1 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN DẠNG 1: sin u(x) = sin v(x) Phương pháp: ADCT:       2k)x(v)x(u 2k)x(v)x(u )x(vsin)x(usin ; Z k  . Bài 1/1/1: Giải các phương trình sau: 1) 7 sinxsin   2) 2 3 xsin  3) 2 1 xsin  4) 3 1 xsin  5) 2009 2010 xsin  6) 7 cosxsin   7) 0x3sinxsin   8) 0x3cosxsin   9)   2 3 20x3sin 0  Bài 1/1/2: Giải các phương trình sau: 1) 2 1 xsin  2)   2 3 xsinsin  3)   0xsinxsin 2  Bài luyện tập 1/1/1: Giải các phương trình sau: 1)   2 3 30xsin 0  2) 2 2 5 x4sin          3) 2 3 x6 3 sin          4) 0x4cosx2sin   5) 0x4 3 sin 3 2 x3sin                   6) 0 6 x5cos 4 3 x7sin                  7) 0 4 5 x3cos 3 4 x2sin                  8)   2 1 xsinsin  9) x 1 cosxsin  DẠNG 2: cos u(x) = cos v(x) Phương pháp: ADCT:       2k)x(v)x(u 2k)x(v)x(u )x(vcos)x(ucos ; Z k  . Bài 1/2/1: Giải các phương trình sau: 1) 5 cosxcos   2) 2 2 xcos  3) 2 3 xcos  4) 2010 2009 xsin  5) 2 x sin   6) 5 sinxcos   2 7) 0x3cosxcos   8) 0x5sinxcos   9)   2 1 40x2sin 0  Bài 1/2/2: Giải các phương trình sau: 1)   2 1 xcoscos  2)   2 3 xsincos  3)   0xsinxcos 2  Bài luyện tập 1/2/1: Giải các phương trình sau: 1) 2011 xcos  2) 2 3 x6 3 cos          3) 0x5sinxcos   4)   1xsin8cos  5)   2 3 xsincos  6)   xsinxcos 2  7)   07x3cos 5 xcos          8) 0xsin 2 1 x2xcos 22               DẠNG 3: tan u(x) = tan v(x) Phương pháp: ĐK:       0)x(vcos 0)x(ucos Z'k; 'k 2 )x(v 'k 2 )x(u               ADCT:      k)x(v)x(u)x(vtan)x(utan ; Z k  . Bài 1/3/1: Giải các phương trình sau: 1) 9 tanxtan   2) 3 1 xtan  3) 3xtan  4) 9 cotxtan   5) 2011 x2tan   6) 0 5 2 cotxtan    7) xcosxsin  8) x2cos3x2sin  9) 0 2 x cos2 2 x sin3  Bài 1/3/2: Giải các phương trình sau: 1)   1xcostan   2) 0x3tanxtan   Bài luyện tập 1/3/1: Giải các phương trình sau: 1) 0 5 3 tanxtan    2) 0 7 3 cotx3tan    3) 2 x tan  4) 0xcos5xsin2   5) 0x2cosx2sin3   6) 0 2 x cos 2 x sin  7)   1xcostan   8)     xtancotxtantan    9)   3xsintan  3 DẠNG 4: cot u(x) = cot v(x) Phương pháp: ĐK:       0)x(vsin 0)x(usin Z'k; 'k)x(v 'k)x(u       ADCT:      k)x(v)x(u)x(vcot)x(ucot ; Z k  . Bài 1/4/1: Giải các phương trình sau: 1) 3 1 xcot  2) 0 7 5 cotxcot    3) 0 7 5 tanxcot    4)   x2tan 5) 2020x3cot  6) 0 5 cotx4tan    Bài 1/4/2: Giải các phương trình sau: 1)   3xcoscot  2) 0x3cotxcot   Bài luyện tập 1/4/1: Giải các phương trình sau: 1) 5 3 xcot  2) 0 5 cotxcot    3) 0 7 2 tanx3cot    4)   3xcoscot  5) 0xtanx3cot   6)     xsin2cotxsincot    DẠNG 5:         )()x(vcos)x(usin )()x(vcos)x(ucos )()x(vsin)x(usin 3 2 1 22 22 22 Phương pháp: + Áp dụng các công thức hạ bậc, ta có: + PT (1) )x(v2cos)x(u2cos 2 )x(v2cos1 2 )x(u2cos1      + PT (2) )x(v2cos)x(u2cos 2 )x(v2cos1 2 )x(u2cos1      + PT (3)        )x(v2cos)x(u2cos 2 )x(v2cos1 2 )x(u2cos1 Bài 1/5/1: Giải các phương trình sau: 1) 2 1 xsin 2  2) 4 3 xcos 2  3) x 3 sin x 2 sin 22  5) x 4 cos x cos 22  6) x 4 cos x 3 sin 22  6) 4 x cos 3 x sin 22  Bài luyện tập 1/5/1: Giải các phương trình sau: 4 1) 1 x sin 2  2) 4 1 xcos 2  3) x 4 sin x 3 sin 22  4) x 3 cos x 2 cos 22  5) x 5 cos x sin 22  6) 8 x cos 6 x sin 22  7)                4 x cos 5 2 x5sin 22 DẠNG 6:         )()x(vcot)x(utan )()x(vcot)x(ucot )()x(vtan)x(utan 3 2 1 22 22 22 Phương pháp: + Khi 2 vế của phương trình có nghĩa, ta có: + PT (1)       )x(vtan)x(utan )x(vtan)x(utan Zk; k)x(v)x(u k)x(v)x(u        + PT (2)       )x(vcot)x(ucot )x(vcot)x(ucot Zk; k)x(v)x(u k)x(v)x(u        + PT (3)                         2 )x(vtan)x(vcot)x(utan )x(v 2 tan)x(vcot)x(utan              k 2 )x(v)x(u k)x(v 2 )x(u Bài 1/6/1: Giải các phương trình sau: 1) 3 1 xtan 2  2) 3 x cot 2  3) x 3 tan x tan 22  4) x 3 cot x 2 cot 22  5) 4 x cot 3 x tan 22  6) 8 x cot 6 x tan 22  Bài luyện tập 1/6/1: Giải các phương trình sau: 1) 3 x 2 tan 2  2) 1 x 3 cot 2  3) x 4 tan x 2 tan 22  4) x 2 cot x cot 22  5) 3 x cot 2 x tan 22  6) 6 x cot 8 x cot 22  Chú ý: Các bước giải phương trình lượng giác tổng quát Bước 1: Đặt điều kiện của x để 2 vế của pt có nghĩa Bước 2: Biến đổi phương trình lượng giác tổng quát tương đương với pt lượng giác cơ bản  tìm ẩn x Bước 3: Kiểm tra điều kiện và kết luận nghiệm Bài 1/6/2. Giải các phương trình sau: 5 1) 0 x49 1x2cos 22    2) 01 3 x sin2xtan         3) 0 x5cos.x2cos x7cos  Chú ý: Các cách kiểm tra điều kiện khi giải pt lượng giác: + Cách 1: Thay trực tiếp cung nghiệm vào điều kiện  tính k  n 0 + Cách 2: Biểu diễn điểm ngọn của cung điều kiện và cung nghiệm trên đường tròn lượng giác và loại các điểm trung nhau. + Cách 3: Giải phương trình các tham số nguyên Bài luyện tập 1/6/2. Giải các phương trình sau: 1) 0x2sinx 9 2 2   2) 0 x2 x)1x(cos    3) 0 xcos 3xsin2   4) 0 xsin )4xcos3)(1x(cos    6) 0 x 5 cos x8sinx12sin   7) 0 x sin x 5 cos )xtanx2)(tanxcosx5(sin     Bài luyện tập 1/6/3: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: 1) m 3 m x sin 2   2) 6 m 5 m x cos 2     3) m m x sin 22   BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = sin u(x) DẠNG 1: 0 C u sin B u sin A 2    ,   0A  Phương pháp: + Đặt sinu = t, với   1;1t   + Giải PT: t 0 C t . B At 2     + Giải PT: sinu = t  x Bài 2/1/1. Giải các phương trình sau: a) 0 2 x sin 2 x sin 2 2    b) 0 1 x sin x cos 2    c) x 2 cos 2 x sin 3 x cos 2 2    Chú ý: Các hằng đẳng thức cần nhớ: x cos x sin 44  x cos x sin 2 1 22   x2sin 2 1 1 2  4 x4cos1 1   4 x4cos3   x cos x sin 66  x cos x sin 3 1 22   x2sin 4 3 1 2  2 x4cos1 . 4 3 1   8 x4cos35   x cos x sin 88    xcosxsin2xcosxsin 44 2 44  6   xcosxsin2xcosxsin21 44 2 22  1 x cos x sin 4 x cos x sin 2 2244    1 x2sinx2sin 8 1 24  1 2 x4cos1 2 x4cos1 8 1 2            x cos x sin 1010      xcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsin 46646644      )xcosx(sinxcosxsinxcosxsin31xcosxsin21 22442222  1 x cos x sin 5 x cos x sin 5 2244    1 x2sin 4 5 x2sin 16 5 24  1 2 x4cos1 . 4 5 2 x4cos1 16 5 2            x5sin = xsin)xsinx3(sin)x3sinx5(sin     xsinxsinx2cos2xsinx4cos2    xsin)1x2cos2x4cos2(    xsin x5sin  1x2cos2x4cos2    ,   0xsin  x 5 cos = xcos)xcosx3(cos)x3cosx5(cos     xcosxcosx2cos2xcosx4cos2    xcos)1x2cos2x4cos2(    xcos x5cos  1 x2cos2x4cos2    ,   0xcos  Bài 2/1/2. Giải các phương trình sau: a) 5 x cos x sin x 2 sin 2 44    b) xsin 2 x cos 2 x sin2 44         b) 4 5 x2sinxcosxsin 66  Bài 2/1/3. Giải các phương trình sau: a) 0 xcos xcos2xsin51 2   b)   0 x2sin x2sinxcosxsin2 44   Bài luyện tập 2/1/1: Giải các phương trình sau: 1) 3 x 2 sin 7 x 2 cos 3 2   2) 3 x cos 2 x sin 4 24   3) xsin4 4 3 xcosxsinx2cos 22  4) x 2 cos x cos x sin 2 x 2 cos x 2 sin 44   7 5)     x2sin3xcosxsin2xcosxsin4 4466  6) 4 5 xsin 2 x cos 2 x sin 66  7) 1 1x2sin )2x(sinxsin3)xsin2x(cosxcos    DẠNG 2: 0 D u sin C u sin B u sin A 23     ,   0A  Phương pháp: + Đặt sinu = t, với   1;1t   + Giải PT: t 0 D Ct Bt At 23      + Giải PT: sinu = t  x Bài 2/2/1. Giải các phương trình sau: a) x cos 8 5 x sin x sin 4 23    b) x cos 3 x 2 cos 9 1 x sin 7 x sin 3 23     c) )x2cosx3(sin4)1x(sin5    d) x 2 sin x cos 3 x 2 cos x sin 8 x cos 2    Bài luyện tập 2/2/1: Giải các phương trình sau: a) x 2 cos x sin x sin 2 3   b) x2cosx3sin3xsin    c) 02xsinx3sin    d) x 2 sin x cos x 2 cos x sin 2 x cos 2    DẠNG 3: 0C usin 1 .BucotA 2  ,   0A  Phương pháp: + Điều kiện Zk,ku0usin      + Đặt 1t1 u sin 1 ucot)0t(,t usin 1 2 2 2  + PT   0CBt1tA 2  ?x?t     Bài 2/3/1: Giải phương trình: xcot7 xsin 5 2  Bài luyện tập 2/3/1: Giải phương trình: 1) x2cot24 x2sin 1 2  2) 9 2 x sin 3 2 x cot5 2  3) 5 3 x sin 1 3 x cot 2  DẠNG 4: 0C usin 1 usinB usin 1 usinA 2 2                ,   0A  Phương pháp: + Điều kiện 0usin  8 + Đặt         2t usin 1 usint usin 1 usin 2t usin 1 usint usin 1 usin 2 2 2 2 2 2 + PT   ?x?t0CBt2tA 2   Bài 2/4/1: Giải phương trình: a) 02 xsin 2 xsin xsin 4 xsin 2 2  b) 1 xsin 1 xsin xsin 1 xsin2 2 2         Bài luyện tập 2/4/1: Giải các phương trình sau: a) 4 11 xsin xsin 1 x sin 1 xsin 2 2  ; b) 12xsin2 xsin 3 xsin 9 xsin4 2 2  DẠNG 5:         edusincusinbusinausin      ,   dcba    Phương pháp: + PT      ecdusin)dc(usinabusin)ba(usin 22  + Đặt tusin)ba(usin 2  + PT     ?tecdtabt      Bài 2/5/1. Giải phương trình sau:       156xsin4xsin2xsinxsin      Bài luyện tập 2/5/1: Giải các phương trình sau: 1)       123x2sin2x2sin1x2sinxcosxsin     2) 81 2 x sin3 2 x sin2 2 x sin 2 x sin                       3) 15)5x)(sin3x(sinxcos 2  BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = cos u(x) DẠNG 1. PT: 0 C u cos B u cos A 2    ,   0A  Phương pháp: + Đặt cosu = t, với   1;1t   + Giải PT: t 0 C t . B At 2     + Giải PT: cosu = t  x BÀI 3/1/1. Giải các phương trình sau: a)   03xcos132xcos4 2  b) 4 x sin 5 x cos 5 x cos 9 22    c) x 2 cos 3 1 x cos 2 x sin 5 2    Bài 3/1/2. Giải các phương trình sau: 9 a) 023 2 x cos3xcos  b) x sin 8 6 x 2 cos x 2 sin 22    c) 4 x 2 sin x cos 2 x 2 cos x 4 cos 22     d) x cos 4 x cos 3 x 3 sin 3 x 6 cos 32    Bài 3/1/3. Giải các phương trình sau: a) x 8 cos x cos x sin 44   c) x 2 cos x 2 sin x cos x sin 4466    c) xcos x5cos xcosxsin 66  d) xsin x5sin 5x2sin2 2  e) 2 x 2 cos 4 x cos x sin x cos x sin 4466      Bài luyện tập 3/1/1: Giải các phương trình sau: 1) 0)xcos2(xcosxsin2x2cos 2  2) 1 x 2 sin x 4 cos x sin 2 x sin 4 224     3) 6 x 2 cos 3 x 4 cos x 2 sin x cos 4 x sin 8 2244      4) x cos 4 x cos 3 x 3 sin 3 x 6 cos 32    5) 3xsin)5x2cos2(xcos)5x2cos2( 44  6) x 2 cos x 2 sin x cos x sin 4466    7) x 3 cos x sin 3 1 x cos 11 x cos 23     8) 01)3x2(sinxsin2)3x2(sinxsin2 24  9) 0 2 3x sin)xcos(1     10) 5 x tan 2 x 2 cos 2 2   11) x 4 cos x cos x sin 1010   12) 2)1x2sin(3)2x4cos(     13) 4 xsin x5sin xcosxsin 66  14) xcos x5cos xcosxsin 66  15) 0 xcos 9x2cos3xsin6x2sin4 22   16) 0 4 3 xcos2x2sin 22  DẠNG 2: 0 D u cos C u cos B u cos A 23     ,   0A  Phương pháp: + Đặt cosu = t, với   1;1t   + Giải PT: t 0 D Ct Bt At 22      + Giải PT: cosu = t  x Bài 3/2/1. Giải các phương trình sau: a) x 2 sin x sin 1 x cos 5 x 2 cos 4 x sin 2     b)   x3cosx2cos31xcos2    Bài luyện tập 3/2/1. Giải các phương trình sau: a) x sin 5 8 x cos 7 x cos 23    10 b) x 3 cos 1 x cos 11 x sin 3 x cos 23     c) xcos 1 6xcos8xsin2x2cos3 2  DẠNG 3: 0C ucos 1 .ButanA 2  ,   0A  Phương pháp: + Điều kiện Zk,k 2 u0ucos    + Đặt 1t1 ucos 1 utan)0t(,t ucos 1 2 2 2  + PT   0CBt1tA 2  ?x?t     Bài 3/3/1: Giải phương trình: 0 2 5 xcos 2 xtan 2 1 2  Bài luyện tập 3/3/1. Giải các phương trình sau: 1) 4 x2cos 4 x2tan3 2  2) 2 2 x cos 2 2 x tan 2  DẠNG 4: 0C ucos 1 ucosB ucos 1 ucosA 2 2                ,   0A  Phương pháp: + Điều kiện 0ucos  + Đặt         2t ucos 1 ucost ucos 1 ucos 2t ucos 1 ucost ucos 1 ucos 2 2 2 2 2 2 + PT   ?x?t0CBt2tA 2   Bài 3/4/1: Giải phương trình: 7 xcos 1 xcos xcos 1 xcos2 2 2         Bài luyện tập 3/4/1: Giải các phương trình sau: a) 1 xcos 1 xcos xcos 1 xcos2 2 2         b) 02 xcos 2 xcos xcos 4 xcos 2 2  [...]... 3 6 3   DẠNG 6: Tìm điều kiện để pt: A sin u  B cos u  C có nghiệm Phương pháp: + PT: A sin u  B cos u  C có nghiệm  A 2  B 2  C 2 + PT: A sin u  B cos u  C vô nghiệm  A 2  B 2  C 2 Bài 6/6/1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) sin x  m cos x  2m  1 b) 4m sin 2x  2 cos 2x  2m cos 2 x  4 3  Đáp số: b) m    ;   1;  4  DẠNG 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y  A sin... cos x  5   9 Đáp số: 1) cos x  1 và cos x  3  6 2) cos 2 x  4 cos x  4 và cos 2 x  4 cos x  6 Pt vô nghiệm Bài luyện tập 3/5/2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 2 cos 2 x  sin x  3m  2  0 PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = tan u(x) DẠNG 1: A tan 2 u  B tan u  C  0 , A  0 Phương pháp: + Đặt tanu = t, với t  R + Giải PT: At 2  B.t  C  0  t + Giải PT: tanu = t  u  x BÀI... 4 sin 2x PHƯƠNG TRÌNH THEO HÀM SỐ y = cot u(x) DẠNG 1: A cot 2 u  B cot u  C  0 , A  0 Phương pháp: + Đặt cotu = t, với t  R + Giải PT: At 2  B.t  C  0  t + Giải PT: cotu = t  u  x Bài 5/1/1 Giải các phương trình sau: 3 cot 2 x  2 cot x  3  0 Bài luyện tập 5/1/1: Giải các phương trình sau: 7 5 a) 3 cot x  5  b) cot x  4  5 cos 2 x  5 2  2 cos 2 x DẠNG 2: A cot 3 u  B cot 2 u ... 2  2 sin2 x DẠNG 2: A tan u  B cot u  C  0 , A, B  0  Phương pháp: 1 + Đặt tanu = t  cot u  , t  0  t 1 + PT  At  B  C  0  At 2  Ct  B  0  t  ? t Bài 4/2/1: Cho phương trình: 2 tan x  m cot x  m  1  0 a) Giải pt khi m  1 b) Tìm m để pt có nghiệm Bài luyện tập 4/2/1:  BÀI 4  11  Giải các phương trình: 1) 3 tan x  2 cot x  5 2) tan x  6 cot x  1 3 2 DẠNG 3: A tan... cos u (*) 2 + PT (*) có nghiệm  A 2  B 2  y  C   Max y và min y Bài 6/7/1 Tìm Tìm GTLN và GTNN của hàm số: sin x  cos x  1 a) y  3 sin x  4 cos x  2 b) y  sin x  cos x  3 sin 2x c) y  3 sin x  4 cos x 3 cos x  4 sin x  d) y  1  4 cos 2 x Bài 6/7/2 sin x  1 Tìm x để hàm số y  nhận giá trị nguyên 3  cos x Bài 6/7/3 2k cos x  k  1 Cho hàm số: y  (k là tham số) sin x  cos... 3 6   BÀI 7 PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG CẤP THEO sin u(x) & cos u(x) Dạng 1 A sin 2 u  B sin u cos u  C cos 2 u  D ( A 2  C 2  0 ; u = u(x)) Phương pháp 1: + Khi cosu = 0 thì sin2u = 1 PT là: A = D + Khi cos u  0 thì chia hai vế cho cos 2 u PT  A tan 2 u  B tan u  C  D.(1  tan 2 u) đặt t  tan u Phương pháp 2: 1  cos 2u 1 1  cos 2u PT  A  B sin 2u  C D 2 2 2  B sin 2u  (C  A ) cos 2u ...  2 c) 3 sin 3 x  cos 3 x  3 Chú ý 1: Dùng các hằng đẳng thức sau để biến để pt về dạng tích 2 ; 1  sin 2a  sin a  cos a  1  cos 2a  2 cos 2 a 2 ; 1  sin 2a  sin a  cos a 1  cos 2a  2 sin2 a cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  cos a  sin a cos a  sin a  Bài 6/1/2 Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích: a) 3 sin x  2 cos x  2 b) 2 sin x  cos x  1 c) sin x  3 cos x ... x  1  3 sin x  1 2 9) 2 sin x  cos x  3 sin x  1  A sin u  B cos u  DẠNG 2:   A sin u  B cos u   Phương pháp A + PT (1)  sin u  2 2 A B A Trong đó:  cos ; 2 2 A B A 2  B 2 sin v (1) A 2  B 2 cos v ( 2) B 2 A B B 2 2 A B 15 , A 2  B 2  0  cos u  sin v  sinu     sin v 2  sin ;   0;2 + PT (2)  Trong đó: A A 2  B2 A 2 A B 2 sin u   sin ; B A 2  B2 B 2 A B... pháp: + Đặt tanu = t , t  R  + PT  At 3  Bt 2  Ct  D  0  t  ? Bài 4/3/1: Giải phương trình: tan 3 x  tan 2 x  2 tan x  8  0 Bài luyện tập 4/3/1: Giải phương trình: 1 a)  2 tan 3 x  tan 2 x  3 tan x  4  0 b)  tan 2 x  tan x  4 2 cos x 2 DẠNG 4: A tan u  B tan u  C  D cot u  0 , A,D  0  Phương pháp: 1 + Đặt tanu = t  cot u  , t  0  t 1 + PT  At 2  Bt  C  D  0  At...DẠNG 5: cos u  a cos u  b cos u  c cos u  d  e , a  b  c  d Phương pháp: + PT  cos 2 u  (a  b) cos u  ab cos 2 u  (c  d) cos u  cd  e + Đặt cos 2 u  (a  b) cos u  t + PT t  abt  cd  e  t  ? Bài 3/5/1 Giải phương trình sau: sin 2 x cos x  2 cos x  4   72 . 1 MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN DẠNG 1: sin u(x) = sin v(x) Phương pháp: ADCT:       2k)x(v)x(u 2k)x(v)x(u )x(vsin)x(usin. bước giải phương trình lượng giác tổng quát Bước 1: Đặt điều kiện của x để 2 vế của pt có nghĩa Bước 2: Biến đổi phương trình lượng giác tổng quát tương đương với pt lượng giác cơ bản  tìm. khi giải pt lượng giác: + Cách 1: Thay trực tiếp cung nghiệm vào điều kiện  tính k  n 0 + Cách 2: Biểu diễn điểm ngọn của cung điều kiện và cung nghiệm trên đường tròn lượng giác và loại