BÀI GIẢNG TOÁN GIẢI TÍCH 12 Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ : : • Câu hỏi 1 Câu hỏi 1 : : Tìm đạo hàm của các hàm số: Tìm đạo hàm của các hàm số: 2 1. y = x 2 3x - 1 2. y = 3 2 3. y = x + 5 y' = 2x y' = 2x y' = 2x Nhận xét Nhận xét : : Cả ba hàm số đã cho có cùng đạo hàm. Cả ba hàm số đã cho có cùng đạo hàm. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ : : Câu hỏi 2: 2 y = f(x) = 3x 1 g (x), 3 g (x) 2 g (x), 1 2 3 ' ' ' g (x) = g (x) = g (x) = f(x) Cho hàm số: Hãy tìm ba hàm số khác nhau: sao cho: Nhận xét: Nhận xét: Có vô số hàm số thỏa mãn Có vô số hàm số thỏa mãn yêu cầu của câu hỏi 2. yêu cầu của câu hỏi 2. Các hàm số đó gọi là các nguyên hàm của hàm số f(x). Chương III Chương III : : § § 1 1 . . Nguyên hàm và tích phân Nguyên hàm và tích phân 1. 1. Định nghĩa Định nghĩa . . - Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu: ∀x∈(a; b) ta có: F’(x) = f(x). - + F'(a ) = f(a), F'(b ) = f(b) - Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nếu: F(x) là nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b) và: Tìm mối liên hệ giữa các hàm số 1 g (x) và 2 g (x) 1 2 g (x), g (x). Giả sử tr Giả sử tr ên khoảng (a; b), ên khoảng (a; b), hàm số y = f(x) hàm số y = f(x) có các nguyên hàm là: có các nguyên hàm là: ( ) ( ) ( ) 1 2 ' ' x x x x (a; b): g = g = f∀ ∈ ( ) ( ) 2 1 ' ' x x g - g = 0 ⇔ ( ) ( ) ' 2 1 g x - g x = 0 ⇔     x (a;b)∀ ∈ F(x) = c, x (a;b)∀ ∈ (ở đó, c là hằng số). Bài toán: Bài toán: Chứng minh rằng, nếu hàm Chứng minh rằng, nếu hàm số y = F(x) có F’(x) = 0 với số y = F(x) có F’(x) = 0 với thì ( ) ( ) ( ) 1 2 ' ' x x x x (a; b): g = g = f∀ ∈ ( ) ( ) 2 1 ' ' x x g - g = 0 ⇔ ( ) ( ) ' 2 1 g x - g x = 0 ⇔     ( ) ( ) 2 1 x x g - g = c ⇔ ( ) ( ) 2 1 x x g = g + c ⇔ Từ kết quả đó, nêu kết luận tổng quát 1/ Với mọi hằng số c, F(x) + c cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b). 2/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b) đều có dạng F(x) + c, với c là một hằng số. Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì: trên khoảng (a; b) thì: Định lý: Định lý: - Bài toán tìm nguyên hàm của hàm số là một bài - Bài toán tìm nguyên hàm của hàm số là một bài toán đa trị. toán đa trị. - Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) ký hiệu là: f(x)dx ∫ - Mỗi hàm số có một họ các nguyên hàm. - Mỗi hàm số có một họ các nguyên hàm. : ∫ Dấu tích phân. f(x): Hàm số dưới dấu tích phân. f(x)dx: Biểu thức dưới dấu tích phân. (Đây chính là vi phân của F(x): f(x)dx = dF(x)) Như vậy: Với F(x) là một nguyên hàm của f(x), c là hằng số ∫ f(x)dx = F(x) + c [...]... Ví dụ 1: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ nguyên hàm của các hàm số: 1/ 2xdx ∫ e x dx 2/ ∫ 1 3/ ∫ 2 dx x 4/ sinx.dx ∫ ∫ 2xdx = x + c ∫ e dx = e + c 2 x x 1 1 ∫ x 2 dx = - x + c sinx.dx = - cosx + c ∫ Một số ví dụ: Ví dụ 2: Dựa vào bảng các đạo hàm, tìm họ nguyên hàm của các hàm số: 1/ 3 dx ∫ x 1 dx 2/ ∫ 2 sin x 3x x ∫ 3 dx = ln3 + c 1 dx = - cotgx + c 2 ∫ sin x Một số ví dụ: Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm F(x)... 3: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = f(x) = x 2 Thỏa mãn: đồ thị của F(x) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 x3 - 4 Đáp số: F(x) = 3 Tóm tắt bài học 1/ Định nghĩa: F(x) là nguyên hàm của f(x) nếu: F’(x) = f(x) 2/ Một hàm số có vô số nguyên hàm (gọi là họ các nguyên hàm) Mỗi nguyên hàm sai khác nhau một hằng số 3/ Họ các nguyên hàm của f(x), với F(x) là một nguyên hàm, là: ∫ f (x)dx = F(x) + . BÀI GIẢNG TOÁN GIẢI TÍCH 12 Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ : : • Câu hỏi 1 Câu hỏi 1 : : Tìm đạo hàm của các hàm số: Tìm đạo hàm của các hàm số: 2 1. y = x 2 3x - 1 2. y = 3 2 3. y. các nguyên hàm của hàm số f(x). Chương III Chương III : : § § 1 1 . . Nguyên hàm và tích phân Nguyên hàm và tích phân 1. 1. Định nghĩa Định nghĩa . . - Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm. đạo hàm, tìm họ nguyên hàm của các hàm số: 1/ x 3 dx ∫ 2/ 2 1 dx sin x ∫ x x 3 3 dx = + c ln3 ∫ 2 1 dx = - cotgx + c sin x ∫ Một số ví dụ: Một số ví dụ: Ví dụ 3: Đáp số: 3 x - 4 F(x) = 3 2 y