + 1 n + 2 − n2 + 7 b)(2n+1) ) d) ( 2n 4 − n + 1 − 2n 4 + 3n + 1 4n 2 + n − 3 8n 3 + 3n 2 www.saosangsong.com.vn ) Chương 4 Giới hạn 17 4n 2 + 1 3 n 3 + 7 − 2n 2 + 1 1 1 1 *4.33 Cho dãy số un = 1 + + + + Chứng minh limun = + ∞ 2 3 n e) D Hướng Dẫn – Đáp Số ⎛ 7 4⎞... nhất có 2 phân số , trong dấu ngoặc thứ hai có 2 phân số , , trong dấu ngoặc cuối cùng có 2m phân số 1 1 = 2 2 1 1 1 1 1 + > + = 3 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có : + + + > + + + = 5 6 7 8 8 8 8 8 2 1 1 1 + + m > m −1 2 +1 2 2 m Cộng , ta được : u2m > 1 + Theo định nghĩa , ta suy ra : limun = + ∞ 2 B GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC §4 Định nghĩa và một số đònh lí về giới hạn hàm số A Tóm Tắt . Chương 4. Giới hạn www.saosangsong.com.vn 2 Chương 4 . GIỚI HẠN A. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ §1. Dãy số có giới hạn 0 A. Tóm Tắt Giáo Khoa . 1. Dãy số (u n ) có giới hạn là 0 nếu mọi số. hai dãy số an + b và an + b’, hoặc an 2 + bn + c và an 2 + b’n + c’ . . . ( tức các đa thức cùng bậc và hệ số của bậc cao nhất bằng nhau ) là hai dãy số “ đồng tài ngang sức “ C. Bài Tập. Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào dần đến + ∞ ? (I) 2n 7 n 4+− + (II) 22 3 (2n 3) (3 n) − − a) Chỉ (I) b) Chỉ (II) c) Cả (I) và (II) d) Không dãy số nào 4.25. Chọn câu đúng : Trong các