Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu2 Chương 9: Xoắn thuần tuý Chương 9 XOẮN THUẦN TÚY THANH THẲNG . . KHÁI NIỆM 1-Đònh nghóa: Thanh chòu xoắn thuần túy khi trên các mặt cắt ngang chỉ có một thành phần nội lực là mômen xoắn M z (H.9.1). Dấu của nội lực M z : M z  0 khi từ ngoài nhìn vào mặt cắt thấy M z quay cùng kim đồng hồ và ngược lại. Ngoại lực: Gồm các ngẫu lực mômen xoắn M o , nằm trong mặt phẳng vuông góc trục thanh. Thực tế thường gặp: trục truyền động,thanh chòu lực không gian, dầm đỡ ôvăng 2- Biểu đồ nội lực mômen xoắn M z Biểu đồ mômen xoắn được vẽ bằng phương pháp mặt cắt.Điều kiện cân bằng tónh học: M/ OZ = 0 cho ta nội lực M z Thí dụ 1: Vẽ biểu đồ M z Thực hiện mặt cắt ngang trong từng đoạn, xét cân bằng phần bên trái ( hay phải của mặt cắt), ngoại lực là ngẫu lực xoắn M 0 ,trên tiết diện đang xét phải có nội lực là mômen xoắn M z ta vẽ theo chiều dương qui ùc.(tại mặt cắt có M o tập trung trên biểu đồ sẽ có bước nhảy) Lập phương trình cân bằng tỉnh học: M / z = 0  M z Thí dụ3:Cho trục có tiết diện thay đổi chòu lực như hình vẽ: Vẽ biểu đồ nội lực y z M z x O H. 9.1 0,5m A B C D m=20Nm/m M A =20N - m Mc=20N - m 0,5m 0,5m + _ 20N - m 10N - m 10N - m A B C L M A =30N-m L M B =40N-m M C = 10N - m + _ 30N - m 10N - m K a a a=50cm 40Nm m=20Nm/m C D B d 2 =10cm d 1 =6cm a Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý 3- Công thức chuyển đổi công suất động cơ W(N-m/s) ra ngẫu lực xoắn (mômen xoắn ngoại lực M 0 (N.m) trên trục. Khi tính toán các trục truyền động, thường ta biết công suất truyền của môtơ tính bằng mã lực(CV) hay kilôóat(kW) và tốc độ trục quay bằng n (vòng/phút), do đó cần chuyển đổi công suất truyền ra ngẫu lực xoắn tác dụng lên trục. Giả sử có một ngẫu lực xoắn M o (N.m) tác dụng làm trục quay một góc  (radian) trong thời gian t, công sinh ra là: A = M o . Công suất là:      oo o M t M t M t A W trong đó:  - là vận tốc góc (rad/s), đơn vò của công suất là N.m/s. Gọi n là số vòng quay của trục trong một phút (vòng/phút), ta có: 3060 2 nn     a)Nếu W tính bằng mã lực (CV, HP) ;1mã lực = 750N.m/s = 0,736 kW: )Nm(7162 .750.3030 n W n W n W M o    b) Nếu W tính bằng kilôwat (KW), 1 KW  1020 N.m/s: )(9740 .1020.30 . 30 Nm n W n W n W M o   . XOẮN THUẦN TUÝ THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN 1- Thí nghiệm - Nhận xét Xét một thanh thẳng tiết diện tròn, trên mặt ngoài vạch những đường song song và những đường tròn thẳng góc với trục, tạo thành lưới ô vuông (H.9.2.a). Tác dụng lên hai đầu thanh ngẫu lực xoắn M z ngược chiều, ta thấy trục thanh vẫn thẳng, chiều dài thanh không đổi, những đường tròn thẳng góc với trục vẫn tròn và thẳng góc với trục, những đường song song với trục thành những đường xoắn ốc, lưới ô vuông thành lưới bình hành (H.9.2.b). 2- Các giả thiết : Trong quá trình biến dạng : dz a) b) M z H.9.2 M z 10Nm 30Nm + - z m M z 0 < z < a M z - mz=0  M z = mz Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý a) Mặt cắt ngang vẫn phẳng, thẳng góc với trục thanh và khoảng cách không đổi b) Các bán kính vẫn thẳng và không đổi c) các thớ dọc không ép và đẩy lẩn nhau 3- Công thức ứng suất tiếp Ta tính ứng suất tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang có bán kính  đến tâm 0 (H.9.3).Theo thí nghiệm trên ta nhận thấy, biến dạng của thanh chòu xoắn thuần túy chỉ là sự xoay tương đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục z. Để xét biến dạng xoắn của một phân tố tại một điểm bất kỳ có bán kính  ta tách phân tố như sau : Từ (H.9.3), ta có: tan   = dz d     AB AA (a) Theo giả thiết a) không có biến dạng dài theo phương dọc trục, theo giả thiết c) các thớ dọc không tác dụng với nhau nên không có ứng suất pháp tác dụng lên các mặt của phân tố. Do giả thiết b),mọi bán kính vẫn thẳng nên không có ứng suất tiếp hướng tâm Như vậy, trên mặt cắt ngang của thanh chòu xoắn thuần túy chỉ tồn tại ứng suất tiếp theo phương vuông góc bán kính và cùng chiều với M z gọi là   và phân tố đang xét ở trạng thái trượt ứng suất thuần túy (H.9.4). Áp dụng đònh luật Hooke về trượt cho phân tố này, ta có:   = G  (b) (a) vào (b)  dz d G p    (c) Gọi dA là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì   .dA là lực tiếp tuyến tác dụng trên diện tích đo,ù và   .dA.  là mômen của lực   dA đối với tâm O. Tổng các mômen này phải bằng M z , nên ta có thể viết:   A pz dAM  (d) (c) vào (d)    A z dA dz d GM    (e) Vì : d/dz là hằng số đối với mọi điểm thuộc mặt cắt A, nên ta có thể H. 9.3 z M z O  z H. 9. 4 Phân tố trượt thuần túy   H. 9.3 z M z O  z  z 0 A  d   dz A / B Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý đưa ra ngoài dấu tích phân, khi đó tích phân  A dA. .2  chính là mômen quán tính cực I p của mặt cắt ngang đối với tâm O, ta được: p A z I dz d GdA dz d GM      2 (f) từ (f) ta có:   GI M dz d z  (g) Có thể thấy rằng, dz d  chính là góc xoắn trên một đơn vò chiều dài ( còn gọi là góc xoắn tỉ đối ) (rad/m). Đặt: dz d   , ta có:   GI M z  thay (g) vào (c) ta được công thức tính ứng suất tiếp:    I M z  Nhận xét :Ứng suất tiếp thay đổi theo quy luật bậc nhất, bằng không tại tâm O và cực đại tại những điểm trên chu vi, cùng chiều với M z Biểu đồ phân bố ứng suất tiếp tại mọi điểm trên mặt cắt ngang thể hiện trên hình Trên H.9.7.b, thể hiện ứng suất tiếp đối ứng trên các mặt cắt chứa trục. Ứùng suất tiếp cực đại ở các điểm trên chu vi (  = bán kính R) R I M z    max đặt: R I W    ; W p gọi là mômen chống xoắn của mặt cắt ngang    W M z  max * Với tiết diện tròn đặc và D là đường kính tiết diện: 3 33 20 16 2 D DR R I W ,    * Với tiết diện tròn rỗng: )(,)( )( 434 344 1201 16 1 32 1        D D R D R I W trong đó:  là tỷ số giữa đường kính trong và đường kính ngoài (  = d/D). 4- Công thức tính biến dạng khi xoắn Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz là dz GI M d z    (g)  Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn dài L là:    L o L o z dz GI M d   max  0 M z M z Hình 9. 5 a Hình 9. 5 b max  max  0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý * Khi đoạn thanh có M z /GI p là hằng số  p z GI L M   * Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có M z /GI p là hằng số:   i i z GI L M )(   Góc xoắn  được quy ước dương theo chiều dương của M z . 5- Tính toán thanh tròn chòu xoắn thuần tuý: ° Điều kiện bền:   nW M p z 0 max    với:  o - là ứng suất tiếp nguy hiểm của vật liệu, xác đònh từ thí nghiệm n : là hệ số an toàn. + Theo thuyết bền ứng suất tiếp(TB3): 2 ][ max    + Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng(TB4): 3 ][ max    ° Điều kiện cứng:  max  [  ] [  ]: Góc xoắn tỷ đối cho phép, được cho từ các sổ tay kỹ thuật, đơn vò của [  ] là (radian/ đơn vò chiều dài ). Ba bài toán cơ bản: - Kiểm tra bền, cứng. - Xác đònh tải trọng cho phép. - Xác đònh đường kính. Thí du 3: Cho thanh có tiết diện tròn đường kính thay đổi. Đoạn BC có d 1 =8cm, đoạn CD có d 2 = 6 cm. (hình vẽ) a) Vẽ biêûu đồ momen xoắn M z b) Tính góc xoắn đầu D c) Kiểm tra điều kiện bền và điều kiêïn cứng Cho G = 8000kN/cm 2 , M 0 =1kNm, [  ] = 0,56 0 /m, [  ] =3,5kN/cm 2 - + 2M 0 M 0 40cm C D B d 1 =8cm d 2 =6cm z M 0 60cm 3M 0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý rad 103473,1 6 32 108 40100 8 32 108 601002 3 4343                     i i p z BD GI LM     2 max /99,1 48,100 200 cmkN BC  ,     2 max /36,2 39,42 100 cmkN CD  cmradian GI M p zCD /10645,9 6 32 108 100 ][ 5 43 max       cmradian GI M p z BC /10104,6 8 32 108 200 ][ 5 43 max       Với : cmrdian /10769,9 10 180 14,356,0 ][ 5 2        Công thức chuyển đổi [  ] 0/m sang [  ] rad/m     360 2 0 mmrad //     Có thể tính  BD bằng cộng tác dụng: rad 103473,1 8 32 108 60300 8 32 108 60100 6 32 108 40100 3 434343              BD 6- Thế năng biến dạng đàn hồi Thế năng riêng tích lũy trong một đơn vò thể tích là: )](2[ 2 1 133221 2 3 2 2 2 1   E u Thanh chòu xoắn thuần tuý, TTƯS trượt thuần tuý với ứng suất tiếp  , nên  1 =   ;  2 = 0 và  3 = –   , ta được: 2 1    E u   (a) với: E = 2 G/(1 +  ), thay vào (a), ta được: G u 2 2 1    (b) Thế năng tích lũy trong một đoạn dz là:   AV udAdz udVdU (c) thay (b) vào (c)   A p z p z A p dAdz I M GG dzdA I M G dU 2 2 2 2 2 2 A 2 2 1. 2 1 2 1   hay dz GI M dU p z 2 2 1  (d) Vậy thế năng trên đoạn thanh có chiều dài L là:   L o p z dz GI M U 2 2 1 + Khi đoạn thanh có M z /GI p là hằng số  p z GI LM U 2 2 1  + Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có M z /GJ p là hằng số   i i p z GI LM U )( 2 2 1 Hay có thể tính TNBDĐH như sau : p z z GI dzM dMdUdA 2 2 1 2 1   . Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý dz GI M d p z     L o p z dz GI M AU 2 2 1 7- Dạng phá hỏng của các vật liệu  max    1  P  3  3 b  a)    3  3  1  1  1 H. 9.8 Trạng thái ứng suất tại một điểm trên mặt ngoài của thanh chòu xoắn Nghiên cứu trạng thái ứng suất của trục tròn chòu xoắn, ta thấy tại một điểm trên mặt ngoài, phân tố ở trạng thái trượt thuần túy chòu ứng suất tiếp cực đại  max (H.9.a), ở trạng thái này, theo hai phương nghiêng 45 o so với trục có ứng suất kéo chính và ứng suất nén chính  1 = –  3 =   (H.9.8.b). Mặt khác, qua thí nghiệm, ta cũng biết rằng vật liệu dẻo(như thép)chòu kéo, chòu nén tốt như nhau, còn chòu cắt thì kém hơn, do đó, khi một trục thép bò xoắn sẽ bò gãy theo mặt cắt ngang, do ứng suất tiếp  max trên mặt cắt ngang (H.9.9). Với vật liệu dòn như gang, chòu nén và chòu cắt rất tốt, còn chòu kéo rất kém nên khi xoắn sẽ bò gãy theo mặt nghiêng 45 o so với trục do ứng suất kéo chính  1 (H.9.10). Với vật liệu có cấu tạo thớ như gỗ, chòu cắt dọc thớ rất kém nên khi xoắn sẽ bò nứt dọc theo đường sinh do ứng suất ứng suất tiếp đối ứng với ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang (H.9.11). Thí dụ 4. Một động cơ có công suất 50kW, truyền một mômen xoắn lên một trục tròn hình vành khăn có d=0,85D tại tiết diện K, vận tốc trục n =3000 vg/phút. Giả sử hiệu suất truyền là100%.Khi đó tại tiết diện B,C nhận được công suất truyền 30kW và 20kW (H.9.12.a). Đònh đường kính D, sau đó tính góc xoắn  BK . Biết: [  ]=16 kN/cm 2 ; [  ] = 0,25 0 /m; a = 50cm; G = 8.10 3 kN/cm 2 . M z dz l GI=hangso M z H. 9.9 Dạng nứt gãy của vật liệu dẻo chòu xoắn H. 9.10 Dạng nứt gãy của vật liệu dòn H. 9 .11 Dạng nứt gãy của gỗ chòu xoắn M z M z Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý  Gọi ngẫu lực xoắn tác dụng tại K, B, C lần lượt là M 1 , M 2 , M 3 . Áp dụng công thức chuyển đổi, ta được: M 1 = 9740 x 50 / 3000 = 162,37 N.m = 16,24 kNcm M 2 = 9740 x 30 / 3000 = 64,93N.m = 6,493kNcm M 3 = 9740 x 20/ 3000 = 97,4 N.m = 9,74kNcm Sơ đồ tính của trục và biểu đồ mômen vẽ ở hình dưới ).  Đònh đường kính D: + Theo điều kiện bền   2 ][ max    ][   p z W M   3 4 ][)85,0(1.2,0    z M D với: [  ] = 2 ][  = 8 kN/cm 2 ; M z = 9,74kNcm  D  4,7 cm (a) + Theo điều kiện cứng:` ][][ max   p z GI M     cm G M D z 53,9 .)85,0(11,0. 4 4     (b) với: [  ]=0,25 0 /m = cmrad /10.36,4 180 25,0 5    ; Để thỏa cả hai yêu cầu (a), (b), ta chọn D = 10 cm,d=8,5cm  Tính góc xoắn  KC : Áp dụng công thức biến dạng ta được:   rad 10.04,1 )85,0(1 32 10 108 6049,6 4 4 4 3                  i i p z BK GI LM Bàøi toán siêu tónh. Thí dụ 5 Một thanh tiết diện tròn đường kính thay đổi d và D=1,5d hai đầu ngàm chòu lực như vẽ.Vẽ biểu đồ M z và tính ứng suất tiếp mỗi đoạn. Cho:M =10kNm , d=10cm. I AB =5,0625J CD =4967,59cm 4 ,I CD =981,25cm 4 W CD =196,24cm 3 W AB =5,0625W CD =993,52cm 3 W CD =196,2 4cm 3 W AB =5, 0625W CD =993,52cm 3 + + _ 8,3kNm 1,7kNm 28,3kNm K B C D d L L L L 3M M M D M K 6,49kN - cm 9,74kN - cm + _ 9,74kN - cm 16,23kN - cm 6,49kN - cm C K B 30kW 50kW 20kW B K C 60cm 60cm D d 1,5d K B C D d L L L L 3M M M M Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý Giải: Ngoại lực là mômen xoắn trong mặt phẳng thẳng góc với trục thanh thì phản lực phát sinh tại các liên kết ngàm K và D là các mômen xoắn M K , M D trong các mặt phẳng thẳng góc với trục thanh. Giả sử M K , M D có chiều như trên hình vẽ. Để xác đònh mômen phản lực, viết phương trình cân bằng  M/z = 0, ta có: M K - 3M o - M o + M D =0 (a) Phương trình (a) không đủ để đònh được phản lực M K ,M D : Bàøi toán siêu tónh. Cần bổ sung một (hay nhiều) phương trình thiết lập từ điều kiện biến dạng của bài toán (phương trình điều kiện biến dạng). Thường cách giải như sau: +Tưởng tượng bỏ ngàm D, thay bằng phản lực tương ứng M D +Viết phương trình điều kiện biến dạng: (Tại D liên kết ngàm  do đó góc xoay  KD = 0 ) +Tính  AD : Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng. 0 322 . 2 )(           KBKBCDKB D CD D i p z KD GI Mll GI Ml GI Ml GI M IG lM GI LM  + Cho  D = 0,  M D = 0,83M = 8,3kNm 2 234 25196 830 cmkN CD /, , max   2 max /85,2 52,993 2830 cmkN KB   Kết quả dương,M D đúng đã chiều chọn. . XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT Thí nghiệm xoắn thanh tiết diện chữ nhật,biến dạng của thanh như (H.9.16). Lý thuyết đàn hồi cho các kết quả như sau: Ứng suất: Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp. + Tại tâm và các góc, ứng suất tiếp bằng không. + Tại điểm giữa cạnh dài, ứng suất tiếp đạt giá trò lớn nhất 2 max hb M z    + Tại điểm giữa cạnh ngắn, ứng suất  1 bé hơn: max1   +Phân bố ứng suất tiếp tại các điểm trên các trục đối xứng, các cạnh tiết diện và các đường chéo được biểu diễn ở H.9.17.  Góc xoắn tương đối : 3 hb M z   trong đó:  ,  ,  là các hệ số phụ thuộc tỷ số (cạnh dài h /cạnh ngắn b) được cho trong bảng 1. a ) b ) H. 9.16 Sự vênh của tiết diện chữ nhật khi xoắn b h M z  max H. 9. Phân bố ứng suất tiếp trên tiết diện chữ nhật  1  1 1 z  max  1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Bài Giảng Sức Bền Vật Liệu 2 Chương 9:Xoắn thuần tuý Bảng 9.1 Giá trò  ,  ,  b h 1 1,5 1,75 2 2,5 3 4 6 8 10   0,203 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333  0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333  1,000 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 V. TÍNH LÒ XO HÌNH TRỤ BƯỚC NGẮN CHỊU LỰC DỌC TRỤC Lò xo là một bộ phận được dùng rộng rãi trong kỹ thuật, được lắp đặt tại những chỗ cần giảm chấn do tải trọng động như đế móng thang máy, hệ thống nhún trong ôtô, đế mô tơ công suất lớn Lò xo hình trụ được cấu tạo bằng cách quấn một sợi dây thép tiết diện vuông, chữ nhật hoặc tròn quanh một lõi hình trụ, ta chỉ tính lò xo chòu lực theo phương trục của hình trụ này; trục của hình trụ cũng là trục của lò xo, ngoài ra chỉ xét lò xo có các vòng gần nhau gọi là lò xo hình trụ bước ngắn (H.9.18.a). 1.Các đặc trưng của lò + d: Đường kính dây lò xo. + D: Đường kính trung bình của lò xo. + n: Số vòng làm việc của lò xo. + G: Mô đun đàn hồi trượt của vật liệu làm lò xo. 2- Ứng suất trong dây lò xo: Dùng một mặt cắt cắt qua một sợi dây lò xo, tách lò xo làm hai phần, xét điều kiện cân bằng của một phần lò xo như trên H.9.18.b, ta được: 2 00/,0 D PMMPQY zy  d P P P M z P = Q y a) b) h D D H. 9.18. a) Các đặc trưng của lò xo b) Nội lực trên tiết diện dây lò xo Q y =P dF A o 1  max M z o D/2 P d/2 a) b) H. 9.19 Nội lực và ứng suất trên mặt cắt dây lò xo A Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. . dz d G p    (c) Gọi dA là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì   .dA là lực tiếp tuy n tác dụng trên diện tích đo,ù và   .dA.  là mômen của lực   dA đối với tâm O. Tổng