Mục lục 1 Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 3 1.1 Năm học 1991 - 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Năm học: 1992 - 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Năm học: 1993 - 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Năm học: 1997 - 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Năm học: 1998 - 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Năm học: 1999 - 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 Năm học 2000 - 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 Năm học 2001 - 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Năm học 2002 - 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10 Năm học 2003 - 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11 Năm học 2004-2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.12 Năm học 2005-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Trường THPT Chu Văn An và Hà Nội Amsterdam 23 2.1 Năm học 1989-1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Năm học 1991-1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Năm học 1992-1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Năm học 1993-1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội 29 3.1 Năm học 1991-1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Năm học 1992-1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Năm học 1993-1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Năm học 1994-1995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5 Năm học 1995-1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.6 Năm học 1996-1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 2 MỤC LỤC 3.7 Năm học 1997 - 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.8 Năm học 1998 - 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.9 Năm học 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.10 Năm học 2000-2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.11 Năm học 2001-2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.12 Năm học 2002 - 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.13 Năm học 2003 - 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.14 Năm học 2003 - 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Trường THPT Chuyên Ngữ, Đại học Ngoại Ngữ 53 4.1 Năm học 2005-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 Một số bộ đề thi vào lớp 10 không chuyên Toán 55 5.1 Đề số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2 Đề số 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 Đề số 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Chương 1 Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội 1.1 Năm học 1991 - 1992 Ngày thi thứ nhất 1. Giải hệ phương trình  y −5|x| − 3 = 0 2x − |y| + 3 = 0 2. Trong một giải bóng đá có 11 đội tham gia, bất cứ hai đội nào dự giải đều phải gặp nhau hai trận, một trận lượt đi và một trận lượt về. Mỗi trận, bên thắng được 7 điểm, bên thua bị trừ đi 6 điểm (hay nói một cách khác là được −6 điểm), nếu hòa thì mỗi bên đều được 0 điểm. (a) Kết thúc giải, đội B.L được 13 điểm. Hãy tính số trận thắng, số trận hòa và số trận thua của đội B.L. (b) Trong buổi tổng kết giải, sau khi nghe công bố số điểm của mỗi đội và thứ tự xếp hạng của các đội, đội trưởng đội B.L nhẩm tính rồi nói to: "thế là số điểm của đội mình đúng bằng trung bình cộng số điểm của tất cả các đội dự g iải ". Nghe được ý kiến đấy một trọng tài lên tiếng: "Ông bạn tính nhầm to rồi đó!" Đội trưởng đội B.L cãi lại: "Tôi tính đúng rồi đấy!". Hãy cho biết ai đúng, ai sai và giải thích vì sao? 3. Hai đường tròn (O 1 ) và (O 2 ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt đường tròn thứ nhất tại C và cắt đường tròn thứ hai tại D sa o cho A nằm trong đoạn thẳng CD. Tìm vị trí của cát tuyến CD sao cho chu vi tam giác BCD nhận giá trị lớn nhất. 4. Cho tam giác đều ABC. Hai điểm M và N lần lượt biến thiên trên hai cạnh AB và AC sao cho AM MB + AN NC = 1. Chứng minh rằng, MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp 3 4 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI tam giác ABC. 5. Cho tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn. Chứng minh rằng, sin A + sin B + sin C < 2(cos A + cos B + cos C) trong đó A, B và C là các góc của tam giác ABC. Ngày thi thứ hai 6. Cho a, b là các số dương. Hãy rút gọn biểu thức sau: a + 2 √ ab + 9b √ a + 3 √ b − 2 4 √ ab − 2 √ b 7. Qua tâm O của hình vuông ABCD ta kẻ một cát tuyến cắt cạnh AB ở M và cắt cạnh CD ở N sao cho AM MB = 1 2 . Lấy một điểm I trong đoạn MN và gọi d 1 , d 2 , d 3 , d 4 là khoảng cách từ I đến bốn cạnh của hình vuông sắp xếp theo thứ tự g iảm dần: d 1 ≥ d 2 ≥ d 3 ≥ d 4 . Chứng minh rằng, khi I chạy trên đoạn MN, ta luôn có d 1 − d 2 = d 2 − d 3 = d 3 − d 4 . 8. Cho hình chữ nhật ABCD. Qua một điểm M tùy ý nằm ở miền trong của hình chữ nhật đó, ta kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình chữ nhật. Các đường thẳng này chia hình chữ nhật đã cho thành bốn hình chữ nhật nhỏ, mỗi hình chữ nhật chứa một trong bốn đỉnh A, B, C, D. Chứng minh rằng, ít nhất một trong hai hình chữ nhật chứa đỉnh A hoặc đỉnh C có diện tích không vượt quá 1 4 diện tích hình chữ nhật ABCD. 9. a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 có tất cả các tính chất sau: một nửa của nó là bình phương của một số nguyên, một phần ba của nó là lập phương của một số nguyên, một phần năm của nó lại là lũy thừa bậc năm của một số nguyên. b) Cho phương trình a 2 |x 2 − 2| + |a 2 x 2 − 1| + 2a 2 = 1 (1). Tìm các giá trị của tham số a để phương trình (1) có đúng hai nghiệm trên tập hợp các số nguyên. 10. Hãy chỉ ra một cách sắp xếp mười hai số tự nhiên từ 1 đến 12 trên một vòng tròn sao cho bất cứ ba số a, b, c nào đứng liền nhau theo thứ tự đó (theo chiều kìm đồng hồ hay chiều ngược lại đều được) cũng thỏa mãn điều kiện: số b 2 −ac luôn chia hết cho 13. Hãy giải thích vì sao lại sắp xếp như vậy, nếu có thể. 1.2. NĂM HỌC: 1992 - 1993 5 1.2 Năm học: 1992 - 1993 Ngày thi thứ nhất 1. Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau vô nghiệm:  x + ay = 1 ax − 3ay = 2a + 3 2. Cho hàm số y = f(x) =  x + 2 √ x − 1 +  x − 2 √ x − 1 a) Giải phương trình f(x) = 2. b) Tìm giá trị bé nhất của hàm số y = f(x). 3. Tìm các giá trị của m để phương trình: x + |x 2 − 2x + m| = 0 có nghiệm và tính các nghiệm ấy theo m. 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên đường thẳng AB lấy một điểm C cố định nằm ngoài đoạn AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF tới đường tròn đã cho, với E và F là hai tiếp điểm. Gọi I là giao điểm của AB và EF . Qua C kẻ cát tuyến tùy ý cắt đường tròn tại M và N . Chứng minh rằng  AIM =  BIN. 5. Cho hệ phương trình:                    x 1 x 2 x 3 x 1992 = 1 x 1 − x 2 x 3 x 1992 = 1 x 1 x 2 − x 3 x 4 x 1992 = 1 x 1 x 2 x 1990 − x 1991 x 1992 = 1 x 1 x 2 x 1991 − x 1992 = 1 Hỏi x 1990 có thể nhận những giá trị nào? 6. Biết rằng n số thực a 1 , a 2 , , a n (n ≥ 2) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a) 0 < a i < 1, ∀i = 1, 2, 3, , n. b) Với mỗi cách phân tích tùy ý số 1993 thành tổng của n số tự nhiên khác 0: 1993 = k 1 + k 2 + + k n (với k i ∈ N) đều tồn tại một chữ số i ∈ {1, 2, , n} sao cho k i a i ∈ Z. Chứng minh rằng, a 1 + a 2 + + a n ∈ Z. Ngày thi thứ hai 7. a) Chứng minh rằng nếu hai số x và y cùng dấu (xy ≥ 0) thì ta luôn có    x + y 2 + √ xy    +    x + y 2 − √ xy    = |x| + |y|. 6 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 10 + x 5 + 1 8. Cho đoạn thẳng AB và đường thẳng dAB. M là một điểm không nằm trên đường thẳng AB, nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là AB, nửa mặt phẳng đó không chứa đường thẳng (d). Gọi C và D là giao điểm của các tia MA và MB với đường thẳng (d). Tìm tập hợp những điểm M trong mỗi mặt phẳng nói trên sao cho diện tích tam giác MCD là nhỏ nhất. 9. Cho đa thức f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d. a) Chứng minh rằng nếu f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên thì bốn số 6a, 2b, a + b + c, d đều nguyên. b) Đảo lại, nếu cả bốn số 6a, 2b, a + b + c, d đều nguyên thì liệu f(x) có nhận giá trị nguyên với bất cứ giá trị nguyên nào của x hay không? Vì sao? 10. Cho 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên: 1, 3, 5, , 199. Tìm số tự nhiên k bé nhất sao cho khi chọn k số tùy ý trong 100 số đã cho thì bao giờ cũng chọn được hai số trong k số đã chọn mà một trong hai số đó là bội của số kia. 11. Mỗi điểm trên mặt phẳng đều được tô bởi một trong ba màu: xanh, đỏ, vàng. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm được hai điểm cùng màu mà khoảng cách giữa chúng bằng một độ dài cho trước tùy ý. Compiled by Hà Duy Hưng 2 High School for Gifted Students Hanoi University of Education Hanoi, Vietnam. 1.3 Năm học: 1993 - 1994 Ngày thi thứ nhất 1. Cho đa thức P (x, y) = 4xy(x 2 + y 2 ) − 6(x 3 + y 3 + x 2 y + xy 2 ) + 9(x 2 + y 2 ) a) Hãy phân tích P (x, y) thành nhân tử. b) Tìm trên mặt phẳng tọa độ tập hợp những điểm mà tọa độ (x, y) của chúng thỏa mãn điều kiện P (x, y) = 0. 1.3. NĂM HỌC: 1993 - 1994 7 2. Cho hình thang ABCD, biết AB CD và AB = a, CD = b. Đường thẳng qua giao điểm của hai đường chéo và song song với AB cắt các cạnh bên AD và BC ở E và F . Tính độ dài đoạn EF theo a, b và chứng minh EF ≤ √ ab. 3. Chứng minh rằng với a > 0, hệ bất phương trình sau vô nghiệm        4x 2 < y 2 − 1 2y 2 < 2x 2 + a a − xy √ 2 < 1 2 4. Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và c = 0. Biết rằng hai phương trình sau có đúng một nghiệm chung: x 2 + ax + bc = 0 (1) x 2 + bx + ca = 0 (2) Chứng minh rằng các nghiệm các nghiệm còn lại của hai phương trình đó đều là nghiệm của phương trình x 2 + cx + ab = 0 (3) 5. Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đường tròn đó. Đặt OK = a (0 < a < R). Hai dây cung AC và B D của đường tròn đã cho vuông góc với nhau tại K. a) Chứng minh rằng, bốn trung điểm của bốn cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giá c ABCD và bốn hình chiếu của K trên bốn cạnh đó cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng, đường tròn đi qua tám điểm nói trên vẫn cố định khi các dây cung AC và BD quay quanh điểm K (mà vẫn vuông góc với nhau). Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó. c) Với mỗi vị trí của các dây cung AC và BD, vẽ hình chữ nhật KALB. Tìm tập hợp các đỉnh L của hình chữ nhật này khi AC và BD quay quanh K. Ngày thi thứ hai 6. Giải hệ phương trình        x + x + 3y x 2 + y 2 = 3 (1) y − y −3x x 2 + y 2 = 0 (2) 7. Cho 40 số nguyên dương a 1 , a 2 , , a 19 và b 1 , b 2 , , b 21 thỏa mãn các điều kiện sau:  1 ≤ a 1 < a 2 < < a 19 ≤ 200 1 ≤ b 1 < b 2 < < b 21 ≤ 200 8 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI Chứng minh rằng, tồn tại 4 số a i , a j , b k , b p sao cho      a i < a j b k < b p a j − a i = b p − b k 8. Cho 5 số nguyên phân biệt tùy ý a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 . Đặt P = (a 1 −a 2 )(a 1 −a 3 )(a 1 −a 4 )(a 1 −a 5 )(a 2 −a 3 )(a 2 −a 4 )(a 2 −a 5 )(a 3 −a 4 )(a 3 −a 5 )(a 4 −a 5 ) Chứng minh rằngP luôn chia hết cho 288. 9. Trên mặt phẳng tọa độ, một điểm A(x, y) được gọi là điểm nguyên nếu x, y ∈ Z. Giả sử A 1 A 2 A 3 A n là các đỉnh của một n - giác lồi có tất cả các đỉnh là các điểm nguyên. Biết rằng, miền đa giác đó (bao bồm tất cả các điểm thuộc miền trong và thuộc biên) không chứa bất cứ một điểm nguyên nào ngoài chính các đỉnh A 1 , A 2 , , A n . Chứng minh rằng, n ≤ 4. 10. Cho tia Ax và một điểm E khác A, E ∈ Ax. Từ E, vẽ tia Ey. Hai điểm C và D phân biệt, khác điểm E, cho trước trên tia Ey. Một điểm B chạy trên tia Ex . Các đường thẳng AC và BD cắt nhau ở M, AD và BC cắt nhau ở N. a) Chứng minh rằng, đường thẳng MN luôn cắt tia Ey tại một điểm F cố định. b) Hãy xác định một vị trí của điểm B trên tia Ex sao cho các tam giác MCD và NCD có diện tích bằng nhau. Compiled by Hà Duy Hưng 3 High School for Gifted Students Hanoi University of Education Hanoi, Vietnam. 1.4 Năm học: 1997 - 1998 Ngày thi thứ nhất 1. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có 5 n (5 n + 1) −6 n (3 n + 2 n ) chia hết cho 91 1.4. NĂM HỌC: 1997 - 1998 9 2. Cho x, y là hai số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = x x 4 + y 2 + y x 2 + y 4 3. Giải phương trình √ x + 1 + 2(x + 1) = x − 1 + √ 1 − x + 3 √ 1 − x 2 4. Xét một hình vuông và một hình tam giác. Nếu hai hình có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn? Vì sao? 5. Cho tam giác ABC có góc A = 45 0 ; BC = a; O là tâm đường tròn ngoại tiếp; B  , C  là chân các đường cao hạ từ B, C xuống các cạnh AC và AB tương ứng. Gọi O  là điểm đối xứng của điểm O qua đường thẳng B  C  . a) Chứng minh rằng A, B  , O  , C  cùng nằm trên một đường tròn. b) Tính B  C  theo a. Ngày thi thứ hai 6. Với giá trị nào của tham số a, phương trình sau có nghiệm duy nhất |2x − a| + 1 = |x + 3| 7. Giải hệ phương trình sau          x + y = 3 xz + yt = 4 xz 2 + yt 2 = 6 xz 3 + yt 3 = 10 8. Tìm các cặp số nguyên tố (p, q) thỏa mãn phương trình: 5 2 p + 1997 = 5 2q 2 + q 2 9. Trong tất cả tứ giác lồi với hai đường chéo có độ dài đã cho và góc g iữa hai đường chéo có độ lớn đã cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất. 10. Hãy xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao? ¨Với mọi m, n nguyên dương đều có:    m n − √ 2    ≥ 1 n 2 ( √ 3 + √ 2) ¨ 10 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI 1.5 Năm học: 1998 - 1999 Ngày thi thứ nhất 1. 1) Cho a, b là hai số khác 0 và thỏa mãn điều kiện a + b = 0. Chứng minh rằng: a)  1 a 2 + 1 b 2 + 1 (a + b) 2 =    1 a + 1 b − 1 a + b    . b)  a 2 + b 2 + a 2 b 2 (a + b) 2 =    a + b − ab a + b    . 2) Sử dụng kết quả trên, tính giá trị biểu thức sau: x =  1 + 99 ···9 2    n số 9 + 0, 99···9 2    n số 9 2. Chứng minh rằng: x + 4x 3 (x − 1)(x + 1) 3 > 3, ∀x > 1. 3. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá (4 + √ 15) 7 . 4. Giải hệ phương trình:      x 2 + 4yz + 2z = 0 x + 2xy + 2z 2 = 0 2zx + y 2 + y + 1 = 0 5. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng BD và các tiếp tuyến với (O) tại A, C đồng quy tại S. Kí hiệu I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) AB.CD = AD.BC. b) SB SD = IB ID = AB.CB AD.CD . Ngày thi thứ hai 6. Cho 0 < x, y, z, t < 1 và thỏa mãn: xyzt = (1 −x)(1 −y)(1 −z)(1 −t). Chứng minh rằng: x(1 − t) + t(1 − z) + z(1 − y) + y(1 − x) ≥ 1. 7. Tìm cá c số nguyên dương n sao cho số S n = 1.2.3 7 + n(n + 1)(n + 2) (n + 7) có thể viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai số nguyên dương. 8. Giải bất phương trình: √ x 4 + x 2 + 1 +  x(x 2 − x + 1) ≤  (x 2 + 1) 3 x [...]... nó và ít nhất một ô là ô nhỏ nhất trong hàng chứa nó Hỏi rằng có thể thoả mãn đồng thời cả hai điều kiện (a) và (b) hay không ? 2.4 Năm học 1993-1994 Ngày thi thứ hai Thời gian làm bài : 150 phút 1 Trong hình vẽ dưới đây có bốn điểm A, B, C và D cùng với sáu đoạn thẳng được nối tất cả các cặp điểm A (1) (1) D B C Người ta gán số 1 và đỉnh A và số 1 vào đoạn thẳng AD Hãy gán các số vào các điểm và các... chính phương Ngày thi thứ hai Thời gian làm bài : 150 phút 23 24 CHƯƠNG 2 TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VÀ HÀ NỘI AMSTERDAM 4 Cho tam giác ∆ABC Dựng về phía ngoài tam giác đó các tam giác cân đồng dạng là ∆ABM và ∆ACN sao cho BA = BM và CA = CN (a) Chứng minh rằng hai điểm M và N luôn cách đều một điểm cố định cho dù góc ∠ABM lấy giá trị nào (b) Xét trường hợp tam giác cân ∆ABM ở phía ngoài và tam giác ∆ACN... 4+ 4+ 4 x6 + y 4 y + z 4 z + x4 x y z 4 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(−3, 0) và B(−1, 0) Xét hai điểm M và N thay đổi trên trục tung sao cho AM và BN luôn vuông góc với nhau 12 CHƯƠNG 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI (a) Chứng minh rằng, AN và BM vuông góc với nhau và tích OM.ON không đổi khi M, N biến thi n Từ đó suy ra đường tròn đường kính M N luôn đi qua hai điểm cố định Tìm tọa độ hai... + b] với mọi a, b thực 2.2 Năm học 1991-1992 Ngày thi thứ nhất Thời gian làm bài : 150 phút 1 Trên một con đường giao thông đi qua ba tỉnh A, B và C (với B nằm giữa A và C) có hai người chuyển động đều: Người M xuất phát từ A đi bằng ô tô và N xuất phát từ B đi bằng xe đạp Họ xuất phát cùng một lúc và cùng đi về phía C Đến C thì M quay trở lại A ngay và về đến B đúng lúc N vừa đến C Hãy xác định quãng... đỉnh còn lại đều có mầu xanh hay không ? Tại sao ? 2.4 NĂM HỌC 1993-1994 27 8 Để kỉ niệm kì thi Toán Quốc tế lần thứ 23, một học sinh đã lấy số n bằng 232 rồi ghi tất cả các số tự nhiên 1, 2, 3 , n vào tất cả các ô của một hình vuông cỡ 23 × 23 ô vuông sao cho: (a) Mỗi hàng đều có ít nhất một ô là ô lớn nhất trong cột chứa nó và ít nhất một ô là ô nhỏ nhất trong cột chứa nó (b) Mỗi cột đều có ít nhất... trong mặt phẳng của một tam giác đều ABC cho trước Trên các đường thẳng BC, CA và AB lần lượt lấy các điểm A , B và C sao cho P A , P B và P C theo thứ tự song song với AB, BC và CA (a) Tìm mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác A B C với các khoảng cách từ P đến các đỉnh của tam giác đều ABC Chứng minh rằng có một điểm P duy nhất sao cho tam giác A B C là tam giác đều (b) Chứng minh rằng với mọi... Trường THPT Chuyên ĐHKHTN Hà Nội 3.1 Năm học 1991-1992 Ngày thi thứ nhất 1 (a) Giải và biện luận phương trình √ √ a+x+ a−x √ √ √ = b a+x− a−x trong đó a và b là các số dương đã cho (b) Cho phương trình x2 + ax + b + 1 = 0, trong đó a, b ∈ Z và b = −1 Chứng minh rằng, nếu phương trình có hai nghiệm đều là những số nguyên thì a2 + b2 là hợp số 2 Cho a, b, c là những số thực đôi một khác nhau và khác 0... cân ABC có AB = AC và H là trung điểm của cạnh BC Một đường tròn đi qua A và tiếp xúc với cạnh BC tại B cắt AC, AH lần lượt tại D và E Biết rằng D là trung điểm của AC và bán kính đường tròn bằng R Tính độ dài các dây cung AE, AD theo R 5 Cho tam giác ABC có BC > AC Một đường thẳng song song với cạnh AB cắt các cạnh BC và AC lần lượt tại các điểm M và N Chứng minh rằng, BN > AM Ngày thi thứ hai 6 Giải... THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI 8 (a) (Dành riêng cho học sinh thi Chuyên Toán) Tam giác XY Z có các đỉnh X, Y, Z lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của một tam giác ABC gọi là nội tiếp tam giác ABC i Gọi Y và Z là hình chiếu vuông góc của Y và Z trên cạnh BC, chứng minh 1 rằng nếu tam giác XY Z đồng dạng với tam giác ABC thì Y Z = BC 2 ii Trong số những tam giác XY Z nội tiếp tam giác ABC theo nghĩa trên và. .. tìm được các điểm D và K trên các cạnh AB và AC sao cho AD = DK = KC = CB (b) Ngược lại, chứng minh rằng nếu tồn tại các điểm D và K trên các cạnh AB và AC sao cho AD = DK = KC = CB thì BCA = 200 3.5 Năm học 1995-1996 Ngày thi thứ nhất 1 Giải hệ phương trình 2x2 − y 2 = 1 xy + x2 = 2 2 Giải phương trình: √ 1−x+ √ 4 + x = 3 a+1 b+1 + là một số nguyên Gọi d là ước b a √ số chung của a và b Chứng minh rằng: . THPT Chuyên Ngữ, Đại học Ngoại Ngữ 53 4.1 Năm học 2005-2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5 Một số bộ đề thi vào lớp 10 không chuyên Toán 55 5.1 Đề số. tam giác đều ABC. Hai điểm M và N lần lượt biến thi n trên hai cạnh AB và AC sao cho AM MB + AN NC = 1. Chứng minh rằng, MN luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp 3 4 CHƯƠNG 1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN. thang ABCD, biết AB CD và AB = a, CD = b. Đường thẳng qua giao điểm của hai đường chéo và song song với AB cắt các cạnh bên AD và BC ở E và F . Tính độ dài đoạn EF theo a, b và chứng minh EF ≤ √ ab. 3.