Phần I Mở đầu I. Lý do chọn đề tài : Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi các cấp bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT thờng có các bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất (GTLN); giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nào đó. Các bài toán này là một phần của các bài toán cực trị đại số. Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng, nó tơng đối mới và khó đối với học sinh THCS. Để giải các bài toán cực trị học sinh phải biết đổi tơng đơng các biểu thức đại số, phải sử dụng khá nhiều hằng đẳng thức từ đơn giản đến phức tạp phải tổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, t duy sáng tạo. Vậy làm thế nào để học sinh có thể định hớng đợc hớng đi, hay hơn thế là hình thành đợc ''phơng pháp giải'' mỗi khi gặp một bài toán cực trị đại số. Là ngời trực tiếp giảng dạy toán trong trờng THCS, trong quá trình giảng dạy, đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi luôn luôn trăm trở, tìm tòi, chọn lọc những phơng pháp hợp lý nhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen với dạng toán này để dần dần các em có đợc một số phơng pháp giải cơ bản nhất. Trong khuôn khổ nhỏ hẹp này tôi xin nêu ra "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS". II. mục đích và nhiệm vụ của đề tài. 1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS giúp giáo viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. từ đó có phơng pháp dạy học phần này cho học sinh có hiệu quả giúp học sinh nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học đặc biệt là kiến thức về "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS. Nghiên cứu đề tài để lắm đợc những thuận lợi và khó khăn khi dạy học phần giải bài toán tìm cực trị từ đó xác định hớng nâng cao chất lợng dạy và học môn toán. Nghiên cứu đề tài giúp giáo viên có t liệu tham khảo và dạy thành công dạy toán tìm cc trị của đồ thức. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Đề tài đa ra một hệ thống các phơng pháp thờng dùng để giải bài toán cực trị và một số bài toán áp dụng đối với từng phơng pháp. Trang bị cho học sinh lớp 9 hệ thống kiến thức để giải bài toán cực trị, tránh đợc những nhầm lẫn thờng gặp khi giải dạng bài toán này. Thông qua đề tài, học sinh có thể nắm đợc một số phơng pháp và có thể vận dụng vào giải bài tập, rèn kĩ năng giải bài toán cực trị, đồng thời giúp học sinh thấy đợc cái hay, cái đẹp, sức hấp dẫn của toán học, kích thích sự tò mò khám phá, tìm hiểu bài toán . III. đối t ợng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị trong chơng trình toán THCS Nghiên cứu các tài liệu có liên quan . Giáo viên dạy toán THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 8, 9 IV. Ph ơng pháp nghiên cứu. 1. Phơng pháp nghiên cứu lí luận Đọc các tài liệu có liên quan Tạp chí toán tuổi thơ 2 Phơng pháp dạy học môn toán Sách giáo khoa Sách giáo viên Sách tham khảo 2. Phơng pháp điều tra Điều tra nắm tình hình dạy của các giáo viên trong và ngoài nhà trờng. Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS của học sinh. Chất lợng của học sinh trớc và sau khi thực hiện 3. Phơng pháp phân tích Phân tích yêu cầu, kĩ năng giải môt bài tập 4. Phơng pháp thực nghiệm 5. Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để dạy tốt hơn trong quá trình dạy học. phần ii: nội dung I . Các kiến thức cần thiết 1. Các định nghĩa 1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền D : M. đợc gọi là GTLN của f(x,y, ) trên miền |D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = f max với (x,y, ) |D 1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y, ) xác định trên miền |D : M. đợc gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền |D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn : 1. f(x,y, ) M (x,y, ) |D 2. (x 0 , y 0 , ) |D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M. Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = f min với (x,y, ) |D 2. Các kiến thức th ờng dùng 2.1. Luỹ thừa : a) x 2 0 x |R x 2k 0 x |R, k z - x 2k 0 Tổng quát : [f (x)] 2k 0 x |R, k z - [f (x)] 2k 0 Từ đó suy ra : [f (x)] 2k + m m x |R, k z M - [f (x)] 2k M b) x 0 x 0 ( x ) 2k 0 x0 ; k z Tổng quát : ( A ) 2k 0 A 0 (A là 1 biểu thức) 2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : a) |x| 0 x|R b) |x+y| |x| + |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 c) |x-y| |x| - |y| ; nếu "=" xảy ra x.y 0 và |x| |y| 2.3. BÊt ®¼ng thøc c«si : ∀ai ≥ 0 ; i = n,1 : n n n aaa n aaa 21 21 ≥ +++ ∀n∈N, n ≥2. dÊu "=" x¶y ra ⇔ a 1 = a 2 = = a n 2.4. BÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki : Víi n cÆp sè bÊt kú a 1 ,a 2 , ,a n ; b 1 , b 2 , ,b n ta cã : (a 1 b 1 + a 2 b 2 + +a n b n ) 2 ≤ ( ) ).( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn bbbaaa ++++++ DÊu "=" x¶y ra ⇔ i i b a = Const (i = n,1 ) NÕu bi = 0 xem nh ai = 0 2.5. BÊt ®¼ng thøc Bernonlly : Víi a ≥ 0 : (1+a) n ≥ 1+na ∀n ∈N. DÊu "=" x¶y ra ⇔ a = 0.  Mét sè BÊt ®¼ng thøc ®¬n gi¶n thêng gÆp ®îc suy ra tõ bÊt ®¼ng thøc (A+B) 2 ≥ 0. a. a 2 + b 2 ≥ 2ab b. (a + b) 2 ≥ 4ab c. 2( a 2 + b 2 ) ≥ (a + b) 2 d. e. 2≥+ a b b a baab + ≥+ 411 II. Một số phơng pháp cơ bản giải bài toán cực trị đại số Ph ơng pháp 01 ( Sử dụng phép biến đổi đồng nhất ) Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dơng) và những hằng số . Từ đó : 1.Để tìm Max f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : Ryx Myxf | ),( ),( 00 sao cho f(x 0 ,y 0 , ) = M 2. Để tìm Min f(x,y, ) trên miền |D ta chỉ ra : Ryx myxf | ),( ),( 00 sao cho f(x 0 ,y 0 , ) = m I. Các vi dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 1 = x 2 + 4x + 7 Giải : Ta có : A 1 = x 2 + 4x + 7 = x 2 + 4x + 4x + 3 = (x + 2) 2 + 3 3 vì (x + 2) 2 0. A 1 min = 3 x + 2 = 0 x = -2 Vậy A 1 min = 3 x = -2 2. Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của A 2 = -x 2 + 6x - 15 Giải : Ta có : A 2 = -x 2 + 6x - 15 = - (x 2 - 6x + 9) - 6 A 2 = - (x - 3) 2 - 6 - 6 do -(x - 3) 2 0 x |R A 2 max = - 6 x - 3 = 0 x = 3 Vậy A 2 max = - 6 x = 3 3. Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 Giải : Ta có : A 3 = (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+2002 = (x-1) (x-8) (x-4) (x-5) + 2002 = (x 2 -9x + 8) (x 2 - 9x + 20) + 2002 = {(x 2 -9x + 14) - 6}.{(x 2 -9x + 14) + 6} + 2002 = (x 2 -9x + 14) 2 - 36 + 2002 = (x 2 -9x + 14) 2 + 1966 1966 vì (x 2 -9x + 14) 2 0 x A 3 min = 1966 x 2 -9x + 14 = 0 = = 7 2 x x Vậy A 3 min = 1966 = = 7 2 x x 4. Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 4 = )1( 12 1102 2 2 + x xx xx Giải : Ta có: A 4 = 22 2 2 2 )1( 9 1 6 2 )1( 9)1(6)12(2 12 1102 = + = + x x x xxx xx xx = - 331 1 3 2 + + x vì - x x + 01 1 3 2 A 4 Max = 3 01 1 3 =+ x x = -2 Vậy : A 4 Max = 3 x = -2 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất của A 5 = yx x y y x + với x,y>0 Giải : Ta có:A 5 = yx x y y x + = = + xy xyyxyyxx xy yxyyxx )()( A 5 = xy yxyx )).(( = xy yxyx ).()( 2 0 x,y > 0 A 5 min = 0 0= yx x = y Vậy : A 5 min = 0 x = y > 0 6. Ví dụ 6 : Cho x,y 0 và x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của A 6 = x 2 + y 2 . Giải : Do x; y 0 và x + y = 1 0 x;y 1 x 2 x, y 2 y A 6 = x 2 + y 2 x + y = 1 A 6 max = 1 = = 1 0 y x hoặc = = 0 1 y x Mặt khác : x + y = 1 (x + y) 2 = 1 1 = x 2 + 2xy + y 2 (x 2 +y 2 )-(x-y) 2 A 6 = x 2 +y 2 = 2 1 )( 2 1 2 1 2 + yx do (x - y) 2 0 A 6 min = 2 1 x - y = 0 x = y = 2 1 Vậy : A 6 max = 1 = = = = 0 1 ; 1 0 y x y x A 6 min = 2 1 x = y = 2 1 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất của A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 Giải : Ta có : A 7 = xy + yz + zx - x 2 -y 2 -z 2 = - 2 1 (2x 2 +2y 2 +2z 2 -2xy-2yz-2xz) A 7 = - 2 1 {(x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 } 0 x,y,z A 7 Max = 0 x = y = z Vậy : A 7 Max = 0 x = y = z II. Nhận xét: Phơng pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất đợc áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thờng gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt đ- ợc mục đích. Vậy còn những phơng pháp nào; để cùng phơng pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trớc hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm. III. Các bài tập đề nghị : 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a. A = x 2 - 10x + 20 b. B = (x-1) 2 + (x-3) 2 c. C = 12 683 2 2 + + xx xx (x 1) d. D = x 3 + y 3 + xy biết x + y = 1 e. E = xyyx xyyx 2 )(4 ++ ++ với x,y > 0 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : a. A = - x 4 + 2x 3 - 3x 2 + 4x + 2002 b. B = 1 2 2 2 + + x x ; C = 2510 196747 2 2 + + xx xx 3. Tìm GTLN, GTNN của A = 32 64 2 2 ++ ++ xx xx Ph ơng pháp 02 : ( Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản ) Ta biết rằng : Từ một bất đẳng thức, bằng cách chuyển về bao giờ ta cũng đa về 1 bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng mà một vế là hằng số. Vì vậy : Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản và các phép biến đổi tơng đơng ta có thể tìm đợc cực trị của 1 biểu thức nào đó. I. Các ví dụ minh hoạ : 1. Ví dụ 1 : Cho a > b > 0. Tìm GTNN của B 1 = a + )( 1 bab Giải : Ta có : B 1 = a + )( 1 bab = b + (a-b) + )( 1 bab 3. 3 ).( )( bab bab (theo Côsi). B 1 3 B 1 min = 3 b = a-b = )( 1 bab = = 1 2 b a Vậy : B 1 min = 3 = = 1 2 b a 2. Ví dụ 2 : Cho a,b > 0 và a + b = 1 . Tìm GTNN của B 2 = ab 1 + 22 1 ba + Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : (x + y)( yx 11 + ) 2 yx. . 2 xy 1 = 4 (với x,y > 0) yx 11 + yx + 4 (1) Ta có : ab ( 2 ba + ) 2 = 4 1 ab 1 4 (2) do a+b = 1 ; a,b > 0 áp dụng bất đẳng thức (1) và kết quả (2) ta có : B 2 = 22222222 2 4 2 4 ) 1 2 1 ( 2 11 2 211 baabba abab ba ab ba ab ++ + + ++= + += + + B 2 2 + 6 )( 4 2 = + ba do a + b = 1 B 2 min = 6 a = b = 2 1 Vậy : B 2 min = 6 a = b = 2 1 3. Ví dụ 3 : Cho xy + xz + yz = 4 . Tìm GTNN của B 3 = x 4 + y 4 + z 4 Giải : Do xy + xz + yz = 4 16 = (xy + xz + yz) 2 (x 2 +y 2 +z 2 ) (x 2 +y 2 +z 2 ) (Theo Bunhiacôpxki) 16 (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 (x 4 + y 4 + z 4 ) (1 2 +1 2 +1 2 ) B 3 = x 4 + y 4 + z 4 3 16 B 3 min = 3 16 x = y = z = 3 32 Vậy : B 3 min = 3 16 x = y = z = 3 32 4. Ví dụ 4 : Cho |a| 1; |b| 1 và | a+ b| = 3 Tìm GTLN của B 4 = 22 11 ba + Giải : Ta có : (a-b) 2 0 a;b 2 22 22 + + baba (1) áp dụng (1) ta có : 2 1 2 )(2 2 11 2 11 22 22 22 2 22 ba ba baba + = + = + + Do 4 3 2 3 22 2 2 22 = = + + baba (do | a + b| = 3 ) 2 22 2 11 + ba 1 - 4 3 = 4 1 ( 111 22 + ba ) B 4 = 111 22 + ba B 4 Max = 1 a = b = 2 3 Vậy : B 4 Max = 1 a = b = 2 3 5. Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B 6 = | x + 7| + | x - 1995| Giải : Ta có : |x| + |y| | x + y| dấu "=" xảy ra x,y 0 Do vậy : B 6 = | x + 7| + | x - 1995| = | x + 7| + | 1995 - x | |x+7 + 1995 - x| = 2002 B 6 Min = 2002 (x + 7). (1995 - x) 0 -7 x 1995 Vậy : B 6 Min = 2002 -7 x 1995 6. Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| Giải : Ta có : B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |2x + y - 6| B 7 = | x + 2000| + | x + y + 4| + |6 - (2x + y)| B 7 | x + 2000 + x + y + 4 + 6 - 2x - y| = 2010 B 7 min = 2010 (x + 2000); (x + y + 4) ; (6 - 2x + y) cùng dấu Vậy : B 7 min = 2010 7. Ví dụ 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của B = (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 với x 2 y + xy 2 0 Giải : Theo BĐT Becnully ta có : (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 1 + 2001 (x 2 y + xy 2 ) B (1 + x 2 y + xy 2 ) 2001 - 2001 xy (x+y) + 2001 1+2001.xy(x+y) - 2001xy(x+y) + 2001. B 2002 B min = 2002 xy(x+y) = 0 = = = yx y x 0 0 Vậy : B min = 2002 = = = yx y x 0 0 8. Ví dụ 8 : Cho xyz = 1 và x + y + z = 3. Tìm GTNN của B 8 = x 16 + y 16 + z 16 Giải : Cách 1 : Ta có : (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 0 a,b,c a 2 + b 2 + c 2 ab + ac + bc (1) áp dụng bất đẳng thức (1) ta có : B 8 = x 16 + y 16 + z 16 = (x 8 ) 2 + (y 8 ) 2 + (z 8 ) 2 x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 B 8 x 8 y 8 + y 8 z 8 + z 8 x 8 B 8 (x 4 y 4 ) 2 + (y 4 z 4 ) 2 + (z 4 x 4 ) 2 x 4 y 4 . y 4 z 4 + x 4 y 4 . z 4 x 4 + y 4 z 4 . z 4 x 4 B 8 x 4 y 8 z 4 + x 8 y 4 z 4 + x 4 y 4 z 8 B 8 (x 2 y 4 z 2 ) 2 + (x 4 y 2 z 2 ) 2 + (x 2 y 2 z 4 ) 2 x 6 y 6 z 4 + x 6 y 4 z 6 + x 4 y 6 z 6 B 8 (x 3 y 3 z 2 ) 2 + (x 2 y 3 z 3 ) 2 + (x 3 y 2 z 3 ) 2 x 5 y 6 z 5 + x 6 y 5 z 5 + x 5 y 5 z 6 B 8 (xyz) 5 .x + (xyz) 5 .y + (xyz) 5 .z = x + y + z = 3 (do xyz = 1 và x + y + z = 3) B 8 min = 3 x = y = z = 1 Cách 2: (Không sử dụng giả thiết xyz = 1) áp dụng bất đẳng thức bunhiacôpxki nhiều lần ta có : 3 = x + y + z 9 = (x+ y + z) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ).3 3 (x 2 + y 2 + z 2 ) 9 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 4 + y 4 + z 4 ).3 3 x 4 + y 4 + z 4 9 (x 4 + y 4 + z 4 ) 2 (x 8 + y 8 + z 8 ).3 3 x 8 + y 8 + z 8 9 (x 8 + y 8 + z 8 ) 2 (x 16 + y 16 + z 16 ).3 B 8 = x 16 + y 16 + z 16 3 . B 8 min = 3 x = y = z = 1 Vậy : B 8 min = 3 x = y = z = 1 II. Nhận xét : Rõ ràng khi áp dụng một số bất đẳng thức cơ bản, bài toán đợc giải quyết nhanh hơn. Song việc vận dụng bất đẳng thức nào thuận lợi còn tuỳ thuộc vào giả thiết bài toán và sự vận dụng linh hoạt các bất đẳng thức đó. Một vấn đề đặt ra là : Hai phơng pháp vừa nêu vẫn cha đủ để giải quyết đợc hết các bài toán cực trị đại số THCS. Chính vì lẽ đó nhu cầu phải có những ph- ơng pháp khác tối u hơn và thực hiện đợc yêu cầu bài toán. Trớc khi đi nghiên cứu phơng pháp 03. Chúng ta cùng nghiên cứu một số bài tập sau : III. Một số bài tập đề nghị : 1. Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 Tìm GTNN của A = (1+ a 1 ) (1+ b 1 ) (1+ c 1 ) 2. Cho a,b, > 0 và a + b = 1 Tìm GTNN của B = 22 32 ba ab + + 3. Cho a,b,c > 0 [...]... tài khoa học Trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả những kiến thức khoa học Vì vậy em rất mong các thầy cô gi o có những ý kiến đóng góp chân thành để giúp em hoàn thành xuất sắc đề tài của mình Em xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham kh o 1) Sách gi o khoa Đại số 8; 9 1) Sách nâng cao Đại số 8 2) Sách nâng cao Đại số 9 3) Sách nâng cao Đại... tế cùng với sự tham gia đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp đề tài đã đợc hoàn thành Những vấn đề đợc trình bài trong đề tài tuy cha thật toàn diện song thực sự có lợi ích rất lớn cho gi o viên bồi dỡng học sinh giỏi với việc cố gắng chọn, khái quát thành một số phơng pháp giải quen thuộc cùng với hệ thống bài tập minh hoạ có thể giúp học sinh tiếp thu bài một cách nhẹ nhàng gây động cơ hứng thú... + + + + + b+c c+a a+b a b c 3 4 Cho x,y,z và x + y + z = 1 4 a) Tìm GTNN của C = Tìm GTLN E = 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z + 3 5 Cho a,b,c 0 và a + b + c = 1 Tìm GTLN của F = a + b + a + c + b + c 6 Cho 0 x 4 Tìm GTLN của G = 4x2 - 3x3 3 7 Cho 0 x 3 ; Cho 0 y 4 Tìm GTLN H = (3-x).(4-y).(2x+3y) 8 Cho x,y,z,t 0 và 2x + xy + z + yzt = 1 Tìm GTLN của I = x2y2z2.t 9 Cho x,y,z,t 0 và xt + xy + z + yzt... đề nghị : 1 Cho x,y, z > 0 và x2 + y2 + z2 = 1 Tìm GTNN của A = xy yz zx + + z x y 2 Cho x 0 8 4 Tìm GTNN của B = x + x + 1 4 x 3 Cho x 0 Tìm GTLN của C = x 16 x8 + x8 + 1 4 Cho a2 + b2 + c2 = 1 Tìm GTLN của D = a + 2b + 3c 5 Cho a,b > 0 và a + b = 2 4 4 Tìm GTNN của E = 1 2 1 2 6 Cho a, b, c, d > 0 Tìm GTNN của F = a b a+b b+c c+d d +a = + + b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c 7 Cho a,b |R Tìm GTNN... có những tiến bộ Điều này thể hiện rõ ở kết quả làm bài tập, bài kiểm tra; khả năng phân tích bài toán, định hớng, t duy của các em nhanh hơn, chính xác hơn Nhiều em rất say mê học, đem kiến thức áp dụng v o thực tế tốt hơn Các em rất tích cực su tầm thêm các bài toán hay trong sách, b o, tạp chí để trao đổi với bạn bè Tôi đã tiến hành áp dụng đề tài này với đối tợng HS lớp 9 của trờng bằng cách chia... mới chỉ dùng lại ở việc da ra "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số bậc THCS".nghiên cứu còn hạn chế, các phơng pháp tìm cực trị chỉ dừng ở mức độ đơn giản, cha có sự khai thác lời giải của bài toán Hơn nữa, thời gian thực hiện chuyên đề còn hạn hẹp, do đó kết quả đạt đợc cha cao V hớng phát tri n của đề tài: Do thời gian, tài liệu cũng nh năng lực còn hạn chế và mức độ nghiên cứu... đi sâu tìm hiểu "Một số phơng pháp cơ bản để giải bài toán cực trị đại số THCS" Trên cơ sở này chúng ta có thể mở rộng giải bài toán cực trị bằng phơng pháp giải tích sẽ có một đề tài nghiên cứu ở mức độ lớn hơn : "Cực trị đại số" Bao gồm "Cực trị tự do"; "Cực trị vớng" và "Cực trị tuyệt đối", hoặc hơn nữa chúng ta còn có thể kết hợp với các bài toán cực trình hình học Phần III Kết luận Sau thời gian... 2 Cho a, b, c, d N* và a + b = c + d = 1000 Tìm GTLN của B = a b + c d 3 Cho m, n N và 1 m ; n 1981 và (n2 - mn - m2)2 = 1 Tìm GTLN của C = m2 + n2 Phơng pháp 07: ( Phơng pháp hình học ) Trong các bài toán xét cực trị của biểu thức đại số nếu biểu thức ở dạng là tổng hiệu của căn bậc hai của các tam thức thì ta có thể đa bài toán xét cực trị của các biểu thức đại số sang xét độ dài của các o n... thức, đòi hỏi ngời giải phải rất tinh tế khi chọn điểm để th o mãn những yêu cầu bài toán Bài tập tham kh o : Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x 2 2 x + 5 + x 2 + 2 x + 10 Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = 4 x 2 + 2 x + 1 4 x 2 2 x + 1 III kết quả thực hiện Sau khi áp dụng đề tài v o việc giảng dạy, việc giải các loại bài toán tìm cực trị của học sinh đã có những tiến bộ Điều này thể... nâng cao Đại số 9 3) Sách nâng cao Đại số 8 4) Sách nâng cao Đại số 9 5) Tuyển tập các bài toán sơ cấp 6) Tuyển tập các bài toán sơ cấp 7) 36 bộ đề ôn thi tốt nghiệp THCS 8) Tạp trí toán học trẻ Nhà xuất bản gi o dục Vũ Hữu Bình Vũ Hữu Bình Võ Đại Mau Võ Đại Mau Vũ Hữu Bình Võ Đại Mau Võ Đại Mau Tháng 3 năm 2002 Phụ lục Phần I : Mở đầu I Lý do chọn đề tài II Mục đích và nhiệm vụ của đề tài III Đối tợng . toán Sách gi o khoa Sách gi o viên Sách tham kh o 2. Phơng pháp điều tra Điều tra nắm tình hình dạy của các gi o viên trong và ngoài nhà trờng. Điều tra mức độ tiếp thu và vận dụng "Một. năng tính toán, t duy sáng t o. Vậy làm thế n o để học sinh có thể định hớng đợc hớng đi, hay hơn thế là hình thành đợc ''phơng pháp giải'' mỗi khi gặp một bài toán cực trị. giải bài toán cực trị đại số bậc THCS giúp gi o viên vận dụng một cách tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng đ o sâu và hoàn thiện hiểu biết. từ đó có phơng pháp dạy học phần này cho học sinh