sở giáo dục và đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2011 sở giáo dục và đào tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2011 mở đầu Giải ph-ơng trình là bài toán có nhiều dạng và giải rất linh hoạt, với nhiều học sinh kể cả học sinh đ-ợc cho là khá giỏi nhiều khi còn lúng túng tr-ớc việc giải một ph-ơng trình; trong đó có ph-ơng trình chứa căn thức đ-ợc coi là khó hơn cả. Nên tôi chọn đề tài: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình vô tỷ để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh có thêm những kỹ năng cần thiết để giải ph-ơng trình chứa căn thức nói riêng và các dạng ph-ơng trình nói chung, đồng thời cũng mong muốn đây là tài liệu tham khảo bổ ích cho những ai quan tâm đến môn toán. Kiến thức thể hiện trong sáng kiến kinh nghiệm này hoàn toàn trong ch-ơng trình Toán bậc THPT hiện hành. Một phần sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng để chuyển sang phần bất ph-ơng trình cũng đ-ợc; xong khi chuyển sang bất ph-ơng trình có những phần sẽ đ-ợc mở rộng để có bài toán hay hơn. Do đó ng-ời nghiên cứu có thể sử dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào nhiều mục đích giáo dục khác nhau cũng đ-ợc. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này gồm có 9 ph-ơng pháp giải toán khác nhau.   H 1 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Mét sè ph-¬ng ph¸p gi¶i ph-¬ng tr×nh v« tû Bài toán mở đầu  2 2 1 1 (*) 3 x x x x       Giải  0  x  1 * Cách 1:         2 (*) 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 11 3 44 1 2 . 1 1 39 4 6 0 2 2 3 0 x0 3 x 2 0 1 4 4 9 0 1 4 4 9 0 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xx x x                                                              0, 1xx  trình có hai  0, 1xx . * Cách 2:  2 xx  x và 1 x    2 2 1 1 2x x x x       1t x x   , 12t www.VNMATH.com   H 2 2 2 1 2 t xx     .  2 1 1 3 t t   2 1 3 3tt    2 3 2 0tt    1 2 t t       2t  ,  1t  , có 2 0 1 1 2 0 1 x x x x x x             0, 1xx   0, 1xx . * Cách 3: : x và 1 x      22 11xx     2 . 1 3 1 3 3x x x x     33 1 23 x x x      ( 9 4 x  vì thay 9 4 x    tx , nên 33 1 23 t x t    L     22 11xx   , nên 2 2 33 1 23 t t t         2 2 2 2 4 12 9 9 18 9 4 12 9t t t t t t t         4 3 2 4 12 14 6 0t t t t       32 2 6 7 3 0t t t t         2 1 2 4 3 0t t t t     0 1 t t       0 1 x x       0, 1xx   0, 1xx . * Cách 4: êm cách khác  ax , 1bx , 0, 0ab  22 2 1 3 1 ab a b ab              2 3 2a 3 (1) 2a 1 (2) b a b a b b             www.VNMATH.com   H 3 Thay (1) vào (2) có     2 3 3 1a b a b           2 3 2 0a b a b      1 2 ab ab        1ab , có .0ab 0 1 1 0 a b a b                   0 1 x x        2ab , có 3 . 2 ab ,  ,ab (Vì 2 3 4 2 4. 6 2    ) 0, 1xx   0, 1xx .  . * Cách 5:      22 11xx    22 sin cos 1aa Ta có thêm cách sau:  sin , 0 2 x a a      22 2 1 sin . 1 sin sin 1 sin 3 a a a a     3 2sin .cos 3sin 3cos a a a a    (Vì cos 0a  )     2 sin cos 3 sin cos 2 0a a a a      sin cos 1 sin +cos 2 aa aa       sin cos 1aa   2 2sin . os 2sin 0 2 2 2 a a a c   sin os sin 0 2 2 2 a a a c       sin 0 2 tan 1 2 a a          2 sin 2sin os 0 22 2tan 2 sin 1 1 tan 2 aa ac a a a             0 1 x x       0, 1xx    0, 1xx .                    vào  . www.VNMATH.com   H 4   Bài toán 1:  1) 17 1 3xx   (1) 2) 3 3 3 2xx     (2) 3) 23 5 2 1 1x x x x x      (3) 4) 2 2 2 1 3 2 8 7x x x x x       (4) 5) 3 3 3 12 12 2 3x x x    (5) 6) 2 22xx   . (6) Bài toán 2: Tìm m  2 22x mx m   (I), . Bài toán 3: Tìm m  22x m x   (II),   Bài toán 4:  1) 2 5 2 2 7 3x x x x      (1) 2) 3 3 1 2 2 2x x x x      (2) 3) 3 2 1 11 x x x x x x        (3) 4) 33 11 4 1 1 1 4 1 xx xx xx        (4) 5) 3 3 3 3 3 5 2 1 2 6x x x x      . (5) Giải Bài toán 1 1) :   1 1 3 0 3 xx    . hai hai  :   2 17 1 3xx    1 3 x  . Do v  17 0x  .   (1) 2 1 3 0 17 1 3 x xx           2 1 3 17 1 6 9 x x x x            2 1 3 9 7 16 0 x xx           1 3 1 16 9 x x x                1x     1x  . www.VNMATH.com   H 5 Chú ý:  ( ) ( )f x g x  2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) gx f x g x f x g x        17tx  t  0. 2)  31x   (2) 3 2 3 3xx         22 3 2 3 3xx     3 4 3 4 3 3x x x       31xx       2 10 31 x xx              2 1 3 2 1 x x x x          2 1 20 x xx         1 1 2 x x x             2x     2x  . 3)   (3) 2 23 10 5 2 1 1 x x x x x x              3 1 2 1 1 3 x x x x            32 1 1 3 0 2 1 (1 3 ) x x x x x              32 1 1 3 2 1 1 6 9 x x x x x               32 1 1 3 9 8 0 x x x x               2 1 1 3 9 8 0 x x x x             1 1 3 0 1 8 x x x x                      0x   0x  . Chú ý: Trong bài này t 23 3 5 2 1 0 2 1 0 x x x x xx              . www.VNMATH.com   H 6 4)  1 7 1 x x x             (4) 22 2 2 2 1 3 2 8 7x x x x x        2 2 2 2 2 1 3 2 2. 1. 3 2 8 7x x x x x x x x                  2 2 1 1 . 1 2 5 6x x x x x x                 2 2 1 1 2 1 6x x x x x               2 2 2 2 16 4 1 2 1 6 x x x x x x                    2 22 16 1 4 4 8 12 36 0 x x x x x x                 2 16 1 3 16 44 0 x x xx                 16 1 2 22 3 x x x x                        1 2 x x       1, 2xx     1, 2xx   . Chú ý :           (4) 1 1 1 2 1 7x x x x x x         * T1: 1x   (4) *  1x  ,  1 2 7x x x         22 1 2 7x x x      1 2 1 2 2 7x x x x x         2 2 2 6x x x         2 2 60 4 2 6 x x x x            2 6 3 16 44 0 x xx         www.VNMATH.com   H 7 6 2 22 3 x x x                2x 2x  ,  *  7x  ,           1 1 1 2 1 7x x x x x x            1 2 7x x x            22 1 2 7x x x        1 2 1 2 2 7x x x x x           2 1 2 6 0x x x       (Vì 2 1 2 6 0, 7x x x x         ).  1, 2xx   . :  ab a b  ab a b khi 0a  và 0b  Còn ab a b   khi 0a  và 0b  . 5)     (5) 33 3 3 3 12 12 2 3x x x         3 3 3 3 12 12 2 3 3 12 12. 2 3. 12 12 2 3x x x x x x x               3 3 3 3 12 12. 2 3. 12 12 2 3 3 1x x x x x          33 3 12 1 . 2 3. 3( 1) (5*)x x x x          3 12 1 2 3 27 1x x x x           22 1 4 2 3 9 2 +1 0x x x x x             2 1 6 9 0x x x      2 10 6 9 0 x xx          1 3 x x       Thay 1, 3xx vào p  1, 3xx . Chú ý : , (5*) là   trình (5).   (5) . www.VNMATH.com [...]... thể đưa về dạng f ( x)  g ( x) và giải bằng cách bình phương hai vế, dẫn đến phương trình bậc bốn (nhẩm được nghiệm x   1 , x  2 ) và tìm được nghiệm của phương trình Ngoài ra còn cách nữa là phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình (tôi xin trình bày ở phương pháp 5) Vậy phương trình có hai nghiệm x  2 , x  Bài toán 2 *) Nếu m  0 thì phương trình (I) vô nghiệm *) Nếu m  0 thì: ( I ) m... phương trình với m  0 b) Tìm m để phương trình có nghiệm 2) Giải phương trình: x  2  x 2  8x  2  x  8 (2) II Bài toán 2: Dạng a  f  x   g  x    b f  x  g  x   c  f  x   g  x    d  0     (Với abc  0 ) Phương pháp chung là đặt t  f  x   g  x  1) Cho phương trình: x  1  x  x  x 2  m a) Giải phương trình với m  1 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm 2) Cho phương trình: ... luận: phương trình có hai nghiệm x  0, x  1 Bài tập 1) 2) 3 3 Giải các phương trình x  1  3 x  2  1  3 x 2  3x  2 x  1  3 x2  3 x  3 x2  x H 29 www.VNMATH.com Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Phương pháp 5: Phương pháp đặt ẩn phụ đư v hệ phương trình I Bài toán 1 ư v hệ thông thường Giải phương trình sau: 2 x  8  3 2 x  9  5 (1) II Bài toán 2 ư v hệ đối xứng loại 1 Giải các phương. ..  x  0    x  8  7  8 trở lại phương trình ban đầu thỏa mãn 7 8 Vậy phương trình có nghiệm x  0, x  7 Thay x  0, x  h : Ở (8*) có thể giải bằng cách bình phương hai vế cũng được, nhưng sẽ dài và khó Ở đây kết hợp với phương trình ban đầu để đưa ra phương trình hệ quả, giải nhanh hơn Tìm ra x , thử lại kết quả để chọn nghiệm Bài tập Giải các phương trình sau 1  x 2x  x2 1)  x 1  x2... phương trình: 2 x 2  mx  3  x  1 có hai nghiệm phân biệt Bài 3: Tìm m để phương trình: 2 x 2  mx  x 2  4 có nghiệm H 13 www.VNMATH.com Nguyễn Quốc Hoàn – THPT Nguyễn Gia Thiều Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ I Bài toán 1: Dạng af  x   b f  x   c  0 , a  0 Phương pháp chung là đặt t  f  x , t  0 1) Cho phương trình:  x  1 x  3  6  x  1 x  5  m  0 (1) a) Giải phương. .. Tìm m để phương trình vô nghiệm 2) Cho phương trình: 2 x  1  2 x  2  x  x 2  x  2  m a) Giải phương trình với m  11 b) Tìm m để phương trình có nghiệm (3) 3) Giải phương trình: x 3 35  x3 x  3 35  x3  30 (5)   (4) III Bài toán 3: Đặt ẩn phụ đưa về dạng phương trình thuần nhất Giải các phương trình: 1) 3 1  x3  2 x 2  4 x (6) (HSG Toán 10, NGT 2007) 2) x3  3x 2  2  x  2 3  6x ... vào phương trình (5) thoả mãn Vậy phương trình có hai nghiệm x  6 , x  1 Chú ý: Phương pháp tương tự như các bài toán trên Ở (5*) là ta đã sử dụng từ phương trình đề bài, tức là đã dẫn đến hệ, nên (5*) không tương đương với (5) Thật vậy, nếu ta thay 3 x  3 3x  5 chứ không thay như bài giải vừa rồi, sẽ  tìm được nghiệm x    5 nhưng nghiệm này không thoả mãn phương trình (5) 2 Bài tập Bài 1: Giải. ..  1 vào phương trình (2) thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1 Chú ý: Ta giải bằng cách trên vì có: x  3  4 x  2 x  2  3x  1 Biến đổi về (2*) là dẫn đến phương trình hệ quả, nên tìm được nghiệm (2*) ta phải thay vào phương trình (2) xem có thoả mãn hay không Dạng tổng quát của phương trình trên là f ( x)  g ( x)  k ( x)  h( x) , với f ( x)  h( x)  g ( x)  k ( x) Được giải bằng... luận: phương trình có ba nghiệm x  , x  4 , x  2 2 Chú ý: Dạng bài tập này ta nên đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình và giải bằng phương pháp thế 3 2 x  9  1  2 x  9  1 II Bài toán 2 1) Đây chính là phương pháp 2, bài toán 2 đã biết Ở đây ta sẽ giải bằng cách khác Điều kiện 2  x  3 Đặt a  2  x , b  3  x , a  0 , b  0 (2.1) a  b  1  ab a  b  1  ab  Ta có hệ phương trình: ... vì 2 2 2 x  2  x  3x  4 3x  5 x  1  3x 2  3x  3 Thay x  2 vào phương trình ban đầu thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x  2 Chú ý: Ở đây ta không đặt điều kiện vì x2  3x  3  0 giải ra kết quả xấu, do vậy ta tìm nghiệm phương trình hệ quả rồi thay lại phương trình ban đầu xem thỏa mãn sẽ lấy làm nghiệm 4) Phương trình: 5 3 x 2  12  x 2  5 ) x 2  12  x 2  5  3x  5 có nghiệm thì . nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5 / 2011 mở đầu Giải ph-ơng trình là bài. tài: Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình vô tỷ để làm sáng kiến kinh nghiệm. Với mục đích mong muốn đề tài này sẽ góp phần giúp học sinh có thêm những kỹ năng cần thiết để giải ph-ơng trình. tạo hà nội Tr-ờng ThPt nguyễn gia thiều Sáng kiến kinh nghiệm: Một số ph-ơng pháp giảI ph-ơng trình vô tỷ Giáo viên : Nguyễn quốc hoàn Tổ : Toán Hà Nội, 5