ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TĨNH ĐIỆN Thầy giáo: Phạm Hồng Quang – GV trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ tỉnh Hoà Bình LỜI NÓI ĐẦU Bài tập về tĩnh điện rất đa dạng và phong phú, có nhiều phương pháp để giải, trong đó có nhiều bài tập cần đến tích phân để làm. Dạng toán tích phân là dạng bài tập tương đối khó đối với học sinh cấp ba, và việc ứng dụng nó vào để giải các bài tập vật lí cũng không phải là dễ. Chính vì lí do đó tôi viết chuyên đề “Ứng dụng tích phân để giải bài tập tĩnh điện” giúp các học sinh làm quen với những dạng bài tập tĩnh điện có sử dụng đến tích phân, cũng như ứng dụng rộng rãi của tích phân trong vật lí, từ cơ sở đó các em học sinh có thể làm quen với các dạng bài tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân. Trong chuyên đề này, tôi chỉ đưa ra ứng dụng của tích phân để tính cường độ điện trường và điện thế do một vật tích điện gây ra tại một điểm. Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự góp ý của các thầy cô giáo và các em học sinh. PHƯƠNG PHÁP CHUNG - Chia vật tích điện thành những phần tử nhỏ mang điện tích dq (cách chia này còn tuỳ thuộc vào hình dạng của vật tích điện). - Xét phần tử nhỏ mang điện tích dq bất kì, tìm cường độ điện trường Ed ; điện thế dV do phần tử dq đó gây ra tại điểm đang cần tính điện trường hoặc điện thế. - Lấy tích phân toàn bộ vật ta sẽ tìm được cường độ điện trường hoặc điện thế do toàn bộ vật tích điện gây ra tại điểm đang xét. 1. Công thức xắc định cường độ điện trường do điện tích dq gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r: với 0 r là véc tơ đơn vị trên phương của r ; r có gốc tại dq , ngọn tại M. 2. Công thức xắc định điện thế do điện tích dq gây ra tại điểm M cách nó một đoạn r: 3. Mối liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế: Chú ý: 229 0 /10.9 4 1 CNmk == πε 4. Mật độ điện tích: Mật độ điện tích dài λ Mật độ điện tích mặt σ Mật độ điện tích khối ρ d dq = λ dq là điện tích chứa trong yếu tố d . dS dq = σ dq là điện tích chứa trong yếu tố dS . dV dq = ρ dq là điện tích chứa trong yếu tố dV . 1 r kdq dV = (2) dr dV E −= (3) 0 2 .r r kdq Ed = (1) A – BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG TÍCH ĐIỆN DẠNG I: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN ĐỀU Bài 1: Một vòng tròn mảnh bán kính R, tích điện đều là 0>q đặt nằm ngang trong không khí như hình vẽ bên. Lấy trục OZ thẳng đứng trùng với trục của vòng dây. Gốc O tại tâm vòng. Tính cường độ điện trường E và điện thế V tại điểm M nằm trên trục Oz với zOM = . Bài giải: - Mật độ điện tích dài trên vòng tròn mảnh là: R q .2 π λ = - Chia vòng thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với ϕ Rdd = . - Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ có chiều dài d là π ϕ λ 2 . qd ddq ==  Cách 1: Cách 2: * Tính cường độ điện trường tại M. - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là 1 Ed có phương chiều như hình vẽ, độ lớn ).(2 222 1 zR kqd r kdq dE + == π ϕ - Do ta luôn tìm được hai phần tử dq đối xứng nhau qua O, mỗi phần tử dq này gây ra tại M một điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OZ triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó điện trường tại M có phương trùng với trục OZ, độ lớn: )( cos ).(2 .cos cos 22 2 0 22 2 0 1 zR kq zR dkq dEE + = + == ∫∫ θ π ϕθ θ ππ Với 22 cos zR z + = θ 2/322 )( zR kqz E + =⇒ * Tính điện thế tại M. 22 2 0 22 2 0 2 0 2 zR kq d zR kq r kdq dVV + = + === ∫∫∫ πππ ϕ π * Tính điện thế tại M. - Điện thế do mỗi phần tử dq gây ra tại điểm M là: 22 2 zR kqd r kdq dV + == π ϕ - Điện thế V do cả vòng tròn tích điện gây ra tại M là: 22 2 0 22 2 0 2 zR kq d zR kq dVV + = + == ∫∫ ππ ϕ π * Tính cường độ điện trường tại M. - Do tính chất đối xứng trục, cường độ điện trường do vòng gây ra tại điểm M có phương trùng với trục OZ, độ lớn: 2/322 )( zR kqz dz dV E + =−= 2 dE 1 dE z O R dq dq 2 dE r θ M O R Z M q d ϕ d R O Cũng có thể tính V như sau: dz dV zR kqz E −= + = 2/322 )( dz zR kqz dV 2/322 )( + −=⇒ C zR kq dz zR kqz dVV + + = + −==⇒ ∫∫ 22 2/322 )( Khi ∞=z thì 00 =⇒= CV 22 zR kq V + =⇒ Nhận xét: + Khi    = = ⇒>> 0 0 V E Rz chính là cường độ điện trường và điện thế do điện tích điểm gây ra tại M. + Khi      = = ⇒= R kq V E z 0 0 như vậy cường độ điện trường tại tâm vòng tròn tích điện đều bằng không. + Nếu 0<q , ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của E ngược lại. Bài 2: Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 2α, sợi dây tích điện đều là 0>q đặt trong không khí. Xắc định cường độ điện trường và điện thế tại tâm của cung tròn. Bài giải: - Mật độ điện tích dài trên cung tròn mảnh là: R q .2 α λ = - Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với ϕ Rdd = . - Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ d là ϕλλ Rdddq ==  * Tính cường độ điện trường tại O. - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là 1 Ed có phương chiều như hình vẽ, độ lớn R dk R kdq dE ϕλ . 2 1 == - Chọn hệ trục toạ độ như HV. - Do ta luôn tìm được hai phần tử dq trên cung tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra tại O một cường độ điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó cường độ điện trường tại O có phương trùng với trục OX, độ lớn: ∫ ∫ === − 2 1 . sin .cos.cos. R kq d R k dEE α α ϕϕ λ ϕ α α * Tính điện thế tại O. - Xét phần tử nhỏ dq bất kì. Phần tử này gây ra tại O một điện thế: ϕλ dk R kdq dV .== ⇒ cả cung tròn gây ra tại O một điện thế là ∫∫ −− ==== α α α α λαϕλ R kq kdkdVV 2 Nhận xét: + Véc tơ E do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó có phương nằm trên trục đối xứng của cung tròn (trục đối xứng này nằm trong mặt phẳng chứa cung tròn). + Nếu πα 22 = ứng với cả vòng tròn 0 =⇒ E phù hợp với kết quả ở bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với 0=z . 3 dφ d R X O q α -α 1 dE φ φ d 2 dE + Nếu 2 3 2 π α = ứng với 4 3 vòng tròn 2 .3 22 R kq E π =⇒ + Nếu πα =2 ứng với nửa vòng tròn 2 . 2 R kq E π =⇒ + Nếu 2 2 π α = ứng với 4 1 vòng tròn 2 . 22 R kq E π =⇒ + ⇒= R kq V điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm của nó không phụ thuộc vào α + Nếu 0<q ta cũng thu được các kết quả tương tự nhưng chiều của E ngược lại. Bài 3: Có hai cung tròn mảnh có cùng bán kính, góc ở tâm lần lượt là 1 2 α và )22( 1 απ − . Hai cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là 0;0 21 >> λλ .Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau. Tính cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm O của nó. Bài giải: Đặt 21 2)22( ααπ =− Chọn hệ trục toạ độ OX như HV * Tính cường độ điện trường tại O. Áp dụng kết quả bài 2 (phần cung tròn tích điện đều). - Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài 0 1 > λ gây ra tại O một cường độ điện trường 1 E có phương chiều như HV, độ lớn R k R kq E 11 2 1 11 1 sin2 . sin αλ α α == (1) - Cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài 0 2 > λ gây ra tại O một cường độ điện trường 2 E có phương chiều như HV, độ lớn R k R k R kq E 1222 2 2 22 2 sin2sin2 . sin αλαλ α α === (2) (Với R q .2 1 1 1 α λ = ; R q .2 2 2 2 α λ = ; 21 2)22( ααπ =− ) Theo nguyên lí chồng chất điện trường tại O ta có: 21 EEE += E có phương trùng với trục OX có độ lớn 21 1 21 sin2 λλ α −=−= R k EEE * Tính điện thế tại O. Dựa vào kết quả và nhận xét của bài 2: “điện thế do cung tròn tích điện đều gây ra tại tâm O của cung không phụ thuộc vào α ” ; mặt khác điện thế có tính cộng được nên điện thế do cả vòng tròn nói trên gây ra tại O cho bởi công thức: )]([2)(2 12112211 21 21 απλαλαλαλ −+=+=+=+= kk R kq R kq VVV Nhận xét: + Nếu ⇒== λλλ 21    = = πλ 2 0 kV E phù hợp với kết quả bài 1 phần cung tròn tích điện đều ứng với 0=z . 4 R 1 λ 1 E 2 E X 1 2 α 2 λ Bài 4: Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn, một cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là 0 > λ , cung tròn còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là λ − . Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí. Lấy trục OZ đi qua tâm của vòng dây và vuông góc với mặt phẳng chứa vòng dây.Xắc định cường độ điện trường và điện thế tại điểm M nằm trên trục OZ, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn lại với nhau. Bài giải: - Chia vòng dây thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích ϕλλ Rdddq ==  . Chọn hệ trục toạ độ OXYZ như HV1. * Tính cường độ điện trường tại M. - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là 1 Ed có phương chiều như hình vẽ, độ lớn )( 222 1 zR Rdk r kdq dE + == ϕλ - Do ta luôn tìm được hai phần tử dq đối xứng nhau qua O, mỗi phần tử dq này gây ra tại M một điện trường có thành phần điện trường theo phương của trục OZ triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một do đó điện trường tại M có phương vuông góc với trục OZ tức nằm trong mặt phẳng XOY. - Nhận thấy khi dq di chuyển trên nửa đường tròn tâm O thì véc tơ Ed cũng quay trong mặt phẳng XOY, tâm M , độ lớn α sin2 1 dEdE = không đổi, được vẽ biểu diễn như HV2. - Trong quá trình véc tơ Ed quay trong mặt phẳng XOY, dễ thấy thành phần theo phương của trục OX bị triệt tiêu, chỉ còn thành phần theo phương OY. - Nói khác đi ∫∫∫ ==== πππ ϕαϕ 0 1 00 sinsin2sin dEdEdEEE YY 22 0 22 sin4 .sin sin2 zR Rk d zR Rk E + = + = ∫ αλ ϕϕ αλ π với 22 sin zR R + = α 2/3222/322 2 )( 4 )( .4 zR kqR zR Rk E + = + =⇒ π λ (q là điện tích của nửa vòng tròn 0 . >= R q π λ ). * Tính điện thế tại M. Do tính đối xứng nên 0=V )0( 2222 = + − + = ZR kq ZR kq V Nhận xét: - Véc tơ cường độ điện trường cùng chiều dương với trục OY (tức là hướng về phía nửa âm của vòng tròn). - Khi R k Ez λ 4 0 =⇒= phù hợp với kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều (khi sử dụng kết quả bài 2 với πα = 2 và nguyên lí chồng chất điện trường). 5 O R Z M λ λ − O R Z M λ λ − 1 Ed 2 Ed Ed dq α z x y HV1 M Ed ϕ x y HV2 Bài tập tự luyện B1: Có hai cung tròn mảnh giống nhau bán kính R có dạng nửa vòng tròn, một cung tròn tích điện đều với mật độ điện tích dài là 0 > λ , cung tròn còn lại tích điện đều với mật độ điện tích dài là λ − . Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành một vòng tròn kín rồi đặt trong không khí. Xắc định cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai cung tròn lại với nhau. HD: Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường 0; 4 ==⇒ V R k E λ B2: Một cung tròn mảnh bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích dài 0 1 > λ , góc ở tâm là 1 2 α . Cung tròn mảnh thứ hai cũng có bán kính R, góc ở tâm là )22( 1 απ − tích điện đều với mật độ điện tích dài 0 2 <− λ . Ghép hai cung tròn nói trên lại với nhau thành vòng tròn kín rồi đặt trong không khí, giả sử không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép chúng lại với nhau, tính cường độ điện trường và điện thế do vòng tròn nói trên gây ra tại tâm của nó. HD: Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường )( sin2 21 1 21 λλ α +=+= R k EEE )]([2 1211 21 απλαλ −−=+= k R kq R kq V Bài 3: Một sợi dây có dạng một cung tròn mảnh, bán kính R, góc ở tâm 3α, đặt trong không khí. Gọi A,B,C,D lần lượt là bốn điểm trên cung tròn tuân theo thứ tự trên. A,B,C,D thoả mãn sao cho độ dài cung AB bằng độ dài cung BC bằng độ dài cung CD. Xắc định cường độ điện trường và điện thế gây ra tại tâm của cung tròn trên nếu: Cung BC nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là 0> λ , cung AB và CD nhiễm điện đều với mật độ điện tích dài là λ − . HD: Sử dụng kết quả bài 2 phần cung tròn tích điện đều và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường. 1cos2. 2 sin. 2 −= α αλ R k E λαλαλαλα kk R kq R kq R kq V −=−+−=++= ][ 3 21 DẠNG II: CUNG TRÒN TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU, Phạm vi nghiên cứu Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai, các trường hợp bậc cao hơn hoặc mật độ điện tích bất thường thì việc tính toán sẽ rất phức tạp. Bài 1: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm α 2 đặt trong không khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B của cung theo quy luật 0. >= a λ với consta = ;  là biến số theo chiều dài. 6 R α 2 A B G O Bài giải: - Chia cung tròn thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , với ϕ Rdd = ⇒ ϕ .R= - Điện tích trên mỗi phần tử nhỏ d là ϕϕϕλ daRRdaddq 2 ===  * Tính cường độ điện trường tại O. - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại M là 1 Ed có phương chiều như hình vẽ, độ lớn ϕϕ dak R kdq dE 2 1 == - Chọn hệ trục toạ độ như HV. - Do ta luôn tìm được hai phần tử dq trên cung tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra một cường độ điện trường có thành phần điện trường vuông góc với trục OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một, do đó cường độ điện trường tại O có phương trùng với trục OX, độ lớn: ∫ ∫ −+=== GA akdkadEE )1cossin.(.2.cos2cos.2 0 1 αααϕϕϕϕ α * Tính điện thế tại O ( O V ). - Do tính đối xứng, mà điện thế có tính cộng được nên ta chỉ cần tính điện thế do cung GA gây ra tại O rồi nhân đôi ta sẽ được điện thế do cả cung AGB gây ra tại O. - Xét một phần tử nhỏ dq bất kì thuộc cung GA. Phần tử này gây ra tại O một điện thế: ϕϕ dRak R kdq dV == ∫∫ ===⇒ α α ϕϕ 0 2 2 kaR dRakdVV GA 2 2 α kaRVV O ==⇒ Bài 2: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm α 2 đặt trong không khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B theo quy luật: từ G đên A là 0. >= a λ ; từ G đến B là λ − với consta = ;  là biến số theo chiều dài. Bài giải: * Tính cường độ điện trường tại O. - Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều. - Chọn hệ trục toạ độ như HV. - Do tính đối xứng nên ta luôn tìm được hai phần tử dq trên cung tròn đối xứng nhau qua trục OX, mỗi phần tử này gây ra một cường độ điện trường có thành phần điện trường theo phương OX triệt tiêu lẫn nhau từng đôi một) do đó điện trường tại O chỉ theo phương OY có độ lớn: ∫ ∫ −=== GA akdkadEE )cos.(sin.2.sin2sin.2 0 1 αααϕϕϕϕ α * Tính điện thế tại O. Làm tương tự        −= = ⇒ 2 2 2 2 α α kaR V kaR V BG AG 0=+=⇒ BGAG VVV 7 dφ d R X O q -α α 1 dE φ φ d A G B 2 dE R α 2 A B G O dφ d R X O q -α α 1 dE φ d A G B 2 dE Y dE Bài 3: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm α đặt trong không khí. Xắc định cường độ điện trường và điện thế do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy luật 0. >= a λ với consta = ;  là biến số theo chiều dài. Bài giải: - Chọn hệ trục toạ độ như HV, có OX trùng với OA. - Chia cung tròn ra thành nhiều phần tử nhỏ mang điện tích ϕϕϕλ daRRdaddq 2 ===  * Tính cường độ điện trường tại O. - Xét cường độ điện trường do phần tử dq gây ra tại O là Ed có phương chiều như hình vẽ, độ lớn ϕϕ dak R kdq dE 2 == - Phân tích jdEidEdE Y X += jEiEjdEidEdEE YY XX +=+==⇒ ∫ ∫ ∫ với        −==== −+==== ∫∫∫ ∫∫∫ )cos(sin sinsin )1cossin( coscos 0 0 αααϕϕϕϕ αααϕϕϕϕ α α akdkadEdEE akdkadEdEE ABAB YY ABAB XX 22 X Y EEE +=⇒ ; E hợp với OX góc θ thoả mãn: X Y E E tg = θ * Tính điện thế tại O. - Xét một phần tử nhỏ dq bất kì. Phần tử này gây ra tại O một điện thế: ϕϕ dRak R kdq dV == ∫∫ ===⇒ α α ϕϕ 0 2 2 kaR dRakdVV AB Bài tập tự luyện B1: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm α 2 đặt trong không khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B của cung theo quy luật 0. 2 >= a λ với consta = ;  là biến số theo chiều dài. HD: Làm tương tự như bài 1 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm được điện trường tại O có phương nằm trên đường GO, điểm đặt tại O, chiều từ OG → độ lớn )sin2cos2sin( 2 2 ααααα −+= RakE . B2: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm α 2 đặt trong không khí, G là điểm chính giữa trên cung tròn như hình vẽ bên. Xắc định cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía G về hai đầu A và B theo quy luật: từ G đên A là 0. 2 >= a λ ; từ G đến B là λ − với consta = ;  là biến số theo chiều dài. 8 R α A B O R α A B O X Y Ed Y Ed X Ed dq ϕ R α 2 A B G O R α 2 A B G O HD: Làm tương tự như bài 2 phần cung tròn tích điện không đều, ta tìm được điện trường tại O có phương vuông góc với đường GO, điểm đặt tại O, chiều từ phía bản dương về phía bản âm, độ lớn )2cos2sin2cos( 2 2 −++−= ααααα RakE . B3: Cho cung tròn mảnh AB bán kính R, góc ở tâm α đặt trong không khí. Xắc định cường độ điện trường do cung tròn trên gây ra tại tâm O của cung nếu mật độ điện tích trên cung tròn tăng dần từ phía A về phía B của cung theo quy luật 0. 2 >= a λ với consta = ;  là biến số theo chiều dài. HD: Làm tương tự như bài 3 phần cung tròn tích điện không đều. Chọn trục OX trùng với OA ta có      −++−= −+= )2cos2sin2cos( )sin2cos2sin( 2 2 ααααα ααααα RakE RakE Y X DẠNG III: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN ĐỀU Bài 1: Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật độ điện tích dài 0 > λ , đặt trong không khí. Xắc định cường độ điện trường và điện thế do thanh gây ra tại điểm M nằm trên trục của thanh cách đầu A của thanh đoạn aAM = như HV. Bài giải: - Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài d , mỗi phần tử mang điện tích ddq . λ = * Tính cường độ điện trường tại M. - Xét phần tử mang điện tích dq có chiều dài d ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ, phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường Ed có phương chiều như HV, độ lớn 22 )(   + == a dk r kdq dE λ ⇒ điện trường tổng hợp do cả thanh gây ra tại M là ∫∫ + = + == L AB Laa Lk a dk dEE 0 2 )( . )( λλ   * Tính điện thế tại M. - Xét một phần tử nhỏ dq bất kì ở vị trí cách A đoạn là  bất kì như hình vẽ. Phần tử này gây ra tại M một điện thế:   + == a dk r kdq dV λ ⇒ điện thế do cả thanh gây ra tại M là ∫∫       += + == L AB a L k a d kdVV 0 1ln λλ   Bài 2: Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật độ điện tích dài 0 > λ , đặt trong không khí. Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách đầu A của thanh đoạn a như HV. 9 R α A B O B A M λ A B M λ d  Ed A B a M λ Bài giải: - Chia thanh AB ra thành nhiều phần tử nhỏ chiều dài dX , mỗi phần tử mang điện tích dXdq . λ = . * Tính cường độ điện trường tại M. Chọn hệ toạ độ OXY như hình vẽ: + Xét một phần tử nhỏ có chiều dài dX , mang điện dq có toạ độ X bất kì, xác định bởi góc θ như HV. + Phần tử này gây ra tại M một cường độ điện trường dE có phương chiều như hình vẽ, độ lớn: 22 r dXk r kdq dE λ == (1) + HV        =⇒= = ⇒ θ θ θ θ d a dXtgaX a r 2 cos . cos (2) Từ (1)(2) a dk dE θλ =⇒ (3) + Phân tích dE thành hai thành phần jdEidEdE Y X += jEiEjdEidEdEE YY XX +=+==⇒ ∫ ∫ ∫ - Với La L a k a k d a k dEdEE La a a k a k d a k dEdEE ABAB Y ABAB        > + ===== <         − + =−=−=−== ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ α α λ α λ θθ λ θ λ α λ θθ λ θ 0 22 Y 22 0 XX 0.sin.cos.cos. 01)1(cos.sin.sin. 22 YX EEE +=⇒ ; E hợp với OX góc β thoả mãn: X Y E E tg = β Nhận xét: Nếu 2/ πα = ứng với thanh bán vô hạn hay ∞=L thì ⇒=−= a k E a k E YX λλ ; a k E λ 2 = Bài 3: Một thanh mảnh thẳng AB, chiều dài L tích điện đều với mật độ điện tích dài 0 > λ , đặt trong không khí. Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M cách trục của thanh đoạn a như HV. Bài giải: - Coi thanh được cấu tạo từ hai phần AO và BO, chiều dài mỗi phần tương ứng là 21 ; XX - Chọn hệ trục toạ độ OXY như HV - Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều ⇒ riêng thanh AO gây ra tại M một cường độ điện trường có các thành phần theo phương OX và OY là: 10 A B L M O Y X dX X dE Y dE X dE r a θ α A B a M λ O A B a M λ O Y X 2 X 1 X − [...]... xét của bài 4 phần đường thẳng tích điện đều) DẠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG TÍCH ĐIỆN KHÔNG ĐỀU Phạm vi nghiên cứu Chỉ xét đường tích điện có mật độ điện tích tỉ lệ với chiều dài theo quy luật hàm bậc nhất hoặc bậc hai, các trường hợp bậc cao hơn hoặc mật độ điện tích bất thường thì việc tính toán sẽ rất phức tạp Bài 1: Một thanh mảnh thẳng AB đặt trong không khí, chiều dài L tích điện với mật độ điện tích dài... λ B X λ B X Z M B – BÀI TẬP VỀ MẶT TÍCH ĐIỆN Bài 1: Xác định cường độ điện trường và điện thế tại một điểm M nằm trên trục của một đĩa tròn bán kính R, tích điện đều với mật độ điện tích mặt là σ > 0 Bài giải: - Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng vòng tròn như hình vẽ - Xét một phần tử diện tích ds bất kì, trong đó ds = d (π r 2 ) = 2π r.dr , phần tử này tích điện là dq = σ ds =... ngoài không khí, Z tích điện đều với mật độ điện tích mặt là σ > 0 Đĩa bị khoét đi một phần bên trong, phần bị khoét đi là một hình O tròn bán kính R / đồng tâm với đĩa tròn ban đầu Xắc định R/ R cường độ điện trường và điện thế tại M cách tâm O của đĩa tròn đoạn Z Bài giải: * Tính cường độ điện trường tại M Sử dụng kết quả bài 1 phần mặt tích điện và áp dụng nguyên lí chồng chất điện trường Coi vật... một hệ gồm một đĩa tròn bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích mặt σ > 0 ghép sát đồng trục với một đĩa tròn bán kính R / tích điện đều với mật độ điện tích mặt là − σ Gọi E + ; E − lần lượt là độ lớn cường độ điện trường do từng đĩa gây ra tại M          1 E + = 2kπσ 1 −   2   R  1+      Z    Áp dụng kết quả bài 1 phần mặt tích điện ta có:          1  E... xét: Do ta chia đĩa thành các phần tử có diện tích rất nhỏ, nhỏ tới mức có thể coi như một vòng dây mảnh, vì vậy áp dụng kết quả dE bài 1 phần cung tròn tích điện đều * Tính cường độ điện trường tại M - Phần tử điện tích dq xét trên gây ra tại M một cường độ điện ds trường dE cùng chiều với chiều dương của trục OZ (theo bài 1 dạng I (phần cung tròn tích điện đều) đã nói trên), độ lớn: k Z dq 2kZπσ r dE... tích điện đều với mật độ điện tích dài lần lượt là λ và − λ Ghép hai đầu O của mỗi thanh lại với nhau thành một thanh thẳng AOB Giả sử không có sự phân bố lại điện tích trên các thanh sau khi ghép Xắc định cường độ điện trường do thanh gây ra tại điểm M nằm trên đường thẳng đi qua O vuông góc với thanh AB và cách thanh một đoạn bằng a HD: 12 - Áp dụng kết quả bài 2 phần đường thẳng tích điện đều và... 2α = π ứng với bán cầu rỗng ⇒ E = kπσ Bài tập tự luyện Bài 1: Mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều với mật độ điện tích mặt σ đặt ngoài không khí Mặt phẳng trên bị khoét đi một phần, phần bị khoét có dạng một hình tròn bán kính R Gọi OZ là trục đi qua tâm hình tròn bị khoét, OZ vuông với mặt phẳng tích điện rộng vô hạn Xắc định cường độ điện trường tại M nằm trên trục OZ cách O đoạn là Z HD: Sử dụng. .. dụng kết quả bài 1 và phần nhận xét của bài 1 phần mặt tích điện và nguyên lí chồng chất điện trường cách làm giống như bài 2 phần mặt tích điện     1 2kπσ   E = 2kπσ − 2kπσ 1 − = R2 R2  1+ 2  1+ 2   Z  Z  Bài 2: Có hai chỏm cầu rỗng có cùng bán kính R đặt ngoài không khí, góc ở đỉnh các chỏm cầu lần lượt là 2α 1 và 2π − 2α 1 Các chỏm cầu được tích điện với mật độ điện tích mặt lần lượt... điện trường và điện thế tại điểm M nằm trên trục OZ, giả sử O R không có sự phân bố lại điện tích sau khi ghép hai mặt bán nguyệt lại với nhau Bài giải: - Chia đĩa thành nhiều phần tử nhỏ diện tích ds có dạng hình tròn như hình vẽ (*) Nhận xét: Do ta chia đĩa thành các phần tử có diện tích rất nhỏ, nhỏ tới z mức có thể coi như một vòng dây mảnh, vì vậy áp dụng kết quả bài 4 dạng I (phần cung tròn tích. .. vòng dây mảnh, vì vậy áp dụng kết quả bài 4 dạng I (phần cung tròn tích điện đều) * Tính cường độ điện trường tại M M - Xét phần tử mang điện có diện tích ds bất kì gây ra tại M một cường độ điện trường dE có chiều vuông góc với trục OZ, dq chiều hướng về phía mặt nhiễm điện tích âm (theo bài 4 dạng I ds (phần cung tròn tích điện đều) đã nói trên), độ lớn: 4kr.dq O ⇒ dE = (1) 2 2 3/ 2 π (r + z ) S R/ . viết chuyên đề Ứng dụng tích phân để giải bài tập tĩnh điện giúp các học sinh làm quen với những dạng bài tập tĩnh điện có sử dụng đến tích phân, cũng như ứng dụng rộng rãi của tích phân trong. phương pháp để giải, trong đó có nhiều bài tập cần đến tích phân để làm. Dạng toán tích phân là dạng bài tập tương đối khó đối với học sinh cấp ba, và việc ứng dụng nó vào để giải các bài tập vật. với các dạng bài tập vật lí khác có sử dụng đến tích phân. Trong chuyên đề này, tôi chỉ đưa ra ứng dụng của tích phân để tính cường độ điện trường và điện thế do một vật tích điện gây ra tại