Thông tin tài liệu
Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 1 Force/Motion ConTrol of Constrained Robots Using Sliding Mode Chun-Yi Su, Tin-Pui Leung, and Qi-Jie Zhou Tóm tắt : Một thuật toán điều khiển trượt được trình bày để bám một quỹ đạo và một phản ứng cuối trong một mặt ràng buộc với lực ràng buộc quy đinh bằng cách sử dụng định lí của hệ thống biến cấu trúc. Sự phát triển thuật toán là cơ sở cho một công thức mới của mô hình động lực học và sự mở rộng mặt phẳng tượt bao gồm có sai lệch lực ràng buộc. Đề xuất bộ điều khiển trượt rõ ràng, đảm bảo sự xuất hiện của chế độ trượt trên giao điểm của các bề mặt. Một ví dụ bằng số chi tiết được trình bày để minh họa cho phương pháp phát triển. I. GIỚI THIỆU Trong nhiều nghành ứng dụng của robot, robot end- effector tiếp xúc với một bề mặt ràng buộc. Một danh sách dài các ứng dụng như vậy có thể được đưa ra, bao gồm cả đường bao quanh sau đây, mài, nghiền và lắp ráp. Trong trường hợp này, lực ràng buộc do sự tiếp xúc với các bề mặt ràng buộc đã được đưa vào xem xét. Trong đó, khi bề mặt ràng buộc được mô tả bởi một bề mặt trơn đa dạng holonomic, các lực ràng buộc được ngầm định nghĩa là các lực cần thiết để đáp ứng các ràng buộc [1] - [3]. Sự điều khiển của hệ thống như vậy, trái với điều khiển chuyển động thuần túy tự do, được gọi là điều khiển ràng buộc robot [1]. Mục tiêu của điều khiển robot ràng buộc là để xác định mômen xoắn đầu vào để đạt được quỹ đạo bám trên bề mặt ràng buộc với các lực lượng ràng buộc xác định. Một số bài báo đã được trình bày nhằm giải quyết các vấn đề về điều khiển ràng buộc robot, ví dụ, điều khiển tách phi tuyến [4], điều khiển thích nghi [3], [5], điều khiển mô-men xoắn [l], và những cái khác [2] . Chế độ điều khiển trượt, như là một phương pháp điều khiển mạnh, đã được áp dụng thành công để điều khiển chuyển động của tay máy tự do robot [6]. Tính năng chính của chế độ điều khiển trượt là cho phép chế độ trượt xảy ra trên một bề mặt chuyển đổi theo xác định, do đó hệ thống được chỉ định bởi phương trình trượt và vẫn còn nhạy cảm với một lớp của nhiễu và tham số biến [7]. Tuy nhiên, do sự phức tạp của vấn đề điều khiển của robot ràng buộc, Phương pháp điều khiển bằng chế độ trượt đã không được phát triển đầy đủ. Gần đây, Young [8] đã đề xuất một chương trình điều khiển chế độ trượt cho chuyển động Robot ràng buộc, tuy nhiên, điều khiển lực ràng buộc không có trong cách tiếp cận của anh ấy. Trong lưu ý này, một thuật toán điều khiển trượt để bám được quỹ đạo của một end-effector trên bề mặt ràng buộc với các lực ràng buộc xác định được đề xuất nghiêm ngặt, ràng buộc robot không rườm rà. Bằng cách giả thuyết hiểu biết đầy đủ của các bề mặt ràng buộc, và nhận ra rằng mức độ tự do của thao tác Robot giảm trong khi end-effector bị ràng buộc, một mô hình động lực học mới phù hợp với chuyển động và điều khiển lực ràng buộc được chuyển hóa. Sau đó, bằng cách khai thác các cấu trúc đặc biệt động lực học của nó, là thuộc tính cơ bản của động lực học thu được để tạo điều kiện thiết kế bộ điều khiển. Cuối cùng, bằng cách mở rộng kích thước của mặt trượt để bao gồm cả các sai lệch lực ràng buộc, một thuật toán điều khiển chế độ trượt không gian khớp được thành lập, chỉ sử dụng các phép đo vị trí khớp, vận tốc và lực lượng ràng buộc. Lưu ý này được sắp xếp như sau: một mô hình động lực học mới của Robot ràng buộc xuất phát tại mục II; Phần III trình bày các đề xuất thuật toán điều khiển trượt dựa trên mô hình động lực học cơ sở. Mục IV cung cấp ví dụ minh họa bằng cách sử dụng phương pháp tiếp cận đề xuất. Tại Mục V, một số kết luận được trình bày. II. Động lực học Robot ràng buộc. Phương trình động lực học trong không gian khớp: ( ) ̈+ ( ,̇ ) ̇+ ( ) =+(1) Trong đó: ∈ là vector chỉ vị trí trong không gian khớp. ∈ là vector momen khớp; ∈ là vector lực ràng buộc trong không gian khớp. () ma trận quán tính xác định dương cho mỗi ∈ . ( ,̇ ) ̇∈ là vector momen li tâm và lực cororiolit. ()∈ là vector momen trọng trường. Hai thuộc tính cơ bản của hệ trên là: 1. Thuộc tính 1: Tồn tại một vector thông số thỏa mãn phương trình: (với Y là ma trận có thể xác định được) ( ) ̈+ ( ,̇ ) ̇+ ( ) = ( ,̇,̈ ) (2) 2. Thuộc tính 2 : Ma trận ̇ ( ) −2(,̇) đối xứng lệch. Để ∈ biểu thị vector chỉ vị trí tổng quát của end- effector trong không gian Descartes. Nếu những ràng buộc áp đặt được mô tả bởi một đa tạp trơn holonomic, Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 2 thì phương trình đại số cho ràng buộc có thể được viết như sau: ( ) =0 (3) Với ánh xạ : → khả vi hai lần. Giả sử rằng các vector p có thể được thể hiện trong không gian khớp bằng mối quan hệ: = ( ) (4) với : → là ánh xạ thuận nghịch và khả vi hai lần, khi đó phương trình ràng buộc trong không gian khớp được viết như sau : ψ ( ) = ( ) =0 (5) Ma trận Jacobien : ( ) = ψ ( ) ( 6 ) Mô hình động học của giới hạn bởi đường ống với = { ( ,̇ ) :ψ ( ) =0; ( ) ̇=0 } Lực ràng buộc được cho bởi : = ( ) (7) với là hệ số lagrange cho ràng buộc. Khi hệ có m ràng buộc thì sẽ mất đi m biến tự do, khi đó chỉ còn lại =− biến tự do, tức bậc tự do của hệ là ==−. Chọn − biến cho n biến khớp = [ ,… ] (8) là tọa độ tổng quát mô tả các chuyển động ràng buộc của các tay máy. Các biến khớp còn lại được biểu thị bằng = [ ,… ] (9) Theođịnhlíhàmẩn,thìphương trình ràng buộc (5) có thể được viết dưới dạng = ( ) (10) Vậytacóthểviếtgọnlạithành = Khiđó: ( ) = ( ) ⇒̇= ( ) ̇ ⇒̈= ( ) ̈ + ̇ ( ) ̇ Do đó , phương trình động lực học (1) của robot, khi ràng buộc với bề mặt ràng buộc, có thể được thể hiện lại như sau : ( ) ( ) ̈ + ( ,̇ ) ̇ + ( ) =+ ( ) ( 14 ) Với B 1 được xác định bởi : ( ,̇ ) = ( ) ̇ ( ) + ( ,̇ ) ) ( ) . Ghi chú: phương trình (14) là phù hợp với mục đích điều khiển mà là cơ sở cho sự phát triển tiếp theo. Điều này là do các phương trình ràng buộc bình đẳng được gắn vào phương trình động lực học, kết quả là một hệ thống phi tuyến affine mà không ràng buộc. Bằng cách khai thác các cấu trúc của phương trình (14), ba thuộc tính có thể thu được: 3. Thuộc tính 3: Phương trình chuyển động (14) vẫn là tuyến tính trong điều kiện của một tập hợp đã chọn phù hợp của các thông số đã chọn, tức là ( ) ( ) ̈ + ( ,̇ ) ̇ + ( ) = ( ,̇ ,̈ ) Thuộc tính này có thể dễ dàng được chứng minh từ tài liệu tham khảo [9] và [10] 4. Thuộc tính 4 : Xác định ma trận ( ) = ( ) ( ) ( ) với ̇ ( ) −2 ( ) ( ,̇ ) là ma trận đối xứng lệch. Vì : ̇ −2 = ̇ + ̇ + ̇ −2 = ̇ −2 Từ thuộc tính 2 với ( ̇ −2) là ma trận đối xứng lệch nên ta dễ dàng biết được ( ̇ −2 ) cũng là một ma trận đối xứng lệch. 5. Thuộc tính 5 : ( ) ( ) = ( ) ( ) =0 Thuộc tính này cũng có thể được chứng minh một cách đơn giản nhờ ( ) , bằng việc sử dụng ̇=0, và chú ý rằng là độc lập tuyến tính. Thuộc tính trên là cơ bản để thiết kế luật điều khiển trượt Force/Motion. III. ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO ROBOT CÓ RÀNG BUỘC Trong phần này, một vấn đề bám cơ bản cho robot có ràng buộc được xem xét. Mục tiêu của điều khiển là đưa ra được một quỹ đạo và lực ràng buộc hoặc hệ số mong muốn thỏa mãn các điều kiện ràng buộc. ψ ( ) =0à = ( ) , để xác định một luật điều khiển trượt cho tất cả ( ( 0 ) ,̇ ( 0 ) ∈ ) , tức là → à→ khi→∞. Ta nên chú ý rằng, khi = ( ) , thì yêu cầu duy nhất chỉ còn là tìm luật điều khiển trượt để thỏa mãn → khi→∞. Xác định: = ( ) − ( ) (15) = ∫ ( − ) (16) ̇ =̇ − − (17) Với làsailệchbám, làsailệchlựctíchlũy, là quỹ đạo tham chiếu, , là ma trận điều hướng. là một vector hằng số r chiều, có chứa các yếu tố chưa biết trong thiết lập đã chọn phù hợp của các thông số Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 3 động tương đương, sau đó các thông tuyến tính động lực học ( từ thuộc tính 3) dẫn đến ̈ + ̇ += ( ,̇ ,̇ ,̈ ) Với ( ,̇ ,̇ ,̈ ) là ma trận nxr của hàm đã biết của , ̇ , ̇ , ̈ Mặt trượt được xác định như sau: =̇ −̇ =̇ + + ( 19 ) Bộ điều khiển trượt được xác định như sau: = ( ,̇ ,̇ ,̈ ) − ( ) − ( ) ( 20 ) Với đượcxácđịnhtrong ( 18 ) , Lđược xácđịnhtrong ( 11 ) ,và= [ ,…. ] làhàm được thiết kế theo các biến cấu trúc như lí thuyết [7] dưới đây. Dựa trên các mặt trượt (19), sử dụng (14), (18), (19), (20) và sau một số tính toán ta thu được: ̇ = − − − ( − ) Theo như thuộc tính 5, công thức trên được biến đổi thành: ̇ = ̇ = − − − ( 21 ) Để xác định thuật toán điều khiển, ta xác định hàm Lyapulov như sau: = (22) Đạo hàm hai vế của V theo thời gian và sử dụng thuộc tính 4 ta được: ̇ = 1 2 ̇ + ̇ + ̇ = ̇ + = ( − − − ) + = ( − − ) (23) Chọn: =− ( ) ;=1, ( 24 ) Với > | | ,∀,tađượckếtquả ̇ =− − ( ) − ( ) ≤ <0 ( 25 ) Từ (22) và (25), hiển nhiên ||s 1 || ít nhất hội tụ theo hàm mũ tới không, tức là →0,và →0khi→∞. Cũng với =( ) , điều này cho thấy rằng → nếu → , do đó chúng ta đề xuất lí thuyết sau đây. Lý thuyết: Xét hệ thống robot mô tả bởi (1), sử dụng luật điều khiển (20) và (24). Hệ thống vòng kín là ổn định tiệm cận toàn cục theo nghĩa là: → và→ khi→∞ Với bất kì ( ( 0 ) ,̇ ( 0 ) ∈ ) Dưới đây là một số nhận xét đáng lưu ý: Trong định lý, luật điều khiển có liên quan đến các tham số bị chặn trong một cách đơn giản để các biến thể tham số trong có thể được đưa vào tính dễ dàng. Khi luật điều khiển là không liên tục qua mặt phẳng trượt, một luật điều khiển như vậy sẽ dẫn đến điều khiển chattering. Chattering là hiện tượng không mong muốn trong thực tế vì nó ảnh hưởng đến hoạt động điều khiển và xa hơn nữa có thế gây ra kích thích các tần số động lực học cao đã bỏ qua trong quá trình mô hình hóa. Điều này có thể được khắc phục bằng cách xấp xỉ các luật điều khiển liên tục bằng một bộ ĐK liên tục bên trong lớp biên [13]. Để làm điều này, các (∙) (24) được thay thế bằng cách đặt (∙/) với là độ dày lớp biên. Điều này dẫn đến nó bám đảm bảo chính xác trong một độ chính xác cho trước. IV. VÍ DỤ MÔ PHỎNG Một cơ cấu robot với 2 khớp được ràng buộc trong một đường tròn được đưa ta trong tài liệu [8], được sử dụng để xác minh tính hợp lệ của các phương pháp điều khiển được nêu trong báo cáo này. Các ma trận trong mô hình (1), trong trường hợp này được viết như sau: ( ) = ++2 + + ( , ) = −̇ ̇ − ( ̇ +̇ ) 0 ( ) = + cos( + ) cos( + ) Trong đó, = , làgiatốctrọngtrường; và có 3 thông số chưa biết được xác định như sau: = ( + ) ;= ;= Ràng buộc là một đường tròn trong không gian làm việc với tâm trùng với trục quay của liên kết đầu tiên. Hình 1 mô tả các liên kết. Mặt ràng buộc được mô tả bằng phương trình sau: ( ) = + − =0, = [ ] (26) Chuyển từ không gian làm việc sang không gian khớp được đưa ra bởi: ( ) = + cos( + ) + sin( + ) (27) Phương trình ràng buộc trong không gian khớp là ( ) = + +2 − =0 (28) Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 4 Khi đó là một hằng số được xác định bởi =cos − ( + ) 2 ∗ ( 29 ) Ma trận Jacobien của (28) là: ( ) = 0 −2 ( 30 ) Do đó ma trận trong (11) được xác đinh bởi : ( ) = [ 10 ] Mô hình chuyển động ràng buộc trong (14), khi liên kết là đường tròn, có thể được thể hiện như sau : ++2 ∗ + ∗ ̈ + 0 ̇ ∗ ̇ + ∗ + cos( + ∗ ) cos ( + ∗ ) = + 0 −2 ∗ ( 32 ) Lực ràng buộc là : =0; =−2 ( ∗ ) (33) Mục tiêu điều khiển là xác định điều khiển phản hồi đề khớp q 1 bám được theo quỹ đọa mong muốn và duy trì lực ràng buộc → , với và được giả thiết để phù hợp với các ràng buộc. Khi → nghĩa là → , do đó mô phỏng này, và đượcchọnnhưsau: = −90+52,5 ( 1−cos ( 1,26 )) 15 ( 34 ) =10 ( 35 ) Các giá trị đúng của các tham số : =0,8;= 0,32và=0,4. Do đó, =1; = =0,3vàhai thông số =30 ; =1. Khi bám quỹ đạo trong một bề mặt giới hạn với lực ràng buộc được quan tâm, vị trí ban đầu và vận tốc của tay máy được chọn trên quỹ đạo mong muốn là: ( 0 ) =−90; ( 0 ) =80;̇ ( 0 ) =̇ ( 0 ) =0 Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 5 Lực ràng buộc ban đầu được giả định như sau: = 0;tứclà=0. Trong việc điều khiển giảm hiện tượng chattering, các ranh giới được lựa chon như sau: = = =0,05. Kết quả của mô phỏng được ở hình 2-7. Hình 2 mô tả quỹ đạo khớp mong muốn. Hình 2 mô tả quỹ đạo thực tế của khớp 1 với sai lệch bám tối đa là 0,06 rad, và hình 3 thể hiện hệ số lực . Cuối cùng giá trị sai lêch tối đa là 0,1. Mặt trượt được thể hiện ở hình 5 và hình 6 + hình 7 thể hiện momen xoắn tại khớp tay máy. Những kết quả trên thể hiện rằng mục tiêu điều khiển đã thành công. V. KẾT LUẬN Thuật toán điều khiển trượt để bám quỹ đạo kết thúc hiệu ứng trong một mặt trựợt ràng buộc holonomic với lực ràng buộc xác địnhđược trình bày bằng cách sử dụng các lí thuyết về hệ thống cấu trúc biến. Những đóng góp lớn của chú ý này nằm trong việc thành lập một mô hình động lực học mới để mô tả chuyển động Robot có ràng buộc, làm cho nó có thể tìm kiếm một luật điều khiển chế độ trượt. Bằng cách mở rộng kích thước của mặt trượt để để bao gồm những lực ràng buộc, một công thức chế độ điều khiển mặt trượt rõ ràng thu được đảm bảo sự xuất hiện của chế độ trượt trên giao lộ của các bề mặt mà không cần phải ổn định mỗi một cá nhân. Một ví dụ đơn giản về 2 liên kết tay máy và ràng buộc bởi vòng tròn đã được sử dụng để minh họa cho phương pháp phát triển trong lưu ý này, và kết quả mô phỏng là khá khả quan. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N. H McClamroch and D. Wang, “Feadback stabilization and tracking of constrained robots,” IEEE Trans. Automat. Contr., vol. 33, pp. 419-426, May 1988. [2] J. K. Mills and A. A. Goldenberg, “Force and position control of manipulators during constrained motion tasks, “IEEE Trans. Robot. Automat., vol. 5, pp. 30-46, Feb. 1989. [3] L. Lui, Y. Han, R. Lingarkar, N. A. Sinha, and M. A. Elbestawi, “On adaptive force/motion control of constrained robots,” in Proc. ZECON’89, 1989, p. 433. [4] X. Yun, “Dynamic state feedback control of constrained robot manipulator,’’ in Proc. IEEE ConJ Decision Contr., 1988, p. 433. [5] C. Y. Su, T. P. Leung, and Q. J. Zhou, “Adaptive control of robot manipulators under constrained motion,” in Proc. IEEE Conf. Decision Contr., 1990, p. 2650. [6] V. I. Utkin, “Discontinuous control system: state of the art in theory and application,” Preprint 10th ZFAC World Congress, 1987, vol. 1, p. 75. [7] V. I. Utkin, Sliding Modes and Their Applications. Mir: Moscow, 1978. [8] K. D. Young, “Applications of sliding mode to constrained robot motion control,” in Proc. Amer. Contr. Conf., 1988, p. 912. [9] M. W. Spong and M. Vidyasagar, Robot Dynamics and Control. New York: 1989. [10] P. Khosla and T. Kanada, “Parameter estimation of robot dynamics,” in Proc. IEEE Conf. Decision Contr., 1985. [11] D. Koditschek, “Natural motion of robot arms,” in Proc. IEEE Conf. Decision Contr., 1985. [12] N. H. McClamroch and H P. Huang, “Dynamics of a closed chain manipulator,” in Proc. Amer. Contr. Conf., 1985, p. 50. [13] J. J. E. Slotine and S. S. Sastry, “Tracking control of nonlinear system using sliding surface, with application to robot manipulators,” Znt. J. Contr., vol. 48, pp, 465- 492, 1983. Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 6 Comments On “Foce/Motion Control of Constrained Robots Using Sling Mode” M. T. Grable and M. M. Bridges I. LỜI GIỚI THIỆU Ghi chú này giải quyết sai sót trong phân tích ổn định của điều khiển lực được trình bày ở [1]. Ở [1], các tác giả đã cố gắng sử dụng đồng thời chế độ điều khiển trượt bám quỹ đạo và điều khiển lực cho cánh tay robot. Họ cho rằng luật điều khiển của họ, cùng với các sai lệchlực ràng buộc trong định nghĩa của bề mặt trượt, gây ra sai lệch của ổn định tiệm cận. Tuy nhiên, luật điều khiển lực riêng biệt phải được thực hiện xác định và phân tích sự ổn định riêng biệt để xác định trạng thái sai lệch của lực. Tổng quan về các sai sót trong [1] bây giờ sẽ được đưa ra, với số phương trình được đề cập ở [1]. Các mặt trượt được định nghĩa là: 1 1 2 m m f s e e e (19) Với m e là véctơ sai lệch vị trí, f e là véctơ sai lệch lực tĩnh lũy, và 1 2 là ma trận điều hướng. Công thức này được xuất phát từ định nghĩa điển hình của một mặt trượt như một phương trình vi phân tuyến tính trong một biến sai lệch bám[2]. Phân tích sự ổn định thực hiện trong [1] cho thấy 0 s . Điều kiện đó đã dẫn đến kết quả là cả hai 0 m e và 0 f e . Thật không may, m e và f e không có quan hệ với nhau về động học hay kiểu đại số để có thể kết luận phải dùng tới giới hạn của chúng, và cụ thể là 0 s . Sai lệch lực tích lũy được định nghĩa là: 0 t f d e f v f v (16) Với f và d f tương ứng là lực ràng buộc thực tế và đặt (mong muốn). Yêu cầu được thực hiện ở [1] đó là 0 f d e f f . Nó tương đương với 0 0 f f e e . Điều này không thể được chứng minh trừ khi có thêm thông tin về f e . Ví dụ, nếu có thể chỉ được ra rằng f e đều liên tục, hoặc là f e bị chặn, sau đó sử dụng bổ đề Barbalat để có đượcc kết quả mong muốn [2]. Cho f e như định nghĩa, điều này đòi hỏi phải thể hiện rằng d f f đều liên tục, hoặc d f f bị chặn. Phân tích lực bám được đưa ra trong [1] không cung cấp thông tin đó. Dưới đây là một số gợi ý để sửa đổi định nghĩa của mặt trượt và luật điều khiển được đưa ra trong [1], và phân tích điều khiển lực thay thế. Trước tiên chúng ta loại bỏ (16), định nghĩa của sai lệch lực tích lũy. Kết quả là, từ quỹ đạo (17) bây giờ được đưa ra bởi: 1 1 r d m q q e (A) Với là ma trận điều chỉnh không đổi. Giữ nguyên phương trình (18) và mặt trượt (19) bây giờ được cho bởi: 1 m m s e e (B) Chúng ta tiếp tục giả định rằng mong muốn quỹ đạo 1 d q và các đạo hàm của nó 1 d q và 1 d q bị chặn. Xác định lại luật điều khiển (20) bởi: 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , ( ) ( ) T r r c u Y q q q q L q s J q (C) Với c là lực điều khiển xác định bởi c d Ke (D) K là ma trận không đổi m m của điều khiển lực phản hồi d e (E) Đó là hệ số sai lệch lực, và được định nghĩa như trong (24). Thay thế (C) vào trong mô hình động lực học để triệt tiêu (14) và sử dụng tính chất 3, chúng ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , ( ) ( ) ( ) , , T r r c T Y q q q q L q s J q J q Y q q q (F) Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 7 Phương trình có thể được viết lại như sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ , , , , , ( ) ] c r r r J q Y q q q Y q q q q L q s (G) Khi J không phải là duy nhất Phân tích tính ổ định từ (20) đến (25) trong [1] để thấy rằng 0 s . Sử dụng công thức (B) ở trên và lý thuyết hệ thống tuyến tính dễ dàng có 0 m e và 0 f e . Do đó 1 s , m e và m e bị chặn. Sử dụng (15) và (17) dễ dàng có được 1 1 1 1 , , , r r q q q q đều bị chặn hết. do đó tất cả tín hiệu (“signals”) vế bên phải của 21 đều bị chặn và chúng ta có thể kết luận rằng 1 s bị chặn. Sử dụng (B) và (15) cho phép chúng ta kết luận rằng 1 q bị chặn. vì vậy tất cả các tín hiệu (“signals”) bên phải của (G) đều bị chặn, ta có thể viết lại (G): 1 1 1 1 1 0 , , , , c r r q q q q q (H) Với 0 là hàm bị chặn. Sử dụng (15) và (17) lần nữa, có thể viết lại (H) như sau: 1 1 1 1 1 1 , , , , , c d d d q q q q q q (I) Với là hàm bị chặn. Thay thế vào lực điều khiển ở (D) vào (I) thu được: 1 ( ) e K I (J) Với I là ma trận đơn vị. Do đó, e và sai lệch lực d f f bị chặn và có thể điều chỉnh được bằng các ma trận phản hồi đầu ra (“feedback gain”) K. Kết quả này để điều khiển lực tương tự kết quả được trình bày trong [3] và [4]. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C. Y. Su, T. P. Leung, and Q. J. Zhou, “Force/motion control of constrained robots using sliding mode,” IEEE Trans. Automat. Cont., vol. 37, no. 5, May 1992, pp. 668-672. [2] J. J. E. Slotine and W. Li, Applied Nonlinear Control. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1991. [3] M. T. Grabbe, J. J. Carroll, D. M. Dawson, and Z. Qu, “Robust control of a robot manipulator during constrained and unconstrained motion,” IEEE Int. Conf Robotics Automation, Nice, France, May 1992, pp. 21462 15 1, [4] R. Carelli and R. Kelly, “An adaptive impedance/force controller for robot manipulators,” IEEE Trans. Automat. Cont., vol. 36, no. 8, Aug. 1991, pp, 967-971. Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 8 Correspondence Sliding-Mode Motion/Force Control of Constrained Robots Kuang-Yow Lian and Chia-Ru Lin Tóm tắt–Một bộ điều khiển trượt được đề xuất để điều khiển đồng thời vị trí và lực cho robot tay máy có ràng buộc với những tham số bất định. Trên cơ sở bộ điều khiển đó, những quỹ đạo của hệ thống vòng kín sẽ đạt được một mặt trượt trong thời gian hữu hạn. Với điều kiện đó, sự hội tụ tiệm cận của sai số chuyển động và sai số lực có thể được bảo đảm thành công so với các nghiên cứu trước đấy. Thuật ngữ: Robot có ràng buộc, điều khiển chuyển động và lực, điều khiển trượt. I. GIỚI THIỆU Những thuận lợi của việc sử dụng điều khiển trượt bao gồm đáp ứng nhanh, bền vững với vấn đề sự thay đổi tham số [3], [6]. Trong việc xem xét các thuận lợi của điều khiển trượt, mặt trượt riêng biệt, xác định sai số chuyển động và sai số lực được sử dụng trong [1],[5] để xây dựng bộ điều khiển cho robot có ràng buộc. Trong các chương trình, sai số lực bám được cho thấy là tốt nhất, to be arbitrarily small by using high gain. Để đơn giản hóa phương pháp thiết kế và chứng minh sự ổn định, các tác giả trong [4] đã cố gắng sử dụng điều khiển chuyển động và lực đồng thời cho một roobot tay máy có ràng buộc. Tuy nhiên có một vài lỗi trong bài báo này được chỉ ra trong [1]. Việc nghiên cứu của chúng tôi là dành cho điều khiển chuyển động và lực cho robot có ràng buộc. Dưới đây là một mặt trượt mới về sai số chuyển động và lực dược chỉ ra, theo đó sự ổn định tiệm cạn của sai số chuyển động bám và sai số lực bám có thể được bảo đảm. Do đó, sai số trong [4] có thể tránh được trong khi hiệu suất được cải thiện. Ngoài ra, việc thiết kế điều khiển và chứng minh ổn định có thể thực hiện một các đơn giản. II. MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC CÓ RÀNG BUỘC Xét hệ thống robot n thanh liên kết cứng với nhứng điều kiện ràng buộc. Cho n q là vecto tọa độ tổng quát và ( ) 0 h q , trong đó : n n h , biểu thị các điều khiện ràng buộc. Để thực hiện các nguồn gốc tiếp theo, các gả định dưới đây liên quan đến phương trình ràng buộc ( ) 0 h q được thực hiện. Giả định 1:Tồn tại tập n m và hàm : n 1 2 ; ( ) q q sao cho 1 2 ([q ,q ])= h 2 2 h([ ( ), ) 0. q q Hơn nữa, sự bị chặn của 2 / q trong không gian làm việc được giả định. Phương trình động lực học của robot tay máy có ràng buộc có thể được chứng minh từ [2]: ( ) ( , ) ( ) M q q C q q q G q f (1) Trong đó ( ), ( , ), ( ) M q C q q G q và lần lượt là ma trận quán tính, ma trận hương tâm và Coriolis, vecto trọng lực và môn men đầu vào, n f và biểu thị cho sự ràng buộc về lực. Lực ràng buộc là cần thiết để luôn luôn chủ động điều khiên thích hợp. ( ) A q là ma trận Jacobien của phương trình ràng buộc. Suy ra ( ) T f A q , với n là vecto lực ràng buộc. Như trong [2], ta giả định ( ) A q có đủ hạng hàng (row rank) trong không gian làm việc. Chú ý, ta luôn có ( ) 0 h q , suy ra ( ) 0 h q q .Cho: ( ) 2 [0 I ] n m n n m E Và 2 2 ( ) 0 m n m I q T q I Xác định: 2 2 2 ( ) T n m q J TE q I Từ đó suy ra : 2 q Jq , cũng chú ý ràng 2 ( ) 0 A q Jq với mọi ( ) 2 n m q . Điều đó có nghĩa rằng 2 ( ) ( ) ( ) 0 T T n m m J q A q và 2 ( ) ( ) ( ) 0 m n m A q J q Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 9 với mọi n q . Theo đó, mô hình đông lực (1) có thể viết dưới dạng: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) T T E M q E q CE q G q E (2) Trong đó: , ( ) T T M T MT C T MT CT , . T T G T G T Một số thuộc tính về mô hình động lực giản lược được bổ sung dưới đây: Thuộc tính 1: Trong không gian làm việc 2 2 , ( , ) C q q và 2 ( ) M q bị chặn nếu 2 q và 2 q bị chặn; 2 2 ( , ) C q q bị chăn nếu 2 2 , q q và 2 q bị chăn. Thuộc tính 2: Ma trận M xác định dương. Hơn nữa, với một lựa chọn thích hợp của C , 2 M C là ma trận đối xứng lệch. Thuộc tính 3: Phương trình của chuyển động được tuyến tính hóa: 2 2 2 1 2 2 2 2 ( , , ) T T ME q CE qL G Y q q q (3) Trong đó 1 ( ) Y là ma trận n Y chứa các hàm có thể xác định được, và là vecto r chiều chứa các thông số chưa biết hoặc bất định. Các tính chất này có thể dễ dàng chứng minh tren cơ sở các thuộc tính được trình bày trong ví dụ,[4]. III. ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT CHO ROBOT CÓ RÀNG BUỘC Bộ điều khiển trượt được đề xuất trong phần này để điều khiển hệ thống robot có ràng buộc, do dó sai số chuyển động bám và lực bám phải tiến tới 0, ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) d d d q t q t q t q t t t khi t Trong đó ( ) d q t là quỹ đạo đạt và ( ) d t đại diện cho lực ràng buộc đặt. Quỹ đạo đặt phải thỏa mãn các phương trình 1 2 d d q q . Xác định: 2 2 0 2 2 ( ) ( ), ( ) , ( ) , n m p d p t T n f d f T n r p d f r e q t q t e e A dt e q E e q e q Trong đó , , p f r e e q lần lượt là biểu thị sai số chuyển động, sai số lực và tâp của tín hiệu phụ. Tham số điều khiển đặc trưng bởi nguời thiết kế, là một ma trận xác định dương ( ) ( ) n m n m . Sai số ước lượng n s : 2 2 2 ( ) T T r p p f s q E q E e e e (4) Trong đó bao gồm sai số chuyển động cũng như sai số lực. Sai số ước lượng biểu thị độ lệch từ mặt trượt ( ) 0 s t . Chú ý rằng chuyển động bám và lực bám có thể được bảo đảm một lần sai số ước lượng s có thể được điều khiển tiến về 0. Để chứng minh điều này, mở rộng (4) bởi T J sinh ra từ T p p e e J s . Khi ( ) 0 s t thì 0 p p e e . Hơn nữa, lim 0 t f e có thể được bảo đảm từ (4). Một các đơn giản, , , p p f e e e hội tụ về 0 khi t cũng như ( ) 0 s t . Mối quan hệ của sai số ước lượng với sai số động lực có thế được viết lại theo mẫu dưới đây: 2 2 2 2 ( ) . T r T T T r Ms M q E q Mq CE q G T A (5) Theo thuộc tính 3, r r Mq Cq G có thể được đơn giản như 2 2 ( , , , ) r r Y q q q q với định nghĩa thích hợp của những hàm đo được của ma trận Y . Vì vậy, nếu cài đặt luật điều khiển theo mẫu: sgn T T K s T A Y (6) Trong đó: 1 2 , , , , 0, n l K diag K K K K 1,2, , ; l n và 1 2 , , , T r là hàm chuyển đổi được thiết kế theo lý thuyết trượt [6] như dưới đây: 1 sgn , 1,2, , n i i j ji j s Y i r Với i i thì sai sô động lực (5) có thể được viết lại như sau: Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 10 ( ) sgn . T T r r Ms Mq C q s G T A Y Cs K s Y (7) Phân tích ổn đinh hoàn toàn của sai số hệ thống được đưa ra sau khi chứng minh định lý dưới đây. Định lý:Xét hệ thông vòng kín được xác định bời bộ điều khiển (6) và robot có ràng buộc,đó là (1) với ràng buộc ( ) 0 h q .Cho rằng giả định 1 được thỏa mãn. Thì quỹ đạo hệ thống đạt tới mặt trượt ( ) 0 s t trong thời gian hưu hạn. Ngoài ra, ( ), ( ), ( ) q t q t t lần lựơt tiệm cận giá trị đặt ( ), ( ), ( ) d d d q t q t t khi t Chứng minh: Xét hàm Lyapunov 1 2 T V s Ms . Đạo hàm của V theo thời gian ta có: 1 1 1 1 1 1 1 2 0 n T T T T l l l n r n l l j ji i l i j r n n j ji i l l i j l V s Ms s Ms K s s Y s Y K s s Y s Y K s (8) Trong đó (7) và thuộc tính 2 được áp dụng trong đẳng thức thứ 2. Do đó, tính bị chặn của tất cả tín hiệu có thể được kết luận qua (4) và (8). Ngoài ra, quỹ đạo sẽ tiến tới mặt trượt 0 s trong thời gian hữu hạn. Sau những lập luận đó, theo (4), có thể chỉ ra rằng , , p p f e e e hội tụ về 0 khi t . Ngoài ra, t 1 1d lim q = q do 1 2 ( ) q q và 1 2 ( ) d d q q ; d khi t . Thực tế rằng s L có nghĩa là , p f e e L do (4) Tương tự s L và thuộc tính 1, ; s L như vậy f e L được giải quyết bởi (4) và (7). Từ kết quả đó, , ;lim f f t f e e L e , nó kéo theo lim 0 t f e theo bổ đề Barbalat. Viết lại f e như dưới đây: 0 t T T f d d e A d A Trong đó 0 lim 0 t t d d vì lim 0 t f e và A có full row rank. Vậy nên, d khi t . Nhận xét 1: Có thể thay thế (6) với . T T Ks T A Y Sau đó theo các lập luận tương tự, có thể chứng minh rằng s tiệm cận 0 theo cấp số nhân, đảm bảo hơn nữa , , d d d q q q q khi t . Nhận xét 2: Luật điều khiển không liên tục (6) sẽ cho kết quả trong một hiện tượng chattering. Điều đó có thể được khác phục bằng cách sử dụng các bộ lọc kĩ thuật giống như kỹ thuật chặn lớp hay thay thế hàm signum bằng hàm liên tục [3],[4]. IV. MỘT VÍ DỤ MINH HỌA. Là một ví dụ để xác minh tính hợp lệ của bộ điều khiển đề xuất, đây là một máy phun hai chiều Cartesian với ràng buộc là đường tròn được xem xét. Một hệ thông được phác họa trên hình 1. Động lực học của robot ràng buộc là: + 0 0 ̈+ ( + ) 0 =+ Với một phương trình ràng buộc vô hướng được cho bởi ℎ ( ) = + −1=0. Để cho đơn giản, ta đặt [...]... Grabbe and M M Bridges, “Comments on force/ motion control ofconstrained robots using sliding mode, ”IEEE Trans Automat Contr.,vol 39, p 179, Jan 1994 [2] N H McClamroch and D Wang, “Feedback stabilization and tracking of constrained robots, ” IEEE Trans Automat Contr., vol 33, pp 419–426, 1988 [3] J J E Slotine and S S Sastry, “Tracking control of nonlinear systemsusing sliding surface, with application... 465–492, 1983 [4] C.-Y Su, T.-P Leung, and Q.-J Zhou, Force/ motion control of constrained robots using sliding mode, ”IEEE Trans Automat Contr.,vol 37, pp 668–672, May 1992 [5] C Y Su, Y Stepanenko, and T.-P Leung, “Combined adaptive and variable structure control for constrained robots, ”Automatica, vol 31, no 3, pp 483–488, 1995 [6] V I Utkin, Sliding Modes and Their Applications Moscow, Russia:Mir, 1978 . Zhou, Force/ motion control of constrained robots using sliding mode, ” IEEE Trans. Automat. Cont., vol. 37, no. 5, May 1992, pp. 668-672. [2] J. J. E. Slotine and W. Li, Applied Nonlinear Control. . M. A. Elbestawi, “On adaptive force/ motion control of constrained robots, ” in Proc. ZECON’89, 1989, p. 433. [4] X. Yun, “Dynamic state feedback control of constrained robot manipulator,’’. Translate by: Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669 Page 1 Force/ Motion ConTrol of Constrained Robots Using Sliding Mode Chun-Yi Su, Tin-Pui Leung, and Qi-Jie Zhou Tóm tắt : Một thuật
Ngày đăng: 12/10/2014, 08:30
Xem thêm: force motion control of constrained robots using sliding mode, force motion control of constrained robots using sliding mode
