1 CHƯƠNG 6 ĐỒ THỊ 2 Chương 6: Đồ thị 6.1 Định nghĩa và các khái niệm 6.2 Biểu diễn đồ thị 6.3 Phép duyệt đồ thị 6.4 Tìm đường đi ngắn nhất 3 Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hướng hoặc có hướng) nối các đỉnh đó . Nhiều bài toán thuộc những lĩnh vực rất khác nhau có thể giải được bằng mô hình đồ thị: biểu diễn sự cạnh tranh các loài trong một môi trường sinh thái, hai máy tính có được nối với nhau bằng một đường truyền thông hay không. tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố, lập lịch thi, phân chia kênh cho các đài truyền hình … 6.1-Định nghĩa và khái niệm 4 Khi mô hình hoá bằng đồ thị: đỉnh biểu thị các đối tượng được xem xét (người, tổ chức, địa danh, ), cạnh đồ thị là những đoạn thẳng (hoặc cong) hay những mũi tên nối một số điểm với nhau, tượng trưng cho một quan hệ nào đó giữa các đối tượng. Các loại đồ thị : Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E là các cạnh gồm các cặp không có thứ tự của các đỉnh phân biệt. 6.1-Định nghĩa và khái niệm 5 Một đơn đồ thị có hướng G = (V, E) gồm một tập khác rỗng V mà các phần tử của nó gọi là các đỉnh và một tập E các cặp có thứ tự gồm 2 phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Một đa đồ thị G = (V, E) giống như đơn đồ thị, có thể có cạnh bội (có nhiều hơn hai cạnh tương ứng với một cặp đỉnh) và khuyên (cạnh nối đỉnh với chính nó). 6.1-Định nghĩa và khái niệm 6 v 3 v 4 v 5 v 6 v 1 v 2 6.1-Định nghĩa và khái niệm 7 Các thuật ngữ về đồ thị : Hai đỉnh u và v trong đồ thị (vô hướng) G=(V,E) được gọi là liền kề nếu (u,v)∈E. Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e. Bậc của đỉnh v trong đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), là số các cạnh liên thuộc với nó. Khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó. Đỉnh v gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu deg(v)=0 6.1-Định nghĩa và khái niệm 8 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v 7 6.1-Định nghĩa và khái niệm 9 Bậc vào (t.ư. bậc ra) của đỉnh v trong đồ thị có hướng G, ký hiệu deg t (v) (t.ư. deg o (v)), là số các cung có đỉnh cuối (đỉnh đầu) là v. Đỉnh có bậc vào và bậc ra cùng bằng 0 gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh có bậc vào bằng 1 và bậc ra bằng 0 gọi là đỉnh treo, cung có đỉnh cuối là đỉnh treo gọi là cung treo Cho G =(V, E) là một đồ thị có hướng. Khi đó ||)(deg)(deg Evv Vv Vv ot == ∑ ∑ ∈ ∈ 6.1-Định nghĩa và khái niệm 10 621. Ma trận kề: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), v1, v2, , vn là các đỉnh và e1, e2, , em là các cạnh của G. Ma trận kề của G là ma trận a ij bằng 1 nếu cạnh (i,j)∈ E và bằng 0 nếu ngược lại. Rõ ràng ma trận kề của đồ thị vô hướng là đối xứng. Ngoài ra, a ij có thể gán một số nào đó gọi là trọng số. Lúc đó, ta có ma trận trọng số. Nhược điểm là luôn phải dùng n 2 đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề. }, ,2,1,:){( njiaA ij == 6.2- Biểu diễn đồ thị [...]... phức tạp thuật toán là O(mlogn) 23 Bài tập Bài 1: Viết chương trình nhập đồ thị từ bàn phím lưu trữ dạng ma trận kề Bài 2: Viết chương trình chuyển CTDL biểu diễn đồ thị từ ma trận kề sang danh sách kề và ngược lại Bài 3: Viết chương trình liệt kê tất cả các đỉnh của đồ thị bằng thuật toán duyệt theo chiều sâu, duyệt theo chiều rộng Bài 4: Viết chương trình nhập đồ thị và 2 đỉnh rồi chỉ ra đường đi... v1 e6 v2 e3 e1 e4 v3 e5 e2 v4 v5 12 6. 3- Duyệt đồ thị Tìm kiếm theo chiều sâu: void main() { for v ∈ V do chuaxet[v]:=true; for v ∈ V do if (chuaxet[v]) then DFS(v); } void DFS(v) { thamdinh(v); chuaxet[v]:=false; for u ∈ Ke(v) do if (chuaxet[u]) DFS(u); } 13 6. 3- Duyệt đồ thị 3 2 6 4 5 7 1 8 10 11 9 12 13 Kết quả tìm kiếm theo chiều sâu: 1, 2, 10, 4, 3, 5, 8, 6, 7, 9, 12, 11, 13 14 6. 3- Duyệt đồ thị. . .6. 2- Biểu diễn đồ thị v1 e6 v2 e3 e1 e4 v3 e5 e2 0 0 0 1  0 0 1 1 0 1 0 0  1 1 0 0 1 1 0 1  1 1 1 0 0         v4 v5 Ví dụ: Ma trận kề của đồ thị 11 6. 2- Biểu diễn đồ thị 62 2 Danh sách kề: Mỗi đỉnh v của đồ thị có danh sách lưu trữ các đỉnh kề với nó, ký hiệu Ke(v): Ke(v)={ u∈V: (v,u)∈E} Người ta... của đỉnh u 20 6. 4- Đường đi ngắn nhất for (v ∈ T ) //gán nhãn lại cho các đỉnh trong T if (d[v]>d[u]+a[u,v]) { d[v]=d[u]+a[u,v]; truoc[v]=u; } } } 21 6. 4- Đường đi ngắn nhất 7 5 3 2 1 1 6 1 1 2 4 1 4 5 2 3 22 6. 4- Đường đi ngắn nhất Bước lặp đỉnh 1 đỉnh 2 đỉnh 3 đỉnh 4 đỉnh 5 đỉnh 6 khởi tạo 0,1 1,1* ∞,1 ∞,1 ∞,1 ∞,1 1 - - 6, 2 3,2* ∞,1 8,2 2 - - 4,4* - 7,4 8,2 3 - - - - 7,4 5,3* 4 - - - - 6, 6* - -viết... Duyệt đồ thị Đặc điểm: - Mỗi đỉnh được thăm đúng 1 lần - Mỗi lần quay về chương trình chính, thuật toán se tạo ra một thành phần liên thông mới - Độ phức tạp của thuật toán là O(n+m) 15 6. 3- Duyệt đồ thị Tim kiem theo chieu rong: void main() { for (v ∈ V) chuaxet[v]:=true; for (v ∈ V) do if (chuaxet[v]) BFS(v); } 16 6.3- Duyệt đồ thị void BFS(v) { Queue:=∅; Queue  v; (*nap v vao Queue *) chuaxet[v]:=false;... thamdinh(p); for (u ∈ Ke(p)) if (chuaxet[u]) {Queue  u; chuaxet(u):=false;} } } 17 6. 4- Đường đi ngắn nhất Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n là một số nguyên dương trong đồ thị G=(V,E) là một dãy các cạnh (hoặc cung) e1, e2, , en của đồ thị sao cho e1=(x0,x1),e2=(x1,x2), ,en=(xn-1,xn), với x0=u và xn=v Trong đồ thị đơn, ta ký hiệu đường đi này bằng dãy các đỉnh x0, x1, , xn Nếu mỗi cung được... với i=1 đến n 18 6. 4- Đường đi ngắn nhất Thuật toán Dijkstra: -Đầu vào: Đồ thị G=(V,E) biểu diễn bằng ma trận trọng số a[u,v] với u,v ∈ V -Điều kiện: a[u,v] >= 0 -Đầu ra: Khoảng cách từ đỉnh s (đỉnh bắt đầu cho trước) đến tất cả các đỉnh còn lại ký hiệu d[v] truoc[v] ghi nhận đỉnh đi trước v trong đường đi ngắn nhất từ s đến v -Ký hiệu: T là tập hợp chứa các đỉnh có nhãn tạm thời 19 6. 4- Đường đi ngắn . 1 CHƯƠNG 6 ĐỒ THỊ 2 Chương 6: Đồ thị 6. 1 Định nghĩa và các khái niệm 6. 2 Biểu diễn đồ thị 6. 3 Phép duyệt đồ thị 6. 4 Tìm đường đi ngắn nhất 3 Đồ thị là một cấu trúc rời rạc gồm. njiaA ij == 6. 2- Biểu diễn đồ thị 11 Ví dụ: Ma trận kề của đồ thị                 01011 00011 10010 11100 11000 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 6.2- Biểu diễn đồ thị 12 62 2 (chuaxet[u]) DFS(u); } 6. 3- Duyệt đồ thị 14 3 7 1 2 10 4 5 9 8 6 11 13 12 Kết quả tìm kiếm theo chiều sâu: 1, 2, 10, 4, 3, 5, 8, 6, 7, 9, 12, 11, 13 6. 3- Duyệt đồ thị 15 Đặc điểm: - Mỗi