KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO GIẢI TÍCH CHƯƠNG I Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. I/Tóm tắt lý thuyết: Định lý 1: Cho hàm f(x) có đạo hàm trên K ( K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng) a) f’(x)>0, ∀ x∈K ⇒ y= f(x) tăng trong K b) f’(x)< 0, ∀ x∈K ⇒ y= f(x) giảm trong K c) f’(x)=0, ∀ x∈K ⇒ f(x) không đổi Định lý 2: y = f(x) có đạo hàm trên K.Nếu f ’(x) ≥ 0 (f’(x) ≤ 0), ∀ x K∈ và f ’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + Tìm TXÐ ? + Tính đạo hàm : y / = ? Tìm nghiệm của phương trình y / = 0 ( nếu có ) + Lập bảng BXD y / (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần. Nếu y / > 0 thì hàm số tăng, y / < 0 thì hàm số giảm ) + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng II/ Bài tập A/ Bài tập mẫu : 1/ Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y= –2x 3 +9x 2 +24x –7 b) 2 1 1 x x y x − + = − Giải: a) Miền xác định: D= ¡ 2 6 18 24y x x ′ = − + + , cho 1 0 4 x y x = −  ′ = ⇔  =  Bảng biến thiên: x – ∞ –1 4 + ∞ y ′ – 0 + 0 – y Hàm số nghịch biến trong các khoảng: ( ; 1),(4; )−∞ − +∞ Hàm số đồng biến trong khoảng: (–1;4) b) Miền xác định: D= { } \ 1¡ ( ) 2 2 2 1 x x y x − + ′ = − , cho 0 0 2 x y x =  ′ = ⇔  =  Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 2 + ∞ y ′ – 0 + + 0 – y Hàm số đồng biến trong các khoảng: (0;1), (1;2) Hàm số số nghịch biến trong các khoảng: ( ;0),(2; )−∞ +∞ Ví dụ 2 : Định m để hàm số: y= x 3 – 3mx 2 + (m+2)x– m đồng biến trên ¡ Giải: Miền xác định: D= ¡ y ′ = 3x 2 – 6mx+ m+ 2 GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 1 Điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên ¡ là y’≥0 ∀x ⇔3x 2 – 6mx+ m+ 2 ≥0 ∀x ⇔ 0 0 a >   ∆ ≤  ⇔ 9m 2 – 3m– 6≤ 0 ⇔ 2 1 3 m− ≤ ≤ . Vậy 2 1 3 m− ≤ ≤ hàm số đồng biến trên ¡ B/ BÀI TẬP TỰ GIẢI 1) Xét tính đơn điệu của hàm số a) y = f(x) = x 3 +3x 2 +1. b) y = f(x) = 2x 2  - x 4 . c) y = f(x) = 2x 3x + − . d) y = f(x) = x1 4x4x 2 − +− . e) y = f(x) = x +2sinx trên (-π ; π). g) y = f(x) = )5x(x 3 2 − . h) y= f(x) = x 3 −3x 2 . i) 1x 3x3x f(x) y 2 − +− == . j) y= f(x) = x 4 −2x 2 . k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]. l) y = x + 2 3 2x x− + m) 2 4y x x = − n) 2 4 3y x x = − − 2) Cho hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1. Định m để hàm số : a) Ln đồng biến trên khoảng xác định của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0 b) Nghịch biến trên khoản(1;0). Kq: m ≤ 3 4 − 3) Định m∈Z để hàm số y = f(x) = mx 1mx − − đồng biến trên các khoảng xác định của nó. Kq: m = 0 4) Định m để hàm số y = f(x) = 2x 2x6mx 2 + −+ nghịch biến trên nửa khoảng [0;+∞). 5) Chứng minh rằng : hàm số ln ln tăng trên khoảng xác định (trên từng khoảng xác định) của nó : a) y = x 3 −3x 2 +3x+2. b) 1x 1xx y 2 − −− = . c) 1x2 1x y + − = . 6) Tìm m để hàm số ( ) ( ) x7mx1m 3 x y 2 3 −−−−= : a) Ln ln đồng biến trên khoảng xác định của nó. b) Ln ln đồng biến trên khoảng (0;+∞) 7) Tìm m để hàm số : mx 2mmx2x y 2 − ++− = ln đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. 8) Tìm m để hàm số : mx 1mx)m1(x2 y 2 − ++−+ = ln đồng biến trên khoảng (0;+∞). Kq: 223m −≤ 9) Chứng minh rằng : a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx ≥ 2 x 2 , với x > 0 c) sinx < x trên (0; 2 π ) 10). Cho hàm số ( ) 2 3f x sinx tanx x= + − . CMR hàm số đồng biến trên nữa khoảng [0; ) 3 π . Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I/Tóm tắt lý thuyết: • Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trò tại x 0 và có đạo hàm tại x 0 thì f / (x 0 )=0 • Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (x 0 – h; x 0 + h) với h > 0. +Nếu y / đổi dấu từ dương sang âm qua x 0 hàm số đạt cực đại tại x 0 , +Nếu y / đổi dấu từ âm sang dương qua x 0 hàm số đạt cực tiểu tại x 0 Qui t ắc tìm cực trò = dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Tính : y / = , tìm nghiệm của ptr y / = 0 . Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm vừa tìm (nếu có) + BBT : (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 2 + Kt lun cc tr ? Chỳ ý: 1) Nu hm s luụn tng ( gim) trờn (a;b) thỡ khụng cú cc tr trờn (a;b). 2) S cc tr ca hm s bng s nghim n ca phng trỡnh y / = 0. 3) Nu f(x) cú o hm ti x 0 v t cc tr ti x 0 / 0 / 0 ( ) 0 ( ) = y x y x ủoồi daỏu qua x Daỏu hieọu II: Cho hm f(x) cú o hm ti cp II trong (a;b), x 0 (a;b) +Nu / 0 // 0 ( ) 0 ( ) 0 = > y x y x thỡ hm s t cc tiu ti x 0 . +Nu / 0 // 0 ( ) 0 ( ) 0 = < y x y x thỡ hm s t cc i ti x 0 . Qui tc tim cc tr = du hiu II: + MXé + o hm : y / = ? cho y / = 0 => cỏc nghim x 1 , x 2 .( nu cú ) + Tớnh y // = ?. y // (xi), 1,=i n Nu y // (xi) > 0 thỡ hm s t CT ti xi . Nu y // (xi) < 0 thỡ hm s t C ti xi . Chỳ ý : *Du hiu II dựng cho nhng trng hp m y / khú xột du *Mt s bi toỏn cc tr cú cha tham s: 1/ iu kin hm s cú cc tr ti x = x 0 : = 0 0 x qua daỏu ủoồi ' 0)(' y xy hoc = 0)('' 0)(' 0 0 xy xy 2/ iu kin hm s cú cc i ti x 0 : + = 0 0 .tửứ qua daỏu ủoồi ' 0)(' xquasangy xy hoc < = 0)('' 0)(' 0 0 xy xy 3/ iu kin hm s cú cc tu ti x 0 : 0 0 y'(x ) 0 y'(x) ủoồi daỏu qua tửứ - sang qua x = + hoc = > 0 0 y'(x ) 0 y''(x ) 0 4/ iu kin hm bc 3 cú cc tr (cú cc i,cc tiu): y= 0 cú hai nghim phõn bit a 0 0 > 5/ iu kin hm hu t b2/b1 cú cc tr (cú cc i,cc tiu): y= 0 cú hai nghim phõn bit khỏc nghim ca mu Tỡm cc tr ca hm hu t : Nu h/s ( ) ( ) u x y v x = t cc tr ti x 0 thỡ y / (x 0 )= 0 v giỏ tr cc tr y(x 0 ) = u (x ) 0 v'(x ) 0 6/ iu kin hm bc 4 cú 3 cc tr : y / = 0 cú 3 nghim phõn bit. II/ BI TP: A/Bi tp mu: p dng quy tc 1 1/ Tỡm cc tr ca hm s sau: y= x 4 + 2x 2 3 Gii: GV biờn son: Nguyn Nng Sut - Trng THPT Quang Trung 3 Miền xác định: D= ¡ . y ′ = – 4x 3 + 4x= 4x(–x 2 + 1). Cho y ′ = 0 ⇔ 0 1 1 x x x =   =   = −  Bảng biến thiên: x −∞ –1 0 1 + ∞ y ′ + 0 – 0 + 0 – y –2 –2 –3 −∞ −∞ Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và x = 1; y CĐ = –2 , đạt cực tiểu tại x = 0; y CT = –3  Áp dụng quy tắc 2 2/ Tìm các điểm cực trị của hàm số: y= x– 2sin 2 x Miền xác định: D= ¡ y ′ = 1– 4sinxcosx= 1– 2sin2x y ′ =0 ⇔ sin2x= 1 2 π π π π  = +  ⇔ ∈   = +   ¢ 12 5 12 x k k x k y ′′ = – 4cos2x 4 cos 2 12 6 y k k π π π π     ′′ + = − +  ÷  ÷     = –2 3 <0 Vậy: 12 x k π π = + , k ∈ ¢ là những điểm cực đại. π π π π     ′′ + = − +  ÷  ÷     5 5 4cos 2 12 6 y k k = 2 3 >0 Vậy: π π = + 5 12 x k , ∈ ¢k là những điểm cực tiểu. Một số bài toán có tham số 1. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 1) ( ) 3 2 2 3y m x x mx m= + + + + . 2) 2 2 2 2 1 x m x m y x + + = + Giải 1) ( ) 3 2 2 3y m x x mx m= + + + + Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: ( ) 2 ' 3 2 6y m x x m= + + + Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) ( ) 2 3 2 6 0g x m x x m= + + + = có hai nghiệm phân biệt ( ) 2 0 ' 9 3 2 0 m m m + ≠   ⇔  ∆ = − + >   ( ) 2 2 3 2 3 0 m m m ≠ −   ⇔  − − + >   2 3 1 m m ≠ −  ⇔  − < <  Vậy giá trị cần tìm là: 3 1m− < < và 2m ≠ − . 2) 2 2 2 2 1 x m x m y x + + = + Tập xác định: { } \ 1D = −¡ Đạo hàm: ( ) 2 2 2 2 ' 1 x x m y x + + = + Hàm số có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = hay ( ) 2 2 2 0g x x x m= + + = có hai nghiệm phân biệt khác –1 ( ) 2 2 ' 1 0 1 1 0 m g m  ∆ = − >  ⇔  − = − + ≠   1 1 1 m m − < <  ⇔  ≠ ±  1 1m ⇔ − < < Vậy giá trị cần tìm là: 1 1m− < < 2. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 4 1) ( ) 3 2 3 2 3y m x mx= − − + . 2) 2 mx x m y x m + + = + Giải 1) ( ) 3 2 3 2 3y m x mx= − − + Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: ( ) 2 ' 3 3 4y m x mx= − − ( ) 2 ' 0 3 3 4 0y m x mx= ⇔ − − = (1) • Xét 3m = : ' 0 12 0 0y x x= ⇔ − = ⇔ = 'y⇒ đổi dấu khi x đi qua 0 0x = ⇒ Hàm số có cực trị 3m⇒ = không thỏa • Xét 3m ≠ : Hàm số không có cực trị 'y⇔ không đổi dấu ⇔ phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2 3 0 ' 4 0 m m − ≠  ⇔  ∆ = ≤  3 0 m m ≠  ⇔  =  0m⇔ = Vậy giá trị cần tìm là 0m = . 3/Xác định m để hàm số: + + = + 2 1x mx y x m đạt cực đại tại x=2. Giải: *TXĐ: { } = −D R \ m * ( ) + + − = + 2 2 / 2 2 1x mx m y x m *Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại tại x=2 là: y / (2)=0 ⇔ ( ) = −  + + = ⇔  = −  + 2 2 1 4 3 0 3 2 m m m m m *Với m=-1 ⇒ ( ) =  − = ⇔  =  − 2 / / 2 0 2 ; 2 1 x x x y y x x xét dấu y / ⇒m= -1 không là giá trị cần tìm *Với m=-3 ⇒ ( ) =  − + = ⇔  =  − 2 / / 2 4 6 8 ; 2 3 x x x y y x x xét dấu y / ⇒ m=-3 là giá trị cần tìm B/ Bài tập đề nghị: 1. Tìm cực trị của các hàm só. 1) y = x 2 – 3x - 4 2) y = -x 2 + 4x – 3 3) y = 2x 3 -3x 2 + 1 4) y = xx 4 3 1 3 − 5) y = -2x 3 + 3x 2 + 12x – 5 6) y = x 3 – 3x 2 + 3x + 1 7) y = -x 3 -3x + 2 8) y = 24 4 1 xx +− 9) y = x 4 + 2x 2 + 2 10) y = 1 2 + − x x 11) y = x + 2 3 2x x− + 12) 2 4y x x = − 13) 2 4 3y x x = − − 14) y = 1 22 2 − +− x xx 15) y = 1 2 −x x 16) y = x - x 1 17) y = x +2sinx 18) y=2sinx− xsin 3 4 3 19) 2 osxy x c = + 20)y = sin 2 x - 3 cosx 2: Ñònh m ñeå y= ( ) ( ) 1133 2223 −−−+− mxmmxx ñaït cöïc ñaïi taïi x=1. GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 5 3: Cho hàm số y= bax x +− 2 4 2 . Định a,b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại x=1 4. Tìm m để hàm số: 1) y = x 3 – 3mx 2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1 2) 2)2()2( 3 1 23 +−+−+= xmxmmxy đạt cực trị tại x = -1. ĐS : m = 3 3) y = x 3 – mx 2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 3 4) y = x 3 + (m + 1)x 2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2 5. Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu. 1) 2)12( 3 1 23 +−++= xmmxxy 2) 1)13(2 3 23 −++−= xmxx m y 3) 1 2 2 − +− = x mxx y 4) 2 2 2 + ++ = x mxx y 5) mx mxmx y + ++ = 2 6. Tìm m để hàm số: 1) y = x 4 – mx 2 + 2 có 3 cực trị. ĐS: m > 0 2) y = x 4 – (m + 1)x 2 – 1 có 1 cực trị ĐS : m < - 1 3) y = mx 4 + (m – 1)x 2 + 1 – 2m có 3 cực trị ĐS : 0 < m < 1 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, hàm số 2 3 (1 ) 1x a a x a y x a + − − + = + luôn có cực đại và cực tiểu. 8. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − + . Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó. (Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã-1999) 9. Cho hàm số 3 2 2 3y x x m x m= − + + . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5 2 2 y x= − . ( ĐHQG à Nội, 2001) 10. Cho hàm số 4 2 4 2 2y x mx m m= − + + . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. (Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997) 11. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 2 1 3 2 4y x m x m m x= − + + − + + . Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung. 12. Cho hàm số ( ) 3 2 3 2y x x C= − + . Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trong và phía ngoài): 2 2 2 2 4 5 1 0x y ax ay a+ − − + − = . 13. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 1 3 2 3 3 y mx m x m x= − − + − + . Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu 1 2 ,x x thoả 1 2 2 1x x+ = . 14. Cho hàm số 2 ( 1) 1x m x m y x m + + + − = − , tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và 2 giá trị cực trị trái dấu. 15. Cho hàm số 2 3 4 x x m y x − + + = − , tìm m để hàm số có cực trị và y CT - y CĐ =4. 16. Cho hàm số ( ) 3 2 6 3 2 6y x x m x m= − + + − − , định m để: a) Đồ thị của hàm số có hai cực trị cùng dấu. b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 3.1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]: + Đạo hàm : y / = ? Tìm nghiệm của y / = 0 thuộc (a;b) ( nếu có ) giả sử phương trình có các nghiệm là x 1 , x 2 … GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 6 + Tính y(a), y(b), y(x 1 ), y(x 2 ) ……… + So sánh các giá trị vừa tính max y [a;b] = số lớn nhất, min y [a;b] = số nhỏ nhất. Chú ý: * Nếu hàm số luôn tăng trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì max y f (b); min y f (a) [a;b] [a;b] = = . * Nếu hàm số luôn giảm trên (a;b) và liên tục trên [a;b] thì max y f (a); min y f (b) [a;b] [a;b] = = . 3.2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXÐ : + Tìm TXÐ trong trường hợp chưa biết TXĐ + Đạo hàm : y / = ? cho y / = 0 tìm nghiệm của phương trình ( nếu có ) . + BBT: căn cứ bảng biến thiên kết luận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Chú ý: * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT ( D min y Y CT = ) * Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ ( D max y y CD = ) * Nếu hàm số luôn tăng (giảm) trên (a;b) thì không có giá trị LN, NN trên (a;b). II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y= 2x 3 – 3x 2 – 12x+ 1 trên 3 2; 2   −     b/ y= 1 2 x 2 + 1 x trong ( ) 0;+∞ Giải: a) Xét x ∈ 3 2; 2   −     y ′ = 6x 2 –6x –12 cho y ′ = 0 ⇔ x= –1 ( nhận) Ta có: f(–2) = –3, f(–1) = 8 , f( 3 2 )= –17 Vậy: 3 2; 2 max ( ) 8 x f x   ∈ −     = , 3 2; 2 min ( ) 17 x f x   ∈ −     = − b) Xét x ∈ ( ) 0;+∞ y ′ = x– 2 1 x = 3 2 1x x − cho y ′ = 0 ⇔ x= 1 Bảng biến thiên: x 0 1 +∞ y ′ – 0 + y +∞ +∞ 3 2 Vậy: Hàm số không có giá trị lớn nhất trong ( ) 0;+∞ ∈ +∞ = = (0; ) 3 min ( ) (1) 2 x f x f B/ Bài tập tự giải: 1) Tìm GTLN và GTNN của hàm số a) y = x 3 – 3x 2 + 5 trên đọan [-1 ; 1] b) y = 432 3 1 23 −++ xxx trên đọan [-4 ; 0] c) y = x 4 – 2x 2 + 3 trên đọan [-3 ; 2] d) y = -x 4 + 2x 2 + 2 trên đọan [0 ; 3] e) y = 1 1 − + x x trên đọan [2 ; 5] f) y = 1 - x 1 trên đoạn [1;2] g) y = x - x 1 trên (0 ; 2] h) y = 1 13 2 + +− x xx trên đọan [1 ; 4] GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 7 i) y = 2 452 2 + ++ x xx trên đọan [-3 ; 3] j) ( ) 9 f x x x = + trên đoạn [ ] 2;4 k) ( ) 2 osxf x x c = + trên đoạn 0; 2 π       . l). y=2sinx− xsin 3 4 3 trên đoạn [0;π] m) 2xcos 1xsin22 y + − = . n) y = 3 sinx – 4 cosx. p) 2 3 10y x x = + − q) ( ) 4y x x = − r) y = x + 2 4 3x x− + . s) ( ) 2 2 4y x x = + − t) y = 2 100 x− trên đọan [-8 ; 6] u) 2 f (x) x ln(1 2x)= − − trên đoạn [-2; 0]. v) y = f(x) = 1x 4x4x 2 − +− với x<1. x) y = 1xx x 24 2 ++ 2) Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0).Kết quả : m ≤ 3 4 − 3) Tìm trên (C): y = 2x 3x 2 − − điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. 4) Cho hàm số 2xx 1x3 y 2 ++ + = . Chứng minh rằng : 1y 7 9 ≤≤− 5) Cho hàm số ( ) π∈α +α− α+−α = ;0 1cosx2x cosx2cosx y 2 2 . Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1 Bài 4: TIỆM CẬN I/ Tóm tắt lý thuyết: *Tiệm cận đứng : x = x 0 là tiệm cận đứng nếu có một trong các giới hạn sau 0 0 0 0 x x x x x x x x lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) + + − − → → → → = +∞ = −∞ = +∞ = −∞ Chú ý : Tìm x 0 là những điểm hàm số khơng xác định *Tiệm cận ngang : y = y 0 là tiệm cận ngang nếu có một trong các giới hạn sau: x x f (x) y ; f (x) y 0 0 lim lim →+∞ →−∞ = = Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử ≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang * Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này): Cách 1 : + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x) lim x→±∞ [f(x) –(ax + b)] = x (x)lim →±∞ ε = 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ; x f (x) a x lim →∞ = ; [ ] x b f (x) ax lim →∞ = − ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số 1 2 x y x − = + . Giải. Vì 2 1 lim 2 x x x + →− − = −∞ + ; − →− − = +∞ + 2 1 lim 2 x x x ⇒ đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của (C). Vì →+∞ →−∞ − − = = + + 1 1 lim lim 1 2 2 x x x x x x nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C). GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 8 Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số 2 2 1 2 3 x x y x + + = − . Giải. Vì 2 3 2 2 1 lim 2 3 x x x x +   →  ÷   + + = +∞ − (hoặc −   →  ÷   + + = −∞ − 2 3 2 2 1 lim 2 3 x x x x ) nên đường thẳng 3 2 x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. →+∞ →−∞ + + + + = +∞ = −∞ − − 2 2 2 1 2 1 lim , lim 2 3 2 3 x x x x x x x x ⇒ d? th? hàm s? khụng cú ti?m c?n ngang Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số a. y = 2 1 2 + − x x b. y = 2 1x x + . Giải: a/ Vỡ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 lim 2, lim 2, lim , lim 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x + − →+∞ →−∞ →− →− − − − − = = =− ∞ =+ ∞ + + + + . ⇒ đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang, đường thẳng x= -2 là tiệm cận đứng. b/ Vỡ 2 2 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ + + = = + = ⇒ đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang 2 2 2 1 1 1 1 lim lim lim 1 1 x x x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞ − + + = = − + = − ⇒ đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang 2 2 0 0 1 1 lim , lim x x x x x x + − → → + + = +∞ = −∞ ⇒ đường thẳng x= 0 là tiệm cận đứng. Ví dụ 5:Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: 2 2 3 1 2 x x y x − − = − Giải: ta có 2 2 3 1 1 2 1 2 2 x x y x x x − − = = + + − − ⇒ 1 lim[ (2 1)] lim[ (2 1)] lim 0 2 x x x y x y x x →+∞ →−∞ →±∞ − + = − + = = − ⇒ đường thẳng y=2x+1 là tiệm cận xiên. B/ Bài tập tự giải: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số : a) y = 2x3x 1x2 2 2 +− − . Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2 b) y = 2x 1xx 2 + +− . Kết quả : x=-2 2) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số : a) y = 1+ x 2 e − . Kết quả: y = 1 b) y = x 1xx 2 ++ . Kết quả: y = ±1 3) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 1x 2 + .Kết quả : y = ±x 4) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y = 3 32 xx3 − . Kết quả : y = x+1. 5) Cho (Cm ) : ( ) 1x mmx1mx y 222 + ++++ = . a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm). b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2). 6)Tìm trên đồ thị (C):y = 1x 2x + + điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. 7) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) = 2x 1x3x 2 − −+ . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi. Kq: d 1 .d 2 = 2 9 . GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 9 Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ 5.1 Sơ đồ khảo sát Hàm đa thức: 1. TXĐ 2. Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên: Tìm y’, giải phương trình y’= 0 và các bất phương trình y’>0, y’<0 ⇒ Khoảng đồng biến, nghịch biến b) Cực trị của hàm số. c) Giới hạn tại vơ cực d) BBT Chú ý : Hàm số bậc 3 có y / = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép thì y / ln cùng dấu với a trừ nghiệm kép 3.Đồ thị: Bảng giá trị. Ghi dòng x gồm hồnh độ cực trị và lấy thêm 2 điểm có hồnh độ lớn hơn cực trị bên phải và nhỏ hơn cực trị bên phải). Hàm bậc 3 lấy thêm điểm nằm giữa 2 cực trị Vẽ đồ thị. . Các dạng đồ thò hàm bậc 3: y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 =   >  y a ' 0 0 ≥ ∀   >  y x a ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 y a =   <  ' 0 0 ≤ ∀   <  y x a Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Các dạng đồ thò hàm trùng phương: y' 0 có 3 nghiệm phân biệt a 0 =   >  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   >  ' 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 y a =   <  ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a =   <  II/ BÀI TẬP: A/Bài tập mẫu: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y= 2x 3 – 9x 2 + 12x– 4 Giải: Miền xác định: D= ¡ y ′ = 6x 2 – 18x+ 12 y ′ = 0 ⇔ 6x 2 – 18x+ 12=0 ⇔ 1 2 x x =   =  y ′ > 0 ⇔ <   >  1 2 x x ; y ′ < 0 ⇔ < < 1 2x Hàm số đồng biến trong 2 khoảng:( −∞ ;1) và (2; + ∞ ), nghịch biến trong khoảng: (1;2) Hàm số đạt cực đại tại x=1; y CĐ =1, cực tiểu tại x=2; y CT =0 lim x y →+∞ = +∞ , lim x y →−∞ = −∞ Bảng biến thiên: GV biên soạn: Nguyễn Năng Suất - Trường THPT Quang Trung 10 x Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y / =0 f’(x) Xét dấu y / f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số, giới hạn ở vơ cực [...]... v(x) a g(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0 • ( u( x )) v( x ) < 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0 • a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0 • log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0 II/ B I TẬP: A/B i tập mẫu: B i 1: Gi i các bất phương trình sau a./ log0,5 ( x + 1) ≤ log2 (2 − x ) b./ c./ log5 ( x + 2) + log5 ( x − 2) < log5 ( 4 x + 1) Gi i: a./ log0,5 ( x + 1) ≤ log2 (2 − x )... I M HAI ÐUỜNG CONG ( Ð.THẲNG VÀ MỘT ÐUỜNG CONG) 1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hồnh độ giao i m của (C1) và (C2) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) • pt(1) vơ nghiệm (C1) và (C2) khơng có giao i m • pt(1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n giao i m * Số nghiệm của (1 ) là số giao i m của hai đuờng cong 2 i u kiện tiếp xúc : f (x) = g(x) Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2)... hợp sau: 1/ T i i m có toạ độ M(x0;f(x0)) : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0) / B2: Phương trình tiếp tuyến v i (C) t i i m (x0;f(x0)) là: y = f (x 0 ) (x–x0) + f(x0) 2/ T i i m M trên đồ thò (C) có hoành độ x0 : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0), f(x0) / B2: Phương trình tiếp tuyến v i (C) t i i m có hoành độ x0 là:y = f (x 0 ) (x–x0) + f(x0) 3/ T i i m trên đồ thò (C) có tung độä y0 : B1: Tìm f ’(x) B2: Do tung... tun v i (C) t i A c¾t (C) t i i m B kh¸c i m A, t×m hoµnh ®é B theo x0 ( H Th¬ng M i) 11) Cho hµm sè y = x (3 − x )2 , cã ®å thÞ (C) ViÕt PTTT v i (C) t i i m x0 mà f // (x0) = 0 ( H Th i Nguyªn) 12) Cho hµm sè y = 2 x3 + 3x 2 - 12 x - 1 , cã ®å thÞ (C) T×m i m M thc (C) sao cho tiÕp tun t i ®ã i qua gèc to¹ ®é 13) Cho hµm sè y = x3 - 3 x 2 + 4 ViÕt PTTT t i giao i m cđa (C) v i trơc hoµnh (C§... LOGARIT 1/ Một số phương pháp gi i phương trình mũ và loga: a) Dạng cơ bản: • a f (x) = a g(x) ⇔ f(x) = g(x) • u v(x) = 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến ) • a f (x) = b ( v i b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b f (x) > 0 hoặc g(x) > 0 • log a f(x) = log a g(x) ⇔  f (x) = g(x) log f (x) = b •  a ⇔ f(x) = a b 0 < a ≠ 1 v(x) > 0 ; u(x) > 0 ; u(x) ≠ 1  • log u(x) v(x) = b ⇔  b v(x) = [ u(x)]... độ bằng –2 c.T i i m có tung độä bằng –8 d Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 e.Biết rằng tiếp tuyến i qua i m B(2;8) Gi i: Ta có y’= 3.x2 y 5 x  x 0 = −1 ⇒ f’(x0)= 3 .(- 1)2 = 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x 0)(x f(x 0 ) = −1 a/ Tiếp tuyến t i A(-1;-1) ∈ (C ) có  x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (- 1)  f(x 0 ) = −8 ⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y = 1 2( x+2) – 8 =12x + 16  f '(x 0 ) = 12 b/ Ta có x0=... f(x0)=y0 gi i phương trình này tìm được x0 ⇒ f /(x0) / B3: Phương trình tiếp tuyến v i (C) t i i m có tung độ y0 là:y = f (x 0 ) (x–x0) + y0 4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k: B1: G i M0(x0;y0) là tiếp i m B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : f ( x 0 ) =k (* ) B3: Gi i phương trình (* ) tìm x0 ⇒ y0= f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến Chú ý:  Tiếp tuyến song song v i đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a... trình có 1 nghiệm Nếu m = 4 thì d và (C) có 2 giao i m ⇒ phương trình có 2 nghiệm Nếu 0< m -3 Mặt khác g(0) = 0 ⇔ -3-k = 0 ⇔ k = -3 Vậy k> -3 phương trình (2 ) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇒ (1 ) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ (C) và d có 3 giao . khơng có giao i m. • pt(1) có n nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ) có n giao i m. * Số nghiệm của (1 ) là số giao i m của hai đuờng cong. 2. i u kiện tiếp xúc : Đồ thị (C 1 ) tiếp xúc (C 2 ). Cho hai đồ thị (C 1 ) : y = f(x) ; (C 2 ) : y = g(x) Hồnh độ giao i m của (C 1 ) và (C 2 ) nếu có là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1 ) • pt(1) vơ nghiệm <=> (C 1 ) và (C 2 ). f (x) g(x) f (x) g (x) = ′ ′ =    có nghiệm II/ B I TẬP: A/B i tập mẫu: Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y= x 3 -3x +1 và đường thẳng d i qua i m A(0;1) có hệ số góc k. biện luận số giao i m của