H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN Lê Sơn Trường THPT chuyên Thái Bình I. MỞ ĐẦU: Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên khi dạy và học về phần tĩnh điện ban đầu, tôi thấy có bài toán về chuyển động liên kết của hệ các hạt mang điện. Các bài toán về chuyển động liên kết của các hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung: vừa rèn luyện kiến thức vừa học về lực tĩnh điện, thế năng tĩnh điện; vừa ôn luyện lại các kiến thức của lớp 10 như bảo toàn động lượng, bảo toàn năng lượng, khối tâm, rèn luyện phương pháp tính gần đúng và bên cạnh đó còn hướng tới những bài toán dao động của chương trình lớp 12. Với những lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh điện lớp 11. II. NỘI DUNG: Bài 1. Ba quả cầu nhỏ có khối lượng m, M, m cùng điện tích Q nối với nhau bằng hai dây nhẹ không dãn và không dẫn điện , chiều dài l . Hệ thống được đặt trên mặt bàn nhẵn nằm ngang. Quả cầu giữa khối lượng M được truyền vận tốc 0 v r theo hướng vuông góc với dây. Bỏ qua mọi ma sát. a) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 quả cầu m trong quá trình chuyển động. b) Tính vận tốc của quả cầu M ở thời điểm cả 3 quả cầu lại thẳng hàng. Giải : a) Khi 2 quả cầu m gần nhau nhất thì 3 quả cầu cùng vận tốc v Theo bảo toàn động lượng, ta có : Mv 0 =(M+2m)v → 0 M v v M 2m = + (1) Vì khoảng cách giữa quả cầu M và các quả cầu m không đổi nên chỉ có thế năng tương tác của hệ gồm hai quả cầu m là thay đổi . 1 v 0 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 Theo định luật bảo toàn năng lượng : E 1 = E 2 2 2 2 2 2 2 0 1 Q Q 1 Q Q Mv 2k k (M 2m)v 2k k 2 2 2 x + + = + + + l l l 2 2 2 2 0 MvkQ kQ (M 2m)v x 2 2 2 + − = − l (2) Thay v từ (1) vào (2) ta được 2 0 2 1 x Mmv 1 2 Q (M 2m) = + +l b) Khi cả 3 quả cầu lại thẳng hàng : 0 1 2 2 2 2 0 1 2 Mv Mu 2mu (3) 1 1 1 Mv Mu 2 Mu (4) 2 2 2 = +    = +   → 1 2 1 0 2 0 u v;u 0 M 1 2 2m u v ;u v M M 1 1 2m 2m = =    −  = =  + +   Bài 2: Ba quả cầu cùng khối lượng m , điện tích cùng dấu , đều bằng q , được nối với nhau bằng ba sợi dây dài l , không giãn , không khối lượng , không dẫn điện . Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang , nhãn . Người ta đốt một trong ba sợi dây đó a) Xác định vận tốc cực đại v max của các quả cầu trong quá trình chuyển động . b) Mô tả chuyển động của các quả cầu sau khi đã đạt được v max . Giải : Cách 1 : a) Khi một trong ba dây bị đứt , dưới tác dụng của các nội lực còn lại (lực đẩy tĩnh điện và lực căng dây ) cả ba viên bi đều chuyển động nhưng khối tâm của hệ vẫn đứng yên và động lượng của hệ vẫn bảo toàn : 1 2 3 v v v 0+ + = r r r → 1 3 2 v v v+ = − r r r 2 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 Do tính chất đối xứng của hệ , nên quả cầu 2 chuyển động trên đường trung trực y ’ y , và hai quả cầu 1 và 3 luôn luôn nằm ngang , các vận tốc 1 v r và 3 v r đối xứng qua y ’ y để “tam giác điện tích ‘’luôn có khối tâm tại G . Ở vị trí bất kì , thế năng tĩnh điện của hệ là : t 1 2 3 1 W (qv qv qv ) 2 = + + = 1 q q q q(2k 2k 2k ) 2 l x l + + = 2 2 q kq 2k l x   +  ÷   Theo định luật bảo toàn năng lượng thì động năng cực đại của hệ ứng với thế năng cực tiểu của hệ . W t(min) ⇔ x=2l: hệ ba quả cầu thẳng hàng . → 1 3 v v= r r và vuông góc với đường nối 3 điện tích →v 1m = v 3m =1/3 . v 2m ∆W đ = -∆W t 2 2 2 2 2 2 1m 2m 3m 1 kq kq kq m(v v v ) 3 2 2 l l 2l   + + = − +  ÷   2 2 1m 1 kq m6v 2 2l = → v 1m = v 3m = 2 kq 6ml ; v 2m = 2 kq 2 6ml b) Sau khi đạt vận tốc cực đại chúng chuyển động chậm dần cho đến khi vận tốc bằng không thì khôi phục thế năng ban đầu và tam giác điện tích trở thành tam giác đều có hình dạng đối xứng với tam giác ban đầu . Sau đó hệ dao động tuần hoàn quanh khối tâm G . Cách 2 : ( Dùng định luật bảo toàn năng lượng ) Vì hệ không chịu tác dụng của ngoại lực nên năng lượng của hệ được bảo toàn . Dễ thấy rằng thế năng tĩnh điện giữa các quả cầu 1,3 và 2,3 không thay đổi nên có thể viết định luật bảo toàn năng lượng của hệ dưới dạng : 3 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 2 2 2 2 2 kq kq mv mv 2 l r 2 2 = + + (1) Áp dụng định luật bảo toàn động lượng với động lượng của hệ 3 quả cầu ( chưa đốt dây bằng 0). 0= 2mv – mv (2) Lấy (2): v → v max ⇔ khoảng cách quả cầu 1 và 2 cực đại ⇔ r 12 = 2l Giải hệ phương trình (1),(2),(3) → v max = q 2 3ml Bài 3 . Tại ba đỉnh của một tứ diện đều cạnh a giữ ba quả cầu nhỏ giống nhau có khối lượng và điện tích tương ứng là M và Q . Tại đỉnh thứ tư giữ một quả cầu khác điện tích q , khối lượng m (m<<M , Q = 2q ) . Tất cả các quả cầu được thả đồng thời . a) Tính độ lớn vận tốc các quả cầu sau khi chúng đã bay rất xa nhau. b) Sau khi đã bay ra xa nhau , các quả cầu này chuyển động theo phương hợp với mặt phẳng tứ diện chứa ba quả cầu M một góc bao nhiêu ? Bỏ qua tác dụng của trọng lực . Giải : a) Chọn trục OZ vuông góc mặt phẳng của tứ diện chứa ba điện tích Q . Do M>>m nên coi gần đúng là khi m ra xa vô cùng thì các quả cầu M mới bắt đầu chuyển động . Gọi vận tốc của quả cầu m khi bay ra xa vô cùng là v 0 . Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có : 2 0 mv 2 = 3 kQq a = 2 6kq a → v 0 = 2 12kq ma Do tính đối xứng nên khi các quả cầu M chuyển động thì vận tốc của chúng có độ lớn luôn bằng nhau . Gọi v là vận tốc mỗi quả cầu M khi chúng rất xa nhau . Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có : 2 3Mv 2 = 2 3kQ a → v = 2 2kQ Ma = 2 8kq Ma 4 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 b) Gọi thành phần vận tốc của các quả cầu M theo phương trục Z là v z . . Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (m+ 3M) , ta có : 3Mv z = mv =m 2 12kq ma → v z = m 3M 2 12kq ma Do v z <<v nên góc α rất nhỏ . Ta có : Z v m v 6M α ≈ = Rad Bài 4 . ở cách xa các vật thể khác trong không gian, có hai quả cầu nhỏ tích điện. Điện tích và khối lượng của các quả cầu lần lượt là q 1 = q 2 , m 1 = 1g ; q 1 = q 2 , m 2 =2g . Ban đầu , khoảng cách hai quả cầu là a = 1m , vận tốc quả cầu m 2 là 1m/s , hướng dọc theo đường nối hai quả cầu và đi ra xa m 1 và vận tốc quả cầu m 1 là 1m/s, nhưng hướng vuông góc với đường nối hai quả cầu. Hỏi với giá trị điện tích q bằng bao nhiêu thì trong chuyển động tiếp theo , các quả cầu có hai lần cách nhau một khoảng bằng 3m ? Chỉ xét tương tác điện của hai quả cầu . Giải : + Vận tốc khối tâm của hệ hai hạt . 02 01 0 2mv mv V 3m + = r r r = 02 01 2v v 3 + r r = const → cx 0 cy 0 2 V v 3 1 V v 3  =     =   Do không có ngoại lực , khối tâm chuyển động đều . Xét trong hệ quy chiếu khối tâm (C). Vận tốc của mỗi hạt gồm 2 thành phần : + Thành phần theo phương nối 2 hạt ( dưới đây gọi là thành phần song song) +Thành phần vuông góc với đường thẳng nối 2 hạt ( dưới đây gọi là thành phần vuông góc ). Tại thời điểm ban đầu vật tốc trong hệ quy chiếu C của các hạt là : 5 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 m v r mx 0 my 0 2 V v 3 2 V v 3  =     = −   , 2m v r 0 2mx 0 2my v V 3 v V 3  = −     =   Để thỏa mãn điều kiện hai hạt 2 lần qua vị trí cách nhau 3m thì khoảng cách cực đại giữa hai hạt l max ≥ 3m. Khi đạt khoảng cách l max thì thành phần vận tốc theo phương song song triệt tiêu, chỉ còn thành phần vuông góc Do động lượng của hệ trong hệ quy chiếu C bằng 0 nên v m = 2v và v 2m = v. Theo định luật bảo toàn mômen động lượng quanh C của hạt 2m, ta có : v.r max = 0 0 v v .aa . 3 3 9     =  ÷  ÷     ( 1) Mặt khác : r max = max l 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra : v = 0 max v .a 3l . Vì l max ≥ 3a  v ≤ 0 v a . 3 3a hay v ≤ 0 v 9 (3) Theo định luật bảo toàn năng lượng: 2 2 2 2 2 2 mx my 2mx 2my 1 1 1 1 m(v v ) 2m(v v ) m(2v) 2mv 2 2 2 2   + + + − +  ÷   = 2 0 max q 1 1 4 a l   −  ÷ πε    m. 2 2 2 0 0 v 4 v 2m 3mv 9 9 + − = 2 0 max q 1 1 4 a l   −  ÷ πε   Theo giả thiết l max ≥ 3a  2 2 0 2 mv 3mv 3 − ≥ 2 0 q 1 1 4 a 3a   −  ÷ πε    2 2 0 2 mv 3mv 3 − ≥ 2 0 q 6 aπε Từ (3) q≤ 0 0 34 ma v 9 πε =0,32C (4) 6 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 Mặt khác , cũng theo định luật bảo toàn năng lượng , ứng với trạng thái trong đó hai hạt cách nhau một khoảng l , ta có : 2 2 2 2 0 0 v2 1 1 m v 2m m(2v) m2v 3 3 2 2      + − +  ÷  ÷  ÷       = 2 0 q 1 1 4 a l   −  ÷ πε   Vì hai hạt không thể đi xa nhau quá l max nên với l> l max ta phải có : 2 2 0 0 4v v m 2m 9 9 + ≤ 2 0 q 1 1 4 a l   − ≤  ÷ πε   2 0 q 1 4 aπε q ≥ 0 0 8 ma v 3 πε =0,27C (5) Từ (4) và (5)  0 0 8 ma v 3 πε ≤ q ≤ 0 0 34 ma v 9 πε hay 0,27C ≤ q ≤ 0,32C. Bài 5. Hai quả cầu nhỏ , mỗi quả có khối lượng m và điện tích q được giữ tại hai điểm A và B cách nhau một khoảng r bên trông một vỏ cầu cách điện có bán kính OA=OB=r và khối lượng 4m . Hãy xác định vận tốc cực đại của vỏ cầu sau khi thả tự do hai quả cầu . Bỏ qua tác dụng của trọng lực . Giải : Dễ dàng thấy 2 quả cầu sẽ trượt xuống . Xét khi ∠AOx=BOx=α, các vật m co vật tốc là 1 v uur 2 v uur ; vật 4m có vật tốc là v r . Do hệ vật là kín nên động lượng được bảo toàn : 1 2 mv mv 4m.v 0 + + = . Chiếu phương trình này lên trục Ox và phương ⊥Ox ta được : mv 1 . cosα=mv 2 .cosα (1) 4mv =mv 1 sinα+mv 2 sinα (2) → v 1 =v 2 = 2v sin α 7 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng : 2 2 2 2 1 kq kq v v 2.m 4m r 2r.sin 2 2 − = + α 2 2 2 2 kq 1 4v 1 m 2v r 2sin sin     ⇔ − = +  ÷  ÷ α α     ( ) 2 2 2 2 2sin 4 kq 2sin 1 mv . sin r 2sin α + α − ⇔ = α α ( ) ( ) 2 2 2 2 kq 2sin sin v 4m sin 2 α − α ⇔ = α + Vận tốc vỏ cầu lớn nhất ( ) 2 2 2sin sin y sin 2 α α − α ⇔ = α + đạt giá trị lớn nhất . ( ) y 0 α ⇔ = ⇔ (sin 2 α +8sin α-2)cos α =0 ⇔ cos 0 sin 4 18 sin 4 18 α =   α = − +   α = − −  (loại vì khi đó α<30 0 ) ⇔cos α =0 ⇔ α=π/2 Vậy vận tốc lớn nhất của vỏ cầu lúc đó là : 2 2 kq 1 1 kq v . . 4m 3 2 3m = = hay 2 kq v 12m = Bài 6. Hai đầu một đòn cân nhẹ chiều dài 2L có gắn điện tích +Q và –Q với cùng khối lượng M . Đòn cân có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng . Ỏ dưới đòn cân , trên đường thẳng nối +Q và –Q có một lưỡng cực điện nhỏ gồm hai điện tích +q và –q cánh nhau 2a ( với a << L)cố định . Ở thời điểm ban đầu đòn cân nằm ở vị trí cân bằng. Tính tần số dao động nhỏ của đòn cân trong mặt phẳng thẳng đứng . Giải : Xét khi đòn cân quay một góc α nhỏ . Điện thế do lưỡng cực gây ra tại A V A = 0 1 2 q 1 1 ( ) 4 r r − πε = 2 1 0 1 2 q r r ( ) 4 r r − πε với r 2 –r 1 = 2acosα≈2a( 2 1 2 α − )=2a-α 2 ; r 1 r 2 ≈L 2 8 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 Suy ra V A = - 2 2 0 qa (2 ) 4 L − α πε Tương tự ta có điện thế tại B do lưỡng cực điện gây ra ra là : V B = - 2 2 0 qa (2 ) 4 L − α πε Thế năng tĩnh điện của hệ là: W P = - QV A + QV B = 2 2 0 Qqa (2 ) 4 L − α πε Theo định luật bảo toàn năng lượng : W P + W K = const ⇔- 2 2 0 Qqa (2 ) 2 L − α πε + 2 2 2M L 2 ω = const Lấy đạo hàm theo thời gian hệ thức trên ta có : 2 2 0 Qqa d d 2ML 0 L dt dt α α α + ω = πε ⇔ 2 " 2 0 Qqa 2ML 0 L ωα + α = πε ⇔ " α + ω 2 α = 0 Vậy tần số dao động nhỏ của đòn cân là: f = 2 ω π = 2 0 1 Qqa 2 L 2M π πε Bài 7. Ba quả cầu nhỏ có khối lượng m ,M ,m cùng điện tích q nối với nhau bằng hai dây nhẹ không dãn và không dẫn điện , chiều dài l. Chọn trục tọa độ có gốc O trùng với vị trí quả cầu M khi hệ cân bằng , trục Ox vuông góc với hai dây . Tìm chu kỳ dao động nhỏ của hệ theo phương Ox. Bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực Giải : Khi M có li độ x 1 thì hai vật m có li độ x 2 . Khối tâm của hệ có tọa độ 1 2 0 Mx 2mx x 0 M 2m + = = +  ' ' 2 1 M x x 2m = − Động năng của hệ : ' 2 ' 2 ' 2 k 1 2 1 1 1 M M E M(x ) 2 m(x ) 1 (x ) 2 2 2 2m   = + = +  ÷   9 H ộ i th ả o các tr ườ ng chuyên mi ề n Duyên H ả i B ắ c B ộ 2012 Thế năng của hệ : 2 2 t q kq E 2k l r = + Với r/2 = 2 2 2 2 2 1 2 1 M l (x x ) l x l 2m   − − = − +  ÷   = 1/2 2 2 1 x M l l l l 2m       − +    ÷  ÷          2 2 t q kq E 2k l 2l = + 1/2 2 2 1 x M l l l 2m −       − +    ÷  ÷         ≈ 2 2 2 2 1 5kq kq x M l 2l 4l l 2m     + +  ÷  ÷     Do năng lượng của hệ được bảo toàn , ta có : E = E k =E t = ' 2 1 M M 1 (x ) 2 2m   +  ÷   + 2 2 2 2 1 5kq kq x M l 2l 4l l 2m     + +  ÷  ÷     = const Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên ta dễ dàng nhận được phương trình vi phân mô tả dao động điều hòa với tần số góc : 2 2 3 3 kq M kq (M 2m) 1 2l M 2m 4Mml +   ω = + =  ÷   T= 3 2 4Mml 2 kq (M 2m) π + Bài 8. Bốn hạt nhỏ A, B, C, D có cùng khối lượng m và đều mang điện tích dương, được nối với nhau bằng bốn sợi dây mảnh có cùng chiều dài L trong không khí. Các dây không giãn, khối lượng của dây không đáng kể. Từng cặp hai hạt A và C, B và D có điện tích bằng nhau. Biết điện tích của mỗi hạt A, C bằng q. Khi hệ cân bằng, bốn điện tích ở bốn đỉnh của hình thoi ABCD có góc ở các đỉnh A, C là 2α (hình vẽ). Bỏ qua tác dụng của lực hấp dẫn và lực cản của môi trường. a) Tính điện tích Q của mỗi hạt B, D. b) Kéo hai hạt A, C về hai phía ngược nhau theo phương AC sao cho mỗi hạt lệch khỏi vị trí cân bằng ban đầu một đoạn nhỏ rồi buông cho dao động. Tìm chu kì dao động. 10 A C B D α L [...]... bằng, lực căng dây là F : y B Q kqQ kq 2 (2F ) cos a = (1) L2 (2L cos a ) 2 (2F - q A kqQ kQ 2 ) sin a = (2) L2 (2L sin a ) 2 L O D 2 ổ ử Q tga = 3 ỗ ữ Q = q tg3 ỗ ữ ỗq) ứ ữ ố ữ q C x Q b) Khi các điện tích A, C ở hai đầu đờng chéo này có độ dời là x1 và - x1 và có vận tốc là ' v1 = x1' ; v2 = x2 Vì dây không giãn và góc thay đổi rất ít nên: v1 cos = v 2 sin v2 = - v1 cotg Bảo toàn năng lợng: . đầu, tôi thấy có bài toán về chuyển động liên kết của hệ các hạt mang điện. Các bài toán về chuyển động liên kết của các hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung: vừa rèn. hướng tới những bài toán dao động của chương trình lớp 12. Với những lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh. B ộ 2012 CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN Lê Sơn Trường THPT chuyên Thái Bình I. MỞ ĐẦU: Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên khi dạy và học về phần tĩnh điện ban