Các bài Toán cực trị trong các kì thi HSG Toán 9 A. Bài tập. Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 22 4 )1( 1 x x + + với 0 ≥ x . (Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Khánh Hoà năm học 1987 – 1988) Bài 2. Cho P zyxyxx ++ − + −−= 111 2 1 . Hãy tìm giá trị nguyên dương của x, y, z để cho P đạt giá trị dương nhỏ nhất. (Đề thi chọn HSG Toán 9, toàn quốc năm học 1988 – 1989) Bài 3. Cho A 1 )1(2 2 2 + ++ = x xx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và các giá trị tương ứng của x. (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1989 – 1990) Bài 4. Cho hàm số 9612 22 +−++−= xxxxy . Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x. (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1990 – 1991) Bài 5. Cho M 1815143 −−++−−+= xxxx . Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x. (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1991 – 1992) Bài 6. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x: A = .)3()2)(1( 2 mxxx ≥+++ (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 – 1993) Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 78 2 2 + ++ = x xx . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1992 – 1993) Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y 18216 23 ++−= xxx , với .1 2 1 ≤≤− x (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 – 1993) Bài 9. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1 ≥ + + + + + zyx . Tìm giá trị lớn nhất của xyz. (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1992 – 1993) Bài 10. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 13 2 ++= xx . b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4 24 2 ++ xx x . (Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 1994 – 1995) Bài 11. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện:    =−+ =++ 4343 632 zyx zyx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + 3y – 4z. 1 (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1994 – 1995) Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 22 yx + khi có 4 22 =−+ xyyx . (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1995 – 1996) Bài 13. Cho ba số dương a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn nhất. (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1995 – 1996) Bài 14. Cho biểu thức Q 1997321 1 111 xxxx −++−+−+−= trong đó 1 x , 2 x , 3 x ,…, 1997 x là các biến số dương và thoả mãn điều kiện 1 1997321 =++++ xxxx . Tìm giá trị lớn nhất của Q và giá trị tương ứng các biến của nó. (Đề thi chọn HSG Toán 9, Toàn quốcnăm học 1996 – 1997) Bài 15. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x.y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yx yxM + ++= 1 . (Đề thi HSG Toán 9, Trường THCS Colette, Quận 3, TP. HCM năm học 1996 – 1997) Bài 16. Cho các số thực không âm 1 a , 2 a , 3 a , 4 a , 5 a có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A . 54433221 aaaaaaaa +++= (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 – 1997) Bài 17. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x bxax A ))(( ++ = (với x > 0). (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1996 – 1997) Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 62 2 +−= xxy với 1 −≤ x . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1997 – 1998) Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 −+−= xxA . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1997 – 1998) Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 442522 22 +−++−= xxxxy (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1997 – 1998) Bài 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: xx y 1 1 2 + − = với 0 < x < 1. (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1997 – 1998) Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 404208 22 ++−++= xxxx . (Đề thi HSG Toán 9, Trường THCS Colette, Quận 3, TP. HCM năm học 1998 – 1999) Bài 23. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x + y ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .4 21 22 xy xy yx M ++ + = . (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 1998 – 1999) Bài 24. Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . )( 1 )( 1 )( 1 333 yxzxzyzyx + + + + + = (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 1999 – 2000) Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A .1414 −−+−+= xxxx (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 1999 – 2000) Bài 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B .200542425 22 ++−++= yxxyyx 2 (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 1999 – 2000) Bài 27. Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 5, TP. HCM năm học 2000 – 2001) Bài 28. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: abc bacacbcba M 3 ))()(( −+−+−+ = . (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 2001 – 2002) Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: x x y 2 4− = . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2001 – 2002) Bài 30. a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 5,2004232 +−+− xyxyx . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) = 2 21 2 xx x −−+ . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2002 – 2003) Bài 31. Cho x, y thoả mãn điều kiện 1 22 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: . 66 yxM += . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 10, TP. HCM năm học 2002 – 2003) Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = .200233 22 +−−++ yxyxyx (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2002 – 2003) Bài 33. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: 1=++ zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = .)1( 2 xyyzz +++− (Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2003 – 2004) Bài 34. Cho hai số thoả mãn đẳng thức: 4 4 1 8 2 22 =++ x yx . Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất. (Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2003 – 2004) Bài 35. a) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện: x.y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = . 4224 yx y yx x + + + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3 1 3 2 2 + ++ x x . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2003 – 2004) Bài 36. Tìm giá trị của x, y để biểu thức 463211426 2222 ++++++++− yyxxyyxx . Đạt giá trị nhỏ nhất. (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2003 – 2004) Bài 37. Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó: M 2005−−= xx . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2004 – 2005) Bài 38. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 22 22 yxyx yxyx +− ++ = . Với x, y > 0. b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó: 3 B 2 9 xx −= . Với 33 ≤≤− x . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2004 – 2005) Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A xx −+−= 5413 . Với .51 ≤≤ x (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 2004 – 2005) Bài 40. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 34 2 + + = x x y . (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. Hải Phòng năm học 2004 – 2005) Bài 41. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P c c b b a a 411 − + − + − = . Với .51 ≤≤ x (Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Quảng Ngãi năm học 2005 – 2006) Bài 42. Gọi 21 , xx là các nghiệm của phương trình: 0 12 4612 2 22 =+−+− m mmxx )0( >m . Tìm m để biểu thức A 3 2 3 1 xx += đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. A xx −+−= 5413 . Với .51 ≤≤ x (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 10, TP. HCM năm học 2005 – 2006) Bài 43. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó: B 2 25 xx −= . Với .55 ≤≤− x (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận Tân Bình, TP. HCM năm học 2005 – 2006) Bài 44. Cho 04)(4)(3 2233 =++++++ yxyxyx và 0. >yx . Tìm giá trị lớn nhất biểu thức: M yx 11 += (Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Bình Định năm học 2005 – 2006) Bài 45. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 22 2 5 22 +−++−= xxxx . b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 6 44 ++ − = yx yx (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 9, TP. HCM năm học 2005 – 2006) Bài 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y 54183 22 ++−−++−= xxxx . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 2005 – 2006) Bài 47. Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A xy yx 4 51 22 + + = . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2010 – 2011) Bài 48. Cho 1 22 =+ yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = )2)(2( yx −− . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Nghi Lộc, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 – 2010) Bài 49. Cho hai số dương x , y thỏa mãn điều kiện: 2011 2010 =+ yx . 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu: S = yx .2010 12010 + . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Tỉnh Hà Tỉnh năm học 2009 – 2010) Bài 50. a) Cho hai bộ số (a 1 ; a 2 ) và (b 1 ; b 2 ) bất kì. Chứng minh rằng: ))(().( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2211 bbaababa ++≤+ b) Cho 0, ≥yx và 1 22 =+ yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 33 yx += . (Đề thi HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 – 2010) Bài 51. Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn:      =−+ =+++ 622 36432 222 2222 dba dcba Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2222 dcba +++ . (Đề thi HSG Toán 9, Huyện Quỳ Hợp, Tỉnh Nghệ An năm học 2009 – 2010) Bài 52. Tìm gí trị lớn nhất của biểu thức: A = y y x x 2 1 − + − (Đề thi chọn HSG Toán 9, Huyện Yên Thành, Tỉnh Nghệ An năm học 2007 – 2008) B. Hướng dẩn Giải: Bài 1. Ta có: A = 1 1 2 1 21 2 1 21 2)21( )1( 1 2 242 2 42 242 22 4 ≤         + −= ++ −= ++ −++ = + + x x xx x xx xxx x x . Mặt khác: [ ] [ ] 222222242444 )1( 2 1 )1()1( 2 1 )21()21( 2 1 )22( 2 1 1 xxxxxxxxx +≥−++=−++++=+=+ Do đó A 2 1 ≥ . Bài 2. Trước hết ta chứng minh bài Toán phụ sau: “Với * , Nba ∈ . Chứng minh rằng: ba 11 − đạt giá trị dương nhỏ nhất khi 1 += ab ”. Chứng minh: Ta có: ba 11 − đạt giá trị dương nhỏ nhất thì b 1 phải đạt giá trị lớn nhất nhưng nhỏ hơn a 1 . Từ đó suy ra b phải nhỏ nhất nhưng phải lớn hơn a . Mặt khác: Vì * , Nba ∈ nên chỉ có thể 1 += ab (đpcm) Giải: Ta có: P zyxyxxzyxyxx ++ −       + −       −= ++ − + −−= 111 2 1111 2 1 . áp dụng bài Toán phụ trên ta có: P đạt giá trị dương nhỏ nhất thì zyx ++ 1 phả lớn nhất và       + −       − yxx 11 2 1 phải nhỏ nhất nhưng lớn hơn zyx ++ 1 . 5       + −       − yxx 11 2 1 đạt giá trị dương nhỏ nhất khi yx + 1 đạt giá trị dương lớn nhất và x 1 2 1 − đạt giá trị dương nhỏ nhất nhưng lớn hơn yx + 1 . Do vậy có x 1 2 1 − đạt giá trị dương nhỏ nhất khi 3 = x . Khi đó 6 11 2 1 =− x và yx + − 1 6 1 đạt giá trị dương nhỏ nhất khi 47 =⇒=+ yyx . Khi đó 42 1 7 1 6 111 2 1 =−=       + −       − yxx và zyx ++ − 1 42 1 đạt giá trị dương nhỏ nhất khi 3643 =⇒=++ zzyx . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1806 1 43 1 42 1 =− . Bài 3. Ta có: A 1 1 )1( 1 1 )12()1( 1 222 1 )1(2 2 2 2 22 2 2 2 2 ≥ + + += + ++++ = + ++ = + ++ = x x x xxx x xx x xx . Mặt khác: A 3 1 )1( 3 1 )12()1(3 1 222 1 )1(2 2 2 2 22 2 2 2 2 ≤ + − −= + +−−+ = + ++ = + ++ = x x x xxx x xx x xx Từ đó các bạn có được kết quả của bài Toán. Bài 4. Ta có: 31)3()1(9612 2222 −+−=−+−=+−++−= xxxxxxxxy 22)3()1(31 ==−+−≥−+−= xxxx . Dấu “=” Xảy ra 310)3)(1( ≤≤⇔≥−−⇔ xxx . Bài 5. Ta có: M 22 )41()21(1815143 −−+−−=−−++−−+= xxxxxx 2)14()21(14214121 =−−+−−≥−−+−−=−−+−−= xxxxxx . Dấu “=” Xảy ra 1754120)14)(21( ≤≤⇔≤−≤⇔≥−−−−⇔ xxxx . Bài 6. Ta có: A = [ ] 22222 )2.(1)2()2)(34()3()2)(1( +−+=+++=+++ xxxxxxxx 4 1 4 1 2 1 )2( 2 1 2 1 )2( 2 1 2 1 )2( 2 222 −≥−       −+=       +−+       −−+= xxx ⇒ Giá trị nguyên lớn nhất của m là - 1. Bài 7. Ta có: y 078)1(78 1 78 222 2 2 =−+−−⇔++=+⇔ + ++ = yxxyxxyyx x xx (*) +) Nếu .101 =⇔=− yy Khi đó phương trình (*) trở thành: 4 3 068 −=⇔=−− xx +) Nếu .101 =⇔≠− yy Khi đó phương trình (*) là một phương trình bậc hai có: '∆ = 25)4(98)7)1(16)'( 222 +−−=++−=−−−=− yyyyyacb . Để phương trình (*) có nghiệm thì '∆ 222 5)4(025)4(0 ≤−⇔≥+−−⇔≥ yy .91545 ≤≤−⇔≤−≤−⇔ yy Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là (-1) và 9. Bài 8. Giả sử .1 2 1 21 ≤<≤− xx Khi đó −++−=− )18216( 1 2 1 3 1 2 2 2 1 xxxyy )18216( 2 2 2 3 2 ++− xxx [ ] 21)(6)()()(21)(6)( 21 2 221 2 12121 2 2 2 1 3 2 3 1 ++−++−=−+−−−= xxxxxxxxxxxxxx 6 Vì: [ ] 6)1212236(21)(6)(2 2 2 2 12121 2 2 2 121 2 221 2 1 +++−−+++=++−++ xxxxxxxxxxxxxx 06)6( 2 2 2 1 2 21 >+++−+= xxxx (1) Và 0 21 <− xx (vì ta giả sử 21 xx < ) (2) Từ (1) và (2) ⇒ )(0 21 2 2 2 1 xfyyyyy =⇒<⇒<− là hàm số đồng biến. 3494 4 1 )1( 2 1 ≤≤⇔≤≤       −⇒ yfyf . Bài 9. Ta có:       + −+         + −≥ + ⇔≥ + + + + + zyxzyx 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 z z y y x + + + ≥ + ⇔ 111 1 (*) áp dụng bất đẳng thức Cô - Si cho hai số dương y y +1 và z z +1 ta có: )1)(1( 2 11 zy yz z z y y ++ ≥ + + + (**) Từ (*) và (**) ta có: )1)(1( 2 1 1 zy yz x ++ ≥ + (1) Tương tự ta củng có: )1)(1( 2 1 1 zx xz y ++ ≥ + (2) Và )1)(1( 2 1 1 yx xy z ++ ≥ + (3) Từ (1), (2) và (3) 8 1 )1)(1)(1( 8 1 1 . 1 1 . 1 1 ≤⇔ +++ ≥ +++ ⇒ xyz zyx xyz zyx . Bài 10. a) Ta có: y . 4 5 4 5 2 3 4 9 1 2 3 2 3 213 22 22 −≥−       +=−+       ++=++= xxxxx . b) Ta có: y = 1 4 1 4 2 2 24 2 +       + = ++ x x xx x áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương 2 x và 2 4 x ta có: ⇒≥+       +⇒=≥+ 51 4 4 4 .2 4 2 2 2 2 2 2 x x x x x x 5 1 5 1 1 4 1 2 2 ≤⇒≤ +       + y x x . 7 8 . Toán 9, Quận 1, TP. HCM năm học 199 5 – 199 6) Bài 14. Cho biểu thức Q 199 7321 1 111 xxxx −++−+−+−= trong đó 1 x , 2 x , 3 x ,…, 199 7 x là các biến số dương và thoả mãn điều kiện 1 199 7321 =++++. HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 199 7 – 199 8) Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 −+−= xxA . (Đề thi chọn HSG Toán 9, Quận 6, TP. HCM năm học 199 7 – 199 8) Bài. HCM năm học 198 9 – 199 0) Bài 4. Cho hàm số 96 12 22 +−++−= xxxxy . Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x. (Đề thi chọn HSG Toán 9, TP. HCM năm học 199 0 – 199 1) Bài 5. Cho