Sở giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dùng chung cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2011 Câu1 (2 điểm) Cho biểu thức A 3 32 1 23 32 1115 + + + + = x x x x xx x 1.Rút gọn biểu thức A (với x 0 ,x 1 ) 2. Chứng minh rằng A 3 2 Câu 2(2 điểm) Cho parabol (P): 2 2 1 xy = và đờng thẳng (d): y= mx m +2 (với m là tham số) 1. Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Câu 3 : (2 điểm) 1. Giải hệ phơng trình : =+ =+ 19 25 12 32 yx yx 2. Giải phơng trình 26 9 3 2 = + x x x Câu 4: (3 điểm) Gọi C là một điểm nằm trên đoạn thẳng AB ( BCAC , ). Trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng AB, kẻ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I (I A). Đờng thẳng vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K ; đờng tròn đờng kính IC cắt IK tại P. 1.Chứng minh rằng: a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn đó. b)Tam giác ABP là tam giác vuông. 2. Cho A, I, B cố định. Tìm vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất. Câu 5: (1 điểm)Cho a, b, c là ba số thực dơng thỏa mãn a+b+c = 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: P= bca ca abc bc cab ab 222 + + + + + Hết (cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ ký của giám thị số 1: chữ ký của giám thị số 2 Đề CHíNH THứC Đáp án Câu1 : Rỳt gn biểu thức A 3 32 1 23 32 1115 + + + + = x x x x xx x A= 3 32 1 23 )3)(1( 1115 + + + + + x x x x xx x = )3)(1( )1)(32()3)(23(1115 + ++++ xx xxxxx A= )3)(1( 332262931115 + ++++ xx xxxxxxx = )3)(1( 527 + xx xx = = + )3)(1( )52)(1( xx xx A= )3( )52( + x x 2- vi A 3 2 ta cú )3( )52( + x x 3 2 nờn 3 2 - )3( )52( + x x 0 )3.(3 )52.(3)3(2 + + x xx 0 )3.(3 15662 + ++ x xx 0 )3.(3 17 +x x 0 l ỳng vỡ x 0 nờn 17 x 0 v 3.( x +3) > 0 vy A 3 2 c chng minh Câu 2: 1. Cho parabol (P): 2 2 1 xy = và đờng thẳng (d): y= mx - m +2 (với m là tham số) a.Tìm m để (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4 b.Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Gii : a) to giao im ca parabol (P): 2 2 1 xy = và đờng thẳng (d): y= mx m +2 l nghim ca h += = 2. 2 1 2 mxmy xy phng trỡnh honh giao im l : 2. 2 1 2 += mxmx vi (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4 thay vo ta cú : 8 = 4m - m +2 3m = 6 m = 2 vy khi m = 2 thỡ (d) cắt (P ) tại điểm có hoành độ x=4 Hoặc: Điểm có hoành độ x = 4 nằm trên Parabol (P) y = 2 1 2 x nên điểm đó có tung độ là y = 2 1 .4 8 2 = Để (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ x = 4 thì đờng thẳng (d) phải đi qua điểm (4; 8) => 8 = m.4 - m + 2 => 3m = 6 => m = 2. b) (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi v ch khi h += = 2. 2 1 2 mxmy xy hay pt 2. 2 1 2 += mxmx x 2 -2mx +2m - 4 = 0 cú 2 nghim phõn bit > 0 m = 4m 2 -4(2m - 4 ) = 4m 2 -8m + 16 = (2m) 2 2.2m.2+ 4+12 = ( 2m 2) 2 + 12 > 0 vi mi giỏ tr ca m . Vy với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt Câu 3 : 1/ Giải hệ phơng trình 2 3 12 5 2 19 x y x y + = + = Điều kiện x, y 0. t a = y 1 v b = x 1 ta cú h =+ =+ 1925 1232 ab ab =+ =+ 57615 2464 ab ab = =+ 3311 1232 b ab = =+ 3 1232 b ab = = 3 2 b a y 1 =2 y = 2 1 v x 1 = 3 x = 3 1 vy nghim ca h = = 2 1 3 1 y x 2. Giải phơng trình : 2 3 6 2 9 x x x + = Điều kiện : 2 3 9 0 3 x x x > > => < Cách 1 : 2 3 6 2 9 x x x + = <=> 2 2 9 3 6 2 9x x x x + = . Đặt t = 2 9x , t > 0 Phơng trình <=> 2 2 2 2 6 2 3 6 2 3 9 9 t xt x t x t x t x t + = = <=> + = = (do t >0 nên x >0) Thay (1) vào (2) ta đợc phơng trình : 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 6 2 72 9 9 72 9 54 81 6 9 3 6 9 t t t t t t t t t t t t t = <=> = <=> = + + ữ ữ + + + <=> 4 3 2 6 54 54 81 0t t t t+ + + = <=> ( ) ( ) 2 2 3 12 3 0t t t + + = Do t > 0 => 2 12 3 0t t+ + > => ( ) 2 2 3 0 3 9 3 3 2( / )t t x x t m = => = => = => = Vậy phơng trình có một nghiệm Cách 2 : Xét x < -3 : VT = 2 3 0 9 x x x + < => Phơng trình vô nghiệm Xét x > 3 Ta có : 2 2 2 3 3 2 (1) 9 9 x x x x x + (theo cô si) Mặt khác ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 3 18 0 2.18 9 6 18 9 9 x x x x x x x => => => (2) y P A B x K C I O O' Từ (1) và (2) => 2 3 2. 18 6 2 9 x x x + = Phơng trình có nghiệm khi dấu = ở (1) và (2) xảy ra => 2 2 3 3 2 9 18 x x x x x = => = = Vậy phơng trình có nghiệm : x = 3 2 Câu 5 : Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = 2 2 2 ab bc ca ab c bc a ac b + + + + + Vì a + b+ c = 2 =>2c+ab = c(a+b+c)+ab= ca+cb+c 2 + ab = (ca+ c 2 )+( bc + ab) = c(a+c) + b(a+c)=(c+a)(c+b) 2c+ab = (c+a)(c+b) Vì a ; b ; c > 0 nên 0 1 > + ca và 0 1 > + cb áp dụng BĐTCosi ta có + + ca 1 cb + 1 2. ))(( 1 cbca ++ dấu (=) khi = + ca 1 cb + 1 a + c = b + c a = b hay ) 11 ( 2 1 ))(( 1 bcac bcac + + + ++ ( ) + + + ++ = + bc ab ac ab bcac ab abc ab 2 1 )(2 (1) Chứng minh tơng tự ; + + + + ca bc ba cb abc bc 2 1 2 (2) dấu = khi b = c + + + + ab ca bc ca cab ac 2 1 2 (3) dấu = khi a = c Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ta có : P= bca ca abc bc cab ab 222 + + + + + 2 1 ( bc ab ac ab + + + + ac cb ab cb + + + + bc ac ab ac + + + ) P 2 1 + + + + + + + + + + + ba ac ba cb bc ac cb ab ac cb ac ab ()()( = 2 1 + + + + + + + + ba abc cb cba ac bca ).().().( P= bca ca abc bc cab ab 222 + + + + + ( ) 12. 2 1 2 1 ==++ cba min P = 1 khi a = b = c = 3 2 Câu 3 : 1- Gii h phng trỡnh : =+ =+ 19 25 12 32 yx yx 2-Giải phơng trình 26 9 3 2 = + x x x iu kin x >3 hoc x <-3 ta thy x = 0 khụng phi l nghim ca pt nờn x x 26 9 3 1 2 = + 1 26 9 3 2 = x x 1 21272 9 3 22 += x xx Câu 4: 1.Chứng minh rằng: a) Tứ giác CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn. Xác định tâm của đờng tròn đó. Xột ng trũn tõm O ng kớnh IC ta cú P (O) Nờn CPI = 90 0 do ú CPK = 90 0 ( k bự vi CPK = 90 0 ) theo bi ra ta cú By AB m K By ; C AB CBK = 90 0 CPK + CBK = 180 0 m CBK v CPK l hai gúc i ca t giỏc CPKB vy CPKB nội tiếp đợc trong đờng tròn m CBK = 90 0 nờn KC l ng kớnh b)Tam giác ABP là tam giác vuông. Xột ( O ; 2 IC ) ta cú PICCAP = ( ni tp cựng chn cung PC ) (1) Xột ( O ; 2 KC ) ta cú CBPCKP = ( ni tp cựng chn cung PC ) (2) Theo bi ra thỡ IC KC ti C nờn KCI = 1V nờn IKCPIC + = 1V (3) thay (1) ; (2) vo (3) ta cú CAP + CBP = 1V vy Tam giác ABP là tam giác vuông.ti P 2. Tìm vị trí của C để tứ giác ABKI có diện tích lớn nhất. Ta có tứ giác ABKI có A + B=90 0 => ABKI l hỡnh thang vuụng nhn AI v BK l hai ỏy v AB l ng cao ( Hoặc: Ta cú t giỏc ABKI cú AI//BK ( cựng AB) v B = 1V nờn ABKI l hỡnh thang vuụng nhn AI v BK l hai ỏy v AB l ng cao ) Vậy Diện tích tứ giác ABKI S ABKI = 2 AI BI AB + , do A, B, I cố định Có AB, AI không đổi => diện tích tứ giác ABKI lớn nhất <=> BK lớn nhất. Đặt AI = a, AB = b và AC = x. Ta có ACI đồng dạng với BKC (gg) => AC AI BK B C = => x a BK b x = => BK = 2 2 2 1 2 4 b x b x bx a a + ữ + = => BK lớn nhất khi 2 b x = , tức là C là trung điểm của đoạn AB. Có thể giải nh sau- Ta cú t giỏc ABKI cú AI//BK ( cựng AB) v B = 1V nờn ABKI l hỡnh thang vuụng nhn AI v BK l hai ỏy v AB l ng cao S ABKI = 2 1 (AI+ BK) . AB m A ; B ; I c inh nờn AI ; AB khụng i nờn S ABKI t GTLN khi BK t GTLN BK =AI Khi đó (O) v (O) bng nhau nờn CI = CK CIK cõn CP v ng cao nờn PI = PK m PC // BK ( cựng vuụng gúc AB) nờn PC l ng trung bỡnh ca hỡnh thang ABKI nờn C l trung im ca AB . Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Năm học 2011 - 2012 Môn : Toán (dùng chung cho tất cả thí sinh) Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: . 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: P= bca ca abc bc cab ab 222 + + + + + Hết (cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ ký của giám thị số 1: chữ ký của