Trn S Tựng www.MATHVN.com www.mathvn.com Trang 1 www.MATHVN.com I. Gii hn ca dóy s Gii hn hu hn Gii hn vụ cc 1. Gii hn c bit: 1 lim 0 n n đ+Ơ = ; 1 lim 0 ( ) k n k n + đ+Ơ = ẻ  lim 0 ( 1) n n q q đ+Ơ = < ; lim n C C đ+Ơ = 2. nh lớ : a) Nu lim u n = a, lim v n = b thỡ ã lim (u n + v n ) = a + b ã lim (u n v n ) = a b ã lim (u n .v n ) = a.b ã lim n n u a v b = (nu b ạ 0) b) Nu u n 0, " n v lim u n = a thỡ a 0 v lim n u a = c) Nu n n u v Ê , " n v lim v n = 0 thỡ lim u n = 0 d) Nu lim u n = a thỡ lim n u a = 3. Tng ca cp s nhõn lựi vụ hn S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + = 1 1 u q - ( ) 1 q < 1. Gii hn c bit: lim n = +Ơ lim ( ) k n k + = +Ơ ẻ  lim ( 1) n q q = +Ơ > 2. nh lớ: a) Nu lim n u = +Ơ thỡ 1 lim 0 n u = b) Nu lim u n = a, lim v n = Ơ thỡ lim n n u v = 0 c) Nu lim u n = a ạ 0, lim v n = 0 thỡ lim n n u v = . 0 . 0 n n neỏu a v neỏu a v ỡ +Ơ > ớ -Ơ < ợ d) Nu lim u n = + Ơ , lim v n = a thỡ lim(u n .v n ) = 0 0 neỏu a neỏu a ỡ +Ơ > ớ -Ơ < ợ * Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ nh: 0 0 , Ơ Ơ , Ơ Ơ , 0. Ơ thỡ phi tỡm cỏch kh dng vụ nh. Mt s phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s: ã Chia c t v mu cho lu tha cao nht ca n. VD: a) 1 1 1 1 lim lim 3 2 3 2 2 n n n n + + = = + + b) 2 1 1 3 3 lim lim 1 1 1 2 2 n n n n n n + - + - = = - - c) 2 2 2 4 1 lim( 4 1) lim 1n n n n n ổ ử - + = - + = +Ơ ỗ ữ ố ứ ã Nhõn lng liờn hp: Dựng cỏc hng ng thc ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 ; a b a b a b a b a ab b a b - + = - - + + = - VD: ( ) 2 lim 3 n n n - - = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 lim 3 n n n n n n n n n - - - + - + = 2 3 lim 3 n n n n - - + = 3 2 - ã Dựng nh lớ kp: Nu n n u v Ê , " n v lim v n = 0 thỡ lim u n = 0 CHNG IV GII HN www.MATHVN.com Trn S Tựng Trang 2 www.mathvn.com VD: a) Tớnh sin lim n n . Vỡ 0 Ê sin 1 n n n Ê v 1 lim 0 n = nờn sin lim 0 n n = b) Tớnh 2 3sin 4cos lim 2 1 n n n - + . Vỡ 2 2 2 2 3sin 4cos (3 4 )(sin cos ) 5 n n n n - Ê + + = nờn 0 Ê 2 2 3sin 4cos 5 2 1 2 1 n n n n - Ê + + . M 2 5 lim 0 2 1 n = + nờn 2 3sin 4cos lim 0 2 1 n n n - = + Khi tớnh cỏc gii hn dng phõn thc, ta chỳ ý mt s trng hp sau õy: ã Nu bc ca t nh hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng 0. ã Nu bc ca t bng bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng t s cỏc h s ca lu tha cao nht ca t v ca mu. ã Nu bc ca t ln hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú l + Ơ nu h s cao nht ca t v mu cựng du v kt qu l Ơ nu h s cao nht ca t v mu trỏi du. Baứi 1: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n - + + + b) 3 2 2 1 lim 4 3 n n n + + + c) 3 2 3 3 2 lim 4 n n n n + + + d) 4 2 lim ( 1)(2 )( 1) n n n n + + + e) 2 4 1 lim 2 1 n n n + + + f) 4 2 3 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n + - - + Baứi 2: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 1 3 lim 4 3 n n + + b) 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n + + + c) 1 2 4 6 lim 5 8 n n n n + + + + d) 1 2 5 lim 1 5 n n n + + + e) 1 2.3 7 lim 5 2.7 n n n n + - + f) 1 1 2.3 6 lim 2 (3 5) n n n n+ - + - Baứi 3: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 2 2 4 1 2 1 lim 4 1 n n n n n + + - + + + b) 2 2 3 4 lim 2 n n n n + - - + + c) 3 2 6 4 2 1 lim 1 n n n n + - + + d) 2 2 4 1 2 lim 4 1 n n n n n + + + + + e) (2 1)( 3) lim ( 1)( 2) n n n n n + + + + f) 2 2 2 4 4 1 lim 3 1 n n n n n - - + + + Baứi 4: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 1 1 1 lim 1.3 3.5 (2 1)(2 1) n n ổ ử + + + ỗ ữ - + ố ứ b) 1 1 1 lim 1.3 2.4 ( 2) n n ổ ử + + + ỗ ữ + ố ứ c) 2 2 2 1 1 1 lim 1 1 1 2 3 n ổ ửổ ử ổ ử - - - ỗ ữỗ ữ ỗ ữ ố ứố ứ ố ứ d) 1 1 1 lim 1.2 2.3 ( 1) n n ổ ử + + + ỗ ữ + ố ứ e) 2 1 2 lim 3 n n n + + + + f) 2 2 1 2 2 2 lim 1 3 3 3 n n + + + + + + + + Baứi 5: Tớnh cỏc gii hn sau: Trn S Tùng www.MATHVN.com www.mathvn.com Trang 3 a) ( ) n n n 2 lim 2 1 + - - b) ( ) n n n 2 2 lim 2 + - + c) ( ) n n n 3 3 lim 2 1 - + - d) ( ) n n n 2 4 lim 1 3 1 + - + + e) ( ) 2 lim n n n - - f) 2 2 1 lim 2 4 n n + - + g) 2 2 4 1 2 1 lim 4 1 n n n n n + - - + + - h) 3 2 6 4 2 1 lim 1 n n n n + - + - i) 2 2 2 4 4 1 lim 3 1 n n n n n - - + + - Baøi 6: Tính các gii hn sau: a) 2 2 2cos lim 1 n n + b) 2 ( 1) sin(3 ) lim 3 1 n n n n - + - c) 2 2 cos lim 3 1 n n n - + d) 6 2 2 3sin 5cos ( 1) lim 1 n n n + + + e) 2 3 2 2 3sin ( 2) lim 2 3 n n n + + - f) 2 3 2 2 lim (3cos 2) n n n n - + + Baøi 7: Cho dãy s (u n ) vi u n = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 3 n æ öæ ö æ ö - - - ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø , vi " n ³ 2. a) Rút gn u n . b) Tìm lim u n . Baøi 8: a) Chng minh: 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n = - + + + + ("n Î N * ). b) Rút gn: u n = 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 1 ( 1) n n n n + + + + + + + + . c) Tìm lim u n . Baøi 9: Cho dãy s (u n ) đc xác đnh bi: 1 1 1 1 ( 1) 2 n n n u u u n + ì = ï í = + ³ ï î . a) t v n = u n+1 – u n . Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n. b) Tính u n theo n. c) Tìm lim u n . Baøi 10: Cho dãy s (u n ) đc xác đnh bi: 1 2 2 1 0; 1 2 , ( 1) n n n u u u u u n + + ì = = í = + ³ î a) Chng minh rng: u n+1 = 1 1 2 n u - + , "n ³ 1. b) t v n = u n – 2 3 . Tính v n theo n. T đó tìm lim u n . II. Gii hn ca hàm s www.MATHVN.com Trn S Tùng Trang 4 www.mathvn.com Gii hn hu hn Gii hn vơ cc, gii hn  vơ cc 1. Gii hn đc bit: 0 0 lim x x x x ® = ; 0 lim x x c c ® = (c: hng s) 2. nh lí: a) Nu 0 lim ( ) x x f x L ® = và 0 lim ( ) x x g x M ® = thì: [ ] 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ® + = + [ ] 0 lim ( ) ( ) x x f x g x L M ® - = - [ ] 0 lim ( ). ( ) . x x f x g x L M ® = 0 ( ) lim ( ) x x f x L g x M ® = (nu M ¹ 0) b) Nu f(x) ³ 0 và 0 lim ( ) x x f x L ® = thì L ³ 0 và 0 lim ( ) x x f x L ® = c) Nu 0 lim ( ) x x f x L ® = thì 0 lim ( ) x x f x L ® = 3. Gii hn mt bên: 0 lim ( ) x x f x L ® = Û Û 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x L - + ® ® = = 1. Gii hn đc bit: lim k x x ®+¥ = +¥ ; lim k x nếu k chẵn x nếu k lẻ ®-¥ ì +¥ = í -¥ ỵ lim x c c ®±¥ = ; lim 0 k x c x ®±¥ = 0 1 lim x x - ® = -¥ ; 0 1 lim x x + ® = +¥ 0 0 1 1 lim lim x x x x - + ® ® = = +¥ 2. nh lí: Nu 0 lim ( ) x x f x L ® = ¹ 0 và 0 lim ( ) x x g x ® = ±¥ thì: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) x x x x x x nếu L và g x cùngdấu f x g x nếu L và g x tráidấu ® ® ® ì +¥ ï = í -¥ ï ỵ 0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) lim lim ( ) 0 . ( ) 0 ( ) lim ( ) 0 . ( ) 0 x x x x x x x x nếu g x f x nếu g x và L g x g x nếu g x và L g x ® ® ® ® ì = ±¥ ï ï = +¥ = > í ï -¥ = < ï ỵ * Khi tính gii hn có mt trong các dng vơ đnh: 0 0 , ¥ ¥ , ¥ – ¥ , 0. ¥ thì phi tìm cách kh dng vơ đnh. Mt s phng pháp kh dng vơ đnh: 1. Dng 0 0 a) L = 0 ( ) lim ( ) x x P x Q x ® vi P(x), Q(x) là các đa thc và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 Phân tích c t và mu thành nhân t và rút gn. VD: 3 2 2 2 2 2 2 8 ( 2)( 2 4) 2 4 12 lim lim lim 3 ( 2)( 2) 2 4 4 x x x x x x x x x x x x x ® ® ® - - + + + + = = = = - + + - b) L = 0 ( ) lim ( ) x x P x Q x ® vi P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biu thc cha cn cùng bc S dng các hng đng thc đ nhân lng liên hp  t và mu. VD: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 4 2 4 2 4 1 1 lim lim lim 4 2 4 2 4 x x x x x x x x x x ® ® ® - - - - + - = = = + - + - c) L = 0 ( ) lim ( ) x x P x Q x ® vi P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêåu thc cha cn khơng đng bc Gi s: P(x) = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) m n m n u x v x với u x v x a - = = . Ta phân tích P(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) m n u x a a v x - + - . Trn S Tựng www.MATHVN.com www.mathvn.com Trang 5 VD: 3 3 0 0 1 1 1 1 1 1 lim lim x x x x x x x x x đ đ ổ ử + - - + - - - = + ỗ ữ ố ứ = 0 2 3 3 1 1 1 1 5 lim 3 2 6 1 1 ( 1) 1 1 x x x x đ ổ ử + = + = ỗ ữ ỗ ữ + - + + + + ố ứ 2. Dng Ơ Ơ : L = ( ) lim ( ) x P x Q x đƠ vi P(x), Q(x) l cỏc a thc hoc cỏc biu thc cha cn. Nu P(x), Q(x) l cỏc a thc thỡ chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x. Nu P(x), Q(x) cú cha cn thỡ cú th chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x hoc nhõn lng liờn hp. VD: a) 2 2 2 2 5 3 2 2 5 3 lim lim 2 6 3 6 3 1 x x x x x x x x x x đ+Ơ đ+Ơ + - + - = = + + + + b) 2 2 3 2 2 3 lim lim 1 1 1 1 1 x x x x x x x đ-Ơ đ-Ơ - - = = - + - - + - 3. Dng Ơ Ơ : Gii hn ny thng cú cha cn Ta thng s dng phng phỏp nhõn lng liờn hp ca t v mu. VD: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 lim 1 lim lim 0 1 1 x x x x x x x x x x x x x đ+Ơ đ+Ơ đ+Ơ + - + + + - = = = + + + + 4. Dng 0. Ơ : Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp nh cỏc dng trờn. VD: 2 2 2 2. 0. 2 lim ( 2) lim 0 2 2 4 x x x x x x x x + + đ đ - - = = = + - Baứi 1: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 3 0 1 lim 1 x x x x x đ + + + + b) 2 1 3 1 lim 1 x x x x đ- + - - c) 2 sin 4 lim x x x đ ổ ử - ỗ ữ ố ứ p p d) 4 1 1 lim 3 x x x x đ- - + - e) 2 2 1 lim 1 x x x x đ - + - f) 2 1 2 3 lim 1 x x x x đ - + + g) 1 8 3 lim 2 x x x đ + - - h) 3 2 2 3 4 3 2 lim 1 x x x x đ - - - + i) 2 0 1 lim sin 2 x x đ Baứi 2: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 3 2 2 1 1 lim 3 2 x x x x x x đ - - + - + b) x x x x 4 3 2 1 1 lim 2 1 đ - - + c) 5 3 1 1 lim 1 x x x đ- + + d) 3 2 4 2 3 5 3 9 lim 8 9 x x x x x x đ - + + - - e) 5 6 2 1 5 4 lim (1 ) x x x x x đ - + - f) 1 1 lim 1 m n x x x đ - - g) 0 (1 )(1 2 )(1 3 ) 1 lim x x x x x đ + + + - h) 2 1 lim 1 n x x x x n x đ + + + - - i) 4 3 2 2 16 lim 2 x x x x đ- - + www.MATHVN.com Trn S Tựng Trang 6 www.mathvn.com Baứi 3: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 2 4 1 3 lim 4 x x x đ + - - b) 3 3 1 1 lim . 4 4 2 x x x đ - + - c) 2 0 1 1 lim x x x đ + - d) 2 2 2 lim 7 3 x x x đ + - + - e) 1 2 2 3 1 lim 1 x x x x đ + - + - f) 2 0 2 1 1 lim 16 4 x x x đ + - + - g) 3 0 1 1 lim 1 1 x x x đ + - + - h) 2 3 3 2 lim 3 x x x x x đ- + - + i) 0 9 16 7 lim x x x x đ + + + - Baứi 4: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 3 0 1 1 lim x x x x đ + - + b) 3 2 2 8 11 7 lim 3 2 x x x x x đ + - + - + c) 3 0 2 1 8 lim x x x x đ + - - d) 3 2 0 1 4 1 6 lim x x x x đ + - + e) 3 2 2 8 11 7 lim 2 5 2 x x x x x đ + - + - + f) 3 3 2 2 1 5 7 lim 1 x x x x đ - - + - g) 0 1 4 . 1 6 1 lim x x x x đ + + - h) 3 0 1 2 . 1 4 1 lim x x x x đ + + - i) 3 0 1 1 lim x x x x đ + - - Baứi 5: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 2 1 lim 2 1 x x x x đ+Ơ + - + b) 2 2 1 lim 2 x x x x đƠ - + - c) 2 3 2 2 1 lim 3 2 x x x x đ+Ơ + - + d) 2 2 2 3 4 1 lim 4 1 2 x x x x x x đƠ + + + + + + - e) 2 2 4 2 1 2 lim 9 3 2 x x x x x x x đƠ - + + - - + f) 2 1 lim 1 x x x x x đ+Ơ + + + g) 2 2 (2 1) 3 lim 5 x x x x x đ-Ơ - - - h) 2 2 2 3 lim 4 1 2 x x x x x x đ+Ơ + + + - + i) 2 5 2 lim 2 1 x x x x đ-Ơ - + + Baứi 6: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 lim x x x x đ+Ơ ổ ử + - ỗ ữ ố ứ b) 2 lim 2 1 4 4 3 x x x x đ+Ơ ổ ử - - - - ỗ ữ ố ứ c) 3 2 3 lim 1 1 x x x đ+Ơ ổ ử + - - ỗ ữ ố ứ d) lim x x x x x đ+Ơ ổ ử + + - ỗ ữ ố ứ e) ( ) 3 3 lim 2 1 2 1 x x x đ+Ơ - - + f) ( ) 3 3 2 lim 3 1 2 x x x đ-Ơ - + + g) 3 1 1 3 lim 1 1 x x x đ ổ ử - ỗ ữ - - ố ứ h) 2 2 2 1 1 lim 3 2 5 6 x x x x x đ ổ ử + ỗ ữ - + - + ố ứ Baứi 7: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 15 lim 2 x x x + đ - - b) 2 15 lim 2 x x x - đ - - c) 2 3 1 3 2 lim 3 x x x x + đ + - - d) 2 2 4 lim 2 x x x + đ - - e) 2 2 2 lim 2 5 2 x x x x + đ - - + f) 2 2 2 lim 2 5 2 x x x x - đ - - + Baứi 8: Tỡm cỏc gii hn mt bờn ca hm s ti im c ch ra: a) 3 1 1 0 1 1 ( ) 0 3 0 2 x khi x x f x taùi x khi x ỡ + - > ù ù + - = = ớ ù Ê ù ợ b) 2 9 3 ( ) 3 3 1 3 x khi x f x taùi x x x khi x ỡ - ù < = = ớ - ù - ợ Trn S Tùng www.MATHVN.com www.mathvn.com Trang 7 c) 2 3 4 2 2 8 ( ) 2 16 2 2 x x khi x x f x taïi x x khi x x ì - > ï ï - = = í - ï < ï - î d) 2 2 3 2 1 1 ( ) 1 1 2 x x khi x x f x taïi x x khi x ì - + > ï ï - = = í ï - £ ï î Baøi 9: Tìm giá tr ca m đ các hàm s sau có gii hn ti đim đc ch ra:: a) 3 1 1 ( ) 1 1 2 1 x khi x f x taïi x x mx khi x ì - ï < = = í - ï + ³ î b) 3 2 2 1 3 1 ( ) 1 1 1 3 3 1 khi x f x taïi x x x m x mx khi x ì - > ï = = - í - ï - + £ î c) 2 0 ( ) 0 100 3 0 3 x m khi x f x taïi x x x khi x x ì + < ï = = í + + ³ ï + î d) 2 3 1 ( ) 1 3 1 x m khi x f x taïi x x x m khi x ì + <- = = - í + + + ³- î www.MATHVN.com Trn S Tựng Trang 8 www.mathvn.com III. Hm s liờn tc 1. Hm s liờn tc ti mt im: y = f(x) liờn tc ti x 0 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x đ = ã xột tớnh liờn tc ca hm s y = f(x) ti im x 0 ta thc hin cỏc bc: B1: Tớnh f(x 0 ). B2: Tớnh 0 lim ( ) x x f x đ (trong nhiu trng hp ta cn tớnh 0 lim ( ) x x f x + đ , 0 lim ( ) x x f x - đ ) B3: So sỏnh 0 lim ( ) x x f x đ vi f(x 0 ) v rỳt ra kt lun. 2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y = f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú. 3. Hm s liờn tc trờn mt on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a; b) v lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) x a x b f x f a f x f b + - đ đ = = 4. ã Hm s a thc liờn tc trờn R. ã Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng. 5. Gi s y = f(x), y = g(x) liờn tc ti im x 0 . Khi ú: ã Cỏc hm s y = f(x) + g(x), y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tc ti x 0 . ã Hm s y = ( ) ( ) f x g x liờn tc ti x 0 nu g(x 0 ) ạ 0. 6. Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ tn ti ớt nht mt s c ẻ (a; b): f(c) = 0. Núi cỏch khỏc: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú ớt nht mt nghim c ẻ (a; b). M rng: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b]. t m = [ ] ; min ( ) a b f x , M = [ ] ; max ( ) a b f x . Khi ú vi mi T ẻ (m; M) luụn tn ti ớt nht mt s c ẻ (a; b): f(c) = T. Baứi 1: Xột tớnh liờn tc ca hm s ti im c ch ra: a) 3 1 ( ) 1 1 1 1 x khi x f x taùi x x khi x ỡ + ù ạ = = - ớ - ù - = ợ b) 3 2 1 1 ( ) 1 1 1 4 x khi x x f x taùi x khi x ỡ + - ạ ù ù - = = ớ ù = ù ợ c) 2 3 2 2 7 5 2 ( ) 2 3 2 1 2 x x x khix f x taùi x x x khi x ỡ - + - ù ạ = = ớ - + ù = ợ d) 2 5 5 ( ) 5 2 1 3 ( 5) 3 5 x khi x f x taùi x x x khi x ỡ - > ù = = ớ - - ù - + Ê ợ e) 1 cos 0 ( ) 0 1 0 x khi x f x taùi x x khi x ỡ - Ê = = ớ + > ợ f) 1 1 ( ) 1 2 1 2 1 x khi x f x taùi x x x khi x ỡ - < ù = = ớ - - ù - ợ Baứi 2: Tỡm m, n hm s liờn tc ti im c ch ra: a) x khi x f x taùi x mx khi x 2 1 ( ) 1 2 3 1 ỡ < = = ớ - ợ b) x x x khi x f x taùi x x x m khi x 3 2 2 2 1 ( ) 1 1 3 1 ỡ - + - ù ạ = = ớ - ù + = ợ Trn S Tựng www.MATHVN.com www.mathvn.com Trang 9 c) m khi x x x f x khi x x taùi x vaứ x x x n khi x 2 0 6 ( ) 0, 3 0 3 ( 3) 3 ỡ = ù ù - - = ạ ạ = = ớ - ù = ù ợ d) x x khi x f x taùi x x m khi x 2 2 2 ( ) 2 2 2 ỡ - - ù ạ = = ớ - ù = ợ Baứi 3: Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau trờn tp xỏc nh ca chỳng: a) 3 3 2 1 1 ( ) 4 1 3 x x khi x x f x khi x ỡ + + ạ - ù ù + = ớ ù = - ù ợ b) 2 3 4 2 ( ) 5 2 2 1 2 x x khi x f x khi x x khi x ỡ - + < ù ớ = = ù + > ợ c) 2 4 2 ( ) 2 4 2 x khi x f x x khi x ỡ - ù ạ - = ớ + ù - = - ợ d) 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 x khi x f x x khi x ỡ - ạ ù = ớ - ù = ợ Baứi 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc hm s sau liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng: a) 2 2 2 ( ) 2 2 x x khi x f x x m khi x ỡ - - ù ạ = ớ - ù = ợ b) 2 1 ( ) 2 1 1 1 x x khi x f x khi x mx khi x ỡ + < ù ớ = = ù + > ợ c) 3 2 2 2 1 ( ) 1 3 1 x x x khi x f x x x m khi x ỡ - + - ù ạ = ớ - ù + = ợ d) 2 1 ( ) 2 3 1 x khi x f x mx khi x ỡ < = ớ - ợ Baứi 5: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau cú 3 nghim phõn bit: a) 3 3 1 0 x x - + = b) 3 2 6 9 1 0 x x x + + + = c) 3 2 6 1 3 x x + - = Baứi 6: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim: a) 5 3 3 0 x x - + = b) 5 1 0 x x + - = c) 4 3 2 3 1 0 x x x x + - + + = Baứi 7: Chng minh rng phng trỡnh: 5 3 5 4 1 0 x x x - + - = cú 5 nghim trờn (2; 2). Baứi 8: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s: a) 3 ( 1) ( 2) 2 3 0 m x x x - - + - = b) 4 2 2 2 0 x mx mx + - - = c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 a x b x c b x c x a c x a x b - - + - - + - - = d) 2 3 2 (1 )( 1) 3 0 m x x x - + + - - = e) cos cos2 0 x m x + = f) (2cos 2) 2sin5 1 m x x - = + Baứi 9: Chng minh cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim: a) 2 0 ax bx c + + = vi 2a + 3b + 6c = 0 b) 2 0 ax bx c + + = vi a + 2b + 5c = 0 c) 3 2 0 x ax bx c + + + = Baứi 10: Chng minh rng phng trỡnh: 2 0 ax bx c + + = luụn cú nghim x ẻ 1 0; 3 ộ ự ờ ỳ ở ỷ vi a ạ 0 v 2a + 6b + 19c = 0. www.MATHVN.com Trn S Tùng Trang 10 www.mathvn.com BÀI TP ÔN CHNG IV Bài 1. Tìm các gii hn sau: a) n n 3 1 2 3 lim 3 + + + + b) n n n n 2 sin lim 1 2 æ ö + + ç ÷ + è ø c) 1 3 2 lim 2 2 + + + n n nn d) n n n n 2 2 2 lim 2 3 1 + + - e) n n 5 1 5 2 2 3 lim 3 1 + + + + f) n n n n 1 ( 1) 4.3 lim ( 1) 2.3 + - + - - g) ( ) n n n 2 2 lim 3 1 - - + g) ( ) n n n 3 3 2 lim 3 + - h) ( ) n n n 2 4 lim 1 + - + i) n n 2 2 2cos lim 1 + k) n n n 2 2 lim 3 1 1 + - - l) ( ) n n n 3 2 3 lim 2 2 - - + Bài 2. Tìm các gii hn sau: a) x x x x x 2 2 3 5 6 lim 8 15 ® - + - + b) x x x x 2 2 1 2 8 1 lim 6 5 1 ® - - + c) x x x x x x 3 2 2 3 4 4 3 lim 3 ® - + - - d) x x x x x x x 4 3 2 4 3 2 1 2 5 3 1 lim 3 8 6 1 ® - + + - + - e) x x x x x 3 4 1 3 2 lim 4 3 ® - + - + f) x x x x x x 3 2 4 2 2 2 4 8 lim 8 16 ® - - + - + g) x x x x x 3 5 1 2 1 lim 2 1 ® - - - - h) x x x x 2 2 2 lim 2 5 2 ®- + + + i) x x x 2 2 1 ( 2) 1 lim 1 ®- + - - Bài 3. Tìm các gii hn sau: a) x x x 2 2 lim 3 7 ® - - + b) x x x 2 0 1 1 lim ® + - c) x x x x 2 1 8 3 lim 2 3 ® + - + - d) x x x 4 1 2 3 lim 2 ® + - - e) x x x 1 2 7 3 lim 3 2 ® + - + - f) x x x 2 0 2 1 1 lim 4 16 ® + - - + g) 2 3 1 7 5 lim 1 x x x x ® + - - - h) x x x x 3 3 0 1 1 lim ® + - - i) x x x 3 2 4 2 lim 2 ® - - k) x x x 3 0 1 lim 1 ® - - l) x x x 3 2 2 0 1 1 lim ® + - m) x x x x 2 2 7 5 lim 2 ® + + + - - Bài 4. Tìm các gii hn sau: a) x x x x 2 2 2 3 2 lim 2 + ®- - + + b) x x x x 2 1 1 lim 3 4 - ® - + - c) x x x x 3 1 3 4 1 lim 1 + ®- - + + d) x x x x 2 2 2 2 5 2 lim ( 2) - ® - + - e) x x x 3 3 4 lim 3 + ® + - f) x x x x x 0 lim + ® + - g) x x x 2 8 2 2 lim 2 + ®- + - + h) x x x x 2 2 3 2 5 3 lim ( 3) - ®- + - - i) ( ) x x x x 2 2 lim 2 4 + ® - - Bài 5. Tìm các gii hn sau: a) x x x x x x x x 3 2 4 3 2 2 3 4 1 lim 5 2 3 ®-¥ - + - - + - + b) x x x x x 2 2 1 lim 2 1 ®+¥ + - + + c) x x x x x 2 3 3 2 (2 3) (4 7) lim (3 1)(10 9) ®+¥ - + + + d) x x x x x x 4 3 4 2 2 lim 3 2 7 ®+¥ - + + - e) ( ) x x x 2 lim 1 ®-¥ + + f) x x x x 2 lim ( 1) ®-¥ + - + . + 19c = 0. www.MATHVN.com Trn S Tùng Trang 10 www.mathvn.com BÀI TP ÔN CHNG IV Bài 1. Tìm các gii hn sau: a) n n 3 1 2 3 lim 3 + + + + b) n n n n 2 sin lim 1 2 æ. = 0 ( ) lim ( ) x x P x Q x ® vi P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biu thc cha cn cùng bc S dng các hng đng thc đ nhân lng liên hp  t và mu. VD: ( ) ( ) ( ) 0. ±¥ ï ï = +¥ = > í ï -¥ = < ï ỵ * Khi tính gii hn có mt trong các dng vơ đnh: 0 0 , ¥ ¥ , ¥ – ¥ , 0. ¥ thì phi tìm cách kh dng vơ đnh. Mt s phng pháp kh dng vơ đnh: 1.